数学分析讲义 第一章 函数

第一章 函数

一、复习指导

（一）基本概念

1．函数的概念

2．复合函数、反函数的概念

3．有界函数、无界函数的概念，递增（严格递增）函数、递减（严格递减）函数的概念，奇函数、偶函数的概念，周期函数、基本周期的概念。

4．基本初等函数、初等函数的概念 5．邻域、空心邻域的概念

（二）基本理论

1．实数的性质； 2．函数的四则运算性质； 3．反函数存在的条件

（三）复习要求

1．掌握几个重要的等式与不等式

（1）平均值不等式（算术平均值、几何平均值、调和平均值的关系）

1a1?a12a?a2?????annnaa???a?1?12n?????a1nn2

（2）柯西—许尔瓦兹不等式

nn?n?22 代数形式：??aibi???ai??bi （注意证明方法）

i?1i?1?i?1?bbb22?? 积分形式：??f(x)g(x)dx???f(x)dx??g(x)dx （注意证明方法） aa?a?2（3）绝对值不等式：

a?b?a?b?a?b ; a1?a2?????an?a1?a2?????an??1时，?1?h?n?1?nh

（4）贝努利不等式： 当h（5）几个常用不等式

nn?1132n?1?????? ， n?1n?2242n12n?1 （注意证明方法）

11?n?1n!2 ，

?n?1?n!????2?n1，n!?n2 ; 2!?4!???(2n)!?[(n?1)!]n， ex?1?x，

2nn?1n

1?1?1?1??1??ln?1??? ， ?1???e??1??n?1?n?n?n??n?1?2?????n? （注意证明方法）

（6）几个常用等式

11n(n?1); 12?22?????n2?n(n?1)(2n?1)， 261

据此可求2

2?42?????(2n)2与12?32?????(2n?1)2

13?23?????n3?(1?2?????n)2

n(n?1)2???????n，其中??0 2!11max{a,b}?(a?b?a?b) ，min{a,b}?(a?b?a?b)

221max{f(x),g(x)}?[f(x)?g(x)?f(x)?g(x)]

21min{f(x),g(x)}?[f(x)?g(x)?f(x)?g(x)]

2?1，则an?(1??)n?1?n?? 若a

2．理解函数的概念、函数的要素

3．讨论函数的定义域、对应法则、函数表达式与值域 4．熟练判断函数的相等 5．掌握函数的表示方法

6．理解函数的有界性、单调性、奇（偶）性与周期性，掌握讨论这些特性的思想方法与技能 7．掌握几个特殊分段函数的定义与基本性质 （1）符号函数

?1?sgnx??0??1?x?0x?0 ，易知x?x?sgnx x?0}，图象见右图 定义域为R，值域为{?1,0,1 此函数为递增函数（但不严格递增）、有界函数、奇函数。

此函数在x?0处无极限，在x?0处不连续，在x?0处不可导，在任何区间上都可积。（注意证明方法）

?1（2）狄利克雷函数D(x)???0x为有理数x为无理数

定义域为R，值域为{0,1}；有界函数、偶函数、周期函数（任何有理数都是它的周期，但无基本周期）。 此函数处处无极限、处处不连续、处处不可导。 （注意证明方法） 此函数在任何区间上都不可积。（注意证明方法） （3）黎曼函数

?1?R(x)??n??0m(|m|,n为互质的正整数） nx为0,1或无理数x? 定义域为R，值域为[0,1)内的有理数， 此函数为有界函数 此函数在任何点的极限均为0，在无理点连续、在有理点不连续，处处不可导，此函数在区间[0,1]上可积且积分值等于0。（注意证明方法） （4）最大整数部分函数

f(x)?[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数

2

定义域为R，值域为全体整数，递增函数 图象如右图 （5）非负小数部分函数

f(x)?x?[x]

-1 定义域为R，值域为[0,1)，

周期为1的周期函数，图象如右图

8．掌握复合函数的复合过程与分解 9．掌握函数思想及其应用：

- 2- o 4 （1）函数的思想，就是运用函数的方法，必要时引入辅助函数，将常量视为变量、化静为动、化离散为连续，将所讨论的问题转化为函数问题加以解决的一种思想方法 （2）函数思想的应用：

①以函数为桥梁，实现函数与方程、不等式间的转化 例： 证明方程方法：作函数

x?lnx?2?0在(0,??)内至少有两个实根。 exf(x)??lnx?2，应用根的存在定理。

e例： 证明

|a?b||a||b| ??1?|a?b|1?|a|1?|b|f(x)?x，通过讨论单调性得证。 1?x11f(0)?0，求证：??f(x)dx???f3(x)dx

??0?0?2方法：构造辅助函数

例：设函数

f(x)在[0,1]上可导，且0?f?(x)?1，

2tt3方法：令F(t)???f(x)dx???f(x)dx，通过讨论单调性知F(1)?F(0)得证。

??0?0?②以函数为背景，实现函数思想在数列中的应用 例： 求极限lim方法：求limxnn??n

n??x??x，再由数列极限与函数极限的关系得limnn=1

③化离散为连续，解决级数问题

例： 求

1?nn?1(2n?1)2?的和.

