大学物理考试试题库经典版（含答案） - 图文

第一章 质点运动学

基本要求：

1、掌握位矢、位移、速度、加速度、角速度和角加速度等物理量。 2、能计算速度、加速度、角加速度、切向加速度和法向加速度等。 教学重点：位矢、运动方程,切向加速度和法向加速度。 教学难点：角加速度、切向加速度和法向加速度。

主要内容：

本章首先从描述物体机械运动的方法问题入手，阐述描述运动的前提——质点理想模型、时间和空间的量度，参照系坐标系。其次重点讨论描写质点和刚体运动所需要的几个基本物理量（如位移、速度、加速度、角速度、角加速度等）及其特性（如相对性、瞬时性、矢量性）。

（一）时间和空间

研究机械运动，必然涉及时间、空间及其度量．我们用时间反映物体运动的先后顺序及间隔，即运动的持续性．现行的时间单位是1967年第13届国际计量大会规定的，用铯（133Cs）原子基态的两个超精细能级间跃迁相对应的辐射周期的9 192 631 770倍为1秒．空间反映物质的广延性．空间距离为长度，长度的现行单位是1983年10月第17届国际计量大会规定的，把光在真空中1/299 792 458秒内走过的路程定义为1米．

（二）参照系和坐标系

宇宙间任何物质都在运动，大到地球、太阳等天体，小到分子、原子及各种基本粒子，所以说，物质的运动是普遍的、绝对的，但对运动的描述却是相对的．比如，在匀速直线航行的舰船甲板上，有人放开手中的石子，他看到石子作自由落体运动，运动轨迹是一条直线，而站在岸边的人看石子作平抛运动，运动轨迹是一条抛物线．这是因为他们站在不同的物体上．因此，要描述一个物体的运动，必须先确定另一个物体作为标准，这个被选作标准的物体叫参照系或参考系．选择哪个物体作为参照系，主要取决于问题的性质和研究的方便．在研究地球运动时，多取太阳为参照系，当研究地球表面附近物体的运动时，一般以地球为参照系．我们大部分是研究地面上物体的运动，所以，如不特别指明，就以地球为参照系． （三）质点

实际的物体都有一定的大小和形状，物体上各点在空中的运动一般是不一样的．在某些情况下，根据问题的性质，如果物体的形状和大小与所研究的问题关系甚微，以至可以忽略其大小和形状，这时就可以把整个物体看作一个没有大小和形状的几何点，但是它具有整个物体的质量，这种具有质量的几何点叫质点．必须指出质点是一种理想的物理模型．同样是地球，在研究它绕太阳公转时，把它看作质点，在研究它的自转时，又把它看作刚体． （四）速度

v?lim?rdr?

?t?0?tdt速度v是矢量，其方向沿t时刻质点在轨迹上A处的切线，它的单位是m·s?1．

（五）加速度

?vdvd2ra?lim??

?t?0?tdtdt2加速度a是速度v对时间的一阶导数，或者是位矢r对时间的二阶导数．它的单位是m·s?2． （六）圆周运动

dv圆周运动是最简单、最基本的曲线运动，a??,dt

1

v2an?

R

习题及解答： 一、填空题

1. 一质点作半径为R的匀速圆周运动，在此过程中质点的切向加速度的方向 改变 ，法向加速度的大小 不变 。（填―改变‖或―不变‖）

2. 一质点作半径为 0.1 m的圆周运动，其角位移随时间t的变化规律是= 2 + 4t2 (SI)。在t =2 s时，它的法向加速度大小an=_______25.6_______m/s2；切向加速度大小at =________0.8______ m/s2。

3. 一质点在OXY平面内运动,其运动方程为x?2t,y?19?2t2,则质点在任意时刻的速度表达式为

??2i?4tj ；加速度表达式为a??4j。

4、沿半径为R的圆周运动，运动学方程为 ??1?2t (SI) ，则ｔ时刻质点的法向加速度大小为an=（ 16 R t2 ） ；角加速度?=（ 4 rad /s2 ）（1 分）．

5. 一质点作半径为 0.1 m的圆周运动，其角位置的运动学方程为：??2?????π12?t，则其切向加速度大小为42at=______0.1______m?s?2, 第1秒末法向加速度的大小为an=______0.1______m?s?2.

6．一小球沿斜面向上作直线运动，其运动方程为：s?5?4t?t，则小球运动到最高点的时刻是

2t=___2___s.

7、一质点在OXY平面内运动,其运动方程为x?2t,y?19?2t2,则质点在任意时刻的速度表达式为（ ??2i?4tj ）；加速度表达式为（ a??4j ）。

8. 一质点沿半径R=0.4 m作圆周运动，其角位置?=2+3t2，在t=2s时，它的法向加速度

?????an=( 57.6 )m/s2，切向加速度at=( 2.4 ) m/s2。

???29、已知质点的运动方程为r?2ti?(2?t)j，式中r的单位为m，t的单位为s。则质点的运动轨迹方

程y?（2????12x），由t?0到t?2s内质点的位移矢量?r?（4i?4j）m。 410、质点在OXY平面内运动，其运动方程为

x?2t,y?10?t2，质点在任意时刻的位置矢量为

?????2（2ti?(10?t)j）；质点在任意时刻的速度矢量为（2i?2tj）；加速度矢量为（?2j）。

二、选择题

1. 某质点作直线运动的运动学方程为x＝5t-2t3 + 8，则该质点作（ D ）。

(A) 匀加速直线运动，加速度沿x轴正方向． (B) 匀加速直线运动，加速度沿x轴负方向． (C) 变加速直线运动，加速度沿x轴正方向． (D) 变加速直线运动，加速度沿x轴负方向．

2

2. 一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为 r?at2i?bt2j（其中a、b为常量）, 则该质点作( C )。

(A) 匀速直线运动； (B) 抛物线运动；

(C) 变速直线运动； (D)一般曲线运动。 3、某质点作直线运动的运动学方程为x?3t?5t3????6 (SI)，则该质点作（ D ）。

（A）匀加速直线运动，加速度沿x轴正方向

（B）匀加速直线运动，加速度沿x轴负方向 （C）变加速直线运动，加速度沿x轴正方向 （D）变加速直线运动，加速度沿x轴负方向

4、一质点在x轴上运动，其坐标与时间的变化关系为x =4t-2t2，式中x、t分别以m、s为单位，则4秒末质点的速度和加速度为 ( B )

（A）12m/s、4m/s2； （B）-12 m/s、-4 m/s2 ； （C）20 m/s、4 m/s2 ； （D）-20 m/s 、-4 m/s2；

5．在一直线上相向运动的两个小球作完全弹性碰撞，碰撞后两球均静止，则碰撞前两球应满足： （ D ）。

（A）质量相等； (B) 速率相等；

(C) 动能相等； (D) 动量大小相等，方向相反。

6. 以下四种运动形式中，加速度保持不变的运动是（ A ）。 A．抛体运动； B．匀速圆周运动； C．变加速直线运动； D．单摆的运动.。

7、一质点沿x轴运动的规律是x?5t?3t?3m。则第三秒时的加速度的大小是（ A ）m/s。 A． 10 B．50； C．15； D．12。

8、质点做半径为1m的圆周运动，运动方程为?=3+2t（SI单位），则t时刻质点的切向加速度的大小为at=

222（ C ）m/s2。

A． 1 B．3； C．4； D．8。

9、质点沿半径R做圆周运动，运动方程为??3t?2t(SI单位)，则任意时刻质点角速度的大小?=（B）。

2A．3t?1 B．6t?2； C．4t?2； D．6?2t。

10、质点在OXY平面内运动,其运动方程为x?t,y?10?t,质点在任意时刻的加速度为（ B ）。 A．

2?j B．2j；

C．3j； D．4j。

3

三、一质点沿半径为R的圆周按规律s?v0t?12bt 运动，v0,b都是常量。 2（1） 求t时刻质点加速度的大小；

（2） t为何值时总加速度在数值上等于b？

（3） 当加速度达到b时，质点已沿圆周运行了多少圈？ （1）由s?v0t?12bt可知v?v0?bt 22dvv2?v0?bt???b a?an2?at2? an?at??dtRR（2）a?R2b2??v0?bt?Rv0 b4

an2?at?2R2b2??v0?bt?R4?b 即v0?bt?0 t?22vv1212v（3）t?0带入s?v0t?bt s?v0t?bt?0 n?0

2b22b4?bR四、质点P在水平面内沿一半径为1m的圆轨道转动，转动的角速度?与时间t的关系为??kt，已知t=2s时，质点P的速率为16m/s，试求t=1s时，质点P的速率与加速度的大小。

