初中数学常见解题模型及套路（所有二级定理：解题必备的自有定理、课外定理）

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初中数学压轴题常见解题模型及套路（自有定理）

A． 代数篇：

1．循环小数化分数:设元—扩大——相减（无限变有限）相消法。 例.把0.108108108???化为分数。

设S=0.108108108??? （1） 两边同乘1000得：1000S=108.108108???（2） （2）-（1）得：999S=108 从而：S=

108 余例仿此—— 9992．对称式计算技巧：“平方差公式—完全平方公式”—整体思想之结合：x+y；x-y；xy；

x2?y2 中，知二求二。

222?x?y?2xy?2x?2y(? (x?y)x?)2y2?

xy222?x?y2?2xy?(x?)y?4 (x?y) xy 加减配合，灵活变型。

1213．特殊公式（x?）?x2?2?2的变型几应用。

xx（a?b）（a2mab?b2）4．立方差公式：a3?b3?

5．等差数列求和的三种方法：首尾相加法；梯形大法；倒序相加法。 例.求：1+2+3+···+2017的和。三种方法举例：略

6．等比数列求和法：方法+公式：设元—乘等比—相减—求解。

例.求1+2+4+8+16+32+···2n 令S=1+2+4+8+16+32+···+2n （1）

两边同乘2得: 2S=2+4+8+32+64+···+2n+2n?1 （2） （2）-（1）得：2S-S=2n?1- 1 从而求得S。 7．

11n?m1111????等。 的灵活应用：如：?mnmn62?3238．用二次函数的待定系数法求数列（图列）的通项公式f（n）。 9．韦达定理求关于两根的代数式值的套路：

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1111⑴．对称式：变和积。x2?y2；?；2?2；xy2+x2y等（x、y为一元二次方程方程的两

xyxy根）

⑵．非对称式：根的定义—降次—变和积（一代二韦）。 10. 三大非负数：三大永正数；

2（x?y）?正数 等（非负数+正数）11．常用最值式：。

12．换元大法。

13．自圆其说加减法与两肋插刀法。代数式或函数变型（如配方）只能加一个数，同时

减去同一个数；如果是方程则只需要两边同时加上或者减去同一个数即可。 14．拆项法；配方法。原理同上。 15．十字相乘法。

16．统计概率：两查（抽样；普查）；三事（必然；不可能；随机）；四图（折线；

条形；扇形；直方）；三数；三差；两频（频数、频率）一率（概率）等。 17．一元二次方程应用题：每每问题套路；利率问题套路；握手、送花问题套路。 18. |a|=|b|,则a=±b在动点问题中的巧妙应用（避免烦琐的因为点的相对位置变化

起的符号变化问题（平面直角坐标系中动态问题之“坐距互变”时巧施绝对值的代数解法）。

19.四个角的正切值：22.5度的正切值为： 根号2-1 67.5度的正切值为根号2+1 75度的正切值为2+根号3 15度的正切值为2-根号3

B． 几何篇：

OOD1．两套：等线套；等角套。

ACBDCAB①等角套（如图所示）：条件 ： ∠AOB＝∠COD 结论：∠AOC＝∠BOD 说明：

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②可以视做由旋转产生的“共点等角”

等线套（如图所示）：条件：AB=CD 结论：AC=BD 说明：可以看做由平移产生。

ACBDABCD

2．两条平行线夹一角。一角=两旁角的和。 条件：AB∥CD 结论：∠P＝∠AEP＋∠PFC

AEBPCFD

3．平行线夹等（同）底三角形：面积相等。同底三角形面积相等，则过顶点的直线与

底所在直线平行。

CDmABn

若：m∥n 则SVABC?SVABD 反之：若 SVABC?SVABD 则：m∥n （反比例模型中的

“垂平”模型的证明用之）

4．已知三角形两边定一边的范围。“大于两边的差，小于两边的和”。 5．三角形的角分线角：

?A 2?A⑵一内一外角分线交角：∠I=

2?A⑶两外平分线交角：∠I=90?

2AAI⑴两内角平分线交角：∠I=90?IBBCACI5.三角形的角平分线：

两边的比=分线段（第三边）的对应比。

BCD 3

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条件：AD为角平分线 结论：

ABBD ?ACDC126．三角形中线性质定理；三中线交点分中线为和两部分。

33 条件：AD、BE、CF为中线

22 结论：AK=2KD=AD BK=2KE=BE。

332 CK=2KF=CF

3FkAE

BDC7．大名鼎鼎的等面积法：底与高的积相等。三高造相似。三高造辅助圆。 条件：AD、BE、CF为三角形的高—— 结论：AD·BC=BE·AC=CF·AB △ADB∽△CFB等。

B、C、E、F、四点共圆等。

BDFECA8．高与角分线的夹角等于另外两角差的一半。(两中线垂直的三角形叫做：中垂三角形

2—— a2?b2?5c其中a、b为中线所在的边)

A ①条件：AD、AE分别为三角形的角平分线和高， （AB≠AC）。

结论：∠DAE=

?C??B 2BCED②条件：BE、CF为三角形的中线，且BE⊥CF

C22?5 结论：a2?b2?5c AC2?BC2A BFE ③如图：∠D=∠A+∠B+∠C

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BDAABC上下：2.04 左右：2.17

9．三角形一分为二面积的比及其推广到蝴蝶面积。 ①在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，

那么 S?ABO:S?ACO?BD:DC．

AEOF

②任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：

BAS2BDS1OS3DCS1:S2?S4:S3或者S1?S3?S2?S4 AO:OC??S1?S2?:?S4?S3?

