2010年全国初中数学联赛江西省初赛试题解答

2010年全国初中数学联赛江西省初赛试题解答

第 一 试

一. 选择题（每小题7分，共42分）

1、化简3?5?13?6?248的结果是（ ）．

12?A?、2； ?B?、

22； ?C?、2； ?D?、

．

2、?ABC是一个等腰直角三角形，DEFG是其内接正方形，H是正方形的对角线交点；那么，由图中

的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（ ）．

CGHADEBF?A?、12； ?B?、13； ?C?、26； ?D?、30．

3、设

2ab?0，且函数

f1(x?)2x?2a?x4与bf2(x)?x?4ax?2b有相同的最小值u；

函数f3(x)??x?2bx?4a与f4(x)??x?4bx?2a有相同的最大值v；则u?v的值( ).

22?A?、必为正数； ?B?、必为负数； ?C?、必为0； ?D?、符号不能确定．

4、若关于x的方程x?2ax?7a?10?0没有实根，那么，必有实根的方程是（ ）．

2?A?、x2?2ax?3a?2?0； ?B?、x2?2ax?5a?6?0； ?C?、x2?2ax?10a?21?0； ?D?、x2?2ax?2a?3?0．

5、正方形ABCD中，E,F分别是AB,BC上的点，DE交AC于M，AF交BD于N；若AF平分?BAC，DE?AF；记x?z?CFBFBEOM,y?BNON,

AMDOAEMPNOD,则有（ ）.

?y?z； ?B?、x?y?z；

EN?A?、xB ?C?、x?y?z； ?D?、x?y?z．

FCBFC6、将1,2,3,4,5,6,7,8这八个数分别填写于一个圆周八等分点上，使得圆周上任两个相邻位置的数之和为

质数， 如果圆周旋转后能重合的算作相同填法，那么不同的填法有（ ）． ； ?D?、16种． ?A?、4种； ?B?、 8种； ?C?12种、

1

二、 填空题（每小题7分，共28分）

1、若k个连续正整数之和为2010，则k的最大值是 ．

2、单位正三角形中，将其内切圆及三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则三角形剩下部分的面积为 . A

FE

H

O

BCD

，则四边形的面积3、圆内接四边形ABCD的四条边长顺次为：AB?2,BC?7,CD?6,DA?9为 .

4、在?1?2?3?5?20中，适当选择+、-号，可以得到不同代数和的个数是 ． 答案：24个．

解：1,2,3,5,20中，有奇数三个，故其代数和必为奇数；由1,2,3,5可以得到绝对值?11的所有奇数：这是由于1?1?2?3?5，3??1?2?3?5，5?1?2?3?5，

7?1?2?3?5，9??1?2?3?5，11?1?2?3?5；以上各式通乘?1，可得?1,?3,?5,?7,?9,?11的

表达式；

3，5,7,9,11，即而据题意，表达式中，1,2,3,5及20都必须参与，那么，能得到的整数应是?20加或减1，得到十二个正奇数9,11,13,?,31和十二个负奇数?9,?11,?,?31；因此可表出的数共计24个．

2

第 二 试

一、（20分）边长为整数的直角三角形，若其两直角边长是方程x2?(k?2)x?4k?0的两根，求k的值并确定直角三角形三边之长．

解：设直角边为a,b，（a?b）则a?b?k?2,ab?4k，因方程的根为整数，故其判别式为平方数，设

(k?2)?16k?n??k?6?n??k?6?n??1?32?2?16?4?8，?k?6?n?k?6?n,

22?k?6?n?32?k?6?n?16?k?6?n?32或?或? ??k?6?n?1k?6?n?2k?6?n?1???解得k1?452(不是整数，舍去)，k2?15,k3?12

k2?15时，a?b?17,ab?60?a?5,b?12,c?13 k3?12时，a?b?14,ab?48?a?6,b?8,c?10

二、（25分）如图，自?ABC内的任一点P，作三角形三条边的垂线：

PD?BC,PE?CA,PF?AB，若BD?BF,CD?CE；

证明：AE?AF．

证：注意如下事实：若四边形的两条对角线互相垂直，则其两组对边的平方和相等． 连PA,PB,PC，则有PA?BF?PB?AF；

PB?CD?PC?BD，PC?AE?PA?CE；

222222222222AFEFAEP三式相加得AE?CD?BF?AF?CE?BD， 利用条件BD?BF,CD?CE，代入上式，得AE?AF．

3a?b3b?c3a?b3b?c3ab?bc?2222222PBDCBCD三、（25分）已知a,b,c为正整数，且为有理数，证明a?b?ca?b?c222为整数．