22解：由线速度公式 ??R??Rkt?1?kt 得 k?2?t2?16?4 22d??2(4t2)22

?8t m/s an???16t4 m/s2 P点的速率为 ??4t m/s at?dtR12t=1时：??4t?4?1?4(m/s) at?8t?8(m/s2) an?16t4?16?14?16(m/s2) a?22at?an?162?82?85?17.9(m/s2)

2222五、已知质点的运动学方程为：r?8t?3t?12i?6t?8t?10j. 式中r的单位为米，t的单位为秒，

????求作用于质点的合力的大小。

解： v?dr??16t?3?i?(12t?8)j dta?dv?16i?12j dt六、一质点沿x方向运动，其加速度随时间的变化关系为a = 3+2 t (SI) ,如果初始时质点的速度v 0为5m/s，则当ｔ为3s时，质点的速率 v为多大。 解：v?a(t)dt????3+2 t?dt?3t +t2?C

t?0时，v0?5 可得积分常量C?5m/s

速度为v?3t+t?5

2当t?3时，v?3??3t+t?5?23 m/s

2 4

七、一质点在OXY平面内运动,其运动方程为x?2t,y?10?t2,求（1）质点运动的轨迹方程；（2）质点在任意时刻的速度和加速度矢量。

x2（1）y?10?

4（2） ??2i?2tj，

?????a??2j

八、已知一质点的运动方程为r?at2i?bt2j（a、b为常数，且不为零），求此质点运动速度的矢量表达式、加速度的矢量表达式和轨迹方程。

v?dr?2ati?2btj dtdva??2ai?2bj

dtx?at2 y?b2t

则将t?2xb代入y的表达式可得到质点运动的轨迹方程为y?x aa22九、已知质量为3kg的质点的运动学方程为：r?3t?2t?1i?4t?6t?8j. 式中r的单位为米，t????的单位为秒，求任意时刻的速度矢量和加速度矢量表达式。

解： v?dr??6t?2?i?(8t?6)j dta?dv?6i?8j dt62?82?10m?s?2

（2） a?a?F?ma?3?10?30N

十、一质点在OXY平面内运动,其运动方程为x?4t,y?8?2t2,求（1）质点运动的轨迹方程；（2）质点在任意时刻的速度和加速度矢量。

x2（1）y?8?

8（2） ??4i?4tj，

a??4j

22十一、已知质量为10kg的质点的运动学方程为：r?8t?3t?12i?6t?8t?10j. 式中r的单位为

????米，t的单位为秒，求作用于质点的合力的大小。

5

解： v?dr??16t?3?i?(12t?8)j dta?dv?16i?12j dta?a?122?162?20m?s?2 F?ma?10?20?200N

十二、有一质点沿 x 轴作直线运动， t 时刻的坐标为 x = 5t2 - 3t3 (SI). 试求（1）在第2秒内的平均速度；（2）第2秒末的瞬时速度；（3）第2秒末的加速度.

(1) v??x/?t??6m/s ??16 m/s(2) v?dx/dt?10t?9t2,t?2

??26 m/s2(3) a?dv/dt?10?18t,t?2

va

第四章 刚体的转动

一、基本要求：

1、理解刚体的概念；了解刚体的平动和转动；掌握转动惯量的物理意义；掌握力矩的物理意义及其计算。 2、理解转动惯量的物理意义及其计算；掌握刚体定轴转动的转动定律及计算。

3、理解质点和刚体的角动量；掌握角动量守恒定律的适用条件及应用；掌握刚体转动动能的概念及计算。

二、主要内容：

1、刚体：是在外力作用下形状和大小保持不变的物体称为刚体。是一个理想化的力学模型，它是指各部分的相对位置在运动中（无论有无外力作用）均保持不变的物体。即运动过程中没有形变的物体。

2、平动：当刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同时，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线时，刚体的运动叫作平动。

3．转动：刚体中所有的点都绕同一条直线作圆周运动，这种运动称为转动。这条直线叫作转轴。 4、描述刚体转动的物理量

引入：刚体作定轴转动时，刚体上的各点都绕定轴作圆周运动。刚体上各点的速度和加速度都是不同的，用线量描述不太方便。但是由于刚体上各个质点之间的相对位置不变，因而绕定轴转动的刚体上所有点在同一时间内都具有相同的角位移，在同一时刻都具有相同的角速度和角加速度，故采用角量描述比较方便。为此引入角量：角位置、角位移、角速度、角加速度。 5、角量与线量的关系

半径R，角位移?? 弧长 ?s?R???

线速度v: v?lim?t?0?s???limR?R? ?t?t?t?0v2(R?)2??r?2 法向加速度： an?RR切向加速度： a??

dvdd??(R?)?R??R?? dtdtdt6

结论：刚体作定轴转动时，在某一时刻刚体上所有各点的角位移、角速度和角加速度都是相同的；而各点的线位移、线速度和线加速度均与r成正比。

6转动定律：刚体在合外力矩的作用下，刚体所获得的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。

? 合外力矩和转动惯量都是相对于同一转轴而言的；

? 转动定律是解决刚体定轴转动的基本定律，它的地位与质点动力学中牛顿第二定律相当。 7、转动惯量

质点运动：质量m，力F，加速度a，牛顿第二定律F?ma

????????刚体转动：转动惯量J，力矩M，角加速度?，转动定律M?J?

当合外力矩相同时，转动惯量大，角加速度小；转动惯量小，角加速度大。 故转动惯量是反映刚体转动惯性大小的物理量。

刚体的转动惯量等于刚体上各质点的质量与各质点到转轴距离平方的乘积之和。

它与刚体的形状、质量分布以及转轴的位置有关，也就是说，它只与绕定轴转动的刚体本身的性质和转轴的位置有关。

物理意义：转动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量。 说明：

? 转动惯量是标量；

? 转动惯量有可加性，当一个刚体由几部分组成时，可以分别计算各个部分对转轴的转动惯量，然后把

结果相加就可以得到整个刚体的转动惯量； 单位：kg·m2

三、习题及解答 一、填空题

1. 刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受的合外力矩成_____正比___，与刚体本身的转动惯量成反比。（填―正比‖或―反比‖） 2. 花样滑冰运动员绕通过自身的竖直轴转动，开始时两臂伸开，转动惯量为J0，角速度为?0；然后将两手臂合拢，使其转动惯量变为2J03，则转动角速度变为

3?02. 3．某人站在匀速旋转的圆台中央，两手各握一个哑铃，双臂向两侧平伸与平台一起旋转。当他把哑铃收到胸前时，人、哑铃和平台组成的系统转动角速度应变 大 ；转动惯量变 小 。 4、均匀细棒质量为m，长度为l，则对于通过棒的一端与棒垂直的轴的转动惯量为（ml棒的中点与棒垂直的轴的转动惯量（ml223），对于通过

12）。

3g ），细杆转动到竖直位置时

5、长为L的匀质细杆，可绕过其端点的水平轴在竖直平面内自由转动。如果将细杆置与水平位置，然后让其由静止开始自由下摆，则开始转动的瞬间，细杆的角加速度为（

2L角加速度为（ 零 ）。

6. 一长为l?1m的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转动。抬起另一端使棒向上与水平面呈60°，然后无初转速地将棒释放，已知棒对轴的转动惯量为

212ml，则(1) 放手时棒的角加速度为32（ 7.5 ）rad/s；(2) 棒转到水平位置时的角加速度为（ 15 ）rad/s。（g?10m/s

7

2）

7、一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O转动，如图射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度?（ 减小 ）。

8一根长为l，质量为m的均匀细棒在地上竖立着。如果让竖立着的棒以下端与地面接触处为轴倒下，则上端到达地面时细棒的角加速度应为（

3g ）。 2l

9、某人站在匀速旋转的圆台中央，两手各握一个哑铃，双臂向两侧平伸与平台一起旋转。当他把哑铃收到胸前时，人、哑铃和平台组成的系统转动的角速度( 变大 ) 10、如图所示，一静止的均匀细棒，长为L、质量为M，可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴O在水平面内转动，转动惯量为ML23。一质量为m、速率为v的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射出并穿出棒的自由端，设穿过棒后子弹的速率为v2，则此时棒的角速度应为（

3mv ）。 2ML12

二、选择题

1、长为L的匀质细杆，可绕过其端点的水平轴在竖直平面内自由转动。如果将细杆O 俯视图 置于水平位置，然后让其由静止开始自由下摆，则开始转动瞬间杆的角加速度和细杆转动到竖直位置时的角加速度分别为：（ B ）

?v ?v （A）0;

3g2L (B)

3g2L; 0 (C) 0；

3gL （D）

3gL；0。

2. 刚体定轴转动，当它的角加速度很大时，作用在刚体上的（ B ）。 A．力一定很大； B．力矩一定很大； C．力矩可以为零； D．无法确定。

3. 花样滑冰运动员绕通过自身的竖直轴转动，开始时两臂伸开，转动惯量为J0，角速度为?0，然后将两手臂合拢，使其转动惯量为

2J0，则转动角速度变为（ C ）。 3A．?0 B.