S4C10．等腰三角形三线合一的逆定理：两线合一亦等腰；；一垂两等变等腰；一垂三等变

等直。等腰三角形存在性常用公式：底角的余弦=

底边的一半 腰 ■重要推论：已知三角形中一个角的余弦：这个角的一边×这个角的余弦=另一边

的一半，此三角形为等腰三角形（一边为腰，另一边为底）。

如图：AB?cosB?BC?VABC为等腰三角形（BC为底） 2A ■“两线一圆模型”：已知线段AB（两定点A、B）， 在平面内找一点C，使三角形ABC为等腰三角形。

BC 这样的点C 的集合在以A、B为圆心，AB为半径的圆和AB的垂直平分线上（与

A、B共线的点除外） （等腰三角形存在性问题）

11．直角三角形斜高的求法。斜高=

两直角边的乘积

斜边AB ■直角三角形存在性之“两线一圆模型”： 已知线段AB（两定点A、B）， 在平面内找一点C，使三角形ABC为等腰三角形。

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满足条件的C 的集合在：过A、B做线段AB的垂线及以AB为直径的圆上的除

A、B两点的任意点都可与A、B组成直角三角形。（所谓的“两线一圆”）。

12．等边三角形面积的求法。S边长为a的等边三角形?13．求面积的套路：

⑴．复杂图形：一拆用加；二放用减。

⑵．三角形：①面积公式；②两边与夹角正弦的

积的一半（遇钝变补）；③铅垂线法（宽高法）； ④等边三角形的面积。⑤利用：相似比的平方 =面积比（借助面积可求的三角形的面积和 相似比求解）。⑥让出去：化归。

宽高AB32a 4（3）平行四边形面积=两邻边与其夹角的正弦的乘积；菱形的面积=边长的平方与一个

内角的正弦的乘积；梯形的面积=两对角线与其夹角的正弦的乘积的一半。 （4）．共（有一个角相等）角三角形：面积的比等于等角两边乘积的比（鸟头定理）。

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)， 则S△ABC:S△ADE?(AB?AC):(AD?AE)

DA

BA ECDEBC 6

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14．三大蝴蝶： ⑴一线两等边。

E条件：△ABC、△ECD为等边三角形，B、C、D共线 则有：△BCE≌△ACD

△DCG≌△ECF △BCF≌△ACG

BAKFGCD 旋转60°形成的全等三角形！！！ ∴△CGF也是等边三角形。 还有：AB∥CE DE∥AC等结论成立！

∠AKB=60° CK平分∠BKD ∠BKC=60°=∠DKC K、F、C、G四点共圆。 ⑵一个三角形两等边（费马点：见课件）。 条件：以△ABC的两边AB、AC为边向外作

等边三角形ADB和等边三角形ACE 则有：△ADC≌△ABE（SAS）∴CD=BE

BNGCMDAE∠DGB=60°∠DGE=120° 又SVADC?SABE分别作高AM、AN，

则AM=AN（面积相等，底等，则高等）， ∴AG是∠DGE的平分线！ ∠DGA=∠EGA=60°

⑶一个三角形两个正方形。 条件：四边形GBAF和正方形ACDE

GFEA结论：FC=BE FC⊥BE AH是∠FHE的

HD 角平分线（∠FHA=∠EHA=45°）

BC A、F、B、F四点共圆。

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15．平行四边形的面积关系。平行四边形的对角顶点到过对称中心的任意一条直线（一

般找平行于两轴的直线）的距离相等。 ①SVAED?AD1S平行四边形ABCD 2OBEC②平行四边形的对角顶点到过对称中心的任意一条直线（一般找平行于两轴的直线）的距离相等。

16．平行四边形对角线平方的和等于四边平方的和：AC2?BD2?AB2?BC2?CD2?DA2 17．矩形一边上任意一等到对角线距离的和 =

长?宽

对角线18．矩形内任意一点到对角顶点距离的平方和相等。 如图：矩形ABCD内任意一点P，则有：

PA2?PC2?PB2?PD2

ADP19．矩形精典对折图。

如图：矩形ABCD沿对角线，BD对折，C点到了 E点，则一对全等（小直角三角形）一对相似，两 个等腰。例AE：BD=3：5则AB：BC=4：8=1：2 这是因为相似比为3：5，所以EF：FB=3：5， 因此ED=4（勾股）而AD=DF+FA=5+3=8！！