?11x2ns()， 方法：引入幂级数s(x)??，则?=n2n?1(2n?1)22n?1n?1?④引入辅助函数，证明有关问题 例：设函数

f(x)、g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)?f(b)?0，证明在(a,b)内至少存在

3

一点?，使f?(?)?f(?)g?(?)?0

方法：作辅助函数：F(x)?f(x)eg(x)，利用故由罗尔定理。

二、分类题型与解题方法

（一）求函数的表达式

求下列函数的表达式 （1）设（2）设

f(x)?x2?3x?5，求f(x) 解答：f(x)?x2?x?3

2?f?1?x?1?xx，求

f(x) 解答：1(1?1?x2)

x（3）设

f?x?1x??x2?1?5，求f(x) 解答：x2?7 2xcx，其中a,b,c为常数且|a|?|b|，求

（4）设af(x)?bf(1x)?f(x) 解答：f(x)?ca2?b2?a???bx? ?x?（5）设

?x?1?f(x)?f???2x，其中x?0、x?1，求f(x)

x???x?11，即x?，则x1?t解：令t2?1?f???f(t)?1?t?1?t? 即

2?1? …….① f???f(x)?1?x?1?x?在①中令

1u?11?u?1??1?2(u?1)?，即x?，则得f?， ??f???1?xu1?uuu?1u????11?x?1?2(x?1)?1 ….②；由①、②即已知等式可求出f(x)?x??f???x1?xx?x?x?1即

?1?f????1?x?（6）设解：设

f(x)?3x2?2limf(x)，求f(x)

x?1A?limf(x)，则f(x)?3x2?2A，两边当x?1时取极限，limf(x)?lim3x2?lim2A

x?1x?1x?1即

A?3?2A，可得A??3 ，故f(x)?3x2?6

（7）设解：设

f(x)?x??f(x)dx?2，求f(x)

021A??f(x)dx，则f(x)?Ax2?2；两边在[0,1]上积分得： A?011A?23，即

A?3,故

f(x)?3x2?2

（8）设

f(x)?x2?2?f(x)dx，求f(x) 解答：x2?2

013 4

（9）设

f?(?x)?x[f?(x)?1]，求f(x) 解答：x?1ln(1?x2)?arctgx?c

2（10）设

f(x)?x2?x?20f(x)dx?2?f(x)dx，求f(x) 解答：x2?4x?2

0133（11）设（12）设

f?(ex)?1?x，求f(x) 解答：xlnx?c f(x)?x??x0f(x?t)dt，求f(x)

0xx0解：令x?t即

?u，则?f(x?t)dt??f(u)d(?u)??f(u)du

0x0xf(x)?x??（13）设

f(u)du，所以f?(x)?1?f(x)，故f(x)?Cex?1，又f(0)?0,故f(x)?ex?1

x02f(x)??f(t)dt?ex，求f(x)

，

2（14）设解：由

f(x)?exf[?(x)]?1?x且?(x)?0，求?(x)

f[?(x)]?e?(x)?1?x且?(x)?0，得?(x)?ln(1?x)

1?又有ln(x)?0得1?x?1，即x?0, 所以?(x)?ln(1?x)，x?0 f(x)在x?0连续，f(1)?3且当x?0,y?0时有?xy（15）设求

f(t)dt?x?y1f(t)dt?y?x1f(t)dt，

f(x)

x 解：在已知等式两边对y求导得：xf(xy)?xf(y)??令

1f(t)dt

y?1，f(1)?3知xf(x)?3x??x1f(t)dt

3 x求导得：所以

f(x)?xf?(x)?3?f(x)，即f?(x)?f?(t)dt??x1?x13dt，即f(x)?f(1)?3lnx,故f(x)?3(1?lnx) t（二）求函数的定义域

求下列函数的定义域 （1）

y?lg(x?1)??1x?1 解答：(1,??)