2323?0 C.

33?0 D. ?0 224、如图所示，A、B为两个相同的定滑轮，A滑轮挂一质量为m的物体，B滑轮受力F = mg，设A、B两滑轮的角加速度分别为?A和?B，不计滑轮的摩擦，这两个滑轮的角加速度的大小关系为：( B ) （A） （B） （C）

?A??B

?A??B ?A??B

A B F （D） 无法判断

8

mg

5. 刚体定轴转动，当它的角加速度很大时，作用在刚体上的（ B ）。 A．力一定很大； B．力矩一定很大； C．力矩可以为零； D．无法确定。

6、两个均质圆盘A和B的密度分别为?A和?B，若?A??B，但两圆盘的质量与厚度相同，如两盘对通

过盘心垂直于盘面轴的转动惯量各为JA和JB，则 ：（ B ）

（A）JA?JB （B）JA?JB（C）JA?JB（D）JA、JB哪个大，不能确定。

7、假设卫星环绕地球中心作椭圆运动，则在运动过程中，卫星对地球中心的（ A ）。 (A) 动量不守恒，角动量守恒； (B) 动量不守恒，角动量不守恒； (C) 动量守恒，角动量不守恒； (D) 动量守恒，角动量守恒

8、均匀细棒 oA 可绕通过其一端 O而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示。今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位置的过程中，下列说法正确的是：（ A ） （A） 角速度从小到大，角加速度从大到小。 （B） 角速度从小到大，角加速度从小到大。

A（C） 角速度从大到小，角加速度从大到小。 ?（D） 角速度从大到小，角加速度从小到大。

9、关于刚体对轴的转动惯量，下列说法正确的是（ C ） （A）只取决于刚体质量，与质量的空间分布和轴的位置无关。 (B) 取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关。 （C）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置。

（D）只取决于轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关。

10.在某一瞬时，物体在力矩作用下，则有（ C ）。 (A) 角速度?可以为零，角加速度?也可以为零； (B) 角速度?不能为零，角加速度?可以为零；

(C) 角速度?可以为零，角加速度?不能为零； (D) 角速度?与角加速度?均不能为零。

三、如图所示，一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相连，绳子的质量可以忽略，它与定滑轮之

o间无相对滑动．假设定滑轮质量为M、半径为R，其转动惯量为止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系。 解：根据牛顿运动定律和转动定律列方程:

对物体： mg?T=ma 对滑轮： TR=J? 运动学关系：a=R? 解方程组，得 a=1MR2，滑轮轴光滑。试求该物体由静2. R

M

mg

m + M / 29

m

∵ v0 ＝ 0， ∴ v = at = mg t

m + M / 2

四、一质量为m0 ，长为l 的棒能绕通过O点的水平轴自由转动。一质量为m，速率为v0的子弹从水平方

向飞来，击中棒的中点且留在棒内，如图所示。则棒中点获得的瞬时速率为多少。 解：由角动量守恒定律可得

O 2 v0 l1?l?mv0?m????m0l2?

23?2? 6mv0 由此可得棒和子弹的瞬时角速度为??

3ml?4m0l棒中点获得的瞬时速率为

v??r?6mv03mv0l ??3ml?4m0l23m?4m0

五、如图所示，设两重物的质量分别为m1和m2，且m1＞m2，定滑轮的半径为r，对转轴的转动惯量为J，轻绳与滑轮间无滑动，滑轮轴上摩擦不计。设开始时系统静止，试求t时刻滑轮的角加速度。

解：作受力图。 m1g-T1=m1a ① T2-m2g=m2a ② (T1-T2)r=J?且有a?r? ③ ④

由以上四式消去T1，T2得：

?= (m1-m2)gr/[(m1+m2)r2+J]

六、如图所示，均匀直杆质量为m，长为l，初始时棒水平静止。轴光滑，AO?l。求杆下摆到?角4时的角速度?。

解 对于杆和地球系统，只有重力做功，故机械能守恒。 mgl1sin??J?2 ① 42A 直杆的转动惯量为OA段和OB段转动惯量的叠加，所以

l , m 1l7J?J0?md2?ml2?m()2?ml2 ②

124486gsin?将②代入①，解得 ??2

7l

10

OO θ B ω

七、一质量为m、半径为R的自行车轮，假定质量均匀分布在轮缘上（可看作圆环），可绕固定轴O转动．另一质量为m0的子弹（可看作质点）以速度v0射入轮缘，并留在轮内。开始时轮是静止的，求子弹打入后车轮的角速度。

J?mR2

m0v0R?(m?m0)R2?

??

m0v0

(m?m0)R

八、长为l的木杆,质量为M,可绕通过其中点并与之垂直的轴转动。今有一子弹质量为m,以水平速度v射入杆的一端,并留在其中,求木杆获得的角速度（J?1Ml2）。 12

l1l2 mv ? Ml 2? ? m ( ) ?

2122

6mv ? ?

(M?3m)l 九、一轻绳跨过两个质量为m、半径为 r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为3m和m的重物，

mr2如图所示，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为，将由两个定滑轮以及

2质量为3m和m的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力T2。 解： 列牛顿第二定律方程

3mg?T3?3ma T1?mg?ma

根据M?J?

1212(T3?T2)r?mr? (T2?T1)r?mr?

22a?r? a?2g T2?8mg

55十、均质细棒长为l质量为m，J?T3m,r3mT2m,rT1m12ml，和一质量也为m的小球牢固地连在杆的一端，可绕过杆的另3一端的水平轴转动。在忽略转轴处摩擦的情况下，使杆自水平位置由静止状态开始自由转下，试求：（1）当杆与水平线成θ角时，刚体的角加速度；（2）当杆转到竖直线位置时，刚体的角速度，小球的线速度。 解：（1）由转动定律得

11

l1cos??mglcos??(ml2?ml2)?? 239gcos???

8lmg（2）由机械能守恒得

. ? mgl11?mgl?(ml2?ml2)?2 2233ggl (1分) v?2l??

32十一、质量为M，长为L的均匀的细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O相接，并可绕其转动，由于此竖直放置的细杆处于非稳定的平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力的作用下由静止开始绕铰链

O转动。试计算细杆与竖直线成?

角时的角速度和角加速度。

M?J?

mglsin?M?2

ml2J?3 θ ??3gsin?2l

d?d?3gsin??dtd?2ld?3gsin?? ?d?2l

??0?d????03gsin?d?2l3g?1?co?s? ??

l十二、如图所示：长为L的匀质细杆，质量为M可绕过其端点的水平轴在竖直平面内自由转动。如果将细杆置与水平位置，然后让其由静止开始自由下摆。求：（1）开始转动的瞬间，细杆的角加速度为多少？（2）细杆转动到竖直位置时角速度为多少？ 解：（1）开始转动的瞬间

L?J? 2123g J?mL ??

2L3 mg（2）垂直位置时 mgL1?J?2 22

??3g L12

十三、轻绳绕于半径r=20cm的飞轮边缘，在绳端施以大小为98N的拉力，飞轮的转动惯量J=0.5kg?m2。设绳子与滑轮间无相对滑动，飞轮和转轴间的摩擦不计。试求： （1）飞轮的角加速度；

（2）如以质量m=10kg的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速度。 （1）由转动定律 M?J?

??MF?r98?0.2???39.2rad/s2 JJ0.5??（2）对物体应用牛顿运动定律 mg?T?m?a 对滑轮应用转动定律 ?T?r?J???? 利用关系 a?r?