BCFADBC20．正方形垂等图。垂直?相等 横平竖直；改斜归正的辅助线方法。

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NFAGMDEBHC上下：2.04 左右：2.17

21．正方形三兄弟成面积图 = 中正方形之面积。 三个正方形，如图摆放：AN正好过E点。 技巧：AC∥EC∥FN（对角线平行：此题题眼） △ AGN的面积=△AGE的面积+△EGN的面积 △AGE的面积=△ECG的面积

△EGN的面积=△EGF的面积 ∴结论成立！ 22．两正方形垂直相等图。

如图，ABCD、CGFE是正方形： ① △DCG≌CBCE； ②BE⊥DG。

③BE=GD ④A、B、M、D四点共圆（双歪八）

ADEFMHNBCG条件：三个正方形，AN恰好过E点结论：三角形AGN的面积=正方形ECGF的面积AMDEMFB2CG ∠ADB＝∠AMB=∠AMD=45° △ADK∽△AMD（斜射影）AD?AK?AM

③若DM?ME?MA 则：BD=BG △BDG为等腰三角形。（∠GDC=∠DAM=∠DBM=∠MBG） 此时：MA=MB

④若MA=ME，也能推出③中的结论。

AED223，正方形内含半角（其中产生的两个双八字相似和

等腰直角三角形）——邻边相等的圆内接四边形

HGF内含半角图。

条件：正方形ABCD中，∠EBF=45° 结论：①EF=AE+FC AG2+KC2=HK2

②△DEF的周长=正方形周长的一半。 ③∠DCA=∠EBF=45°∴B、C、F、H

BKC 四点共圆（双八字）！！∠BHF=90° ∴△BHF为等腰直角三角形！！！ ④同上：∠DAC=∠EBF=45°B、K、E、A四点共圆（双八字）， ∠BKE=90°△BKE为等腰直角三角形！

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24．正方形内含半角模型的推广及等腰直角三角形内含半角图。

①正方形内含45°模型推广到圆内接四边形（对角互补的四边形），有一组邻边相

等，且相等的邻边的夹角内含半角。 条件：四边形ABCD中，BA=BC

1∠ABC＋∠D＝90°∠EBF=?ABC

2FCAEBD结论：EF=AE+CF （其余根据已推导）

②等腰直角三角形内含45°

条件：等腰直角三角形ABC，∠FBE=45°

2? EF2?AF2C EFAFCEBC③其他特殊的等腰三角形“顶角”内含半角图。（根据上述模型类比解决：用三角比找到相关边的关系）。

25．正方形互补型（互补型）： ①对称中心有直角：OE=OF ②直角顶点在对角线上：PB=PQ （图①图②两种情况都成立）

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③ 小结

26．正方形123成135度。

点E是正方形ABCD内的一点， 连接AE，BE，CE，将△ABE

绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．

若AE＝1，BE＝2，CE＝3，则∠BE′C＝__ 135__度．

27．相似模型：

⑴．正A、歪A；正八、歪八；正射影、歪射影；正K、歪K（一线三等角）。 射影图中：两直角边平方的比等于其在斜边上的射影的比！（细讲：自画图） ⑵．双八字（共圆图之一）。

条件：∠BAC＝∠BDC（同弦对等角）

①A③②④BCD结论：B、C、D、A四点共圆 三角形①∽三角形②

三角形③∽三角形④ （相交弦定理的逆定理：同样可得前面的结论） 其中AB、BC、CD、DA四条弦所对的四对圆周角相等。

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⑶．线束定理：两平行线被过一点的

三线所截得的四条“横线”

AOBCm对应成比例 —— 条件：直线 m∥n 结论：

ABBC 等比例 ?DEEFDEFn⑷．平行于一边的线段截得的图形（三角形、四边形）面积之间的关系。 条件：DE∥BC

结论：图形中“对应”线段的比，相关面积

DEA 的比，知一求它！烂熟于心！

⑸．三角形内叉叉型：知两比求其它比。

BE：EC、CD：DA、 AF：FE 、 BF：FD

BOCADF 知二求二（过已知比的节点做平行线）

⑹．四线六点型：过其中的三条线组成的被标记的一个三角形的一个顶点，做不过这个

顶点的直线的平行线（有两条），问题迎刃而解。

ABEC 技巧：过A、B、C中一点，做不过这点的直线

D 的平行线，问题就能得到解决！如过C点可做 AB或者DE的平行线！善于初纷繁复杂的图形 中找到这样的“模型”是关键。

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BEFC上下：2.04 左右：2.17

⑺．歪A：下面的四边形为圆内接四边形（歪八）：歪A生歪八，歪八补型得歪A。

条件：∠①＝∠②

结论：下面的四边形为圆内接四边形（歪八）：

D①EA歪A生歪八，歪八补型得歪A（对角互补的四边形 补型〖延长BD、CE相交于点A〗可得歪A）。

B②C28．解直角三角形；解斜三角形（双勾股）。

⑴．直角三角形：内高型；外高型；双高型（梯形）；单高型（直角梯形）。

口诀：角优先、多求边；造模型；设表列。

⑵．任意三角形：知三求三（三边；两角一边；两边及夹角）——尽量不破坏已知的边

和角（内高；外高）。

29．解三角形之：角优先，套模型：内高型；外高型；双高型；单高型（直角梯形）

（附加模型：坡度；坡角；斜率；仰角；府角；方向角——图略）

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内高外高单高双高上下：2.04 左右：2.17

30．手拉手模型：

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31．三平三交造平四（两对对角顶点横、纵坐标的和分别相等）。万能公式 —— 条件：平行四边形ABCD

