高中数学数列专题(各地高考-典例)

数列典例

数列的通项求法：

1(2009湖北卷理)

an

,当an为偶数时，

已知数列 an 满足：a1＝m（m为正整数），an 1 2若a6＝1，则m

3an 1,当an为奇数时。

所有可能的取值为__________。.【答案】4 5 32

a1amm为偶, 故a2 a3 2 2224

mmmm

1 m 32 ①当仍为偶数时，a4 a6 故

832324

3

m 1m3②当为奇数时，a4 3a3 1 m 1 a6

444

3

m 1故 1得m=4。

4

3m 1

（2）若a1 m为奇数，则a2 3a1 1 3m 1为偶数，故a3 必为偶数

2

3m 13m 1

a6 ，所以=1可得m=5

1616

【解析】（1）若a1 m为偶数，则

2（2010苏锡常三模）

数列{an}满足a1＝1，

11

1，则a10＝ ▲ ．

1 an 11 an

答案： 17

19

3（2010南通三模）

若数列 an 有一个形如an Asin( n ) B的通项公式，其中A、B、 、 均为实数，且

A 0， 0 ，则an .（只要写出一个通项公式即可）

2

答案：2πn π 1

4（2010苏北四市二模）

已知数列 an 的各项均为正数，若对于任意的正整数p,q总有ap q ap aq，且a8 16，则a10 ▲ .

答案32；

5（2010苏北四市一模）

在数列{an}中，已知a1 2,a2 3，当n 2时，an 1是an an 1的个位数，

则a2010 ．4；

6（2010常州一模）

已知等比数列 an 的公比q 0，若a2 3,a2 a3 a4 21，则a3 a4 a5 7（2009陕西卷文）

1’a2 2,an＋2＝已知数列 an}满足， a1＝

an an 1

,n N*. 2

令bn an 1 an，证明：{bn}是等比数列；

(Ⅱ)求 an}的通项公式。

8（2008江西卷5）

1

在数列{an}中，a1 2， an 1 an ln(1 )，则an n

9（四川卷16）

设数列 an 中，a1 2,an 1 an n 1，则通项an ______

n n 1

1_____。 2

10

以数列{an}的任意相邻两项为坐标的点Pn(an,an 1)(n N )均在一次函数

y 2x k,(k 0)的图象上，数列{bn}满足条件：bn an 1 an(n N )，

⑴求证：数列{bn}是等比数列；

⑵设数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若S6 T4，S5 9，求k的值．

11

.设 an 为等比数列，Tn na1 (n 1)a2 2an 1 an，已知T1 1，T2 4。

（Ⅰ）求数列 an 的首项和通项公式； （Ⅱ）求数列 Tn 的通项公式。 12

设函数

f(x) a1 a2x a3x2 anxn 1，f(0)

1

，数列{an}满足2

f(1) n2an(n N*)，则数列{an}的通项an等于1

n(n 113

数列 an 的前n项和为Sn,a1 1,an 1 2Sn(n N*)。 （1） 求数列 an 的通项an； （2） 求数列 nan 的前n项和Tn。

14

2

若数列an的通项公式为an 5

5

2n 2

2 4

5

n 1

(n N )，an的最大值为第x项，最小项

为第y项，则x+y等于

数列的前n项和求法：

公式法

1（2010南京二模）

等比数列 an 的公比q﹥0，已知a1 1 an 1 am 1 6am，则 an 的前四项和是

2.(2009陕西卷理)

设曲线y x则a1 a2 答案：-2

n 1

(n N*)在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an lgxn，

a99的值为

3（2009陕西卷文）

设曲线y x

n 1

(n N*)在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则x1 x2 xn

的值为

1

n 1

an

n 1

4对正数n，设曲线y xn(1 x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列{

的前n项和的公式是Sn=______________

5

当x＞1，g x 表示把x“四舍五入”到个位的近似值，如

g

0.48 =0,g

=1,g 2.76 =3,g 4 =4,

,当n为正整数时，集

合

1Mn k|g

2

n,k N

中所有元素之和为Sn，则S5

周期法

4.已知数列{an}满足a1 2,an 1

1 an

(n N*),则连乘积a1a2a3 a2009a2010的值为1 an

2（2010苏北四市三模）

在数列 an 中，若对任意的n均有an an 1 an 2为定值（n Na7 2,a9 3,a98 4，则此数列 an 的前100项的和S100 .299

），且

分组求和 1已知数列 x 的首项x

n

n

，通项（，且x1,x4,x5成 3n N,p,q为常数）x 2p nq1n

等差数列，求： （Ⅰ）p,q的值； （Ⅱ）数列 xn 的前n项的和Sn的公式。

an与sn的关系

已

知

数

列

{an},{bn}

的前n项和分别为

An,Bn,且A1000 5，B1000 402，记Cn anBn bnAn anbn(n N*),则数列{cn}的

前1000项的和为 2010

拆项法

.已知二次函数y f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f'(x) 6x 2，数列{an}的前n项和为Sn，点(nS,()nnN )(Ⅱ)设bn

