应用多元统计分析第二章习题解答

2.1试述多元联合分布和边缘分布之间的关系。

设，是p维随机向量，称由它的q (

量组成的子向量的分布为的边缘分布，相对

地把的分布称为联合分布。

当的分布函数为F ，

时，的分布函数即边缘分布函数为F ，

=P(

) :

=F

当X有分布密度f ()则也有分布密度，即边缘密度

函数为：f( ,)=( ， )

2.2设随机向量服从二元正态分布，写出其联合分布密

度函数和各自的边缘密度函数。

联合分布密度函数

0 ,其他

------ ----------- ----------- = --------------- -------- (

) --------

所以指数部分变为 - ----------------------------------

令t=——————

2 (1) 随机变量各自的边缘密度函数、均值与方差。 同理,

■be b 1 3 +b

Eg )= J x/iW )=〕Xi ? -------------- dxi = -------- 皿 3 b_a 2

同理可得

E x 2 =

exp[

^^exp[

,其他

同理,

^^exp[

,其他

2.3已知随机向量 的联合分布密度函数为

,其中,

。求:

,2 - —. . (a — b )

D“)= J" — Eg ))右区飪为)=[^x ^— I ?匚a dx i= 12

(2) 随机变量的协方差和相关系数。 E(

E(

E(

E(

D( E(

D( E(

Cov

E(

E( (3) 判断是否独立

不相互独立

对角阵，证明的分量是相互独立的随机变量同理可得D x 2 =

2 c-d 12 2.4设随机向量

服从正态分布，已知其协差阵为

<

J 艺 与不相关 又 ，

服从正态分布 与相互独立。( ,, , , ,)

2.5

解：依据题意，X=

E(X)=

D(X)=-

在SPSS ^求样本均值向量的操作步骤如下: 1. 选择菜单项 Analyze ^ Descriptive Statistics^ Descriptives,打开 Descriptives 对话框。

将待估计的四个变量移入右边的 Variables 列表框中，如图2.1。

注：利用

X pi S=X ( I n-11 n 1n ) X n 01

1

图 2.1 Descriptives对话框

2. 单击Options按钮，打开Options子对话框。在对话框中选择Mean复选框，即计

算样本均值向量，如图 2.2所示。单击Continue按钮返回主对话框。

图2.2 Options子对话框

3.单击OK按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给出样本均值向量，如表 2.1，即

样本均值向量为(35.3333，12.3333，17.1667, 1.5250E2)。

輔述缢计星

表2.1样本均值向量

在SPSS中计算样本协差阵的步骤如下：

1. 选择菜单项Analyze 宀Correlate 宀Bivariate，打开Bivariate Correlations 对话框。

将三个变量移入右边的Variables列表框中，如图 2.3。

图 2.3 Bivariate Correlations对话框

2. 单击Options 按钮，打开Options 子对话框。选择Cross-product deviations and

covariances复选框，即计算样本离差阵和样本协差阵，如图 2.4。单击Continue 按钮，返回主对话框。

图2.4 Options子对话框

3. 单击OK按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给出相关分析表，见表 2.2。表中Covariance给出样本协差阵。（另外，Pearson Correlation为皮尔逊相关系数矩阵，

Sum of Squares and Cross-products为样本离差阵。）

2.6均值向量和协差阵的最大似然估计量具有哪些优良性质?

1. E(X)=口，即X是口的无偏估计；

1 n _i i

E(—S) 艺，即一S不是艺的无偏估计，

n n n

1 1

而E( S)=艺，即卩S是艺的无偏估计；

n —1 n —1

1

2. X , S分别是口，艺的有效估计；

n —1

一1 1

3. X , - S (或S )分别是卩，工的一致估计(相合估计)。

n n —1

E( X) =口-) ---- ) 艺

2.7试证多元正态总体的样本均值向量

证明：_ ( ) _ ( ) _

一 () — () —

2.9设 是从多元正态总体 中独立抽取的一 2.8试证多元正态总体 计。

证明：E( -

是的无偏估计，S=n

为 的无偏估计

个随机样本，试求样本协差阵 —— 的分布。

解：X (a )~N p ( 口，习,a =1,2,…，n 且相互独立，则样本离

差阵 S 八(X (a)- X )(X (a)- X ) ~W p ( n —1,习,其中 X 二―、X (a)

a 4

n a 4 样本协差阵——的分布为 (1,)

2.10设 是来自 的数据阵，i=1,2, ,k

(1) 已知 且

，求和 (2) 已知 ，求，，和 的估计

这道题我对自己的答案不是很确定

的样本协差阵——为 的无偏估 的估计

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