A（xA，yA）?xA?xC?xB?xD 公式：?

y?y?y?yCBD?A 用中点或平移动两种思路都可推理 —

32．共圆图：

D（xD，yD）B（xB，yB）C（xC，yC）⑴．共边两等角（直角） —— 见27②“双八字”；“相交弦定理”的逆定理。 ⑵．对角互补（对角有两直角）；外角等于内对角。图略。等腰梯形四顶点永远共圆。 33．垂径图；弦切图；双切图；切割图；双割图；相交弦定理（对顶三角形相似）；平

行弦；圆内共点等弦所成角被过这点的直径（半径）平分。

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相交弦+对顶三角形相似BDEGF垂径图双切图平行弦图弦切图+切割图双割图A共点等弦图C

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34．等腰直角三角形斜边上的中点为顶点的直角构造全等。

如上图所示——

条件：AB=AC ∠BAC=90°，D为BC之中点，∠EDF=90°

1结论：△ADF≌△BDE S四边形AEDF?SVABC △EDF为等腰直角三角形

2 E、D、F、A四点共圆 DE2?DF2?DG?DA AE+AF=AB=AC

1 AD+AE+AF=VABC的周长

235．相似+公共边比例中项（平方：共边相似+勾股定理）。

37．方程思想设表列；几何勿忘角优先；以角定边找关系；比例已知用负元。 38．两边分别平行或相等的两个角相等或互补。

39．中点四边形口诀：对垂为矩；对等为菱。菱矩互变；任四为平。平正自变。 40．正A面积大比法（知一比求全比）—— 见27之④

42．三角形内十字叉：知二比求全比（六个比知二求四） ——见27之⑤

43．捆绑旋转大法；矩形大法（横平竖直大法）；改斜归正法（过直角三角形的各顶点）。 44．平行四边形之三定一动破解大法（对角顶点横、纵坐标之和不变）。 45．平行四边形之两定两动破解决大法（利用各种全等） 注意：44、45已经合并为一种方法（方程法） 46．角分线、等腰、平行知二推一。

① AC平分?BAD ② AB=CB ③ BC∥AD “二推一” ⊕⊕→⊕

47．用数轴法确定多动点的临界点。找拐点—定对应参数值—分段—确定分类范围。 1148．等腰直角三角形的面积=斜边2?直角边2

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49．动点问题的解题套路：

⑴．相似三角形的存在性：调包计。

⑵．等腰三角形的存在性（两点间距离公式；余弦大法；几何法）

⑶．直角三角形存在性：射逆；勾逆；斜中逆；一线三直角之逆；直线垂直交轨大法。 ⑷．面积的函数关系及最值：正弦大法；铅垂线法；拆放法；相似比转化法。 ⑸．将军饮马问题：线段和最小、差最大；动点变定线段怎么办；两路一村；两路两村 ⑹．平行四边形的存在性：三定一动（相对顶点横、纵坐标和相等）；两动两定（按照

定点之间线段分别做对角线及边分类：平行四边形相关的全等性质求坐标）。 最终用一个公式全部搞定。 ⑺．其它问题：化归大法。

⑻．几何法（思路难，计算简）；代数法（思路简，计算难）；代几混合法（取长补段更

优越）

50．圆内接四边形（对角互补）的补形大法：补形构造大A型（歪A）全等三角形。 （特别注意：双勾股的用法）。

51．被“误解”和“冤枉”的SSA：两边和一边的对角相等，且第三边所对的角不互补，

则这两个三角形全等。

C．函数篇

51．平面内两点间的距离：

⑴横平（平行于x轴的直线上两点间的距离）=|横坐标之差| = 右-左 ⑵竖直（平行于y轴的直线上两点间的距离）=|纵坐标之差| = 上-下 ⑶平面内任意两点间的距离：开方式（求距离）；平方式（列方程）。 ⑷横纵坐标的绝对值：点到两轴的距离。 52．中点坐标公式：横和取半；纵和取半。