证：因3是无理数，则 3b?c?0，而 ?(3a?b)(3b?c)3b?c22

?3(b?ac)223b?c222为有理数，所以b?ac?0，于是

222a?b?c?(a?b?c)?2(ab?bc?ac)?(a?b?c)?2(ab?bc?b)

a?b?ca?b?c2222?(a?b?c)?2b(a?c?b)?(a?b?c)(a?b?c)， 因此，

2?a?b?c为整数．

3

1、答案：D 解：13?48?(23)?1?43?(1?23)，5?(1?23)?4?23?(3?1)，

2223?(3?1)?2??4?23(3?1)3?????22?26?212?，因此原式． ???2?22、答案：C．

解：设AB?3，图中所有三角形均为等腰直角三角形，其中，斜边长为1的有5个，它们组成10对全等三角形；斜边长为2的有6个，它们组成15对全等三角形；斜边长为2的有2个，它们组成1对全等三角形；共计26对． 3、答案：C.

解：f1(x)?(x?a)?4b?a?4b?a，f2(x)?(x?2a)?2b?4a?2b?4a， 由4b?a?u?2b?4a，得?2b?3a ……①

f3(x)??(x?b)?4a?b?4a?b，f4(x)??(x?2b)?2a?4b?2a?4b；

222222222222222由4a?b?v?2a?4b，得2a?3b ……②

②-①得，2(a?b)?3(b?a)，所以a?b?0 ……③，或b?a?222222223 ……④

若a?b?0,则2(u?v)?(6b?5a)?(6a?5b)?(a?b)[6?5(b?a)]?0； 若b?a?234、答案:A.

2，据②④，2(b?23)?3b，即(3b?1)?3?0，矛盾！

22解:由方程x?2ax?7a?10?0无实根,得其判别式?0,于是2?a?5, 方程A,B,C,D的判别式分别是:

?A?4(a?1)(a?2),?B?4(a?2)(a?3),?C?4(a?3)(a?7),?D?4(a?1)(a?3),

显然,对于满足2?a?5的每个a值,可以确保?A?0,但不能保证?B,?C,?D非负,（即使得方程

B,C,D无实根的a的区间与区间(2,7)都有重叠部分，而使方程A无实根的a的区间(1,2)与区间(2,7)无

重叠部分），所以A必有实根,其余方程不一定有实根.

5、答案:D 解:由角平分线,

BNONAOABBF为等腰三角形，AM?AE，作OP∥AB，交OE于P，则OP为?DBE的中位线，

?AB?2?AC?CF,即y?z?2,又?AME的角分线与高重合,则?AME?OMP∽?AME，x?BEOM?BEOP?2，所以x?y?z.

6、答案：B

4

解：相邻两数和为奇质数，则圆周上的数奇偶相间，于是8的两侧为3,5，而7的两侧为4,6；剩下两数

1,2必相邻，且1与4,6之一邻接；考虑三个模块[4,7,6],[5,8,3],[1,2]的邻接情况，得到8种填法．

二、1、答案：60．

解：设2010?(n?1)?(n?2)???(n?k)?kn?2k(k?1)2，则k(2n?k?1)?4020，

注意k?2n?k?1，而4020?2?3?5?67，为使k值最大，当把4020表成最接近的一对因数之积，为4020?60?67，所以k?60．

2、答案：S?34??9

解：单位正三角形内切圆半径为r?36，其面积为s??r?2?12，而O为其中心，故OD?OH?AH?r，

19因此，?AEF与?ABC的相似比为1:3，于是每个小圆面积等于?O面积的

43，故四个圆面积之和为

s??9，因此，所求三角形剩下部分的面积为S?34??9．

3、答案：30.

解：由于7?6?85?9?2，即BC?CD?DA?AB，所以?BCD与?DAB都是直角三角形，因此，四边形面积?SBCD?SDAB?

12?(7?6?9?2)?30.

22222222 5

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/2tdg.html