七年级数学思维探究(27)图形生长的奥秘（有答案）

1953年毕业于厦门大学数学系，陈景润（1933?1996），福建省福州市人，主要从事解析数论方面的研究．20世纪60年代以来对筛法及其有关重要问题作了深入研究，1960年5月证明了命题“1?2”，将200多年来人们未能解决的哥德巴赫猜想的证明大大推进了一步，这一结果被国际上誉为“陈式定理”． 27．图形生长的奥秘 解读课标

从一个简单的、基本的图形开始，按照一定的规律，生长繁衍成复杂有趣而美丽的图形，并探寻图形的边长、周长、面积的变化规律，这类图形生长的问题是近年中考竞赛的一个热点问题． 以“点”的方式扩散、以“面”的方式膨胀、以“体”的方式“堆砌”，是图形生长的常见形式，解图形生长问题的基本方法是：

（1）分析图形生长的方式、规律；

（2）分析相关数量的特征，找寻相关数量与图形序号的联系，观察发现，归纳猜想． 问题解决

例1 （1）观察图①至图④中小圆圈的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记第n个图中小圆圈的个数为m，则m?________．（用含n的代数式表示）

n=1时m =5①n=2时m =8②n=3时m =11③n=4时m =14④

（2）观察下列图形：

①②③④

根据图①②③的规律，图④中的三角形的个数为___________． 试一试对于（2），从寻找第n个图与第n?1个图三角形个数的关系入手．

例2 （1）如图是一个水平摆放的小正方体木块，图②③是用这样的小正方形木块叠放而成，按照这样的规律，继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数是（）． A．25 B．66 C．91 D．120

……

①②③（2）黑色等边三角形与白色正六边形的边长相等，用它们镶嵌图案，方法如下：白色正方形分上下两行，上面的一行的正六边形个数比下面一行少一个，正六边形之间的空隙用黑色的正三角形嵌满，按第1、2、3个图案所示规律依次下去：

第1个第2个第3个则第n个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是（）．

A．n2?n?2，2n?1 B．2n?2，2n?1 C．4n，n2?n?3 D．4n，2n?1 试一试略． 例3 操作：

（1）如图①，先画一个等边三角形，每边长为1；

（2）如图②，在图①中，每边三等分中间的一份处再凸出一个等边三角形；

（3）如图③，在②的边上，重复进行三等分，中间的一份处凸出一个等边三角形，按上述方法，就画出一个美丽的雪花图形．

n的周长是多少？ 探究：图○

……

①②③试一试每“生长一次”，边长变化的规律，以及每“生长一次”，新增三角形个数的规律，这是解本例的突

破口．

例4 有一堆砖堆放如图，第1层有3块，第2层有8块，第3层有15块，??，如此继续下去，第9层有多少块？第n层有多少块？这样共n层的砖堆总共有多少块砖？

试一试从第2层起，每一层横里比上一层多一块，纵里也比上一层多一块，这是解本例的关键，亦可从分析每层砖的数据特征入手．

例5 如图的图案均是用长度相同的火柴棍按一定的规律拼搭而成的：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，??，依此规律，第11个图案需多少根火柴？

…第1个

第2个第3个第4个分析当数据规律不明显时，可从分析图形构成入手．为使图形结构清晰，可适当改变图形． 解将图中各个图案右下角的一个正方形移除3根火柴后得如下图：

…第1个

第2个第3个第4个图中第1个图案需要横向火柴1?1?2（根），纵向火柴1?1?2（根），共需4根火柴； 第2个图案需要横向火柴1?2?2?5（根），纵向火柴1?2?2?5（根），共需10根火柴； 第3个图案需要横向火柴1?2?3?3?9（根），纵向火柴1?2?3?3?9（根），共需18根火柴； ??

n?n?3?n?n?3?第n个图案需要横向火柴的根数是1?2?3???n?n?，纵向火柴的根数也是，共需

22n?n?3?根火柴．

故拼搭图中第11个图案需火柴11??11?3??3?157（根）． 图案设计

例6 如图是一个由12个相似的直角三角形组成的图案，像商标？像蜗牛？像台风眼？

由简单的相似图形出发，展开想象的翅膀，开发头脑无尽的创意，你也能画出更美的图案． 下列图案分别是由相似的正方形、正五边形、正六边形、圆组成的．

（1）漩涡（2）玫瑰花（3）蜘蛛网（4）海螺背影数学冲浪 知识技能广场

1．观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第8个图形共有_______枚五角星．

★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★n=3★★★★★★★★★★★★★n=4……

n=1n=22．下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，??，则第⑥个图形中五角星的个数为_________．

★★图①★★★★★★★★图②★★★★★★★★★★★★…★★★★★★图③

3．如图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案，图案（1）需要4根小棒，图案（2）需要10根小棒，??，按此规律摆下去，第n个图案需要小棒________根（用含有n的代数式表示）．

……（1）

（2）（3）（4）4．用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形，则第n个图案中正三角形的个数为________（用含n的代数式表示）．

第一个图案第二个图案第三个图案

5．下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n个图中所贴剪纸“○”的个数为_________．

（1）（2）（3）6．如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面．如果铺成一个2?2的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3?3的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4?4的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个．若这样铺成一个10?10的正方形图案，则其中完整的圆共有________个．

