2013立体几何专题答案(二)

二模答案

1、解：（I ）因为点P 在平面ADC 上的正投影O 恰好落在线段AC 上

所以PO ⊥平面ABC ，所以PO ⊥AC …………………2分

因为AB BC =，

所以O 是AC 中点， …………………3分 所以//OE PA …………………4分 同理//OF AD

又,OE OF O PA AD A ==

所以平面//OEF 平面PDA …………………6分 （II ）因为//OF AD ，AD CD ⊥

所以OF CD ⊥ …………………7分 又PO ⊥平面ADC ，CD ?平面ADC

所以PO ⊥CD …………………8分 又OF PO O =

所以CD ⊥平面POF …………………10分 (III)存在，事实上记点E 为M 即可 …………………11分 因为CD ⊥平面POF ，PF ?平面POF

所以CD PF ⊥

又E 为PC 中点，所以 12

EF PC =

…………………12分 同理，在直角三角形POC 中，12EP EC OE PC ===， …………………13分 所以点E 到四个点,,,P O C F 的距离相等 …………………14分

2、（Ⅰ）证明：因为F ,G 分别为PB ，BE 的中点，

所以

FG PE .

又因为FG ?平面PED ，PE ?平面PED ，

所以FG 平面PED . ……………4分

（Ⅱ）因为EA ⊥平面ABCD ，所以EA CB ⊥. 又因为CB AB ⊥，AB AE A =， 所以CB ⊥平面ABE . A E B D

C P F

G

H M

由已知F ,H 分别为线段PB ,PC 的中点，

所以

FH BC .

则FH ⊥平面ABE .

而FH ?平面FGH ，

所以平面FGH ⊥平面ABE . …………………………………………………9分 （Ⅲ）在线段PC 上存在一点M ，使PB ⊥平面EFM .证明如下：

在直角三角形AEB 中，因为1AE =,2AB =,

所以BE =在直角梯形EADP 中，因为1AE =，2AD PD ==,

所以PE = 所以PE BE =.又因为F 为PB 的中点，所以EF PB ⊥.

要使PB ⊥平面EFM ，只需使PB FM ⊥.

因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD CB ⊥，又因为CB CD ⊥，PD

CD D =, 所以CB ⊥平面PCD ，而PC ?平面PCD ，所以CB PC ⊥.

若PB FM ⊥，则PFM ?∽PCB ?,可得PM PF PB PC

=.

由已知可求得PB =

PF =

PC =

2PM =

.……14分 3、证明：（Ⅰ）因为M ，N 分别是BD ，'BC 的中点，

所以//MN DC '.

因为MN ?平面ADC '，

DC '?平面ADC '，

所以//MN 平面ADC '.

同理//NG 平面ADC '.

又因为MN NG N =，

所以平面//GNM 平面ADC '.

（Ⅱ）因为90BAD ∠=，

所以AD AB ⊥.

又因为'AD C B ⊥，且'AB C B B =，

所以AD ⊥平面'C AB .

因为'C A ?平面'C AB ，

所以'AD C A ⊥. A B C D M N G

因为△BCD 是等边三角形，AB AD =，

不防设1AB =，则 BC CD BD ===

可得1C A '=.

由勾股定理的逆定理，可得'AB C A ⊥.

