2014届高考数学(山东专用理科)一轮复习教学案第九章解析几何9.4直线与圆、圆与圆的位置关系

9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系

考纲要求

1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系． 2．能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系． 3．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 4．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．

5．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置，会推导空间两点间的距离公式．

1．直线与圆的位置关系

(1)直线与圆的位置关系有三种：____、____、____. 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：

①代数法：把直线方程与圆的方程联立方程组，消去x或y整理成一元二次方程后，计＞0 ，

算判别式Δ＝b2－4ac ＝0 ，

＜0 .

②几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系：

d＜r ____， d＝r ____， d＞r ____.

(2)圆的切线方程：

若圆的方程为x2＋y2＝r2，点P(x0，y0)在圆上，则过P点且与圆x2＋y2＝r2相切的切线方程为____________．

注：点P必须在圆x2＋y2＝r2上．

经过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上点P(x0，y0)的切线方程为______________． (3)直线与圆相交： 直线与圆相交时，若l为弦长，d为弦心距，r为半径，则有r2＝______，即l＝2r－d，求弦长或已知弦长求其他量的值，一般用此公式．

2．圆与圆的位置关系

(1)圆与圆的位置关系可分为五种：_____、_____、_____、_____、_____. (2)判断圆与圆的位置关系常用方法：

①几何法：设两圆圆心分别为O1，O2，半径为r1，r2(r1≠r2)，则|O1O2|＞r1＋r2 ____；|O1O2|＝r1＋r2 ____；|r1－r2|＜|O1O2|＜r1＋r2 ____；|O1O2|＝|r1－r2| ____；|O1O2|＜|r1－r2| ____.

②代数法：

22 x＋y＋D1x＋E1y＋F1＝0，方程组 22

x＋y＋D2x＋E2y＋F2＝0，

有两组不同的实数解 两圆____； 有两组相同的实数解 两圆____； 无实数解 两圆相离或内含．

3．在空间直角坐标系中，O叫做坐标原点，x，y，z轴统称为坐标轴，由坐标轴确定的平面叫做坐标平面．这儿所说的空间直角坐标系是空间右手直角坐标系：即伸开右手，使拇指指向______轴的正方向，食指指向______轴的正方向，中指指向______轴的正方向．也可这样建立坐标系：令z轴的正方向竖直向上，先确定x轴的正方向，再将其按逆时针方向旋转90°就是y轴的正方向．

4．空间点的坐标

设点P(x，y，z)为空间坐标系中的一点，则(1)关于原点的对称点是______；(2)关于x

轴的对称点是______；(3)关于y轴的对称点是______；(4)关于z轴的对称点是______；(5)关于xOy坐标平面的对称点是______；(6)关于yOz坐标平面的对称点是______；(7)关于xOz坐标平面的对称点是______．

5．空间两点间的距离

设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|＝__________.

1．直线x－y＋1＝0与圆(x＋1)＋y2＝1的位置关系是( )． A．相切

B．直线过圆心

C．直线不过圆心，但与圆相交 D．相离

2．圆x2＋y2－4x＝0在点P(13)处的切线方程为( )． A．x＋y－2＝0 B．x＋y－4＝0 C．x－3y＋4＝0 D．x－3y＋2＝0

3．两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是( )． A．相交 B．内切 C．外切 D．内含

4．直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＋4x－4y－8＝0截得的弦长等于__________． 5．已知A(x,2,3)，B(5,4,7)，且|AB|＝6，则x的值为__________．

6．已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y

＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，则两圆的公共弦所在的直线方程为__________，公共弦长为__________．

2

一、直线与圆的位置关系

【例1－1】点M(a，b)是圆x2＋y2＝r2内异于圆心的一点，则直线ax＋by＝r2与圆的交点个数为( )．

A．0 B．1

C．2 D．需要讨论确定

【例1－2】已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.若直线l过点P且被圆C截得的弦长为4，求直线l的方程．

方法提炼

1．直线与圆的位置关系有两种判定方法：代数法与几何法．由于几何法一般比代数法计算量小，简便快捷，所以更容易被人接受．同时，由于它们的几何性质非常明显，所以利用数形结合，并充分考虑有关性质会使问题处理起来更加方便．