①

②③……④7．观察下表，填表格后再解决问题： 3 1 2 序号 图形 ●●●●★●●●● ●●●●●●★★●●★★●●●●●●●● ●●●●●●●●★★★●●●●★★★●●★★★●●●●●●●●●●? n ? ?? 24 ●的个数 8 ? 4 ★的个数 1 ? （1）完成上表； （2）试求第几个图形中的“●”的个数与“★”的个数相等．

8．已知一个面积为S的等边三角形，现将其各边n（n为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形，如图所示，当n?k时，共向外作出了多少个小等边三角形？这些小等边三角形的面积和为多少？（用含k的式子表示）

…

n=3n=4n=59．某体育馆用大小相同的长方形镶嵌地面，第一次铺2块，如图①；第二次把第一次铺的完全围起来，如图②；第三次把第二次铺的完全围起来，如图③；??；依此方法，第n次铺完后，用字母n表示第n次镶嵌所使用的木块数为______________．

①②

③10．如图是一个树形图的生长过程，依据图中所示的生长规律，第15行的实心圆点的个数等于_______．

第1行第2行第3行第4行第5行第6行

11．在图①中取阴影等边三角形各边的中点，连成一个等边三角形，将其挖去，得到图②；对图②中的每个阴影等边三角形各边按照先前的做法，得到图③；??；如此继续，如果图①的等边三角形面积为1，则第n个图形中所有阴影三角形面积的和为___________．

①②③12．如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为a3，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为a4，??，依此类推，由正n边形“扩展”而来的多边形的边数记为an?n≥3?． （1）求a5的值；

1111197（2）当?????的结果是时，求n的值为_________．

a3a4a5an600……（1）

（2）（3）（4）13．用大小相同的正六边形瓷砖按如图所示的方式来铺设广场，中间的正六边形瓷砖记为A，定义为第一

组；在它的周围铺上6块同样大小的正六边形瓷砖，定义为第二组；在第二组的外围用同样大小的正六边形瓷砖来铺满，定义为第三组，??，按这种方式铺下去，用现有的2005块瓷砖最多能完整地铺满多少组？还剩几块瓷砖？

A

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14．在下图中，每个正方形由边长为1的小正方形组成：

n=1

n=2n=3n=4n=5n=6（1）观察图形，请填写下列表格： 1 3 5 7 ? n（奇数） 正方形边长 黑色小正方形个数 ? 2 4 6 8 ? n（偶数） 正方形边长 黑色小正方形个数 ? （2）在边长为n?n≥1?的正方形中，设黑色小正方形的个数为p1，白色小正方形的个数为p2，问是否存在偶数n，使p2?5p1？若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由． 15．将棱长为1cm的正方体按如图方式放置，求第20个几何体的表面积．

27．图形生长的奥秘 问题解决

例1（1）3n?2

（2）161图①有1?4?5个，图②有1?4?3?4?17个，图③有1?4?3?4?32?4?53个，图④有1?4?3?4?32?4?33?4?161个．

例2（1）C 1?5?9?13?17?21?25?91； （2）D

4n?1?n中每个小等边三角形的边长为??，图○n周长为n?1． 例3 图○

33??例4 第9层有99块，第n层有n?n?2?块，这样的n层砖堆共有

3?1?4?2?5?3???n?n?2???1?2??1??2?2??2??3?2??3????n?2??n

n11?12?22?32???n2?2?1?2?3???n??n?n?1??2n?1??n?n?1??n?n?1??2n?7?（块）．

66数学冲浪

1．25 2．72 3．6n?2 4．2n?2

25．5?3?n?1??3n?2（个） 6．102??10?1??181（个）

7．（1）略；（2）由8n?n2，得n?8或n?0（舍去）．

8．n?k时，共向外作了?k?2??3个小等边三角形，每个小等边三角形的面积为3?k?2?1?S??S． k2k29．2n?2n?1???2n?3??2n?2??8n?6

10．377各行的实心圆点数组成斐波那契数列

1?S，这些小等边三角k2形的面积为?k?2??3??3?11．??

?4?12．（1）an?n?n?1?，a5?30；（2）n?199．

13．铺满n组时，所用瓷砖总数为1?6?1?6?2???6?n?1??1?3n?n?1?．

1?3n?n?1??1951?2005，1?3n?n?1??2107?2005，7时，当n?26时，当n?2故最多能完整地铺满26组，

还剩2005?1951?54（块）瓷砖． 14．（1）略；（2）n为偶数时，p1?2n，p2?n2?2n，由题意得n2?2n?5?2n，n?12或n?0（舍去）．故

n?1存在偶数n?12，使得p2?5p1．

15．由图呈现的规律知，第20个几何体有20层，从上往下第1层有1个正方体，第2层有3?3个正方体，第3层有5?5个正方体，??，第20层有39?39个正方体，所以第20个几何体的表面积由以下三部分组成： （1）俯视图：边长为39厘米的正方形，面积为39?39?1521（平方厘米）． （2）底面积：边长为39厘米的正方形，面积为1521平方厘米． （3）侧面积：四个形如

………………………………………39个正方形的金字塔三角形的面积和，即?1?3?5???39??4?1?39?20?4?1600（平方厘米）．故第202个几何体的表面积为1521?2?1600?4642（平方厘米）．

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