均在函数y f(x)的图像上。 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式；

m3

,Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn 对所有n N都成立的最

20anan 1

小正整数m；

数列的单调性问题 1（2010泰州一模）

通项公式为an an2 n的数列 an ，若满足a1 a2 a3 a4 a5，且an an 1对n 8恒成立，则实数a的取值范围是______▲_______．( ,

1

91) 17

2（2010苏北四市一模）

已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和．

（1）若S4，S10，S7成等差数列，证明a1，a7，a4也成等差数列； （2）设S3

321，S6 ，bn an n2，若数列{bn}是单调递减数列，求实数 的取216

值范围．

解：设数列{an}的公比为q，

因为S4，S10，S7成等差数列，所以q 1，且2S10 S4 S7．

2a11 q10a11 q4a11 q7

所以，

1 q1 q1 q

因为q 0，所以1 q3 2q6． 4分 所以a1 a1q3 2a1q6，即a1 a4 2a7．

所以a1,a7,a4也成等差数列． 6分 （2）因为S3

321，S6 ， 216

a11 q33

所以 ， ①

1 q2

a11 q621

， ②

1 q16

由② ①，得1 q

3

71

，所以q ，代入①，得a1 2． 82

， 8分

n 1

1

所以an 2

2

n 1

1

又因为bn an n，所以bn 2

2

2

*

n2，

由题意可知对任意n N，数列{bn}单调递减， 所以bn 1

1 1 2

bn，即2 n 1 2

2 2

n

nn 1

n2，

1 *

即6 2n 1对任意n N恒成立， 10分

2

(2n 1)2n(2n 1)2n

当n是奇数时， ，当n 1时， 取得最大值－１，

66

所以 1； 12分

10(2n 1)2n(2n 1)2n

当n是偶数时， ，当n 2时，取得最小值，

366

所以

10

． 3

1010

，即实数 的取值范围是( 1,)． 14分 33

综上可知， 1

新型数列的研究

1（2010苏北四市二模）

设Sn为数列 an 的前n项和，若列”． （1）若数列2列”；

（2）若数列 cn 是首项为c1，公差为d(d 0)的等差数列，且数列 cn 是“和等比数列”， 试探究d与c1之间的等量关系 解：因为数列2

n

S2n*

（n N）是非零常数，则称该数列为“和等比数Sn

n

b 是首项为2，公比为4的等比数列，试判断数列 b 是否为“和等比数

n

b 是首项为2，公比为4的等比数列，所以2b 2 4

n

n 1

22n 1，

因此bn 2n 1． 分 设数列 bn 的前n项和为Tn，则Tn n2，T2n 4n2，所以

T2n

4， Tn

因此数列 bn 为“和等比数列”． 6分

R2n

k(k 0)， Rn

n(n 1)2n(2n 1)

d，R2n 2nc1 d， 因为数列 cn 是等差数列，所以Rn nc1 22

2n(2n 1)2nc d1R2n所以 k对于n N*都成立，

n(n 1)Rn

nc1 d

2

化简得，(k 4)dn (k 2)(2c1 d) 0， 10分

(2) 设数列 cn 的前n项和为Rn，且 则

(k 4)d 0,

，因为d 0，所以k 4,d 2c1，

(k 2)(2c1 d) 0

因此d与c1之间的等量关系为d 2c1． 14分

2（北京2009高考）

设数列{an}的通项公式为an pn q(n N ,P 0)。数列{bn}定义如下：对于正整数m，

bm是使得不等式an m成立的所有n中的最小值。

（Ⅰ）若p

11

,q ，求b3； 23

（Ⅱ）若p 2,q 1，求数列{bm}的前2m项和公式；

（Ⅲ）是否存在p和q，使得bm 3m 2(m N )？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由。

【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、 分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题.