由以上各式解得

?F??mJmr?rg?mrg10?0.2?9.82 ??21.8rad/s22mr?J10?0.2?0.5??

十四、如图所示，有两个转动惯量分别为J1、J2的圆盘，它们分别以角速度?1 、?2绕水平轴转动，且旋

转轴在同一条直线上。当两个圆盘在沿水平轴方向的外力作用下，啮合为一体时，其角速度为?。求两圆盘啮合后共同的角速度 ? 。 解：根据角动量守恒

J1?1?J2?2?(J1?J2)?

J1J2??

J1?1?J2?2J1?J2

?1第五章 简谐振动

?2一、基本要求

1、掌握简谐振动的定义，描述简谐振动的各物理量及其相互关系，会根据定义来判断一各物体的运动是不是简谐振动。

2、掌握简谐振动的旋转矢量表示法。

3、掌握简谐振动的基本特征，能根据一定的初始条件写出简谐振动的运动方程。 4、掌握同方向频率的两个简谐振动的合成，了解相互垂直同频率的简谐振动的合成。

二、主要内容

(t?? )1、简谐振动的表达式（运动方程） x?Acos?三个特征量：

振幅A，决定与振动的能量；角频率?，决定于振动系统的固有属性； 初相位?，决定于振动系统初始时刻的状态。 简谐运动可以用旋转矢量来表示。

13

2、振动的相位：(?t??)

两个振动的相差：同相???2k?，反相???(2k?1)?

d2x23、简谐振动的运动微粉方程：2??x?0

dt4、简谐振动的实例

d2xkm弹簧振子：2?x?0,T?2? dtmkd2?gl单摆小角度振动：2???0,T?2? dtlgd2q1LC振荡：2?q?0,T?2?LC

dtLC5、简谐振动的能量：E?Ek?EP?1dx21212m()?kx?kA 2dt226、两个简谐振动的能量

（1）同方向同频率的简谐振动的合成

合振动是简谐振动，合振动的振幅和初相位由下式决定

A?2A12?A2?2A1A2cos(?2??1)，tan??A1sin?1?A2sin?2

A1cos?1?A2cos?2（2）相互垂直的两个同频率的简谐振动的合成

合运动的轨迹一般为椭圆，其具体形状决定于两个分振动的相差和振幅。当???2k?或(2k?1)?时，合运动的轨迹为直线，这时质点在做简谐振动。

三、习题与解答

1、两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同。第一个质点的振动方程为x1?Acos(?t??)。某时刻当第一个质点正在平衡位置向负方向运动时，第二个质点正在最大位移处。则第二个质点的振动方程为：（ B ）

（A）x2?Acos(?t????) （B）x2?Acos(?t???)

22?3?（C）x2?Acos(?t???) （D）x2?Acos(?t????)

22、一物体做简谐振动，振幅为A，在起始时刻质点的位移为?动的旋转矢量图为：（ D ）

A且向x轴的正方向运动，代表此简谐振2

14

3、一质点作简谐振动，振动方程x?Acos(?t??)，当时间 t =T/4 时，质点的速度为：( C )

（A） ?A?sin? (B) A?sin? （C）?A?cos? （D）A?cos?

4、一质点作谐振动，周期为T，当它由平衡位置向 x 轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为（ A ）

（A）T/6 （B）T/12 （C）T/4 （D）T/8

5、有两个沿x轴做简谐运动的质点，其频率、振幅皆相同，当第一个质点自平衡位置向负方向运动时，第二个质点在处（A为振幅）也向负方向运动，则两者的相位差（?2??1）为：（ C ）

（A）

6、质量为10×103 kg的小球与轻弹簧组成的系统，按x?0.1cos(8?t?－

?2??5? （B） （C） （D） 23662?)(SI)的规律做谐振动，求： 3(1)振动的周期、振幅、初位相及速度与加速度的最大值；

(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等？ (3)t2＝5 s与t1＝1 s两个时刻的位相差.

解：(1)设谐振动的标准方程为x?Acos(?t??0)，则知：

A?0.1m,??8?,?T?2???1s,?0?2?/3 4?1?1又 vm??A?0.8?m?s ?2.51m?s

am??2A?63.2m?s?2

(2)

x??AE?2Fm?ma?0.63N

12mvm?3.16?10?2J 21Ep?Ek?E?1.58?10?2J

2当Ek?Ep时，有E?2Ep，

15

波振幅为A，频率??波长??B， 2?2?B，波速u????， CC12?波动周期T??．

?B(2)将x?l代入波动方程即可得到该点的振动方程

y?Acos(Bt?Cl)

(3)因任一时刻t同一波线上两点之间的位相差为 ???将x2?x1?d，及??2??(x2?x1)

2?代入上式，即得 C???Cd．

5、图示为一平面简谐波在t＝0时的波形图，求：（1）该波的波函数；（2）P处质点的振动方程。

解:（1）由图知：

? A＝0.04m， ?＝0.40m， ????2

?0.40T???5(s)u0.08

??tx?1?y?0.04cos?2??? ????m50.4?2???

（2）P处质点的振动方程为：

3????t0.2?1?x?0.2m?0.04cos0.4?t???my?0.04cos2???? ???50.4?2?2??????

6、平面简谐波沿 O x 轴正方向传播，已知振幅A?1m,周期T?2s,波长??2m ，在t=0时,坐标原点处的质点位于平衡位置沿O y 轴正方向运动。 求： （1）波动方程； （2）x=0.5m处质点的振动方程。

解:（1） y?Acos[2?(?tx?)??] ???

2T?tx?y?cos[2?(?)?]m

222（2）y?cos(?t??)m

26

7、一平面简谐波，波长为12m，沿Ox负向传播。如图所示为原点处质点的振动曲线，求：（1）原点处质点的运动方程，（2）此波的波动方程。

解： ??y(m)2???2?? ??? T??12s 3?t6??0.2原点处质点的运动方程为 波动方程为 设

05t(s)?0.4y?Acos(?t??)

tx?)??] T?设y?Acos[2?(tx2?)??]m?212123y?0.4cos(t??)m

?t?x263?0.4cos(???)m663y?0.4cos[2?(

8、一平面简谐波以u?100m?s的速度在均匀无吸收介质中沿x轴正向传播，位于坐标原点的质点的振动周期为0.02s，振幅为2m。t=0时，原点处质点经过平衡位置且向正方向运动时作为计时起点。求：（1）坐标原点O处质点的振动方程；（2）该波的波函数；（3）x?2m处质点的振动方程。 解：（1）y?Acos(?t??) T=0.02s ???12??100?rad T??uT?2m ???(2) 设y?Acos[2?(?2 y?2cos(100?t??2)m

tx?)??] T?tx???)?]?2cos(100?t??x?)m y?2cos[2?(0.022225?)m (3) x=2m y?2cos(100?t?2

9、沿x轴正向传播的平面简谐波在t=0时的波形曲线如图所示，波

?1长 ??1m，波速u?10m?s，振幅A=0.1m，试写出：

（1）O点的振动方程；

（2）平面简谐波的波函数；

（3）x=1.5m处质点的振动方程。 解:

（1）O点振动方程为：y?0.1cos(20?t??3) (m)

27

x??? (m) （2）波函数：y?0.1cos?20??t???????10?3??4?（3）将x =1.5带入得该点振动方程：y?0.1cos??20?t?3?? (m) ??

10、一列沿x正向传播的简谐波，已知t1?0和t2?0.25s时的波形如图所示。（假设周期T?0.25s）试

求：（1）此波的波动表达式；（2）P点的振动表达式。

y(m)0.2o?0.2P0.45t1?0x(m)t2?0.25s?x0.15???0.6(m/s)， ?t0.25?0.6??1(s) ?0? （3分） T??2u0.610??x?] （7分） （1）波动表达式y?0.2cos[2?t?32解:A?0.2m ??0.6m u?（2） P点的振动表式为yP?0.2cos[2?t??2]（2分）

10?t?4?x)（SI制）11、一横波沿绳子传播时的波动表式为y?0.05cos(。（1）求此波的振幅、频率和波

长。（2）求绳子上各质点振动的最大速度和最大加速度。（3）求x=0.2m处的质点的振动方程，以及在t=1s时的相位。

解: A?0.05(m) ??10? s,v??1u2.5??0.5m ?5.0(Hz) ???v5.02?（2） ?m?A??0.05?10??0.5??1.57(m/s)

am?A?2?0.05?100?2?5?2?49.3(m/s2)

10?t?0.8?) （3）y?0.05cos(??10??1?4??0.2?9.2?(或0.8?)