因为AB AD A =，

所以'C A ⊥平面ABD ． ………………………………………………14分

4、（Ⅰ）解：由左视图可得 F 为AB 的中点，

所以 △BFC 的面积为 1212

1=??=S ．………………1分 因为⊥PA 平面ABCD ， ………………2分

所以四面体PBFC 的体积为

PA S V BFC BFC P ?=?-3

1 ………………3分 3

22131=??=． ………………4分 （Ⅱ）证明：取PC 中点Q ，连结EQ ，FQ ． ………………5分

由正（主）视图可得 E 为PD 的中点，所以EQ ∥CD ，

CD EQ 21=． ………………6分

又因为AF ∥CD ，CD AF 21=

， 所以AF ∥EQ ，EQ AF =． 所以四边形A F Q 为平行四边形，所以

AE ∥FQ ． ………………8分

因为 ?AE 平面PFC ，?FQ 平面PFC ，

所以 直线AE ∥平面PFC ． ………………9分

（Ⅲ）证明：因为 ⊥PA 平面ABCD ，所以 CD PA ⊥．

因为面ABCD 为正方形，所以 CD AD ⊥．

所以 ⊥CD 平面PAD ． ………………11分

A B C D

E F P O

G 因为 ?AE 平面PAD ，所以 AE CD ⊥．

因为 AD PA =，E 为PD 中点，所以 PD AE ⊥．

所以 ⊥AE 平面P ． ………………12分

因为 AE ∥FQ ，所以⊥FQ 平面P C ．

………………13分 因为 ?FQ 平面PFC ， 所以 平面PFC ⊥平面P C D . ………………14分

5、(Ⅰ)证明：连结，

为正方形，为中点，

为中点.

∴在中,// ．．．．．．．．．．．．．．．．．．..2分

且平面，平面 ∴ ．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

(Ⅱ)解：如图,取的中点, 连结.

∵, ∴.

∵侧面底面, , ∴.

又所以是等腰直角三角形， 且 在正方形 中， ……………………………………………..9分 (III) 存在点满足条件，理由如下：设点为中点，连接

由为的中点，所以//， AC BD F =ABCD F AC E PC CPA ?EF PA PA ?PAD EF ?PAD //EF PAD 平面AD O OP PA PD =PO AD ⊥PAD ⊥ABCD PAD ABCD AD ?=平面平面PO ABCD ⊥

平面2,2

PA PD AD ===PAD

?12

AD PO AD ===

ABCD 11422

BCD ABCD S S =

=?正方形11433P BCD BCD V S PO -?==?=G G AB ,.EG FG F BD FG AD

由（I ）得//，且

所以.

∵侧面底面,,

所以，.

所以，的中点为满足条件的点.……………………………………14分

6、(Ⅰ)证明：因为平面，

所以. …………………1分

因为是正方形，

所以， …………………2分

因为 …………………3分

所以平面. …………………4分

(Ⅱ)证明：设，取中点，连结，

所以，. …………………5分 因为，，所以， …………………6分 从而四边形是平行四边形，. ………………7分 因为平面,平面, …………………8分 所以平面，即平面. ……………………9分 （Ⅲ）解：因为平面

所以

因为正方形中，,

所以平面. …………………11分 因为,，

所以的面积为

， 所以四面体的体积. ……………14分 7、如图，多面体EDABC 中，AC ，BC ，CE 两两垂直，AD //CE ，ED DC ⊥，12AD CE =，M EF PA ,,FG EF F AD PA A ?=?=EFG PAD 平面//平面PAD ⊥ABCD PAD ABCD AD ?=平面平面CD AD ⊥，CD PAD ∴⊥平面CD EFG ⊥平面AB G DE ⊥ABCD AC DE ⊥ABCD BD AC ⊥D BD DE =?AC ⊥BDE AC BD O =BE G OG FG ,OG //=

12DE DE AF //AF DE 2=AF //=

OG AFGO AO FG //FG ?BEF AO ?BEF //AO BEF //AC BEF DE ⊥ABCD AB DE ⊥ABCD AB AD ⊥AB ⊥ADEF DE AF //22===AF DA DE DEF ?122

ED AD ??=BDEF =?=?AB S DEF 3143

为BE 中点.

（Ⅰ）求证：DM //平面ABC ；

（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面BCD .

解：（Ⅰ）设N 为BC 中点，连结MN ，AN ,

M 为BE 中点,

∴MN//EC ，且MN=

2

1EC , AD //EC ，且AD =

21EC , ∴四边形ANMD 为平行四边形, ……………………….3分

∴ AN //DM

DM ?平面ABC ，AN ?平面ABC ,

∴ DM //平面ABC ; ……………………….6分

（Ⅱ） CE BC AC BC ⊥⊥,,C CE AC = ,∴⊥BC 平面ACED , ?DE 平面ACED ,∴⊥BC DE , ……………………….9分 ∵DE ⊥DC ,

又 ⊥DE BC ,C DC BC = ,∴ DE ⊥平面BCD . ……………………….12分 ?DE 平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面BCD . ……………………….13分

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