（2）

f(x)??22xsintdt 解答：(??,??) t（3）

y?lgsin(?x) 解答：{(2k,2k?1)|k?0,?1,?2,???} 14y?ln(2x?1)?4?3x 解答：(?,]

235

（4）

（5）

y?log(x?1)(16?x2) 解答：(1,2)?(2,4) 2x?12x?x2 解答：?1,2] f(x)?arcsin?2,1??(17ln(2x?1)（6）

设

f(x)的定义域为[0,1]，求下列函数的定义域：

（1）（3）

2； （2）f(x) 解答：[?1,1]； f(2x?3) 解答：[32,2]f(x?a)?f(x?a)，其中a?0 解答：当0?a?11时为[1?a,a]，当a?时为? 22求下列函数的定义域： （1）设

?1,0?x?1，求f(x?3)、f(2x)的定义域 解答：①?3?x??1，②0?x?1 f(x)???2,1?x?2?2???x,x?0f(x)??x，?(x)?lnx，求f[?(x)]的定义域 解答：x?0

???e,x?0（2）设

（三）判断函数的相等

判断下列函数是否相等: （1）

f(x)?x?11,g(x)?； 解答：不相等

x?1x2?1（2）

f(x)?x2,g(x)?(x)2； 解答：不相等 f(x)?x?1,g(x)?x?2x?1x?2； 解答：不相等

（3）

（4）（5）

f(x)?x2,g(x)?x4 解答：相等

f(x)?1?2x,g(y)?1?2y 解答：相等

（6）（7）

y?x2y?x2(???x???)与s?t2(???x???)与y?x2(???t???) 解答：相等 (0?x???) 解答：不相等 (???x???) 解答：相等

（8）

?xy????xx?02 与y?xx?0?1(x?0)与y????1|x|（9）y?x（10）

x?0， 解答：相等

x?0y?log2x2，y?2log2x 解答：不相等

6

（11）

y?sin2x，y?2sinxcosx 解答：相等

2d?x（12）y?lnx，y???0|lnt|dt?? 解答：相等

?dx?（四）函数初等性质的讨论

讨论下列函数在指定区间上的有界性

（1）

x2?1f(x)?4，x?R ；

x?1x2?1x2?1??2 解：（1）当x?1时有0?41x?1x2?1x2?1x2?x2x2?1???1， 故f(x)?4当x?1时有0?4在R上有界 22x?12x2xx?1（2）

f(x)?1x，x?(0,??)

解：因为.?M?0,取x0?11?(0,??)，可使f(x0)??M?1?MM?1x0，故

f(x)?1x在(0,??)

上无上界 （3）（4）（5）

xsinx1x?R， ； 解答：因|f(x)|?，故有界； 22x?1lnx1f(x)?,x?[,1] 解答：因?ln4?f(x)?0，故有界；

x2f(x)?f(x)?tgx，x?[0,) 解答：?M?0,取x0?arctg(M?1)，可使|f(x0)|?M，故无界

2?判断下列函数的奇偶性： （1）

f(x)?ln(x?x2?1) ；

??1????ln(x2?1?x)??f(x) f(?x)?ln(x?1?x)?ln??2?x?1?x?2解：（1）因

所以

f(x)?ln(x?x2?1)为奇函数

（2）

1??1f(x)?x?x??

?e?12??ex1?1?11??1????f(?x)??x??x????x?x??x1???? ?x2e?122e?1e?1?????? 解：因

?1?1??1?1?x??x?x???x??f(x),所以f(x)??2e?1??e?12?7

1??1x?x??为偶函数 ?e?12?

（3）

a?x?1ax?1 ； 解答： 奇 （4）f(x)?x?x, 解答：偶， f(x)??xa?1a?1f(x)?ln（5）

?1,1?x ； 解答：奇， （6）y??1?x??1,x?0; 解答： 奇，

x?0（7）

y??x0f(t)dt，其中f(x)为奇函数 解答：偶，

（8）

1??1y?F(x)?x??，其中a?0,a?1，F(x)为奇函数 解答：偶，

?a?12?y?sinx?cosx 解答：非奇非偶

（9）

（五）求反函数与复合函数

将下列复合函数分解为简单函数：

（1）

y?|sinx?x2| ； （2）y?arcsinln(x2?a2)

（3）

y?21?x2 ； （4）

y?coslg(x?2)?cosx?2?； （5）y??tglgarcsinx?

5求下列函数的反函数： （1）设

y?ax?bcx?d，在什么条件下其反函数就是它本身；

解答：（1）①ad?bc?0,a??d，②ad?bc?0,a?d且b?0,c?0

（2）

?x,?f(x)??x2,?2x,??ex,f(x)???x,???x?11?x?44?x???，求

f?1(x) 解答：f?1?x,???x?1 (x)=??x,1?x?16?logx,16?x????2求下列函数的复合函数： （1）设

?x?2,x?1， ?(x)??2x?1?x?1,x?0x?0。求

f[?(x)]

解答：

?ex?2,x??1?f[?(x)]?x?2,?1?x?0；

??x2?1?e,0?x?2?x2?1,x?2?（2）设

x?0?1?x,x??1?2?x,，求f[f(x)] 解答：f[f(x)]?? f(x)??1,x?01,x??1??f(x)?x1?x2（3）设，求

fn(x)?f(f???f(x)) 解答：

???????n次x1?nx2

8

（六）杂题

证明下列各题：

（1）证明定义在对称区间(?l,l)上的任何函数

解答：

f(x)都可以表示成一个偶函数与一个奇函数和的形式。

f(x)?f(x)?f(?x)f(x)?f(?x)?

