七年级数学思维探究(27)图形生长的奥秘(有答案)
更新时间:2024-01-28 18:31:01 阅读量: 教育文库 文档下载
1953年毕业于厦门大学数学系,陈景润(1933?1996),福建省福州市人,主要从事解析数论方面的研究.20世纪60年代以来对筛法及其有关重要问题作了深入研究,1960年5月证明了命题“1?2”,将200多年来人们未能解决的哥德巴赫猜想的证明大大推进了一步,这一结果被国际上誉为“陈式定理”. 27.图形生长的奥秘 解读课标
从一个简单的、基本的图形开始,按照一定的规律,生长繁衍成复杂有趣而美丽的图形,并探寻图形的边长、周长、面积的变化规律,这类图形生长的问题是近年中考竞赛的一个热点问题. 以“点”的方式扩散、以“面”的方式膨胀、以“体”的方式“堆砌”,是图形生长的常见形式,解图形生长问题的基本方法是:
(1)分析图形生长的方式、规律;
(2)分析相关数量的特征,找寻相关数量与图形序号的联系,观察发现,归纳猜想. 问题解决
例1 (1)观察图①至图④中小圆圈的摆放规律,并按这样的规律继续摆放,记第n个图中小圆圈的个数为m,则m?________.(用含n的代数式表示)
n=1时m =5①n=2时m =8②n=3时m =11③n=4时m =14④
(2)观察下列图形:
①②③④
根据图①②③的规律,图④中的三角形的个数为___________. 试一试对于(2),从寻找第n个图与第n?1个图三角形个数的关系入手.
例2 (1)如图是一个水平摆放的小正方体木块,图②③是用这样的小正方形木块叠放而成,按照这样的规律,继续叠放下去,至第七个叠放的图形中,小正方体木块总数是(). A.25 B.66 C.91 D.120
……
①②③(2)黑色等边三角形与白色正六边形的边长相等,用它们镶嵌图案,方法如下:白色正方形分上下两行,上面的一行的正六边形个数比下面一行少一个,正六边形之间的空隙用黑色的正三角形嵌满,按第1、2、3个图案所示规律依次下去:
第1个第2个第3个则第n个图案中,黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是().
A.n2?n?2,2n?1 B.2n?2,2n?1 C.4n,n2?n?3 D.4n,2n?1 试一试略. 例3 操作:
(1)如图①,先画一个等边三角形,每边长为1;
(2)如图②,在图①中,每边三等分中间的一份处再凸出一个等边三角形;
(3)如图③,在②的边上,重复进行三等分,中间的一份处凸出一个等边三角形,按上述方法,就画出一个美丽的雪花图形.
n的周长是多少? 探究:图○
……
①②③试一试每“生长一次”,边长变化的规律,以及每“生长一次”,新增三角形个数的规律,这是解本例的突
破口.
例4 有一堆砖堆放如图,第1层有3块,第2层有8块,第3层有15块,??,如此继续下去,第9层有多少块?第n层有多少块?这样共n层的砖堆总共有多少块砖?
试一试从第2层起,每一层横里比上一层多一块,纵里也比上一层多一块,这是解本例的关键,亦可从分析每层砖的数据特征入手.
例5 如图的图案均是用长度相同的火柴棍按一定的规律拼搭而成的:第1个图案需7根火柴,第2个图案需13根火柴,??,依此规律,第11个图案需多少根火柴?
…第1个
第2个第3个第4个分析当数据规律不明显时,可从分析图形构成入手.为使图形结构清晰,可适当改变图形. 解将图中各个图案右下角的一个正方形移除3根火柴后得如下图:
…第1个
第2个第3个第4个图中第1个图案需要横向火柴1?1?2(根),纵向火柴1?1?2(根),共需4根火柴; 第2个图案需要横向火柴1?2?2?5(根),纵向火柴1?2?2?5(根),共需10根火柴; 第3个图案需要横向火柴1?2?3?3?9(根),纵向火柴1?2?3?3?9(根),共需18根火柴; ??
n?n?3?n?n?3?第n个图案需要横向火柴的根数是1?2?3???n?n?,纵向火柴的根数也是,共需
22n?n?3?根火柴.
故拼搭图中第11个图案需火柴11??11?3??3?157(根). 图案设计
例6 如图是一个由12个相似的直角三角形组成的图案,像商标?像蜗牛?像台风眼?
由简单的相似图形出发,展开想象的翅膀,开发头脑无尽的创意,你也能画出更美的图案. 下列图案分别是由相似的正方形、正五边形、正六边形、圆组成的.
(1)漩涡(2)玫瑰花(3)蜘蛛网(4)海螺背影数学冲浪 知识技能广场
1.观察下列图形,它们是按一定规律排列的,依照此规律,第8个图形共有_______枚五角星.
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★n=3★★★★★★★★★★★★★n=4……
n=1n=22.下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成,其中第①个图形一共有2个五角星,第②个图形一共有8个五角星,第③个图形一共有18个五角星,??,则第⑥个图形中五角星的个数为_________.
★★图①★★★★★★★★图②★★★★★★★★★★★★…★★★★★★图③
3.如图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案,图案(1)需要4根小棒,图案(2)需要10根小棒,??,按此规律摆下去,第n个图案需要小棒________根(用含有n的代数式表示).
……(1)
(2)(3)(4)4.用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案,即从第二个图案开始,每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形,则第n个图案中正三角形的个数为________(用含n的代数式表示).
第一个图案第二个图案第三个图案
5.下列图案是晋商大院窗格的一部分,其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸,则第n个图中所贴剪纸“○”的个数为_________.