12、沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为y＝0.05cos(10πt－4πx)，式中x，y以m计，t以s计.求：

(1)波的波速、频率和波长；

(2)绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度； (3)求x＝0.2 m处质点在t＝1 s时的位相，它是原点在哪一时刻的位相？这一位相所代表的运动状态在t＝1.25 s时刻到达哪一点？ 解: (1)将题给方程与标准式

y?Acos(2??t?

2??28

x)

?1?1相比，得振幅A?0.05m，频率??5s，波长??0.5m，波速u????2.5m?s．

(2)绳上各点的最大振速，最大加速度分别为

vmax??A?10??0.05?0.5?m?s?1

amax??2A?(10?)2?0.05?5?2m?s?2

(3)x?0.2 m处的振动比原点落后的时间为

x0.2??0.08s u2.5故x?0.2m,t?1s时的位相就是原点(x?0)，在t0?1?0.08?0.92s时的位相， 即 ??9.2π．

设这一位相所代表的运动状态在t?1.25s时刻到达x点，则 x?x1?u(t?t1)?0.2?2.5(1.25?1.0)?0.825m

－－－

13、一平面余弦波，沿直径为14 cm的圆柱形管传播，波的强度为18.0×103 J·m2·s1，频率为300 Hz，

－

波速为300 m·s1，求：

(1)波的平均能量密度和最大能量密度？ (2)两个相邻同相面之间有多少波的能量？ 解: (1)∵ I?wu

I10?3?6?10?5J?m?3 ∴ w??18.0?u300wmax?2w?1.2?10?4 J?m?3

(2) W??V?w121u?d??w?d2 44?1300?6?10?5???(0.14)2??9.24?10?7J

4300λπ

14、 如图所示，S1和S2为两相干波源，振幅均为A1，相距，S1较S2位相超前，求：

42

题14图

(1)S1外侧各点的合振幅和强度；

(2)S2外侧各点的合振幅和强度.

解：（1）在S1外侧，距离S1为r1的点，S1S2传到该P点引起的位相差为

????2?2????r?(r?)??? 11???4?A?A1?A1?0,I?A2?0

（2）在S2外侧.距离S2为r1的点，S1S2传到该点引起的位相差.

29

?r2)?0

2?42A?A1?A1?2A1,I?A2?4A1

－

15、如图所示，设B点发出的平面横波沿BP方向传播，它在B点的振动方程为y1＝2×103cos 2πt；C点

－

发出的平面横波沿CP方向传播，它在C点的振动方程为y2＝2×103cos(2πt＋π)，本题中y以m计，t以s

－

计.设BP＝0.4 m，CP＝0.5 m，波速u＝0.2 m·s1，求：

(1)两波传到P点时的位相差；

(2)当这两列波的振动方向相同时，P处合振动的振幅； (3)当这两列波的振动方向互相垂直时，P处合振动的振幅.

?????2?(r2??题15图

解: (1) ???(?2??1)?

2??(CP?BP)

???(CP?BP) u2????(0.5?0.4)?0

0.2? (2)P点是相长干涉，且振动方向相同，所以

AP?A1?A2?4?10?3m

(3)若两振动方向垂直，又两分振动位相差为0，这时合振动轨迹是通过Ⅱ，Ⅳ象限的直线，所以合振幅为

A?

2A12?A2?2A1?22?10?3?2.83?10?3m

16、已知一波动方程为y?0.05sin(10??2x)(m)

（1）求波长、频率、波速和周期；（2）说明x?0时方程的意义，并作图表示。 解：（1）将题给的波动方程改写为y?0.05cos[10?(t?x/5?)??/2](m) 与y?Acos[?(t?x/u)??0]比较后可得波速u?15.7m?s?1?1，角频率??10?rad?s，故有

???/2??5.0Hz，T?1/??0.2s，??uT?3.14m

（2）x?0时，方程y?0.05cos(10?t??/2)(m)表示位于坐标原点的质点的运动方程 （如图）

30

?117、波源作简谐运动，周期为0.02s，若该振动以100m?s的速度沿直线传播，设t?0时，波源处的质

点经平衡位置向正方向运动，求：（1）距波源15.0m和5.0m两处质点的运动方程和初相；（2）距波源为16.0m和17.0m的两质点间的相位差。

?1?1解：（1）由T?0.2s，u?100m?s可得??2?/T?100?rad?s；??uT?2m

当t?0时，波源质点经平衡位置向正方向运动，因而由旋转矢量法可得该质点的初相为?0???/2（或

3?/2）。若以波源为坐标原点，则波动方程为

y?Acos[100?(t?x/100)??/2]

距波源为x1?15.0m和x2?5.0m处质点的运动方程分别为

y1?Acos(100?t?15.5?) y2?Acos(1?00t?它们的初相分别为

?5. 5)?10??15.5?和 ?20??5.5?（若波源初相取?0?3?/2，则初相

。 ?10??13.5?，?20??3.5?）

（2）距波源16.0m和17.0m两点间的相位差

????1??2?2?(x2?x1)/???

18、 如图所示，两相干波源分别在P、Q两点处，它们发出频率为?、波长为?，初相相同的两列相干波。设PQ?3?/2，R为PQ连线上的一点。求：（1）自P、Q发出的两列波在R处的相位差；（2）两波在R处干涉时的合振幅。

解：（1）两列波在R处的相位差为???2??r/??3? （2）由于???3?，则合振幅为A?2A12?A2?2A1A2cos3??A1?A2

19、 一驻波方程为y＝0.02cos 20xcos 750t (SI)，求：

(1)形成此驻波的两列行波的振幅和波速； (2)相邻两波节间距离. 解: (1)取驻波方程为

y?2Acos故知 A?2??xcos2??t u0.02?0.01m 22???750，则??7502???20 ，

2?u 31

∴ u?(2)∵??2??2??750/2???37.5m?s?1 2020u??2??/20??0.1??0.314m所以相邻两波节间距离

?x??2?0.157m

20、在弦上传播的横波，它的波动方程y1＝0.1cos(13t＋0.0079x) (SI)，试写出一个波动方程，使它表示的波能与这列已知的横波叠加形成驻波，并在x＝0处为波节. 解: 为使合成驻波在x?0处形成波节，则要反射波在x?0处与入射波有?的位相差，故反射波的波动方程为

y2?0.1cos(13t?0.0079x??)

21、汽车驶过车站时，车站上的观测者测得汽笛声频率由1200 Hz变到了1000 Hz，设空气中声速为330 m·s－1

，求汽车的速率.

解: 设汽车的速度为vs，汽车在驶近车站时，车站收到的频率为 ?1?u?0 u?vsu?0 u?vs汽车驶离车站时，车站收到的频率为?2?联立以上两式，得

?1?u?1??21200?1000?300??30m?s?1

?1??21200?100

－－

22、两列火车分别以72 km·h1和54 km·h1的速度相向而行，笫一列火车发出一个600 Hz的汽笛声，若

－

声速为340 m·s1，求第二列火车上的观测者听见该声音的频率在相遇前和相遇后分别是多少？ 解: 设鸣笛火车的车速为v1?20m?s，接收鸣笛的火车车速为v2?15m?s，则两者相遇前收到的频率为

?1?1?1?u?v2340?15?0??600?665 Hz u?v1340?20两车相遇之后收到的频率为

?1?

u?v2340?15?0??600?541 Hz u?v1340?2032

第八章 热力学基础

一、基本要求

1. 理解功、热量及准静态过程的概念。

2. 掌握热力学第一定律，能分析计算理想气体等容、等压、等温过程和绝热过程中的功、热量、内

能改变量；理解循环过程概念及卡诺循环的特征，并能计算效率和致冷系数。 3. 了解可逆过程、不可逆过程及卡诺定理。 4. 了解热力学第二定律及其统计意义。

二、主要内容

1. 准静态过程：过程进行的每一时刻，系统的状态都无限接近平衡态。准静态过程可以用状态图上的曲线表示。

2. 热力学第一定律

（1） 热力学第一定律的数学表达式

Q错误！未找到引用源。=E2 - E 1 +Ｗ

对微分过程为

dQ=dE +dＷ

热力学第一定律的实质是能量守恒与转换定律在热现象中的应用，其内容表示系统吸收的热量一部分转换为系统的内能，一部分对外做功。

（2） 准静态过程系统对外做功：

dＷ=pdＶ ，Ｗ=

?V2V1 pdＶ

（3） 热量：系统和外界之间或两个物体之间由于温度不同而交换的热运动量，热量也是过程量。

一定摩尔的某种物质，在某一过程中吸收的热量，

错误！未找到引用源。Q?mCc,m(T2?T1) M（4） 摩尔热容：1mo1物质温度变化1K 所吸收或放出的热量，定义式为 Cc,m?dＱm dT其中错误！未找到引用源。m 为1mo1 物质吸热。