22（2）证明奇函数与奇函数之和为奇函数，偶函数与偶函数之和为偶函数，奇函数与奇函数之积为偶函数，奇函数与偶函数之积为奇函数，偶函数与偶函数之积为偶函数 （3）定义在实数集上的连续实函数 解答：先证

f满足

f(x?y)?f(x)?f(y)，则对任意有理数x总有f(x)?f(1)?x

f(x1?x2?????xn)?f(x1)?f(x2)?????f(xn)，再证对任意正整数、整数、正整数的倒

数、一切有理数均成立。 （4）设

f(x)满足条件：??,??R，有|f(?)?f(?)|?(???)2，证明对任意a,b?R和n?N1(b?a)2 n，有

|f(a)?f(b)|? 解答：将[a,b]n等分，运用已知不等式和绝对值不等式可证。

f(x)?f(y)|?|x?y|，且f(0)?0，

（5）若?x,y?R，有|求证

f(x)f(y)?xy,f(x?y)?f(x)?f(y)

f(x)|?|x|，即f2(x)?x2，在已知等式的两边平方可得f(x)f(y)?xy,又由此

解答：由已知等式可得|式可得而

f(x?y)?f(1)?(x?y)?1?f(x)f(1)?f(y)f(1)?[f(x)?f(y)]f(1)

f(1)?1?0，可证出f(x?y)?f(x)?f(y)

f(x)定义在(??,??)上，若f(f(x))存在唯一的不动点，证明函数f(x)也存在唯一的不动点。

（6）设函数

下列函数是否为初等函数：

（1）

y?|x| 解答：是，因为y?x2y?D(x)???1?0； （2）

y?xsinx,(x?0) 解答：是，因为y?esinx?lnx；

（3）

当x为有理数当x为无理数 解答：不是；

?1?x（4）y???1?xx?02 解答：是，因为y?1?xx?0n?1；

?xlna??x2?11?（5）f(x)?lim?1?dt?????0n??nt????证明下列各题：

，(a?0,a?1) 解答：是，因为f(x)?a?x?1ln(x2?1)

9

（1）设函数

f(x),g(x)在[a,b]上递增，则函数

?(x)?max{f(x),g(x)},?(x)?min{f(x),g(x)}在[a,b]上也递增。

（2）设（3）设（4）设

f(x)单调增加，则f(x1?x2)?f(x1)?f(x2) xba?bbf(x)dx f(x)在[a,b]上连续且单调增加，则?xf(x)dx?a2?af?(x)在(0,??)上单增。 f(x)在(0,??)上二次可导，且f??(x)?f?(x)，则函数g(x)?exf(x)在(0,??)上有定义，x1?0,x2?0，若

（5）设

f(x)在(??,??)上连续、单增且为奇函数，F(x)??(x?3t)f(t)dt。证明F(x)为奇函数且在

0x(0,??)上单减。

（6）设

f(x)在[0,1]上二次可微，且f(0)?0,f??(x)?0，则

f(x)在(0,1)上单增。 x（7）证明函数

f(x)?x?ksinx，(0?k?1)在(??,??)上严格单调

解答：（2）因x1?x2?x1?0，x1?x2?x2?0，由题设得两个不等式，整理为乘积式，约去x1?x2，即

??xa得证。（3）设F(x)证明下列各题：

（1）设对一切实数x，有

解答：因

a?xttf(t)dt?f(t)dt，求导判断单调性，即得证。

2?af(x)?f2(x)，证明f(x)是周期为1的周期函数。

11f(?x)??221111f(1?x)?f[?(?x)]，由f(?x)??2222f(x)?f2(x)即得证。

（2）证明在(??,??)上可导的周期函数，其导函数仍为周期函数；在(??,??)上可导的奇函数，其导函数为偶

函数；在(??,??)上可导的偶函数，其导函数为奇函数。

（3）设

f(x)在(??,??)内连续，且F(x)??(x?2t)f(t)dt，证明：若f(x)为偶函数，则F(x)也为

0x偶函数；若

f(x)非增，则F(x)非减。

（4）证明函数

f(x)?sinx2不是周期函数

2解答：假设?T，对?x?R有sin(x?T)?sinx2，即sin(x2?2xT?T2)?sinx2

?则2xT?T?2k?2，其中k为整数。但对x??T22T，可得k?1矛盾。 2 10

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