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53．函数图象平移规律：上加下减；左加有减。

54．交轨大法：交点坐标?方程组的解 （代数法出发点）。

设横表纵,坐距互变???????几何（图形） 55．代数（函数）

56．函数与图象的对应关系：两数对一点；一点对两距。一式对一线，一线对一式。 57．已知一点和一条直线，求这点关于这条直线的对称点的坐标（垂直定K，点K

定关系式，交轨大法求垂足，中点坐标公式得结论。

58．求点到直线的距离：垂直定K，点K定关系式，交轨大法求垂足，两点间距离

公式得结论。

59．一次函数y=kx+b（k?0）：

⑴．三点：与两轴的两个交点；图象上的动点（m，km+b）

⑵．一K三比一角：|k|=坡度=坡角的正切（以k定比、定角；以比、以角定k）；

k的特殊求法：竖：横；

y2?y1；横竖大法秒杀关系式；根据一次函数的关系式x2?x1确定一个三边的比确定的基本三角形。

k??1;?3;?3时产生的特殊角.（45 — 135；60 — 120；30 — 150）。 3⑶．两直线平行?k相等；两直线垂直?k的 积为-1。

⑷．两条直线（一次颔首）关于x轴（含平行于x轴的直线对称）或y轴（（含平行

于y轴的直线对称），则：其斜率的和为零（互为相反数）。 ⑷最值的确定：关系式+图象+自变量取值范围。 60．二次函数：y?ax2?bx?c(a?0)解题模型及套路

⑴．二次函数的信息题的破解套路：系数的意义+不等式+等式+判别式+根与系数的

关系+最值的意义+123特殊值+三特值定关系式法。 ⑵．二次函数比大小：远近法（对称轴大法）。

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⑶．一式三型；一轴三法；五定一动：五个死点、一个活点。

⑷．针对活点：设横表纵，一线冲天，横平竖直，坐距互变 —— 改斜归正也。 ⑸．解题套路（四列）：

列点——求定点，设动点，找关系。 列线——改斜归正，以点定线定式。

列角——以式（直线：一次函数的关系式中的K确定对应的角及其基本三角形

中三边的比和三角比）。

列式——方程（交轨大法）求解；函数关系式（对应的性质）求解。 ⑺．三大函数最值的求法。其中二次函数分三种情况。

61．轨迹的思想：确定动点运动轨迹的形状：设动点的坐标——找二者之间的关系

——列出二元一次方程——化为函数——一式定型。

62．解提策略篇：确定的，一定是可解的！抓住不变量和特殊点（特殊性+特事特办）！

找到破题点（题眼）！化归法；交轨大法；矩形大法；横平竖直；改斜归正！做数学题就蛇玩条件的：把题中的每个条件充分利用一遍基本就有思路了！ 63．三交法确定函数关系式。若函数图象与两轴有三个交点，且交点坐标已知，则

用韦达定理列方程求a、b、c较容易。

AEB CT （t，f（t）） M（m，f（m））GFD N （n，f（n））

AB∥x轴；DC∥y轴；G为EF的中点两点间距离公式？中点坐标公式？？19

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64．应用举例 —— 共点等角（等角套）；等线套的应用：

16．如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，以AE为边作正方形AEFG． （1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE； （2）连接FC，求证：∠FCN=45°；

（3）请问在AB边上是否存在一点Q，使得四边形DQEF是平行四边形？若存在，请证明；若不存在，请说明理由．

考点： 专题： 分析： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定． 证明题；开放型． （1）根据同角的余角相等得∠DAG=∠BAE，再根据“SAS”证得△ADG≌△ABE； （2）过F作BN的垂线，设垂足为H，首先证△ABE、△EHF全等，然后得AB=EH，BE=FH；然后根据AB=BC=EH，即BE+EC=EC+CH， 得到CH=BE=FH，即可得证． （3）在AB上取AQ=BE，连接QD，首先证△DAQ、△ABE、△ADG三个三角形全等，易证得AG、QD平行且相等，又由于AG、EF平行且相等，所以QD、EF平行且相等，即可得证． 证明：（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形， ∴DA=BA，EA=GA，∴∠BAD=∠EAG=90°，∴∠DAG=∠BAE，∴△ADG≌△ABE； 解答： （2）过F作BN的垂线，设垂足为H，∵∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠HEF， ∵AE=EF，∴△ABE≌△EHF，∴AB=EH，BE=FH， ∴AB=BC=EH，∴BE+EC=EC+CH，∴CH=BE=FH，∴∠FCN=45°； （3）在AB上取AQ=BE，连接QD， ∵AB=AD，∴△DAQ≌△ABE， ∵△ABE≌△EHF， ∴△DAQ≌△ABE≌△ADG，∴∠GAD=∠ADQ， ∴AG、QD平行且相等， 又∵AG、EF平行且相等，∴QD、EF平行且相等， ∴四边形DQEF是平行四边形．∴在AB边上存在一点Q，使得四边形DQEF是平行四边形．

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附一：初中几何常见辅助线的添加技巧和方法

★说明：在几何的教学中，添加辅助线既是难点也是重点，如果能帮助学生梳理常规辅助线的添法，再配上经典的试题，往往就能让学生形成正确的添线“直觉”，体会到数学解题中的“对立”和“统一”，提高解题效率。