2．直线与圆相交求弦长有两种方法：

(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系求弦长．弦长公式l＝1＋k·|x1－x2|＝

(1＋k)[(x1＋x2)－4x1x2]＝1＋k.其中a为一元二次方程中的二次项系数．

|a|

(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝r－d. 代数法计算量较大，我们一般选用几何法．

请做演练巩固提升3

二、圆与圆的位置关系

【例2－1】设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝( )．

A．4 B．2 C．8 D．2

【例2－2】已知圆C的圆心在直线x－y－4＝0上，并且通过两圆C1：x2＋y2－4x－3＝0和C2：x2＋y2－4y－3＝0的交点，

(1)求圆C的方程；

(2)求两圆C1和C2相交弦所在直线的方程． 方法提炼

1．判断两圆的位置关系，通常是用几何法，从圆心距d与两圆半径长的和、差的关系入手．如果用代数法，从交点个数也就是方程组解的个数来判断，但有时不能得到准确结论．

2．若所求圆过两圆的交点，则可将圆的方程设为过两圆交点的圆系方程C1＋λC2＝0(λ≠－1)．

3．利用两圆方程相减即可得到相交弦所在直线的方程．

请做演练巩固提升1

三、空间直角坐标系

【例3】在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且点M到点A与点B的距离相等，则点M的坐标是__________．

方法提炼

距离是几何中的基本度量单位，由平面上两点之间的距离公式可类比得到空间两点之间的距离公式．利用该公式可解决以下问题：(1)求给定两点间的距离；(2)利用距离公式求参数值或最值；(3)判断几何图形的形状．

请做演练巩固提升

4

易遗漏对“x＝4”的讨论而致误

【典例】(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝

4.

(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程；

(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．

规范解答：(1)由于直线x＝4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在． 设直线l的方程为y＝k(x－4)，圆C1的圆心到直线l的距离为d， 因为直线l被圆C1截得的弦长为3， 所以d＝22－(3)2＝1.(2分)

|1－k(－3－4)|7

由点到直线的距离公式得d＝从而k(24k＋7)＝0，即k＝0，或k＝－，241＋k

所以直线l的方程为y＝0，或7x＋24y－28＝0.(4分)

(2)设点P(a，b)满足条件，不妨设直线l1的方程为y－b＝k(x－a)，k≠0，

1

则直线l2的方程为y－b＝－(x－a)．(6分)

k

因为圆C1和C2的半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即

5＋1(4－a)－b

k |1－k(－3－a)－b| (8分)

1＋k1k

整理得|1＋3k＋ak－b|＝|5k＋4－a－bk|，

从而1＋3k＋ak－b＝5k＋4－a－bk，或1＋3k＋ak－b＝－5k－4＋a＋bk， 即(a＋b－2)k＝b－a＋3，或(a－b＋8)k＝a＋b－5， 因为k的取值有无穷多个，(10分)

a＋b－2＝0， a－b＋8＝0， 所以或 b－a＋3＝0， a＋b－5＝0，

解得 1

b＝－ 2，

5a2

或 13

b＝ 2.

3a＝－，

2

(11分)

51313，或点P2 －. 这样点P只可能是点P1 2 2 22经检验点P1和P2满足题目条件．(12分)

答题指导：解决直线与圆的位置关系问题时，要注意以下几点：

(1)根据题设条件，合理选择利用代数方法还是利用几何方法判断其位置关系；

(2)凡是涉及参数的问题，一定要注意参数的变化对位置关系的影响，以便确定是否分类讨论．

1．(2012山东高考)圆(x＋2)＋y＝4与圆(x－2)＋(y－1)＝9的位置关系为( )． A．内切 B．相交 C．外切 D．相离

2．圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为( )． A．相离 B．相切

C．相交 D．以上都有可能

3．过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为__________．

4．已知在△ABC中，A(1，－2，－3)，B(－1，－1，－1)，C(0,0，－5)，则△ABC的面积等于__________．

5．已知点P(1，－2)，以Q为圆心的圆Q：(x－4)2＋(y－2)2＝9，以PQ为直径作圆与圆Q交于A，B两点，连接PA，PB，则∠APB的余弦值为__________．

2222

参考答案

基础梳理自测 知识梳理

1．(1)相切 相交 相离 ①相交 相切 相离 ②相交 相切 相离

l2

(2)x0x＋y0y＝r2 (x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2 (3)d2＋ 2 2．(1)相离 外切 相交 内切 内含

①相离 外切 相交 内切 内含 ②相交 相切 3．x y z

4．(－x，－y，－z) (x，－y，－z) (－x，y，－z) (－x，－y，z) (x，y，－z) (－x，y，z) (x，－y，z)

5(x1－x2)＋(y1－y2)＋(z1－z2) 基础自测

|－1－0＋1|

1．B 解析：∵圆心(－1,0)到直线x－y＋1＝0的距离d＝0，

2

∴直线过圆心．

2．D 解析：设切线方程为y－3＝k(x－1)，由d＝r，可求得k.故方程为x－3

3

y＋2＝0.

