初中数学-2015-2016学年第一学期海淀期中初三数学试题及答案

海淀区九年级第一学期期中测评

数 学 试 卷

（分数：120分 时间：120分钟） 2015.11

学校 姓名 准考证号 一、选择题（本题共30分，每小题3分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表．．格中相应的位置.

题号 答案

1．一元二次方程2x2?x?3?0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是

A．2,1,3 B．2,1,?3 C． 2,?1, 3 D．2,?1,?3 2．下列图形是中心对称图形的是

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A ． B． C． D．

3．二次函数y??(x+1)2?2的最大值是

A．?2 B．?1 C．1 D．2

4．已知⊙O的半径是4，OP的长为3，则点P与⊙O的位置关系是 A．点P在圆内

B．点P在圆上

C．点P在圆外

D．不能确定

5．将抛物线y?x2沿y轴向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为

A．y?x?2 B．y?x2?2 C．y??x?2? D．y??x?2?

2226．已知扇形的半径为6，圆心角为60?，则这个扇形的面积为

A．9? B．6? C．3? D．? 7．用配方法解方程x2?4x?3，下列配方正确的是

A．?x?2??1 B．?x?2??7 C．?x?2??7 D．?x?2??1

2222

8．已知二次函数y?ax2?bx?c的图象如图所示，则下列选 项中不正确的是 ．．．

A．a?0C．0

b?1 D．a?b?c?0 2a9．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径．若?DBC?33?，则?A等于

A． 33 B．57 C．67 D．66

10．小明乘坐摩天轮转一圈，他离地面的高度y（米）与旋转时间x（分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画.经测试得出部分数据如下表：

x/分 y/米 … … 2.66 69.16 3.23 69.62 3.46 68.46 … … 下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是

A．7分 B．6.5分 C．6分 D．5.5分 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．方程x2?4?0的解为_______________．

12. 请写出一个开口向上且经过(0, 1)的抛物线的解析式_________． 13．若二次函数y?2x2?5的图象上有两个点A(2,a)、B(3,b)， 则a____b（填“<”或“=”或“>”）．

14．如图，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC=______°．

15．用一块直径为4米的圆桌布平铺在对角线长为4米的正方形桌面上（如示意图），若四周下垂的最大长度相等，则这个最大长度x为_______米（2取1.4）．

16．如图，O是边长为1的等边△ABC的中心，将AB、BC、CA分别绕点A、点B、点C顺时针旋转?（0????180?），得到AB'、BC'、CA'，连接A'B'、B'C'、A'C'、OA'、OB'． （1）?A'OB'?_______?； （2）当?

? ?时，△A'B'C'的周长最大．

三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）

17．解方程：x2?3x?2．

18．若抛物线y?x2?3x?a与x轴只有一个交点，求实数a的值．

19．已知点(3, 0)在抛物线y??3x2?(k?3)x?k上，求此抛物线的对称轴．

20．如图，AC是⊙O的直径，PA, PB是⊙O的切线，A, B为切点，?BAC?25?．求∠P的度数．

21．已知x=1是方程x2?5ax?a2?0的一个根，求代数式3a2?15a?7的值．

22．一圆柱形排水管的截面如图所示，已知排水管的半径为1m，水面宽AB为1.6m．由于天气干燥，水管水面下降，此时排水管水面宽变为1.2m，求水面下降的高度．

23．已知关于x的方程3x2?(a?3)x?a?0(a?0). （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根大于2，求a的取值范围．

24．在设计人体雕像时，若使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度的比等于下部与全部（全身）的高度比，则可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计为多高（5取2.2 ）．

25．已知AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的弦，AB=2，AC=2，AD=1，求∠CAD的度数．

26．抛物线y1?x2?bx?c与直线y2??2x?m相交于A(?2,n)、B (2,?3)两点．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）若?4?x?1，则y2?y1的最小值为________.

27.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于点D. P为AB延长线上一点，?PCD?2?BAC. （1）求证：CP为⊙O的切线； （2）BP=1，CP?5. ①求⊙O的半径；

②若M为AC上一动点，则OM+DM的最小值为 .

28.探究活动：

利用函数y?(x?1)(x?2)的图象(如图1)和性质，探究函数y?(x?1)(x?2)的图象与性质.

下面是小东的探究过程，请补充完整：

(1)函数y?(x?1)(x?2)的自变量x的取值范围是___________；

(2)如图2，他列表描点画出了函数y?(x?1)(x?2)图象的一部分，请补全函数图象；

图1 图2

解决问题：

设方程(x?1)(x?2)?1x?b?0的两根为x1、x2，且x1?x2，方程4x2?3x?2?1x?b的两根为x3、x4，且x3?x4.若1?b?2，则x1、x2、x3、x4的4大小关系为 （用“<”连接）．

29．在平面直角坐标系xOy中，半径为1的⊙O与x轴负半轴交于点A，点M在⊙O上，将点M绕点A顺时针旋转60?得到点Q. 点N为x轴上一动点（N不与A重合 ），将点M绕点N顺时针旋转60?得到点P. PQ与x轴所夹锐角为?. （1） 如图1，若点M的横坐标为

1，点N与点O重合，则?=________?； 2（2） 若点M、点Q的位置如图2所示，请在x轴上任取一点N，画出直线PQ，并求

?的度数；

（3） 当直线PQ与⊙O相切时，点M的坐标为_________.