一、添加辅助线的方法

1. 注意题目中背景图案的处理

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2. 注意题目中特征条件的处理

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3. 注意题目中所求结论的处理

①线段和差——截长补短或面积法

注意：截的端点不同、线段不同，补的方向不同、线段不同，方法很多，注意筛选出能形成基本图形解题的方法。与高有关的线段，可借助面积转化出线段之间的等量关系。

② 倍分问题——加倍或折半

注意：方法很多，注意筛选出能形成基本图形解题的方法。 4. 注意图形运动的处理 ●旋转：

①正确作图（关注旋转中心、旋转图形、旋转方向、旋转角度，有时方向和角度条件隐含在落点条件之中，反复审题提炼。

②旋转全等，相等边、角条件均可转化，注意筛选每一组等边、等角条件后结合已知生成新的基本图形。

③利用旋转角相等、对称点到旋转中心的距离相等，旋转后易形成相似的等腰三角形。 ●翻折：

①正确作图（对称轴垂直平分对称点的连线段，可作垂直、截相等）

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②翻折全等，等边、角条件均可转化，注意筛选每一组等边、等角条件后结合已知生成新的基本图形。

③翻折对称性，对称轴垂直平分对称点的连线段，垂直条件易形成直角三角形，平分条件可转化出线段之间的等量关系，联中垂线上的点易得等腰三角形。 ④特殊情况：翻折后常隐有角平分线的条件，遇上平行，易形成等腰三角形。 二、添线注意点

1．题目中给定标准尺寸的重新画图，借助标准图形分析问题、寻求突破；题目中没有给定标准尺寸的用原图，不能准确定位图形的可先尝试着画出大致图形，根据已知再作不断的调整。

2．几何问题就是研究所呈现每个图形的边、角、边角所具有的特征，不要为了添线而添线，添线后要把所添加的辅助线回归整体图形，力争筛理出每个图形，继而叠加组合后生成新的结论解决问题。

三、添加辅助线的“一个中心，四个基本点”口诀

●一个中心 --- 基本图形

●四个基本点：背景图形、条件处理、结论处理、图形运动诠释了如何添加辅助线，基本上概括了初中阶段的所有常规辅助线的添法，若能将其“自然”地应用到教学和解题当中，必将“所向披靡”。

四、添加辅助线的口诀

详尽审题标注化 字母符号改造化 已知未知联想化 分散条件集中化 残缺图形补全化 基本图形关联化 思路受阻调整化 数据处理方程化

五、辅助线常见作法：一平二垂三连四延五截六转七倍八补。改斜归正最常见！ 六、学几何： （注：倍 — 倍长中线；补 — 补全图形） 1、三种语言的转化：文字（自然语言）；符号语言；图形语言。 2、角优先，定边关，改条件，变结论，找接口，套模型。

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附二：初中数学历史人物简介

■勾股树—希腊哲学家、数学家：毕达哥拉斯 ■韦达定理—法国数学家：费朗索瓦·韦达 ■费马点—法国业余数学家：费马。 ■总统定理—美国十二任总统：伽菲尔德。 ■梅涅劳斯定理—希腊数学家。

■赛瓦定理—意大利水利工程师，数学家。 附三：补充模型

1．费马点：三角形的三线五心一点： 三线：高线；中线；角平分线。

五心：重心；内心；外心；垂心；旁心。 一点：费马点。

注：旁心，旁切圆的圆心，有三个。与一边和另外两边的延长线相切的圆

叫做三角形的旁切圆。如图所示：

如图：旁切圆示例

? 费马点的定义：三角形三在平面内到三角形三个顶点的距离的和最小小的点叫做此三角形的费马点。

? 费马点的位置：若三角形的三个内角都小于120°则费马点在三角形内，且该点与三个顶点的连线必成三个120°角。若三角形有一个内角大于或者等于120°角，此时的费马点就是这个点的顶点。（费马点为该三角形最大角的顶点—）

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A设三角形的三内角都小于120°，那么如图：若P点为三角形ABC的费马点，则∠APB=∠BPC=∠APC=120°反之：若∠APB=∠BPC=∠APC=120°则：若P点为三角形ABC的费马点。即PA+PB+PC此时最小。PBC

? 费马点的确定几相关结论：如下图：P点即为三角形的费马点！设三角形的三个内角都小于120°，则以三角形的三边为边分别向外做三个等边三角形，每个等边三角形的“外顶点”与原三角形相对的顶点的连线的交点即为三角形的费马点。如下图所示的G点即为所谓的费马点。

DDBBEEPPAAFCC任意△任意△ABC(ABC(内角都小于内角都小于120120°，△°，△ABDABD与△与△BCEBCE为等边三角形。为等边三角形。则：则：AE=DCAE=DC，，∠∠DPA= DPA= ∠∠EPC=EPC=∠∠APF=APF=∠∠FPC=FPC=∠∠EPB=EPB=∠∠DPB=60DPB=60°°∠∠CPA =CPA =∠∠CPB=CPB=∠∠APB=120APB=120°°

? 推论：若△ABC中有一个角大于120°，我们仿制上述方法做三个等边三角形，则同样能在三角形外得到类似的三个120°角和六个60°角。所不同的是，此时的费马点是C点而非P点。

