计算物理总复习

论述题：

1、试简要论述多尺度计算物理（此处我理解为以下四种计算方法）的基本框架。 1.分子动力学方法：首先建立一组分子的运动方程，通过直接对系统中的一个分子的运动方程进行数值求解，得到各个时刻分子的坐标和动量，即相空间中的轨迹，然后利用统计力学的计算方法得到多体系统的静态或动态性质，从而得到系统的宏观物理性质。 2.第一性原理方法：广义上是指一切基于量子力学原理的计算方法。分子是由原子组成的，原子是由原子核和电子组成的。量子力学计算根据原子核和电子的相互作用计算出分子（或离子）结构和能量，然后在此基础上计算物质的各种性质。 3.蒙特卡罗方法：以概率论和数理统计为基础，使用随机数或更常见的伪随机数来解决数学问题。该方法将所求解的问题与一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，经过相关运算而获得问题的近似解。 4.格林函数方法：先列出符合问题的数学物理方程，数学物理方程表示的是特定的“场”和产生这种场的“源”之间的关系，将“源”分解成很多点源的叠加，设法计算点源产生的场，然后利用叠加原理，求出同样边界条件下任意源的场。 2、试论述各个尺度计算方法的特点和局限性。

（1）分子动力学方法的特点及局限性：一个体系在一段时间内的运动情况可以通过其微观数学方程组给出，微观体系中每个分子各自服从经典的牛顿力学方程，而每个分子运动的内禀动力学是利用理论力学是的哈密顿量或者拉格朗日量来描述，或者用牛顿运动方程来表示。分子动力学方法中不存在随机因素是实现玻尔兹曼统计力学的基础。它可以用来处理与时间有关的过程，因而可以用来处理非平衡态问题。（局限性：）该方法的缺点是程序复杂，计算量大，占内存。 （2）第一性原理方法特点及局限性：不同于其他依赖于经验参数的计算方法，第一性原理方法可以通过直接求解材料的最基本的量子力学方程，预测材料的结构及光学，电学，磁学等方面的性质。（局限性：）第一性原理是某些硬性规定或推演得出的结论，其运算过程中不将经验参数考虑进去。这种算法速度很慢，如果加入一些经验参数，可以大大加快计算速度，但不可避免地降低了计算精度。 （3）蒙特卡罗方法的特点和局限性：当所求解的问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并

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将它们作为问题的解。它能够较好地解决多重积分计算、微分方程求解、积分方程求解、特征值计算和非线性方程组求解等高难度数学计算问题。其局限性体现在使用蒙特卡罗方法需要做大量的实验，实验次数越多，得到的结果越精确。 （4）格林函数方法的特征和局限性：格林函数多指用于研究大量相互作用粒子组成的体系的多体格林函数。局限性体现在要设法知道点源产生的场，需要进行大量计算求解数学物理方程。

3、试说明各种尺度计算方法的适用范围及它们之间的连接。 第一性原理方法可以通过直接求解材料的最基本的量子力学方程，预测材料的结构及光学、电学、磁学等方面的性质。但由于计算量非常大，在较大尺寸团簇的结构优化中其应用受到限制。蒙特卡罗方法和分子动力学方法被广泛地用来研究团簇的热力学性质和基态性质，但在优化基态结构方面存在缺陷，即容易陷入局部最优的亚稳态，无法获得全局最优解。 思考题：

1、以第一性原理方法和分子动力学为例，说明体系大小与计算量的关系。 2、搭建机群系统的过程如何

2.蒙特卡洛方法——基本概念

2.蒙特卡洛方法——主要问题 简要回答下列问题：

1、采用线性同余法（参见公式(2.2.3)）产生伪随机数。取a?5，c?1，m?16和x0?1.记录下产生出的前20数，它产生数列的周期是多少？

2、证明Breit-Wigner 分布 f(x)?1 22?(x?x0)???可以通过xi?x0??cot(??i)抽样得到 。 2

3、 归一化黑体辐射频谱为 f(x)dx?15?4x4(x)dxe?1(其中x?h?) kT证明如下抽样步骤得到的抽样分布满足上面的分布，求出它的抽样效率。 抽样步骤：让L等于满足下面不等式的整数l的最小值， l?j?11j4??1?490 然后置x??1ln(?2?3?4?5)，其中?iL为 [0，1] 区间均匀分布的伪随机数。 3

2.蒙特卡洛方法——分析讨论 论述题：

1、编写一个程序，采用Metropolis随机游走的方法产生按高斯分布 f(x)?Aexp?x2/2?2， ??2?1? 的随机点。抽样中常数A的值需要知道吗？试决定接受点与试探步数之比，到达平衡分布的时间与最大试探步长?的关系。（提示：判断“平衡”的标准是?x合理? 2???????2）。?选多大较

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2、 用事例证明蒙特卡洛求积分的标准误差为 ?2?A2?A2?1， N其中A为物理观测量，N为蒙特卡洛投点个数。

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