云南省玉溪一中2022届高三数学下学期第五次调研考试试题理(含参

1 玉溪一中2019届高三数学下学期第五次调研考试试题 理

考试时间：120分钟, 满分：150分

注意事项：

答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息,请将答案正确填写在答题卡上

第I 卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.若集合[1,2]A =，2{|320}B x x x =-+=，则A B =（ ）

A ．{1,2}

B ．[1,2]

C ．(1,2)

D ．φ

2.已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（ ）

A ．1

B ．i

C ．－1

D ．－i

3.函数()()log a f x x b =+的大致图象如右图所示，则函数()x

g x a b =-的图象可能是(

)

4.若向量,a b 的夹角为

3

π，且||2a =，||1b =，则向量2a b +与向量a 的夹角为（ ） A.3π B.6π C.23π D.56

π 5.已知0a >，0b >，若不等式414m a b a b +≥+恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．9 B ．12 C ．16 D ．10

6.在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图，下列结论中正确的是( )

A ．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位

数等于20%

B ．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位

数小于20%

C ．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位

数等于20%

D

．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位

2 数小于20%

{}3541311,22

n a a a a a =7.已知正项等比数列满足与的等差中项为，则的值为（ ） A ．4 B ．2

C ．

12 D ．14

8.()1tan sin()0,,441tan π

αααπα

-+=∈=+已知则( )

B.

D.9.三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，且AB ⊥BC ，AB=BC=4,AA 1=6，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）

A ．68π

B ．32π

C ．17π

D ．164π

10.教育部选派3名中文教师到外国任教中文，有4个国家可供选择，每名教师随机选择一个国家，则恰有2名教师选择同一个国家的概率为（ ）

A ．38

B ．49

C ．916

D ．932 11.设点P 是椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>上异于长轴端点的任意一点，12,F F 分别是其左右焦点，O 为中心，2212||||||3PF PF OP b +=，则此椭圆的离心率为（ ）

A ．12 B

C. 2 D

．4

12.设'()f x 为函数()f x 的导函数，且满足321()3,'()'(6)3f x x ax bx f x f x =

-++=-+，若()6ln 3f x x x ≥+恒成立，则实数b 的取值范围是（ ）

A ．[)66ln6,++∞

B ．[)4ln 2,++∞

C ．[)5ln5,++∞ D

．)

6?++∞? 第II 卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.6(-的展开式中2x 的系数是 ． 14.在平面四边形ABCD 中，90=120D BAD ∠=∠，

，CD = 2,AC =3AB =,则

3 BC= ．

15.在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ?=，则点A 的横坐标为 ．

16.已知函数2()log 1f x x =-，若()2

f x =的四个根为1234,,,x x x x ，且123k x x x x =+++,则

()1f k += ． 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，第22、23题为选考题）

17.若数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项10a >且22n n n S a a =+()n N *∈．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若0n a >，令4(2)n n n b a a =

+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若n T m <恒成立，m Z ∈,求m 的最小值．

18.某市在2018年2月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示，全市10 000名学生的成绩服从正态分布N(120，25)．现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名学生的成绩全部介于85分至145分之间，现将结果按如下方式分为6组，第一组[85，95)，第二组[95，105)，…，第六组[135，145]，得到如图

所示的频率分布直方图．

(1)试估计该校数学成绩的平均分数；

(2)若从这50名学生中成绩在125分(含125分)以上的

同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记

为X ，求X 的分布列和期望．

附：若X ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.6826，

P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<X<μ＋

3σ)＝0.9974.

19.如图所示，在四棱锥 P ﹣ABCD 中，PC ⊥底面 ABCD ，ABCD

是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB=2AD=2CD=2．E 是PB 的

中点．

（Ⅰ）求证：平面 EAC ⊥平面 PBC ；

（Ⅱ）若二面角P ﹣AC ﹣E

的余弦值为3

PA

与

4 平面EAC 所成角的正弦值．

20.已知抛物线x 2

＝2py ，准线方程为y ＋2＝0，直线l 过定点T(0，t)(t>0)，且与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点．

(1)求抛物线方程；

(2)OA →·OB →

是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；

(3)当t ＝1时，设AT →＝λTB →

，记|AB|＝f(λ)，求f(λ)的最小值及取最小值时对应的λ．

21.已知函数2()x f x e x x =--.

(1)判断函数()f x 在区间(),ln 2-∞上的单调性；

(2)若12ln 2,ln 2,x x <>且()()12f x f x ''=，证明：124x x e +<.

选做题(请考生在第22、23题中任选一题作答，在答题卡选答区域指定位置答题)

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,2sin ,

x t y t =??=?（t 为参数），以坐标原点为

极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，直线l

的直角坐标方程为y =．

（1）求曲线1C 的极坐标方程；

（2）若曲线2C 的极坐标方程为8cos 0ρθ+=，与直线l 在第三象限交于A 点，直线l 与1C 在第一象限的交点为B,求AB ．

23.[选修4-5：不等式选讲]

已知函数()|3||2|f x x x =-+-.

5

（1）求不等式()3f x <的解集M ；

（2）证明：当,a b M ∈时，1a b ab +<+.

玉溪一中第五次调研考试参考答案

一、 选择题

二、 填空题

13、192 14、 15、 3 16、 2 三、解答题

17、（1）当1n =时，21112S a a =+，则11a =

当2n ≥时，2211

122

n n n n n n n a a a a a S S ---++=-=-， 即111()(1)0n n n n n n a a a a a a ---+--=?=-或11n n a a -=+，1(1)n n a -∴=-或n a n

=

（2）由0n a >，n a n ∴=，

()41

1222n b n n n n ??=

=- ?

++??