（Ⅰ）由题意，得an ∴

111120n ，解n 3，得n .23233

11

n 3成立的所有n中的最小整数为7，即b3 7. 23

（Ⅱ）由题意，得an 2n 1， 对于正整数，由an m，得n

m 1

. 2

根据bm的定义可知

**

当m 2k 1时，bm kk N；当m 2k时，bm k 1k N.

∴b1 b2

b2m b1 b3 b2m 1 b2 b4

m 2 3 4

b2m

m 1

1 2 3

m m 1 m m 3

m2 2m.

22

（Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式pn q m及p 0得n

m q

. p

∵bm 3m 2(m N),根据bm的定义可知，对于任意的正整数m 都有

3m 1

m q

3m 2，即 2p q 3p 1 m p q对任意的正整数m都成立. p

p q2p q

（或m ）， 3p 13p 1

当3p 1 0（或3p 1 0）时，得m 这与上述结论矛盾！

当3p 1 0，即p

12121时，得 q 0 q，解得 q . 33333

∴ 存在p和q，使得bm 3m 2(m N )；

p和q的取值范围分别是p

121， q 333

3

设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合：①②an M.其中n N*, M是与n无关的常数．

(1)若{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，a3=4，S3=18，试探究{Sn}与集合W之间的关系；

(2)设数{bn}的通项为bn 5n 2n,且{bn} W，求M的取值范围；(4分)

an an 2

an 1； 2

4

定义：在数列{an}中，若an2－an－12＝p，（n≥2，n∈N*，p为常数），则称{an}为“等方差数

列”．下列是对“等方差数列”的有关判断： ①若{an}是“等方差数列”，则数列{an2}是等差数列； ②{(－1)n}是“等方差数列”； ③若{an}是“等方差数列”，则数列{akn}（k∈N*，k为常数）也是“等方差数列”； ④若{an}既是“等方差数列”，又是等差数列，则该数列是常数数列． 其中判断正确的序号是 ．

5.（2009北京理） 已知数集A a1,a2,

i,j 1 i j n ，aiaj与

ajai

an 1 a1 a2 an,n 2 具有性质P；对任意的

两数中至少有一个属于A.

（Ⅰ）分别判断数集 1,3,4 与 1,2,3,6 是否具有性质P，并说明理由；

（Ⅱ）证明：a1 1，且

a1 a2 an

an； 1 1

a1 1 a2 an

（Ⅲ）证明：当n 5时，a1,a2,a3,a4,a5成等比数列.

【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分

分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.

（Ⅰ）由于3 4与

4

均不属于数集 1,3,4 ，∴该数集不具有性质P. 3

由于1 2,1 3,1 6,2 3,,, ∴该数集具有性质P. （Ⅱ）∵A a1,a2,

由于1 a1 a2 从而1

661236

都属于数集 1,2,3,6 ，

231236

an 具有性质P，∴anan与

an

中至少有一个属于A， an

an，∴anan an，故anan A.

an

A，∴a1 1. an

∵1 a1 a2

由A具有性质P可知

an， ∴akan an，故akan A k 2,3,

an

A k 1,2,3,ak

anan

， a2a1

ana

an 1,n an， a2a1anan

a1 a2 a2a1

,n .

,n .

又∵

ana n anan 1

∴

ana

1,n a2,anan 1

ana

n anan 1

从而

an 1 an，

∴

a1 a2 an

an. 1 1 1

a1 a2 an

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当n 5时，有

a5a2

， a2,5 a3，即a5 a2a4 a3

a4a3

∵1 a1 a2 a5，∴a3a4 a2a4 a5，∴a3a4 A，

aaa4a2

，得3 4 A，且1 3 a2，∴ Aa2a4 a3

a3a2a2a3

由A具有性质P可知

a4a3

a2， a3a2

∴

a5a4a3a2

a2，即a1,a2,a3,a4,a5是首项为1，公比为a2成等比数a4a3a2a1

列.

.

