2019年高中数学人教A版必修5习题：第三章不等式3.3.2.2

哈哈哈哈哈哈哈哈你好好啊第2课时 线性规划的实际应用

课时过关·能力提升

基础巩固

1某所学校计划招聘男教师x名,女教师y名,若x和y须满足约束条 -

件 - 则该校招聘的教师人数最多是

A.6

B.8

C.10

D.12

解析:该校招聘男教师x名,女教师y名,此时该校招聘的教师人数为z名,

则z=x+y,且x≥0,y≥0,x,y均为自然数,画出可行域如图阴影部分中的整数点所示,可得M(3,1),

所以可行解有(3,1),(4,2),(4,3),(5,3),(5,4),(5,5),

则z=4,6,7,8,9,10,所以z的最大值是10,即该校招聘的教师人数最多是10. 答案:C

2在一次促销活动中,某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇.现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用400元,可装洗衣机20台;每辆乙型货车运输费用300元,可装洗衣机10台.若每辆车至多只运一次,则该厂所花的最少运输费用为( ). A.2 000元 答案:B

B.2 200元

C.2 400元 D.2 800元

和任何人呵呵呵 哈哈哈哈哈哈哈哈你好好啊3已知签字笔2元一支,练习本1元一本.某学生欲购买的签字笔不少于3支,练习本不少于5本,但买签字笔和练习本的总数量不超过10,则支出的钱数最多是 元. 答案:15

4某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备

乙每天的租赁费为300元.现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为 元. 答案:2 300

5某家具厂有方木料90 m3,五合板600 m2,准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3,五合板2 m2,生产每个书橱需要方木料0.2 m3,五合板1 m2,出售一张书桌可获利润80元,出售一个书橱可获利润120元.设生产书桌x张,书橱y个,利润总额为z元,则线性约束条件是 ,线性目标函数是 .

答案: ∈

∈

6某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元. 解析:设生产产品Ax件,生产产品By件,

由题意得

∈

即

∈

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目标函数z=2100x+900y,画出约束条件对应的可行域(如图阴影部分中的整数点所示),作直线y= 当直线过5x+3y=600与10x+3y=900的交点时,z取最大值,

由 解得

所以zmax=2100×60+900×100=216000. 答案:216 000

7某公司有60万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资

的 且对每个项目的投资不能低于 万元 对项目甲每投资 万元可获得 万元的利润 对项目乙每投资 万元可

解设投资项目甲x万元,投资项目乙y万元,可获得利润为z万元,

目标函数为z=0.4x+0.6y. 则

由图知,目标函数z=0.4x+0.6y在A点取得最大值. - 由 得A(24,36).

和任何人呵呵呵 哈哈哈哈哈哈哈哈你好好啊故ymax=0.4×24+0.6×36=31.2(万元), 即获得的最大利润为31.2万元.

8某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏损率分别为30%和10%,投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元,问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大? 解设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目,由题意

知 目标函数z=x+0.5y.

上述不等式组表示的平面区域如图所示,阴影部分(含边界)即可行域.

作直线l0:x+0.5y=0,并作平行于直线l0的一族直线x+0.5y=z,z∈R,与可行域相交,其中有一条直线经过可行域上的M点,且与直线x+0.5y=0的距离最大,这里M点是直线x+y=10和0.3x+0.1y=1.8的交点.

解方程组 得x=4,y=6,此时z=4+0.5×6=7(万元).

∵7>0,∴当x=4,y=6时,z取得最大值.

故投资人用4万元投资甲项目,6万元投资乙项目,才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下,使可能的盈利最大.

能力提升

和任何人呵呵呵 哈哈哈哈哈哈哈哈你好好啊1某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( ).

原料限甲 乙 额 A/3 2 12 吨 B/1 2 8 吨

A.12万元

B.16万元

C.17万元 D.18万元

解析:设该企业每天生产甲、乙两产品分别为x吨、y吨,由题意知,x,y需满足约束条 件 每天可获得利润z=3x+4y.

由约束条件画出可行域,如图所示,l0:y= 平移l0得点C,使z取得最大值.

由 得C(2,3),

故zmax=6+12=18(万元). 答案:D

★

2如图,目标函数z=ax-y的可行域为四边形OACB(含边界),若 是该目标函数

的最优解 则 的取值范围是

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A - - - -

C -

解析:最优解为C点,则目标函数表示的直线斜率在直线BC与AC的斜率之间.

