事件的独立性

概率与统计 课程教案

授课题目（教学章、节或主题）：第一章第四节 事件的独立性 教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：

理解事件独立性的概念，掌握应用事件独立性进行概率计算的方法 教学重点及难点：

应用事件独立性进行概率计算 课时安排：2课时 授课方式：讲授 教学基本内容：

一、 事件的独立性(Independence of events)

设A，B是两个事件，一般而言P(A)?P(A|B)，这表示事件B的发生对事件A的发生的概率有影响，只有当P(A)?P(A|B)时才可以认为B的发生与否对A的发生毫无影响，这是就称两事件是独立的。这时，由条件概率可知，

P(AB)?P(B)P(A|B)?P(B)P(A)?P(A)P(B)

由此，我们引出下面的定义。

定义 若两事件A，B满足P(AB)?P(A)P(B),则称A，B相互独立(Mutual

independence)。

定理 若四对事件{A,B},{A,B},{A,B},{A,B}中有一对是相互独立的，则另外三

对也是相互独立的.

在实际问题中，我们一般不用定义来判断两事件A，B是否相互独立，而是相反，从试验的具体条件以及试验的具体本质分析去判断它们有无关联，是否独立？如果独立，就可以用定义中的公式来计算积事件的概率了。

例1 两门高射炮彼此独立的射击一架敌机，设甲炮击中敌机的概率为0.9，乙炮击中敌机的概率为0.8，求敌机被击中的概率？

解 设A={甲炮击中敌机}，B={乙炮击中敌机}，那么{敌机被击中}=A?B；因为A与

B相互独立，所以，有

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?0.9?0.8?0.9?0.8?0.98

Note：事件的独立性与互斥是两码事，互斥性表示两个事件不能同时发生，而独立性则表示他们彼此不影响。

定义 设A,B,C是三个事件，如果满足：

P(AB)?P(A)P(B),P(BC)?P(B)P(C),P(AC)?P(A)P(C)

则称这三个事件A,B,C是两两独立的。

定义 设A,B,C是三个事件，如果满足：

P(AB)?P(A)P(B),P(BC)?P(B)P(C),P(AC)?P(A)P(C),

P(ABC)?P(A)P(B)P(C)

则称这三个事件A,B,C是相互独立的。(

三个事件相互独立一定是两两独立的，但两两独立未必是相互独立。

例2 一产品的生产分4道工序完成，第一、二、三、四道工序生产的次品率分别为2%、3%、5%、3%，各道工序独立完成，求该产品的次品率？

解 设A={该产品是次品}，Ai={第i道工序生产出次品}，I=1,2,3,4,则

P(A)?1?P(A)?1?P(A1A2A3A4)?1?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)?

1?(1?0,02)(1?0.03)(1?0.05)(1?0.03)?0.124

事件的相互独立性概念可推广到多个事件的情形：

练习1 某电台有若干台发射机， 每台发射机都独立地运行，正常工作的概率都是0.8. 问电台至少需要几台发射机才能保证正常工作的概率达到99％以上.

根据所设，所求为 P(A)>0.99. 至少有一台发射机正常工作，则电台才能正常工作，故是一个和事件的概率，用摩根律可以将和事件转化成积事件，利用事件的独立性，就可以求得结果. 只要有一台发射机正常工作，则电台就能正常工作.

设有n台发射机，A＝{电台正常工作}，又设Ak＝{第k台发射机正常工

作},k=1,2,…,n. 根据事件的和之定义，A1+A2+…+An表示至少有一台发射机正常工作，则A发生，故P(A)= P(A1+A2+…+An).

2. 加工某种零件需要经过4道工序. 假设第1，2，3，4道工序出不合格品的概率分别是2%,4%,5%,3%. 假设各道工序是互不影响的，求加工的零件是合格品的概率.

3. 一个工人看管三台机床，在一小时内不需要工人照管的概率： 第一台为0.9，第二台为0.8，第三台为0.7，求在一小时内，

(1) 三台机床都不需要工人照管的概率；

(2)三台机床中至多有一台需要工人照管的概率.

4. 甲、乙二人独立地射击同一个目标， 命中的概率分别为0.9和0.8. 现在每人射击一次，求下列事件的概率：

(1) 二人都命中； (2) 甲命中而乙未命中； (3) 目标被击中； (4) 只有一人命中. 参考书目：

1．吴赣昌，大学数学立体化教材：概率论与数理统计（经济类），中国人民大学出版社，2006年3月。

2．盛 骤，谢式千等，概率论与数理统计（第三版），高等教育出版社，2003年2月。

作业和思考题： 作业：P23 21-27

思考题： 若事件A与B满足AB＝?，那么事件A与B独立吗？ 一般不对立. AB＝?，表明事件A与B互不相容. 一般地，互不相容的两事件不会独立.

(1) 当A??，B??时，A与B独立，有P(AB)＝P(A)P(B)， 不可能得到AB＝?. 反之，若A??，B??时，AB＝?，则有P(AB)=0，那么就不可能有P(AB)=P(A)P(B).

(2) 必然事件U与任何事件独立，因为任意事件A，有P(UA)=P(U)P(A). (3) 不可能事件?与任何事件独立，因为任意事件A，有P(?

A)=P(?)P(A).

课后小结：

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