等差数列

等差数列及性质 1

设x R,记不超过x的最大整数为[x],令{x}=x-[x]，则{

1 1 1

}，[], 222

A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列

2（2008广东卷4）

记等差数列的前n项和为Sn，若S2 4,S4 20，则该数列的公差d （ B A、2 B、3 C、6 D、7

3（2009辽宁高考）

已知 an 为等差数列，且a7-2a4=-1, a3=0,则公差

4（2009福建卷理）

等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3 =6，a1=4， 则公差d等于

5（2009辽宁卷文）

已知 an 为等差数列，且a7－2a4＝－1, a3＝0,则公差d＝ d＝－

1

2

6

已知等差数列{an}中，a7 a9 16,a4 1，求a12的值7（2008海南卷13）

已知{an}为等差数列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，则a5 = ____________15

8（2009湖南卷文）

设Sn是等差数列 an 的前n项和，已知a2 3，a6 11，则S7等于）

9（2010南通三模）

已知数列 an 为等差数列，若

a5

1，则数列 an的最小项是第项. a6

10（2009全国卷Ⅱ理）

设等差数列 an 的前n项和为Sn，若a5 5a3则

S9

9 . S5

解：

an 为等差数列，

S99a5

9 S55a3

11（2009已知

安徽高考）

，则

等于

为等差数列，

12（2010扬州一模）

等差数列{an}中，若a1 a2 4, a9 a10 36， 则S10 100

13（2009全国高考）

设等差数列{an}的前n项和为Sn。若S9 72，则a2 a4 a9 _______________.

14

.在等差数列{an}中，a2,a16是方程x 6x 1 0的两根，则a5 a6 a9 a12 a13

2

15

知数列 an 为等差数列，且a1 a7 a13 4 ，则tan(a2 a12) ________．

16（2008陕西卷4）

已知{an}是等差数列，则该数列前10项和S10等于（ B ） a7 a8 28，a1 a2 4，

A．64

B．100

C．110

D．120

17已知a

n

3n N* ，数列 an 的前n项和为Sn，则使Sn 0的n的最小值是 18（2008北京卷7）

已知等差数列 an 中，a2 6，a5 15，若bn a2n，则数列 bn 的前5项和等于

19（2008安徽卷15）

5

在数列{an}在中，an 4n ，a1 a2

2

an an2 bn，n N*,其中a,b为常

数，则ab －1

等差数列先证后求的问题

可化成的等差数列

1

2

等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1 2008数列{an}的通项公式是an 1 2n,其前n项和为sn,则数列{

Sn

}的前11项和n

为 .

3（2009

S2007S2005

2，则S2008的值为_____． 20072005

n 22n sin2)，江西高考）2009江西卷理）数列{an}的通项an n(cos

33

其前n项和为Sn，则S30为

A．470 B．490 C．495 D．510 答案：A

【解析】由于{cos

2

n n

sin2以3 为周期,故 33

12 2242 522

S30 ( 3) ( 62)

22

10

282 292

( 302)

2

10

(3k 2)2 (3k 1)259 10 112

[ (3k)] [9k ] 25 470故选A

222k 1k 1

4（2009江西高考）

1数列(1) 求

{an}的通项Sn;

an n2(cos2

n n

sin2)33，其前n项和为Sn.

(2)

bn

S3n

,

n 4n求数列｛bn｝的前n项和Tn.

解: (1) 由于cos

2

n n 2n sin2 cos,故 333

S3k (a1 a2 a3) (a4 a5 a6) 12 2242 522

( 3) ( 62)

22

18k 5k(9k 4)

, 22k(4 9k)

S3k 1 S3k a3k ,

2

1331 22

(a3k 2 a3k 1 a3k)

(3k 2)2 (3k 1)22

( (3k)))

2

S3k 2

k(4 9k)(3k 1)213k 21

S3k 1 a3k 1 k ,

22236

n1

,n 3k 2 36

(n 1)(1 3n)

,n 3k 1 (k N*) 故 Sn

6

n(3n 4)

,n 3k 6

(2) bn

S3n9n 4

, n 4n2 4n

113229n 4Tn [ 2 ], n

24441229n 44Tn [13 n 1],

244

两式相减得

99

n

1999n 419n 419n3Tn [13 n 1 n] [13 n] 8 2n 3 2n 1,

1244424221 4

813n

. 故 Tn

33 22n 322n 1

分组求和 1已知数列 x 的首项x

n

1

，且x1,x4,x5成 3，通项xn 2np nq（n N ,p,q为常数）

等差数列，求： （Ⅰ）p,q的值； （Ⅱ）数列 xn 的前n项的和Sn的公式。

拆项法求和

1

x

已知函数f(x) a（a 0且a 1）的图象恒过定点（h，k），数列{an}（an 0）的

首项为k，且前n项和Sn满足Sn Sn 1 （1）求数列{an}的通项公式； （2）数列

， Sn Sn 1（n 2）

1 1000

的最小正整数n是多少？ 的前n项和为Tn，问满足Tn

2009 anan 1

2（2010苏北四市三模）

2

已知数列 an 是各项均不为0Snn项和，且满足an S2n 1

bn

1

，数列 bn 的前n项和为Tn.

an an 1

（1）求数列 an 的通项公式及数列 bn 的前n项和为Tn；

（2）是否存在正整数m,n(1 m n)，使得T1,Tm,Tn成等比数列？若存在，求出所有的m,n

的值；若不存在，请说明理由.