()()111111

14621333243521+2n n T n n n n ??+??????

??=-+-+-+

+-=-< ? ? ? ???++??????

????，

又

min , 3.m Z m ∈∴=

18、(1)由频率分布直方图可知[125，135)的频率为1－(0.010×10＋0.024×10＋0.030×10

＋0.016×10＋0.008×10)＝0.12.

所以估计该校全体学生的数学平均成绩约为90×0.1＋100×0.24＋110×0.3＋120×0.16＋130×0.12＋140×0.08＝112.

(2)由于13

10 000＝0.001 3，根据正态分布得P(120－3×5<X<120＋3×5)＝0.997 4.

故P(X≥135)＝1－0.997 4

2

＝0.001 3，即0.001 3×10 000＝13.

所以前13名的成绩全部在135分以上．

根据频率分布直方图可知这50人中成绩在135分以上(包括135分)的有50×0.08＝4人，而在[125，145]的学生有50×(0.12＋0.08)＝10. 所以X 的取值为0，1，2，3.

所以P(X ＝0)＝C 63

C 103＝16，P(X ＝1)＝C 62

C 41

C 103＝12， P(X ＝2)＝C 61

C 42

C 103＝310，P(X ＝3)＝C 43

C 103＝1

30

.

6 所以X 的分布列为

E(X)＝0×16＋1×12＋2×3

10＋3×1

30＝1.2. 19、（Ⅰ）证明：∵PC ⊥平面ABCD ，AC ?平面ABCD ，∴AC ⊥PC ，

∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=

，

∴AC 2+BC 2=AB 2，∴AC ⊥BC ，

又BC∩PC=C，∴AC ⊥平面PBC ，

∵AC ?平面EAC ，∴平面EAC

⊥平面PBC

．

（Ⅱ）如图，以

C 为原点，取AB 中点

F ，、、分别为x 轴、y 轴、z 轴正向，建立空间直角坐标系，

则C （0，0，

0）

，A （1，1

，0），B （1，﹣1，

0）

．

设P （

0，

0，a ）（a ＞0

），则E （，﹣，），

=

（1，

1，0）

，=（0，0，a ），

=（，﹣，）， 取=（1

，﹣

1，0

），则

?=?=0

，为面PAC 的法向量．

设=

（x ，y ，z ）为面EAC 的法向量，则?

=?=0， 即取x=a

，

y=﹣a ，

z=﹣

2，则=（a ，﹣a

，﹣2），

依题意，|cos ＜，＞|=

==，则a=2． 于是=（2，﹣2，﹣2

），=（1，1，﹣2）．

设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则sin θ=|cos ＜

，＞|==， 即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为

．

20、（1）22,4,8.2p p x y -

=-∴=∴=……①

7 （2）设()()1122,,,A x y B x y ，据题意知直线l 的斜率存在，设():0l y kx t t =+>②

联立①②得2880x kx t --=，

12128,8.x x k x x t ∴+==- ()()()22

12121212y y kx t kx t k x x kt x x t ∴=++=+++

212128OA OB x x y y t t ∴?=+=-.由于T （0，t ）为定点，故t 为定值，OA OB ∴?为定值.

(3) ()0,1T ,()11,1AT x y =--,()22,1TB x y =-,

,AT TB λ=()1212,11x x y y λλ∴-=-=-,12x x λ∴=-由（2）知128x x t =-， 2

2

228

8,x t x λλ∴-=-∴=，且0λ>，又()12218x x x k λ+=-=，()2

2

164k λ∴-= 当0k ≠时，1λ≠，()2222641k x λ∴=

-，()2

26481k λλ∴

=-，()

2

218k λλ-∴=；

当0k =时，1λ=，符合上式

. AB ∴=

=

=

=1

t λλ=+，则2t ≥

，AB =

当min 2=1t AB λ==即时，

21、（1） ()21x f x e x '=--，()2x f x e ''=-，

当ln 2x <时，()()()0,-ln2f x f x '''<∴∞在，单调递减.

又()ln2ln 22ln 2112ln 20f e '=--=-<，

令()0f x '=，得()()000ln 2,x x x x ==∈+∞或.

()()()-00ln2f x ∴∞在，单调递增，在，单调递减.

（2）要证124,x x e +<即证122ln 2x x +<成立

当ln 2x >时，2ln 2ln 2x -<.

()()2ln 24

2ln 222ln 2124ln 21x x f x e x x e -'-=---=+--.

8 令()()()42ln 244ln 2x x

g x f x f x e x e ''=--=--+()ln 2x > ()440,ln2=x x g x e e x -'∴=+-≥=当且仅当时取“”.

()()()

2ln2g x f x f x ''∴=--在()ln 2,+∞单调递增 又()()()ln20,ln2ln20

g x g x g =∴>>=当时，即()()2ln2f x f x ''>- ()()222ln 2,2ln 2x f x f x ''>∴>-，()()()()1212,2ln 2f x f x f x f x ''''=∴>- 而由2ln 2x >知22ln 2ln 2x -<，1ln 2x <由（1）知()f x '在(),ln 2-∞单调递减. 122ln 2x x ∴<- 122ln 2x x ∴+<即124x x e +<.

22、（1）22

21sin cos 4θθρ=+ （2）2:8cos ,:3C l π

ρθθ=-=

=-8cos 43A π

ρ=-，2221

17cos sin 34316B ππρ=+

=B ρ?=

4AB =

23、（1）()25,31,23,

25,2x x f x x x x -≥??=<<??-+≤?{}14M x x ?=<<

（2）()()()()2222111a b ab a b +-+=--

()

,1,4a b ∈，

2210,10b a ∴-<-> ()()221a b ab ∴+<+ 1a b ab ∴+<+

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