(1)(2)(3)6.如图①是一块瓷砖的图案,用这种瓷砖来铺设地面.如果铺成一个2?2的正方形图案(如图②),其中完整的圆共有5个,如果铺成一个3?3的正方形图案(如图③),其中完整的圆共有13个,如果铺成一个4?4的正方形图案(如图④),其中完整的圆共有25个.若这样铺成一个10?10的正方形图案,则其中完整的圆共有________个.
①
②③……④7.观察下表,填表格后再解决问题: 3 1 2 序号 图形 ●●●●★●●●● ●●●●●●★★●●★★●●●●●●●● ●●●●●●●●★★★●●●●★★★●●★★★●●●●●●●●●●? n ? ?? 24 ●的个数 8 ? 4 ★的个数 1 ? (1)完成上表; (2)试求第几个图形中的“●”的个数与“★”的个数相等.
8.已知一个面积为S的等边三角形,现将其各边n(n为大于2的整数)等分,并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形,如图所示,当n?k时,共向外作出了多少个小等边三角形?这些小等边三角形的面积和为多少?(用含k的式子表示)
…
n=3n=4n=59.某体育馆用大小相同的长方形镶嵌地面,第一次铺2块,如图①;第二次把第一次铺的完全围起来,如图②;第三次把第二次铺的完全围起来,如图③;??;依此方法,第n次铺完后,用字母n表示第n次镶嵌所使用的木块数为______________.
①②
③10.如图是一个树形图的生长过程,依据图中所示的生长规律,第15行的实心圆点的个数等于_______.
第1行第2行第3行第4行第5行第6行
11.在图①中取阴影等边三角形各边的中点,连成一个等边三角形,将其挖去,得到图②;对图②中的每个阴影等边三角形各边按照先前的做法,得到图③;??;如此继续,如果图①的等边三角形面积为1,则第n个图形中所有阴影三角形面积的和为___________.
①②③12.如图,第(1)个多边形由正三角形“扩展”而来,边数记为a3,第(2)个多边形由正方形“扩展”而来,边数记为a4,??,依此类推,由正n边形“扩展”而来的多边形的边数记为an?n≥3?. (1)求a5的值;
1111197(2)当?????的结果是时,求n的值为_________.
a3a4a5an600……(1)
(2)(3)(4)13.用大小相同的正六边形瓷砖按如图所示的方式来铺设广场,中间的正六边形瓷砖记为A,定义为第一
组;在它的周围铺上6块同样大小的正六边形瓷砖,定义为第二组;在第二组的外围用同样大小的正六边形瓷砖来铺满,定义为第三组,??,按这种方式铺下去,用现有的2005块瓷砖最多能完整地铺满多少组?还剩几块瓷砖?
A
应用探究乐园
14.在下图中,每个正方形由边长为1的小正方形组成:
n=1
n=2n=3n=4n=5n=6(1)观察图形,请填写下列表格: 1 3 5 7 ? n(奇数) 正方形边长 黑色小正方形个数 ? 2 4 6 8 ? n(偶数) 正方形边长 黑色小正方形个数 ? (2)在边长为n?n≥1?的正方形中,设黑色小正方形的个数为p1,白色小正方形的个数为p2,问是否存在偶数n,使p2?5p1?若存在,请写出n的值;若不存在,请说明理由. 15.将棱长为1cm的正方体按如图方式放置,求第20个几何体的表面积.
27.图形生长的奥秘 问题解决
例1(1)3n?2
(2)161图①有1?4?5个,图②有1?4?3?4?17个,图③有1?4?3?4?32?4?53个,图④有1?4?3?4?32?4?33?4?161个.
例2(1)C 1?5?9?13?17?21?25?91; (2)D
4n?1?n中每个小等边三角形的边长为??,图○n周长为n?1. 例3 图○
33??例4 第9层有99块,第n层有n?n?2?块,这样的n层砖堆共有
3?1?4?2?5?3???n?n?2???1?2??1??2?2??2??3?2??3????n?2??n
n11?12?22?32???n2?2?1?2?3???n??n?n?1??2n?1??n?n?1??n?n?1??2n?7?(块).
66数学冲浪
1.25 2.72 3.6n?2 4.2n?2
25.5?3?n?1??3n?2(个) 6.102??10?1??181(个)
7.(1)略;(2)由8n?n2,得n?8或n?0(舍去).
8.n?k时,共向外作了?k?2??3个小等边三角形,每个小等边三角形的面积为3?k?2?1?S??S. k2k29.2n?2n?1???2n?3??2n?2??8n?6
10.377各行的实心圆点数组成斐波那契数列
1?S,这些小等边三角k2形的面积为?k?2??3??3?11.??
?4?12.(1)an?n?n?1?,a5?30;(2)n?199.
13.铺满n组时,所用瓷砖总数为1?6?1?6?2???6?n?1??1?3n?n?1?.
1?3n?n?1??1951?2005,1?3n?n?1??2107?2005,7时,当n?26时,当n?2故最多能完整地铺满26组,
还剩2005?1951?54(块)瓷砖. 14.(1)略;(2)n为偶数时,p1?2n,p2?n2?2n,由题意得n2?2n?5?2n,n?12或n?0(舍去).故
n?1存在偶数n?12,使得p2?5p1.
15.由图呈现的规律知,第20个几何体有20层,从上往下第1层有1个正方体,第2层有3?3个正方体,第3层有5?5个正方体,??,第20层有39?39个正方体,所以第20个几何体的表面积由以下三部分组成: (1)俯视图:边长为39厘米的正方形,面积为39?39?1521(平方厘米). (2)底面积:边长为39厘米的正方形,面积为1521平方厘米. (3)侧面积:四个形如
………………………………………39个正方形的金字塔三角形的面积和,即?1?3?5???39??4?1?39?20?4?1600(平方厘米).故第202个几何体的表面积为1521?2?1600?4642(平方厘米).
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