图1 图2 备用图

海淀区九年级第一学期期中测评

数学试卷参考答案

一、选择题（本题共30分，每小题3分） 题 号 答 案 1 D 2 A 3 A 4 A 5 B 6 B 7 C 8 D 9 B 10 C

二、填空题（本题共18分，每小题3分） 题 号 答 案 三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）

17．解：x2?3x?2?0. ……………………………………………1分

11 12 13 < 14 130 15 16 120，150 x1?2,x2??2 y?x2?1 （答案不唯一） 0.6 (x?1)(x?2)?0． ……………………………………………3分

∴x?1?0或x?2?0．

∴x1?1,x2?2. ………………………………………………………5分

18．解：∵抛物线y?x?3x?a与x轴只有一个交点，

∴??0，………………………………………2分

即9?4a?0．……………………………………………4分 ∴a?

19．解：∵点(3, 0)在抛物线y??3x?(k?3)x?k上，

∴0??3?3?3(k?3)?k．………………………………………2分 ∴k?9．……………………………………………3分 ∴抛物线的解析式为y??3x?12x?9．

∴对称轴为x?2．……………………………………………5分

20．解：∵PA,PB是⊙O的切线，

∴PA=PB．………………………………………1分

∴?PAB??PBA．………………………………………2分

22229．……………………………………………5分 4

∵AC为⊙O的直径， ∴CA⊥PA．

∴?PAC?90o．………………………………………3分 ∵?BAC?25o，

∴?PAB?65o．………………………………………4分

∴?P?180??2?PAB?50o．………………………………………5分

21．解：∵x?1是方程x2?5ax?a2?0的一个根，

∴1?5a?a2?0．………………………………………2分 ∴a2?5a??1．…………………………………………3分 ∴原式?3(a?5a)?7 ………………………………………4分

2??10．………………………………………5分

22．解：如图，下降后的水面宽CD为1.2m，连接OA, OC，过点O作ON⊥CD于N，交AB于M．………………………… 1分

∴?ONC?90o.

∵AB∥CD，

∴?OMA??ONC?90o． ∵AB?1.6，CD?1.2， ∴AM?11AB?0.8，CN?CD?0.6． …………………………2分 22在Rt△OAM中，

∵OA?1，

∴OM?OA?AM?0.6． ………………………………3分 同理可得ON?0.8．………………………………4分 ∴MN?ON?OM?0.2.

答：水面下降了0.2米．…………………………5分

23．（1）证明： ??(a?3)?4?3?(?a)?(a?3)．……………………………1分

∵a?0， ∴(a?3)?0．

即??0．

∴方程总有两个不相等的实数根．……………………………………………2分

22222

（2）解方程，得x1??1,x2?∵方程有一个根大于2，

a．……………………………………………4分 3a?2． 3∴a?6．……………………………………………5分

∴

24．解：如图，雕像上部高度AC与下部高度BC应有AC:BC?BC:2，即

BC2?2AC．

设BC为x m. …………………………………1分

依题意，得x2?2(2?x)．.………………………………………3分 解得x1??1?5,x2??1?5（不符合题意，舍去）．……4分

5?1?1.2．

答：雕像的下部应设计为1.2m．…………………………5分

25． 解：如图1，当点D、C在AB 的异侧时，连接OD、BC. ………1分∵AB是⊙O的直径，

∴?ACB?90o． 在Rt△ACB中， ∵AB?2，AC?2， ∴BC?2．

∴?BAC?45o．………………2分 ∵OA?OD?AD?1，

∴?BAD?60o．………………3分

∴?CAD??BAD??BAC?105o．………………4分

当点D、C在AB 的同侧时，如图2，同理可得?BAC?45?，

?BAD?60?．

∴?CAD??BAD??BAC?15o．

∴?CAD为15o或105o． …………………5分

26．解：（1）∵直线y2??2x?m经过点B（2，-3），

∴?3??2?2?m．

∴m?1．……………………………………………1分 ∵直线y2??2x?m经过点A（-2，n），

∴n?5．……………………………………………2分

∵抛物线y1?x∴?2?bx?c过点A和点B，

?5?4?2b?c,

??3?4?2b?c.?b??2,∴?

c??3.?∴y1?x2?2x?3．……………………………………………4分 （2）?12. ……………………………………………5分

27．（1）证明：连接OC. ……………………………1分

∵∠PCD=2∠BAC，∠POC=2∠BAC， ∴∠POC =∠PCD．……………………………2分 ∵CD⊥AB于点D，

∴∠ODC=90?．

∴∠POC+∠OCD =90o． ∴∠PCD+∠OCD =90o． ∴∠OCP=90o． ∴半径OC⊥CP．

∴CP为⊙O的切线． ……………………………………………3分 （2）解：①设⊙O的半径为r .

222在Rt△OCP中，OC?CP?OP．

∵BP?1,CP?5,

∴r2?(5)2?(r?1)2． ………………………4分 解得r?2．

∴⊙O的半径为2． ……………………………………………5分 ②

28．解：（1）x?1或x?2；……………………………………………2分 （2）如图所示：

214． ……………………………………………7分 3……………………………………5分

x1?x3?x4?x2. .……………………………………………7分

29. 解：（1）60. ……………………………………………2分

（2）

.……………………………………………3分

连接MQ,MP.记MQ,PQ分别交x轴于E,F.

∵将点M绕点A顺时针旋转60?得到点Q，将点M绕点N顺时针旋转60?得到点P， ∴△MAQ和△MNP均为等边三角形. ………………4分

y∴MA?MQ，MN?MP，?AMQ??NMP?60?. ∴?AMN??QMP.

PMA∴△MAN≌△MQP. .………………………………5分 ∴?MAN??MQP. ∵?AEM??QEF， ∴?QFE??AMQ?60?.

∴??60?. .…………………………………………….6分 （3）（

OEQFNx1313，）或（?，?）. ………………………8分 2222

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