解：（1）因为 an 是等差数列，由an S2n 1

2

(a1 a2n 1)(2n 1)

(2n 1)an，

2

又因为an 0，所以an 2n 1， 2分 由bn

11111

( )， anan 1(2n 1)(2n 1)22n 12n 1

111111n(1 ) ． 6分 23352n 12n 12n 1

n1mn

,Tn (2)由(1)知，Tn ， 所以T1 ,Tm ，

2n 132m 12n 1

所以Tn

m21nm2n

) ()，即 若T1,Tm,Tn成等比数列，则(． 8分 2

2m 132n 14m 4m 16n 3

m2n3 2m2 4m 1 解法一：由， 可得 ，

4m2 4m 16n 3nm2

所以 2m 4m 1

0， 12分

2

从而：1

m 1 ，又m N，且m 1，所以m 2，此时n 12． 22

故可知：当且仅当m 2， n 12使数列 Tn 中的T1,Tm,Tn成等比数列。 16分

m21n11

，即2m2 4m 1 0， 12分

解法二：因为 ，故2

4m 4m 166n 36 6

n

从而：1，（以下同上）．数列 an 满足：a1 2，an 1 1(n 2，， m 1 34， ) an 13

已知二次函数y f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f'(x) 6x 2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n,Sn)(n N )均在函数y f(x)的图像上。 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式； (Ⅱ)设bn

m3

,Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn 对所有n N都成立的最

20anan 1

小正整数m；

错位相减法

1（2009湖北高考）

已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55, a2+a7＝16.

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式：

（Ⅱ）若数列{an}和数列{bn}满足等式：an＝＝{bn}的前n项和Sn

解（1）解：设等差数列 an 的公差为d，则依题设d>0

b1b2b3b 2 3 ...n(n为正整数)，求数列2222n

由a2+a7＝16.得2a1 7d 16 ① 由a3 a6 55,得(a1 2d)(a1 5d) 55 ②

由①得2a1 16 7d将其代入②得(16 3d)(16 3d) 220。即256 9d 220

2

d2 4,又d 0, d 2,代入①得a1 1 an 1 (n 1) 2 2n 1

（2）令cn

bn

,则有an c1 c2 n2

cn,an 1 c1 c2 cn 1

两式相减得

an 1 an cn 1,由(1)得a1 1,an 1 an 2

cn 1 2,cn 2(n 2),即当n 2时，bn 2n 1又当n=1时，b1 2a1 2 2,(n 1) bn n 1

2(n 2)

于是Sn b1 b2 b3=2 2 2 2

2

3

4

bn 2 23 24

2

n 1

2n 1

2(2n 1 1)

4 2n 2 6,即Sn 2n 2 6 -4=

2 1

2（2009山东高考）

等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n N*，点(n,Sn)均在函数y=bx+r (b>0且b 1,b,r均为常数)的图象上. (Ⅰ)求r的值； (Ⅱ)当b=2时，记bn=

n 1

(n N*),求数列{bn}的前n项和Tn. 4an

解：(Ⅰ)由题意，Sn=bn+r,

当n≥2时，Sn-1=bn-1+r, 所以an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1).

由于 b>0且b 1,

所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列， 又a1=b+r,a2=b(b-1),

a2b(b 1) b,即 b, b1b r

解得r=-1.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, n N*,an (b 1)bn 1 2n 1

所以 bn

n 1n 1

=.

4 2n 12n 1

Tn

234n 1 ,2223242n 1

123nn 1Tn 3 4 n 1 n 2, 22222

1n 1

22 12n 2

两式相减得 =Tn

1211

22223243n 3

= n 1.

2231n 1

= n 1 n 2,

42231n 1

故 Tn n n 1

2223n 3

= n 1.