摩尔定容热容：ＣV, m =错误！未找到引用源。 摩尔定压热容：Ｃp, m =错误！未找到引用源。 理想气体的摩尔热容：

ＣV, m =错误！未找到引用源。，Ｃp, m=错误！未找到引用源。

Ｃp, m=ＣV, m+错误！未找到引用源。 摩尔热容比：错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。

3. 热力学第一定律对理想气体等值过程和绝热过程的应用，详见表1 表1 过程 特征 等容 dＶ=0 等压 dp=0 等温 dＴ=0 绝热 d错误！未找到引用源。=0 33

过程 方程 系统内 能增量 系统对 外做功 错误！未找到引用源。=恒量 错误！未找到引用源。=恒量 pＶ=恒量 0 p错误！未找到引用源。=恒量 mCV，m（Ｔ2 -Ｔ1 ） M 0 mCV，m（Ｔ2 -Ｔ1 ） M p（Ｔ2 -Ｔ1 ） mCV，m（Ｔ2 -Ｔ1 ） M—m错误！未找M到引用源。Ｔ1n错误！未找到引用源。 mCV，m（Ｔ2 -Ｔ1 ） M系统吸 热热量 mCV，m（Ｔ2 -Ｔ1 ） MmCp，m（Ｔ2 -Ｔ1 ） Mm错误！未找M到引用源。Ｔ1n错误！未找到引用源。 ∞ 0 摩尔 热容 ＣV, m =错误！未找到引用源。 Ｃp, m=错误！未找到引用源。 0 4. 循环过程

（1）循环过程的特征是 错误！未找到引用源。E =0

热循环：系统从高温热源吸热，对外做功，向低温热源放热，致效率为

?=错误！未找到引用源。= 1—错误！未找到引用源。

致冷循环：系统从低温热源吸热，接受外界做功，向高温热源放热，致冷系数为 错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。= 错误！未找到引用源。 （2）卡诺循环：系统只和两个恒温热源进行热交换的准静态循环过程。 卡诺热机的效率为

错误！未找到引用源。= 1—错误！未找到引用源。 卡诺致冷机的致冷系数为

三、习题与解答

1、 如图所示，一定量的空气，开始在状态A，其压强为2.0×105Pa，

－

体积为2.0 ×103m3 ，沿直线AB 变化到状态B后，压强变为1.0 ×105Pa，

－

体积变为3.0 ×103m3 ，求此过程中气体所作的功.

解 SABCD ＝1/2(BC ＋AD)×CD 故 W ＝150 J

2、 汽缸内储有2.0mol 的空气，温度为27 ℃，若维持压强不变，而使空气的体积膨胀到原体积的3倍，求空气膨胀时所作的功. 解 根据物态方程

pV1?vRT1, 则作功为

W?p?V2?V1??2pv1?2vRT1?9.97?103J

3、64g氧气（可看成刚性双原子分子理想气体）的温度由0℃升至50℃，〔1〕保持体积不变；(2)保持压

34

强不变。在这两个过程中氧气各吸收了多少热量?各增加了多少内能？对外各做了多少功？

解：（1）体积不变时，QV? WV?0 由热力学第一定律Q??E?W 得 ?EV?QV?2.08?103(J) （2）压强不变时 ，Qp?m645CV.m?T???8.31?(50?0)?2.08?103(J) M322m645?2Cp.m?T???8.31?(50?0)?2.91?103(J) M322 ?Ep??EV?2.08?103(J)

Wp?Qp??Ep?(2.91?2.08)?103?0.83?103(J)

4、一定量的空气，吸收了1.71×103J的热量，并保持在1.0 ×105Pa下膨胀，体积从1.0×102m3 增加到1.5×10

－23

m ，问空气对外作了多少功？ 它的内能改变了多少？ 解 该空气等压膨胀，对外作功为

W ＝p(V2－V1 )＝5.0 ×102J

其内能的改变为

Q ＝ΔE ＋W＝1.21 ×103J

－

5、一压强为1.0 ×105Pa,体积为1.0×103m3的氧气自0℃加热到100 ℃.问：(1) 当压强不变时，需要多少热量?当体积不变时，需要多少热量?(2) 在等压或等体过程中各作了多少功?

－

解 利用公式W??p?V?dV求解.在等压过程中，dW?pdV?Wp??dW??T2T1mRdT，则得 MmRdT?36.6J M而在等体过程中，因气体的体积不变，故作功为

WV??p?V?dV?0

氧气的摩尔定压热容Cp,m?75R，摩尔定容热容CV,m?R. 22Qp??pdV?ΔE?vCp,m?T2?T1??128.1J

QV?ΔE?vCV,m?T2?T1??91.5J

QV?ΔE?mCV,m?T2?T1??91.5J M 由于在(1) 中已求出Qp 与QV ，则由热力学第一定律可得在等压过程、等体过程中所作的功分别为

Wp?Qp?ΔE?36.6J WV?QV?ΔE?0

6、l0g氦气吸收103 J的热量时压强未发生变化，它原来的温度是300K，最后的温度是多少？

35

解： 由Qp?mM5Cp.m(T2?T1)?R?(T2?T1) M?22QP?2?103?4?10?3?300??319(K) 得T2?T1?5RM5?8.31?10?10?37、空气由压强为1.52×105 Pa，体积为5.0×103m3 ，等温膨胀到压强为1.01×105 Pa，然后再经等压压缩到

原来的体积.试计算空气所作的功.

解 空气在等温膨胀过程中所作的功为

－

WT?空气在等压压缩过程中所作的功为

mRT1ln?V2/V1??p1V1ln?p1/p2? MW??pdV?p?V2?V1?

利用等温过程关系p1 V1 ＝p2 V2 ，则空气在整个过程中所作的功为

W?Wp?WT?p1V1ln?p1/p2??p2V1?p1V1?55.7J

8、如图所示，使1mol 氧气(1) 由A 等温地变到B；(2) 由A 等体地变到C，再由C 等压地变到B.试分别计算氧气所作的功和吸收的热量.

解 (1) 沿AB 作等温膨胀的过程中，系统作功

WAB?mRT1ln?VB/VA??pAVBln?VB/VA??2.77?103J M由分析可知在等温过程中，氧气吸收的热量为

QAB＝WAB＝2.77 ×103Ｊ

(2) 沿A 到C 再到B 的过程中系统作功和吸热分别为

WACB＝WAC＋WCB＝WCB＝pC (VB －VC )＝2.0×103Ｊ

QACB＝WACB＝2.0×103 Ｊ

9、将体积为1.0 ×10-4m3 、压强为1.01×105Pa 的氢气绝热压缩，使其体积变为2.0 ×10-5 m3 ，求压缩过程中气体所作的功.(氢气的摩尔定压热容与摩尔定容热容比值γ＝1.41)

解 根据上述分析，这里采用方法(1)求解,方法(2)留给读者试解.设p、V分别为绝热过程中任一状态的压强和体积，则由p1V1γ?pVγ得

p?p1V1γV?γ

氢气绝热压缩作功为

W??pdV??p1V1γV?γdV?V15V2?p1??V1?V?V?2?1???23.0J 1?γ??V?2??10、一定量氢气在保持压强为4.00×10Pa不变的情况下，温度由0℃ 升高到50℃时，吸收了6.0×104 J的热量。

（1） 求氢气的量是多少摩尔? （2） 求氢气内能变化多少? （3） 氢气对外做了多少功?

