浅谈微积分在中学数学教学中的应用

浅谈微积分在中学数学教学中的应用

初等数学是高等数学的基础，二者有着本质的联系。将高等数学的理论应用于初等数学，使其内在的本质联系得以体现，进而去指导初等数学的教学工作。作为中学数学教师，除了应熟练掌握各种题型的初等解法外，还应善于运用高等数学知识解决中学数学问题，特别是一些用初等数学方法难以解决或虽能解决但显得难、繁，而用高等数学的方法则易于解决的中学数学问题，从而拓广解题思路和技巧，提高教师专业水平，促进中学数学教学。

高等数学是初等数学的延续和发展，而初等数学是高等数学的基础。作为学习和研究数学的途径，无疑应该先学习和掌握初等数学，然后才能学习和掌握高等数学。反之，学习高等数学能加深加宽对初等数学的理解，可以提高我们的数学修养，开阔思路，提高解决问题的能力。而在初等数学与高等数学的研究与发展中微积分都占有重要的地位。

一．用微积分知识直接用来处理初等数学的问题而达到简便的目的。

在初等数学中有些不能或不易解决的问题，运用高等数学的理论和方法可以得到圆满的解决.例如：中学数学中证明某些恒等式时的恒等变形过程相当繁杂，稍不小心就会出错。如果题目再复杂一些，就更困难。使用微积分的知识，可以避免繁杂的工作。 例1（ 方程根的讨论）

求证(x?a)(x?a?b)?1有两个相异实根，并且一个根大于a，令一个根小于a． 证法一 （采用初等方法证明）

证明 将方程(x?a)(x?a?b)?1整理的

22??x?2a?bx?a?ab?1?0

??2?????2a?b?4a?ab?1

2222 ?4a?4ab?b?4a?4ab?4 2 ?b?4?0

?? 所以方程有两个相异的实根

2a?b?b2?42a?b?b2?4x1?,x2?22

2a?b?b2?4b?b2?4?x1?a??a?22 2a?b?b2?4b?b2?4x2?a??a?22 因为 b2?4?b2,所以b2?4?b. 因此 x1?a,x2?a. 证法二 （采用微积分方法证明） 证明 设f?x???x?a??x?a?b??1 则

x?0f?a???1?0

因为limf?x????，所以在区间???,a?和?a,???内分别存在?和?，使

f????0,f????0

由连续函数的介值性定理，在区间??,a?和?a,??内分别存在x1和x2，使的

f?x1??0,f?x2??0

这表明x1和x2是方程的两个相异实根，x1?a,x2?a.

不仅如此，根据这一证法，我们还可以深化和拓广对这一方程的研究，获得新的结论．因为

f?a?b???1?0 所以a?b同样介于方程的两根之间，我们还

可以看到，方程?x?a??x?a?b??1的右端对于本题的结论来说并非是至关重要的，关键是方程的右端必须是一个正数．于是综合以上两点可以得到更为一般的结论：设c?0，则方程?x?a??x?a?b??c必有两个相异实根，且均介于方程的两根之间．

注：本题用初等数学的方法证明必须分为两步：先利用判别式证明方程有两个相异实根，再利用求根公式求出方程的两个根，并与a比较其大小，这样做具有一定的计算量，显得麻烦．而采用微积分的方法，可将两步并为一步，显得简捷，而且还可以得到更为深层的结论。 例2（不等式的证明） 若x?0，求证：

x?ln?1?x??x 1?x证明 设f?x??ln?1?x?则f?x?在?0,x?上满足拉格朗日中值定理，故存在

???0,x?使f????? 即

f?x??f?0? x?01ln?1?x? ?1??x11??1 1?x1???0???x, ??1ln?1?x???1 1?xxx?ln?1?x??x 即

1?x注 不等式的证明方法多种多样，没有统一的模式，初等数学常用的方法是恒等变形、数学归纳法、利用二次型、使用重要不等式等，往往有较高的技巧．利用微积分的方法证明不等式，常利用函数的增减性、微分中值定理等有关知识，它可使不等式证明的过程大大简化，技巧性降低，但也没有固定模式．

例 3（代数式的化简）

化简?x?y?z???x?y?z???y?z?x???z?x?y?.

3333解 把x看作变量，y与z看作常量．令

f?x???x?y?z???x?y?z???y?z?x???z?x?y?.

3333对求导得

f??x??3?x?y?z???x?y?z???y?z?x???z?x?y??24yz

2222??上式两端取不定积分得 f?x???24yzdx?24xyz?C

??x?y?z???x?y?z???y?z?x???z?x?y??24xyz?C

3333令x?0得C??y?z???y?z???y?z???z?y??0

3333 故原式?24xyz

注 对于代数式的化简，初等数学常采用的方法是把各项展开然后合并同类项，计算量比较大，比较繁琐。利用微积分方法可使解题过程简化。 二．微积分可以为初等数学中常用的数学方法提供理论依据。

例如：在中学数学中，我们经常用的一些定理、公理都不加以证明，只用其结论。这些在高等数学中，利用微积分等知识就可以进行推理，例如：祖恒定理

的证明。我们可以用这些方法解决用其他数学方法难于处理的许多问题。 祖恒定理的证明

高中立体几何中的祖恒定理只是作为公理进行应用，事实上，它无法用中学知识证明，而在高等数学中，用积分的理论可很容易地给出它的理论证明。

证明 在夹两个立体的两平面的任一平面上，任取一点为原点O，过O且垂直于这个平面的直线取为x轴，并把射向另一个平面的方向记为x轴的正向，把两平行平面的距离记为h，设夹在这两个平面之间的平行于这两个平面的平面，截坐标轴于x，且截两立体所得的截面面积分别为S1?x?与S2?x?，显然S1?x?与设两立体的体积分别为V1和V2，由定积分定义得： S2?x?都是?0,h?上的连续函数，

V1??S1?x?dx V2??S2?x?dx

00hh?S1?x??S2?x? x??0,h?

??S1?x?dx??S2?x?dx

00hh ?V1?V2

总之，高等数学与初等数学有着千丝万缕的联系，其中微积分都扮演着重要的角色，它不但能解决初等数学中的诸多问题，而且成为高等数学发展的基础。用微积分的知识解决初等数学难以解决的问题。微积分的理论是研究高等数学与中学数学关系时不可或缺的部分，它对中学数学有重要的指导作用。将高等数学的理论应用于初等数学，使其内在的本质联系得以体现，进而去指导初等数学的教学工作。

作为中学数学教师，除了应熟练掌握各种题型的初等解法外，还应善于运用高等数学知识解决中学数学问题，特别是一些用初等数学方法难以解决或虽能解决但显得难、繁，而用高等数学的方法则易于解决的中学数学问题，从而拓广解题思路和技巧，提高教师专业水平，促进中学数学教学。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/2t33.html