3．B 解析：两圆方程可化为x2＋(y－1)2＝1，x2＋y2＝4.两圆圆心分别为O1(0,1)，O2(0,0)，半径分别为r1＝1，r2＝2.

∵|O1O2|＝1＝r2－r1， ∴两圆内切．

4．14 解析：由题意知圆心为(－2,2)，r＝4， 则圆心到直线的距离d又∵r＝4，∴|AB|＝214.

5．1或9 解析：由空间两点间的距离公式，得(x－5)＋(2－4)＋(3－7)＝6， 即(x－5)2＝16，解得x＝1或x＝9.

24

6．3x－4y＋6＝0 解析：设两圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

5

则A，B两点满足方程x2＋y2＋2x－6y＋1＝0与x2＋y2－4x＋2y－11＝0，将两个方程相减得3x－4y＋6＝0，即为两圆公共弦所在直线的方程．

易知圆C1的圆心C1(－1,3)，半径r＝3，用点到直线的距离公式可以求得点C1到直线

|－1×3－4×3＋6|9

的距离为：d＝53＋42424

所以利用勾股定理得到|AB|＝r－d.

55

考点探究突破

【例1－1】A 解析：由题意知a2＋b2＜r2，

r22

所以圆心(0,0)到直线ax＋by－r＝0的距离d＞r，

a＋b

即直线与圆相离，无交点．

【例1－2】解：圆的方程可化为(x＋2)2＋(y－6)2＝16，圆心(－2,6)，半径长r＝4. 又直线l被圆截得的弦长为3，

所以圆心C到直线l的距离d＝42－3)2＝2.

当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝0，此时符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.

|－2k－6＋5|3

2，得k＝， 4k＋1

3

此时l的方程为x－y＋5＝0，即3x－4y＋20＝0.

4

故所求直线方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.

【例2－1】C 解析：依题意，可设圆心坐标为(a，a)，半径为r，其中r＝a＞0，因此圆方程是(x－a)2＋(y－a)2＝a2，由圆过点(4,1)，得(4－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－10a＋17＝0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，|C1C2|＝2×10－4×17＝8.

【例2－2】解：(1)因为所求的圆过两已知圆的交点，

故设此圆的方程为x2＋y2－4x－3＋λ(x2＋y2－4y－3)＝0(λ≠－1，λ∈R)，即(1＋λ)(x2＋

22λ4x4λy

y2)－4x－4λy－3λ－3＝0，即x2＋y2－－－3＝0，圆心为 1＋λ1＋λ .

1＋λ1＋λ

由于圆心在直线x－y－4＝0上，

22λ1∴4＝0，解得λ＝－，

31＋λ1＋λ

所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－3＝0.

(2)将圆C1和圆C2的方程相减，得x－y＝0，此即相交弦所在直线的方程． 【例3】(0，－1,0) 解析：设M(0，y,0)， 由(1－0)＋(0－y)＋(2－0) ＝(1－0)＋(－3－y)＋(1－0)， 解得y＝－1，即M(0，－1,0)． 演练巩固提升

1．B 解析：圆O1的圆心为(－2,0)，r1＝2，

圆O2的圆心为(2,1)，r2＝3，|O1O2|＝4＋1＝17， 因为r2－r1＜|O1O2|＜r1＋r2， 所以两圆相交．

2．C 解析：∵圆的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝9， ∴圆心为(1，－2)，半径r＝3.

又圆心在直线2tx－y－2－2t＝0上， ∴圆与直线相交．

3．2x－y＝0 解析：圆的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝1，可知圆心为(1,2)，半径为1.

|k－2||k－2|

设直线方程为y＝kx，则圆心到直线的距离为d＝0，解得k＝2.

1＋k1＋k故直线方程为y＝2x，即2x－y＝0. 9

4 解析：根据空间中两点间的距离公式可得： 2

由

|AB|＝(1＋1)＋(－2＋1)＋(－3＋1)＝3，

|BC|＝(－1－0)＋(－1－0)＋(－1＋5)＝32， |AC|＝(1－0)＋(－2－0)＋(－3＋5)＝3. 因为|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，

119

所以△ABC是以A为直角的等腰直角三角形，故其面积S|AB|·|AC|＝×3×3＝222

7

5解析：由题意可知QA⊥PA，QB⊥PB， 25

故PA，PB是圆Q的两条切线， 由以上知∠APB＝2∠APQ， 在Rt△APQ中，

PQ(4－1)＋(2＋2)＝5. AQ＝3，∴AP＝4.

∴cos∠APB＝2cos2∠APQ－1

427＝2× －1＝. 525

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