36

（4） 如果这氢气的体积保持不变而温度发生同样变化、它该吸收多少热量? 解： （1）由Qp?vCp,m?T?vi?2R?T 得 22Q2?6.0?104 氢气的量????41.3(mol)

(i?2)R?T(5?2)?8.31?50 （2）氢气内能变化为

?Ep??i5R?T?41.3??8.31?50?4.29?104(J) 22 （3）Wp?Qp??Ep?(6.0?4.29)?104?1.71?104(J) （4）?EV??EP?4.29?104(J)

故氢气的体积保持不变而温度发生同样变化时，它吸收的热量为

QV??EV?WV?4.29?104?0?4.29?104(J)

11、 1mol 氢气在温度为300Ｋ，体积为0.025m3 的状态下，经过(1)等压膨胀，(2)等温膨胀，(3)绝热膨胀.

气体的体积都变为原来的两倍.试分别计算这三种过程中氢气对外作的功以及吸收的热量.

解 (1) 等压膨胀

Wp?pA?VB?VA??vRTA?VB?VA??RTA?2.49?103J VA7RTA?8.73?103J 2Qp?Wp?ΔE?vCp,m?TB?TA??vCp,mTA?(2) 等温膨胀

3WT?vRTlnVC/VA?RTAln2?1.73?10J

对等温过程ΔE＝0，所以QT?WT?1.73?103J (3) 绝热膨胀

TD＝TA (VA ／VD )γ1＝300 ×(0.5)0.4＝227.4Ｋ

－

对绝热过程Qa?0，则有

Wa??ΔE?vCV,m?TA?TD??5R?TA?TD??1.51?103J 212、3 mol氧气在压强为2atm时体积为40L。先将它绝热压缩到一半体积，接着再令它等温膨胀到原体积。

(1) 求这—过程的最大压强和最高温度；

(2) 求这一过程中氧气吸收的热量、对外做的功以及内能的变化。

解： （1）pmax?p2?p1(V1/V2)??2?(40/20)1.4?5.28 （atm）Tmax（

p2V25.28?1.013?105?20?10?3?T2???429（K）

?R3?8.312

）

37

Q?0??RT2lnV1403 ?3?8.31?429?ln?7.41?10（J）V220

W总??V11(pV?pV)??RTln2??11122V2140(2?40?5.28?20)?1.013?102?3?8.31?429?ln

1.4?1203?0.93?10（J）

3 ?E?Q?W总?(7.41?0.93)?103?6.48?10（J）13、理想气体由初状态(p1,V1)经绝热膨胀至末状态(p2,V2)．试证过程中气体所作的功为

A?p1V1?p2V2，式中?为气体的比热容比.

??1

答：证明： 由绝热方程

pV??p1V1??p2V2??C 得p?p1V1?1 ?VA??pdV

V1V2A??V2V1dvp1V1?11p1V1r??(??1???1)

v??1V2V1? ??p1V1V1??1[()?1] ??1V2p1V1?又 A??(V2???1?V1???1)

??1p1V1?V1???1?p2V2?V2???1 ?

??1所以 A?p1V1?p2V2

??1

14、0.01 m3氮气在温度为300 K时，由0.1 MPa(即1 atm)压缩到10 MPa．试分别求氮气经等温及绝热压缩后的(1)体积；(2)温度；(3)各过程对外所作的功． 解：(1)等温压缩 T?300K 由p1V1?p2V2 求得体积

38

V2?对外作功

p1V11??0.01?1?10?3 m3 p210V2p?p1Vln1 V1p25 A?VRTln ?1?1.013?10?0.01?ln0.01

??4.67?103J

(2)绝热压缩CV??57

R ??

52?p1V1?1/?由绝热方程 p1V1?p2V2 V2?()

p2p1V1?1/?p1 V2?()?(1)?V1?()4?0.01?1.93?10?3m

10p2p2??1??由绝热方程T1?p1 得 ?T2??p2??1T1?p2T2??3001.4?(10)0.4??1p1?11T2?579K

热力学第一定律Q??E?A，Q?0 所以 A??MCV(T2?T1) MmolpV?pV5MRT，A??11R(T2?T1) MmolRT121.013?105?0.0015A????(579?300)??23.5?103 J

3002

15、如图表示一氮气循环过程，求一次循环过程气体对外做的功和循环效率。

解： 如图所示，完成一次循环过程气体对外所做的功为矩形1234的面积：

即：W?(5?1)?10?(10?5)?10J?2000J 或：W?W23?W41?p2(V3?V2)?p4(V1?V4)

5?35?3???10?10?(5?1)?10?5?10(1?5)?10??J

?35 ?2000J

循环过程中氮气吸收的热量为：

39

75R（T3－T2）＋?R（T2－T1）22

75＝(p3V3?p2V2)?(p2V2?p1V1)22Q吸?Q23?Q12＝?WW ?75Qab?Qda(p3V3?p2V2)?(p2V2?pV11)222000 ?

755(10?105?5?10?3?10?10?51?10?)?3(10?10?1?10??5?310?1?10?)222000??13.1% 15250???316、1mol的氢气，在压强为1.0×105Pa，温度为20℃时，其体积为V0。先保持体积不变，加热使其温度升

高到80℃；然后令它作等温膨胀，体积变为原体积的2倍。试分别计算以上两种过程中气体吸收的热量、

对外作功和内能的增量。 （CV,m?5R，R?8.31J?mol?1?K?1） 2解：（1）等体过程： W?0；

Q??E?CV,m?T?（2）等温过程：

55R?T??8.31?60?1246.5(J) 22Q?W?RTln?E?0

V2?8.31?(273?80)ln2?2033.3(J) V1

填空题

1、系统与外界之间由于存在温度差而传递的能量叫做 热量 。系统从外界吸收的热量一部分用于系统对外做功，另一部分用来增加系统的 内能 。

2、如果容器中的气体与外界没有能量和物质传递，气体的物态参量具有确定的值，状态参量不随时间而变化，这样的状态叫做 平衡态 。

3、一台工作于温度分别为127C和27C的高温热源与低温源之间的卡诺热机，每经历一个循环吸热2000J，则对外作功（ 500 ）J；热机的效率为（ 25% ）。

4、气体在变化过程中的每一中间状态都无限接近平衡态的过程称为（ 准静态过程 ）。 5、对于状态微小变化的过程，热力学第一定律的数学表达式为dQ=（

00dE?dW ）。

pb6、1mol双原子刚性分子理想气体，从状态a(P1，V1)沿p—V图所示直线变到状态b(P2，V2)，则（1）气体内能的增量?E=（2.5(p2V2?p1V1)）；（2）气体对外界所作的功W=

a

40

VO

（0.5(p2?p1)(V2?V1)）；（3）气体吸收的 热量Q=（3(p2V2?p1V1)?0.5(p1V2?p2V1)）。

判断题

1、对于一定量的理想气体，可以经历等体加热，内能减少，压强升高的过程。 （ × ） 2、两条绝热线不能相交。 （ √ ） 3、卡诺循环包括两个等温过程和两个绝热过程。 （ √ ） 4、绝热线比等温线陡 （ √ ） 5、、在等体过程中，系统从外界吸收的热量全部用于增加系统的内能。 （ √ ） 选择题

1、在pV图上，a经两个不同过程abc和adc到达c，由此可以得出以下结论（ D ）。

pA. 其中一条是绝热线，另一条是等温线； aB. 两个过程吸收的热量相同；

bC. 两个过程中系统对外作的功相等；

dD. 两个过程中系统的内能变化相同。

2. 关于温度的意义，下列几种说法错误的是（ D ）。 OA. 气体的温度是分子平均平动动能的量度；

B. 气体的温度是大量气体分子热运动的集体表现，具有统计意义； C. 温度的高低可以反映物质内部分子运动剧烈程度的不同； D. 从微观上看，气体的温度表示每个气体分子的冷热程度。

3、一定量的理想气体，经历某过程后，气温升高了，则一定发生的过程是：

（A）气体在此过程中吸收了热量； （B）气体的内能增加了；

（C）在此过程中气体即从外界吸收了热量，又对外做功； （D）在此过程中外界对气体做正功。 以上正确的是（ B ）

cV4、气体的定压摩尔热容Cp,m大于定体摩尔热容Cv,m，其主要原因是： （ D ）

（A）内能不同； （B）温度不同；

（C）分子引力不同； （D）气体膨胀需要作功。

5、如图，一定量的理想气体，由平衡态A 变到平衡态B，且它们的压强相等，即pA＝pB,请问在状态A和状态B之间，气体无论经过的是什么过程，气体必然( B ) (A) 对外作正功 (B) 内能增加 (C) 从外界吸热 (D) 向外界放热

分析 由p－V 图可知，pAVA＜pBVB ，即知TA＜TB ，则对一定量理想气体必有EB＞EA .即气体由状态A 变化到状态B,内能必增加.而作功、热传递是过程量，将与具体过程有关.所以(A)、(C)、(D)不是必然结果，只有(B)正确.