因为kBC= 所以a∈ - - 答案:B

3某运输公司有12名驾驶员和19名工人,有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需送往A地至少72吨的货物,派用的每辆车需满载且只运送一次,派用的每辆甲型卡车需配2名工人,运送一次可得利润450元;派用的每辆乙型卡车需配1名工人,运送一次可得利润350元.该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数,可得最大利润z等于( ). A.4 650元

B.4 700元

C.4 900元 D.5 000元

解析:设派用甲型卡车x辆,乙型卡车y辆,

则 目标函数z=450x+350y.画出可行域,如图阴影部分的整数点.当目标函数经 ∈

∈ 过A(7,5)时,利润z最大,为4900元.

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答案:C

4铁矿石A和B的含铁率a,冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表:

a b/万c/百万吨 元 3 A 50% 1 B 70% 0.5 6

某冶炼厂至少要生产1.9万吨铁,若要求CO2的排放量不超过2万吨,则购买铁矿石的最少费用为 百万元.

解析:可设需购买A铁矿石x万吨,B铁矿石y万吨,

则根据题意得到约束条件为

目标函数为z=3x+6y.当目标函数对应的直线经过点(1,2)时,目标函数取最小值,最小值为zmin=3×1+6×2=15. 答案:15

5某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元,70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒,则不同的选购方式有 种. 解析:设购买软件x片,磁盘y盒.

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由题意,得 ∈

∈

即 ∈ ∈

∴3≤x≤6.∴x=3,4,5,6.

此时y=2,3,4. 当x=3时,2≤y

当x=4时,2≤y

此时y=2,3. 当x=5时,2≤y 此时y=2. 当x=6时,y=2.

∴整点为(3,2),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(5,2),(6,2),则不同的选购方式有7种.

答案:7

6已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和260万吨,需经过东车站和西车站两个车站运往外地.东车站每年最多能运280万吨煤,西车站每年最多能运360万吨煤,甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨,乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨.煤矿应怎样编制调运方案,能使总运费最少?

解设甲煤矿向东车站运x万吨煤,乙煤矿向东车站运y万吨煤,那么总运费

z=x+1.5(200-x)+0.8y+1.6(260-y)(万元), 即z=716-0.5x-0.8y.

-

x,y应满足

-

- -

即

作出上面的不等式组所表示的平面区域,如图.

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设直线x+y=280与y=260的交点为M,则M(20,260).把直线l0:5x+8y=0向上平移至经过平面区域上的点M时,z的值最小.

因为点M的坐标为(20,260),

所以甲煤矿生产的煤向东车站运20万吨,向西车站运180万吨,乙煤矿生产的煤全部运往东车站时,能使总运费最少.

★7甲、乙两公司生产同一种产品,但由于设备陈旧,需要更新,经测算,对于函数f(x),g(x)及任意的

x≥0,当甲公司投入x万元改造设备时,若乙公司投入改造设备费用小于f(x)万元,则乙有倒闭的风险,否则无倒闭的风险;同样当乙公司投入x万元改造设备时,若甲公司投入改造设备费用小于g(x)万元,则甲有倒闭的风险,否则无倒闭的风险. (1)请解释f(0),g(0)的实际意义; (2)设

f(x)=x+5,g(x)

甲、乙两公司为了避免恶性竞争 经过协商 同意在双方均无倒闭风险的情况下尽可能地减少改造设备资金 问此时解(1)f(0)表示当甲公司不投入资金改造设备时,乙公司要避免倒闭,至少要投入f(0)万元的资金;g(0)表示当乙公司不投入资金改造设备时,甲公司要避免倒闭,至少要投入g(0)万元的资金.

(2)设甲公司投入的资金为x万元,乙公司投入的资金为y万元.

依题意,甲、乙两公司均无倒闭风险,需

改造设备资金为z=x+y,此不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.

和任何人呵呵呵 哈哈哈哈哈哈哈哈你好好啊

作直线l0:x+y=0,平移直线l0,在可行域中的点P处z=x+y取得最小值. 由 得P(25,30),

-

故在双方均无倒闭风险的情况下,甲公司至少要投入25万元,乙公司至少要投入30万元,此时改造设备资金最少为55万元.

和任何人呵呵呵

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