22

3（2009全国卷Ⅰ理）

在数列{an}中，a1 1,an 1 (1 )an （I）设bn

1nn 1

2n

an

，求数列{bn}的通项公式 n

（II）求数列{an}的前n项和Sn 分析：（I）由已知有

an 1an11

n bn 1 bn n n 1n22

1*

n N() n 1

2

利用累差迭加即可求出数列{bn}的通项公式: bn 2 （II）由（I）知an 2n

n

n, n 12

nn

kk

Sn= (2k k 1) (2k) k 1

2k 1k 1k 12n

而

(2k) n(n 1),又

k 1

n

k

是一个典型的错位相减法模型， k 1

k 12

n

易得

n 2kn 2

4 n(n 1) = 4 S nn 1k 1n 1

222k 1

评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。

错位相减法

1（2009湖北高考）

已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55, a2+a7＝16.

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式：

（Ⅱ）若数列{an}和数列{bn}满足等式：an＝＝{bn}的前n项和Sn

解（1）解：设等差数列 an 的公差为d，则依题设d>0

b1b2b3b 2 3 ...n(n为正整数)，求数列2222n

由a2+a7＝16.得2a1 7d 16 ① 由a3 a6 55,得(a1 2d)(a1 5d) 55 ②

由①得2a1 16 7d将其代入②得(16 3d)(16 3d) 220。即256 9d 220

2

d2 4,又d 0, d 2,代入①得a1 1 an 1 (n 1) 2 2n 1

（2）令cn

bn

,则有an c1 c2 n2

cn,an 1 c1 c2 cn 1

两式相减得

an 1 an cn 1,由(1)得a1 1,an 1 an 2

cn 1 2,cn 2(n 2),即当n 2时，bn 2n 1又当n=1时，b1 2a1 2 2,(n 1) bn n 1

2(n 2)

于是Sn b1 b2 b3=2 2 2 2

2

3

4

bn 2 23 24

2

n 1

2n 1

2(2n 1 1)

4 2n 2 6,即Sn 2n 2 6 -4=

2 1

2（2009山东高考）

等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n N*，点(n,Sn)均在函数y=bx+r (b>0且b 1,b,r均为常数)的图象上. (Ⅰ)求r的值； (Ⅱ)当b=2时，记bn=

n 1

(n N*),求数列{bn}的前n项和Tn. 4an

解：(Ⅰ)由题意，Sn=bn+r,

当n≥2时，Sn-1=bn-1+r, 所以an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1).

由于 b>0且b 1,

所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列， 又a1=b+r,a2=b(b-1),

a2b(b 1) b,即 b, b1b r

解得r=-1.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, n N*,an (b 1)b

所以 bn

n 1

2n 1

n 1n 1

=n 1. n 1

4 22

Tn

234n 1

,2223242n 1

123nn 1Tn 3 4 n 1 n 2, 22222

两式相减得 =Tn

1211

22223243n 3

= n 1.

2231n 1

= n 1 n 2,

42231n 1

故 Tn n n 1

2223n 3

= n 1.

22

1n 1 22 12n 2

数列与不等式

1设数列 an 的前n项积为Tn,Tn 1 an；数列 bn 的前n项和为Sn,Sn 1 bn

（1） 设cn

1

1证明数列 c 成等差数列；○2求证数列 a 的通项公式； 。○nn

Tn

（2） 若Tn(nbn n 2) kn对n N 恒成立，求实数k的取值范围

2（2010江苏高考）

设各项均为正数的数列 an 的前n项和为Sn，已知2a2 a1 a3，数列的等差数列.

①求数列 an 的通项公式（用n,d表示）

②设c为实数，对满足m n 3k且m n的任意正整数m,n,k，不等式Sm Sn cSk都成立。求证：c的最大值为

S 是公差为d

n

9 2

3(2009湖北卷理)

n 1

已知数列 an 的前n项和Sn an () 2（n为正整数）。

1

2

（Ⅰ）令bn 2nan，求证数列 bn 是等差数列，并求数列 an 的通项公式； （Ⅱ）令cn 明。

解析：（I）在Sn an ()

n 15n

an，Tn c1 c2 ........ cn试比较Tn与的大小，并予以证n2n 112

n 1

2中，令n=1，可得S1 an 1 2 a1，即a1 12

n 2

1 2

当n 2时，Sn 1 an 1 ()

1

2， an Sn Sn 1 an an 1 ()n 1，

2

1

2an an 1 ()n 1,即2nan 2n 1an 1 1.

2

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