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PCAB

2．三角形斜中定理：

A如图：若∠ACB=90°则：AD、DBCD中两等变三等！所谓的直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半！！D若AD=DB=DC 则∠ACB=90°CB

3．勾股树：如图所示，以一个基本正方形的一边为斜边做直角三角形，再以直角三角形的两直角边为边做正方形，再以正方形的边为斜边做和上述直角三角形相似的直角三角形------以此类推。得到如下的狗股树。

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⑴正方形的个数：第一轮，2个；第二轮4个；---似n轮显然是2n个。 ⑵每轮得到的所有正方形的面积的和等于基本正方形的面积。

⑶勾股树的形状由第一个直角三角形的形状（两直角边的比）确定。如果第一个三角形为等腰直角三角形，则得到的勾股树“最美”，如图：

例：如图，这是一棵奇妙的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形M的边长是9cm，则正方形A、B、C、D的面积和是多少？ （当然是81平方厘米）

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BAEFDCM

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4．梅涅劳斯定理（管三点共线）：

定理1： 若直线 l 不经过△ABC的顶点，并且与△ABC的三边BC、CA、

AB或它们的延长线分别交于P、Q、R，则

ABPCQAR???1. PCQARBRQPBC

定理2：设P、Q、R分别是△ABC的三边BC、CA、AB或它们的延长线上的

三点，并且P、Q、R三点中，位于△ABC边上的点的个数为0或2，若

BPCQAR???1，则P、Q、R三点共线. PCQARB赛瓦定理（管三线共点）：在△ABC内任取一点O，直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则

BDCEAF???1. （其逆定理也成立） DCEAFBAFOEBCD

5．学习四边形的3-1-5： 三个要素：定义；性质；判定 一张整容路线图（定义+对角线）

五看：一看边；二看角；三看对角线；四看对称性；五看周面。 6．学习几何的三要素，六看：

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三要素：定义；性质；判定。

六看：一边；二角；三线；四对；五周；六面。（注：对为对称性） 7．75°15°三角函数值推导图——

如图。直角三角形ABC中，∠C是直角， ∠A=15°，∠ABC=75°

推导：做AB的垂直平分线EF，分别交 AB、AC于E、F，（把A点沿EF折叠， 使A点与B点重合），显然△BCF为3-6-9 三角形，可设BC=1（或者a） 则△ABC三边可求，从而得到所求。 结论：BC：AC：AB=1:(2?3):(2?6) Sin15°=

6?26?2cos15°=tan15°=2?3 44AFE6?26?2Sin75°=cos75°=tan75°=2?3

44CB8．分解因式的双十字相乘法（主元法）

以例说法：例。分解因式：2x2?7xy?22y2?5x?35y?3

①定主元，降幂排列—— =2x2?(7y?5)x?(22y2?35y?3)（副元组合分解） ②对副元十字相乘法—— =2x2?(7y?5)x?(11y?1)(2y?3) ③对主元十字相乘法—— =（2x-11y+1）（x+2y-3） 9．中点常用模型构造：

①中点——连直角顶点——斜中定理。

②中点——连两中点——中位线定理。另外一个中点需要去“做”。 ③中点——倍长中线——构造全等。

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④中点——做中垂直线（对折或折叠）——构造对称图形（全等） 10．等腰三角形存在性常用公式：底角的余弦= 11．如图所示——

底边的一半 腰AOEBP如图：△ABC为圆内接等边三角形，P为BC弧上任意一点，则：PA=PB+PC恒成立显然，PB+PC的最大值就是PA的最大值，也就是圆的直径。证明思路：截长补短证全等。例如：在PA上截取PEC=PC，然后证明AE=PB，可以通过证明△AEC≌△BPC实现。也可延长BP至F，使PF=PC，从而证明AP=BF。

两村一路变态：两路一村+两路两村MMPA三角形周长最短APQBN四边形周长最短B常考题型：两条马路垂直（坐标轴和二次函数对称轴）N如图：两条交叉的马路中有一村庄P，在两条马路上修各修一个加油站A、B，加油站选择在什么位置，沿直线绕P、A、B一圈路程最短（△PAB周长最短）诀曰：一对二连三交！！

如图：两条交叉的马路中有两村庄P、Q，在两条马路上各修一个加油站A、B，加油站选择在什么地方，沿直线绕P、Q、B、A一圈路程最短（四边形PQBAD的周长最短）。诀曰：一对二连三交！！

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12．两直线夹角为β，斜率分别k1、k2，则有：tanβ=|k1?k2| 1?k1k213.含参动点坐标轨迹方程（解析式）的确定：设元消参，轨迹自现。如一动点的坐标为（a+1，5a），求该点所满足的关系式：设a+1为x，5a为y，消去a便得到x与y的函数关系式，也就是动点的轨迹方程。

14．平行四边形的面积公式：s平行四边形?absin? (a、b为边长，?为平行四边形中的锐角)。菱形的面积为：a2sin? (a为边长，?为菱形中的锐角)。 15．圆中的“两径”（s为三角形的面积）：