6、一台工作于温度分别为327 ℃和27 ℃的高温热源与低温源之间的卡诺热机，每经历一个循环吸热2 000 J，则对外作功( ) (A) 2 000J (B) 1 000J (C) 4 000J (D) 500J

41

7、如图所示，bca为理想气体绝热过程，b1a 和b2a 是任意过程，则上述两过程中气体作功与吸收热量的情况是( )

(A) b1a 过程放热，作负功；b2a 过程放热，作负功 (B) b1a 过程吸热，作负功；b2a 过程放热，作负功 (C) b1a 过程吸热，作正功；b2a 过程吸热，作负功 (D) b1a 过程放热，作正功；b2a 过程吸热，作正功

分析 bca，b1a 和b2a 均是外界压缩系统，由W??pdV知系统经这三个过程均作负功，因而(C)、(D)

不对.理想气体的内能是温度的单值函数，因此三个过程初末态内能变化相等，设为ΔE.对绝热过程bca，由热力学第一定律知ΔE ＝－Wbca.另外，由图可知：｜Wb2a｜＞｜Wbca｜＞｜Wb1a ｜，则Wb2a ＜Wbca＜Wb1a.对b1a 过程：Q ＝ΔE ＋Wb1a ＞ΔE ＋Wbca ＝0 是吸热过程.而对b2a 过程：Q ＝ΔE ＋Wb2a＜ΔE ＋Wbca ＝0 是放热过程.可见(A)不对，正确的是(B).

8、两个相同的刚性容器，一个盛有氢气，一个盛氦气(均视为刚性分子理想气体).开始时它们的压强和温度都相同，现将3J热量传给氦气，使之升高到一定的温度.若使氢气也升高同样的温度，则应向氢气传递热量为( )

(A) 6J (B) 3 J (C) 5 J (D) 10 J

分析 当容器体积不变，即为等体过程时系统不作功，根据热力学第一定律Q ＝ΔE ＋W，有Q ＝ΔE.而由理想气体内能公式ΔE?miRΔT，可知欲使氢气和氦气升高相同温度，须传递的热量 M2QH2:QHe??mH2??mHe????i/i?.再由理想气体物态方程pV ＝mM RT，初始时，氢气和氦气是具有相

?MHH2??MHHe?2e????同的温度、压强和体积，因而物质的量相同，则QH2:QHe?iH2/iHe?5/3.因此正确答案为(C). 9、对一定量的理想气体,下列所述过程中不可能发生的是（ D ）。

（A）从外界吸热,但温度降低 （B）对外做功且同时吸热 （C）吸热且同时体积被压缩 （D）等温下的绝热膨胀 10、理想气体可以经历以下过程：( C )

（A）等体加热，内能减少，压强升高 （B）等温压缩，吸收热量，压强升高 （C）等压压缩，吸收热量，内能增加 （D）绝热压缩，内能减少，压强升高

第九章 静电场

一、基本要求

1、掌握描述静电场的两个物理量——电场强度和电势的概念，理解电场强度叠加原理和电势叠加原理，熟练掌握用微元法求解一些简单问题中的电场强度。

2、理解静电场的两个重要定理——高斯定理和环路定理，熟练掌握利用高斯定理求解电场强度的条件和方法。

3、掌握利用电势叠加原理和电势的定义式求解带电体的电势。

4、理解导体的静电平衡条件，了解电介质的极化现象及其微观解释，理解各向同性介质中的D和E之间

42

的关系和区别。理解电介质中的高斯定理和安培环路定理。 5、理解电容的定义，并能计算简单几何形状的电容器的电容。

6、了解电场能量密度和电场能量的概念，能用能量密度计算电场能量。

二、主要内容 1、库伦定律：F?1q1q2r 34??0r2、电场强度：E?F q0电场强度的叠加原理：E?E1?E2?E3?… 电荷连续分布的带电体的场强：E?dE??1dq?4??0r3r

24??0??rrs（1）线状分布：E?14??0?l?dlrr2r （2）面状分布：E?1?dsr

（3）体状分布：E?14??0???V?dVrr2r

3、静电场的高斯定理：

??E?dS???q

iS0i?11n4、静电场的环路定理：E?dl?0

L?5、电势：UP???PE?dl

电势的叠加原理：U?U1?U2?U3?… 电荷连续分布的带电体的电势：U?dU??1dq?4??0r

（1）线状分布：U?14??01?l?dlr （2）面状分布：U?14??0??s?dsr

（3）体状分布：E?4??0???rV?dV

6、导体的静电平衡条件

电场表述：（1）导体内部场强处处为零；（2）导体表面附近的场强方向处处与它的表面垂直，且

E??e/?0。

电势表述：（1）导体是等势体；（2）导体表面是等势面。

43

7、电介质中的高斯定理：

??D?dS??q 各向同性线性电介质：D???E??E

in0rSi?18、电容器的电容：C?Q?S 特例：平行板电容器的电容：C? Ud1Q211?QU?CU2 电容器储能：W?2C229、电场的能量密度：?e?11?0?rE2 电场能量：We?????edV?????0?rE2dV 22VV三、习题及解答

1．在真空中的静电场中，作一封闭的曲面，则下列结论中正确的是( D )

A.通过封闭曲面的电通量仅是面内电荷提供的 B.封闭曲面上各点的场强是面内电荷激发的 C.由高斯定理求得的场强仅由面内电荷所激发的

D.由高斯定理求得的场强是空间所有电荷共同激发的

2、半径为R的―无限长‖均匀带电圆柱面的静电场中各点的电场强度的大小E与距轴线的距离r的关系曲线为： （ B ）

3、在真空中的A、B两平行金属板，相距为d，板面积为S（S→∞），各带电＋q和－q， 两板间的作用力f大小为( C ) 2222(A)q/?S(B)q/4??d(C)q/2?S(D)q/2?0Sd000

4、在静电场中，作一闭合曲面S，若有 D ? ds ? 0 则S面内必定（D）

S

A．既无自由电荷，也无束缚电荷 B．没有自由电荷

C．自由电荷和束缚电荷的代数和为零 D．自由电荷的代数和为零

5．关于静电场中的电位移线，下列说法中，哪一种是正确的？（C）

? 44

A．起自正电荷,止于负电荷,不形成闭合线,不中断 B．任何两条电位移线互相平行

C．起自正自由电荷，止于负自由电荷，任何两条电位移线在无自由电荷的空间不相交 D．电位移线只出现在有电介质的空间

6、一带电体可作为点电荷处理的条件是（C）

（A）电荷必须呈球形分布。 （B）带电体的线度很小。

（C）带电体的线度与其它有关长度相比可忽略不计。 （D）电量很小。

7、真空中一半径为 R 的球面均匀带电 Q，在球心 o 处有一带电量为 q 的点电荷，设无穷远处为电势零点，则在球内离球心 o 距离的 r 的 P 点处的电势为：（Ｂ）

qＡ、 B、 1 ? q ? C、 q ? Q Ｄ、 1 Q ? Q? q? q??4??0r???? 4??0r4??0?rR?4??0?rR?

8、有两个点电荷电量都是 +q，相距为2a。今以左边的点电荷所在处为球心，以a为半径作一球形高斯面， 在球面上取两块相等的小面积S和S, 其

12位置如下图所示。设通过S和 S的电场强度通量

1 2

Φ1Φ2ΦS分别为 和 ,通过整个球面的电场强度通量为

则（D） AB.Φ1?Φ2,ΦS?2q/?0 .Φ1?Φ2,ΦS?q/?0 CD.Φ1?Φ2,ΦS?q/?01?Φ2,ΦS?q/?0 .Φ

9、两块―无限大‖的带电平行电板，其电荷面密度分别为?(?>0)及－2 ?，如图所示，试 写出各区域的电场强度

E??/2?0?区 的大小 ，方向 x 轴正向 . . E?3?/2?0x轴正向??区 的大小 ，方向 .

E??/2????区 的大小 0 ，方向 x 轴负向 .

10、下列几个说法中哪一个是正确的？（C）

（A）电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向。 （B）在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同。

45

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/2spr.html