2S

a?b?cabc三角形外接圆的半径：R =

4s三角形内切圆的半径：r =

16．两大倒角模型

掌握两大倒角模型——八字倒角：一等三等飞镖倒角：一角三和21

17．反比函数的考点与常见模型

一、一个定义，三种形式，两类题型。 1、定义：K≠0

2、三种形式：一般式（商式）；积式；幂式。 3、两类题型：判断是非；以形定参。

二、两个分支、增减各表；三个非零；一个无限；三类题型。

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1、增减性（三种坡度：平、凹、凸）。注意：每个分支。 2、无零函数：

3、分类讨论： x＞0 x＜0

4、三类题型：函数关系与增减性（注意永正数）；三横三纵比大小；与一次函数同窗选

择图象。

三、对称性：双对称的广泛应用（与平行四边形的中心对称性的综合应用）。 四、K与面积

1、反比例矩形。2、反比例三角形。3、反比例平行四边形。4、反比例大三

角形。5、两正一反求面积；6、一矩两比一平行。7、两点两垂造平行。8、一正一反两全等。---

五、反比例与一次函数： 1、交点的判定。 2、交点的求法。 3．比大小

18．海涛定理

19．双本质线段（ak线）

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20．常见几何模型示意图

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Ⅰ.对角互补模型

名称图形语言AD四边形中的对角互补模型条件结论套路①∠ABC＝∠ADC=90°②BD平分∠ABC①AD=CD②AB+BC=√2BD③S四边形ABCD?1BD22BC①横平竖直改斜归正②等角套；对角互补的四边形（圆内接四边形）外角等于内对角。③角平分线→对折④邻边相等→旋转拼脚拓展延升●把上述模型中的条件改为“四边形ABCD的对角互补，且BD平分∠ABC”，上述结论最只有①仍然成立。事实上，在对角互补（圆内接四边形）的四边形中，角平分线与一组邻边相等是互逆的。●若上述模型中的ABC＝120°，∠ADC=60°，则①AD=CD ②AB+BC=BD ③S四边形ABCD?3BD24●我们还可以将上述模型及方法、技巧拓展到一下图形中，得到新的结论——详见《于新华中考数学16讲》24—25页。 Ⅱ.”十字架”模型

名称图形语言AEFBGCHD正方形（矩形、直角三角形）中的“十字架”模型条件①正方形ABCD②E、F、G、H分别在正方形的四条边上③EF⊥GH结论①EF=GH则EF⊥GHEF⊥GH则EF=GH美其名曰“垂等图”。套路①横平竖直改斜归正②平移化归（E到A、G到B。③垂直倒角。拓展延升①将上述模型条件中的“正方形”改为矩形，结论如何变化？（EF：GH=AB：BC）②我们还可将上述模型推广到“等腰直角三角形”和“任意直角三角形”中，利用图形补全法（将直角三B角形补全为正方形或者矩形），利用上述结论解决问题。D③特例：详见《于新华中考数学16讲》40页的1. 2. 两题。化归示意图——△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，AD⊥BE，则可利用上述模型构图。C事实上易得：AE：EC=AB：FC=BC：BDAE④任意三角形中出现“十字架”也可类比解决。F

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Ⅲ.内含半角模型 Ⅳ.手拉手(双子)模型 Ⅴ.一线三等角模型 Ⅵ.“K”字模型 Ⅶ.一线两等边模型

Ⅷ.任意三角形两边造等边（正方形）模型 Ⅸ.等腰直角三角形斜中挂直角模型 Ⅹ. Ⅺ. Ⅻ.

21．四法确定二次函数背景下的最大面积：割补法；宽高法；切线法；三角函

数法。

经典例题：如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点。

(1)求该抛物线的解析式；

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(2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由。

解答：

(1)抛物线解析式为y＝－x2－2x＋3； (2)Q(－1，2)；

下面着重探讨求第(3)小题中面积最大值的四种方法．

方法1：割补法

几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割，变成有利于表示面积的图形。 方法一：

如图3，设P点（x，－x2－2x＋3）(－3

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方法二：

如图4，设P点(x，－x2－2x＋3)(－3

下略 ——————

方法2：“铅垂高，水平宽”面积法

如图5，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：S△ABC＝1/2ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。

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根据上述方法，本题解答如下：

解：如图6，作PE⊥x轴于点E，交BC于点F．

设P点（x，－x2－2x＋3）（－3

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∴点P坐标为（－3/2，15/4）

方法3：切线法

若要使△PBC的面积最大，只需使BC上的高最大．过点P作BC的平行线l，当直线l与抛物线有唯一交点(即点P)时，BC上的高最大，此时△PBC的面积最大，于是，得到下面的切线法。

解：如图7，直线BC的解析式是y＝x＋3，过点P作BC的平行线l，从而可设直线l的解析式为：y＝x＋b．

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方法4：三角函数法

解：如图8，作PE⊥x轴交于点E，交BC于点F，作PM⊥BC于点M．

设P点（x，－x2－2x＋3）（－3

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22．半倍角模型

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23．21种几何辅助线作法总结借鉴

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