matlab线性代数例题

《数学实验》在线习题3

Matlab程序设计部分 一. 分

析

向

量

组

a1?[1T2a23?]?,?T[a31T?2，0],a4?[1?2?1]T，a5?[246]T的线性相关性，找出它们的最大无关组，并将其

余向理表示成最大无关组的线性组合。

解， a1=[1 2 3]';

a2=[-1 -2 0]'; a3=[0 0 1]'; a4=[1 -2 -1]'; a5=[2 4 6]'; A=[a1,a2,a3,a4,a5] ; [R,S]=rref(A) r=length(S)

R =

1.0000 0 0.3333 0 2.0000 0 1.0000 0.3333 0 0 0 0 0 1.0000 0 S =

1 2 4 r =

3

线性相关 a1,a2,a3,a4,a5 最大无关组是a1,a2,a4

其余向量的线性组合是a3=1/3a1+1/3a2 a5=2a1

二. 计算行列式

x13D4?x23x33x43x12y1x22y2x32y3x42y4x1y12x2y22x3y32x4y42y13y23y3323的值。其中?1解， syms x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3 y4

xxxy43

x4???2357?,?y1y2y3y4???4567?。

D=[x1^3 x1^2*y1 x1*y1^2 y1^3;x2^3 x2^2*y2 x2*y2^2 y2^3;x3^3 x3^2*y3 x3*y3^2 y3^3;x4^3 x4^2*y4 x4*y4^2 y4^3]; d=det(D)

x1=2;x2=3;x3=5;x4=7;y1=4;y2=5;y3=6;y4=7; eval(d)

d = ans =

153664

三. 已知向量a??1,?1,0?，b???1,0,?1?，求向量a与b的夹角的度数。 解， a=[1 -1 0];b=[-1 0 -1];

x=a.*b; x1=sum(x,2); x2=norm(a); x3=norm(b); y=x1/(x2*x3) y1=acos(y)

y =

-0.5000

y1 =

2.0944

四. 已知线性方程组

clear

?2x1?x2?3x3?2x4?0?9x?x?14x?2x?1?1234??3x1?2x2?5x3?4x4?1??4x1?5x2?7x3?10x4?2，求系数矩阵的秩和方程组的通解。

a=[2 -1 3 2;9 -1 14 2;3 2 5 -4;4 5 7 -10]; b=[0 1 1 2]'; [R,s]=rref([a,b]); [m,n]=size(a); x0=zeros(n,1); r=length(s); x0(s,:)=R(1:r,end);

disp('非齐次线性方程组的特解为：')

x0

disp('对应的线性方程组的基础解系为：') x=null(a,'r')

非齐次线性方程组的特解为：

x0 =

0.1429 0.2857 0 0

对应的齐次线性方程组的基础解系： x =

-1.5714 0 -0.1429 2.0000 1.0000 0 0 1.0000 则方程组的通解为：

??x1?x2?x4?1?2x2?x3?2??2x?3x?x?x?0234五. 求齐次方程组?1的通解。

clear

a=[-1 1 0 1;0 2 1 0;2 3 -1 -1]; b=[1 2 0]';

[R,s]=rref([a,b]); [m,n]=size(a); x0=zeros(n,1); r=length(s);

x0(s,:)=R(1:r,end);

disp('非齐次线性方程组的特解为：') x0

disp('对应的线性方程组的基础解系为：') x=null(a,'r')

非齐次线性方程组的特解为：

x0 =

-0.4286 0.5714 0.8571 0

对应的齐次线性方程组的基础解系： x =

0.8571 -0.1429 0.2857 1.0000

?23?2??A??3611?????2115??，求正交矩阵P及对角形矩阵B，使P?1AP?B。 六.

clear

a=[2 3 -2;3 6 11;-2 11 5]; [v,d]=eig(a) v =

-0.3684 0.9280 0.0562 0.6512 0.2144 0.7280 -0.6635 -0.3047 0.6833 d =

-6.9057 0 0 0 3.3500 0 0 0 16.5556

七. 求下列向量的秩和最大无关组，并将其余向量用该最大无关组线性表出：

?1??1,2,1,3??2??4,?1,?5,?6??3??1,?3,?4,?7?a1=[1 2 1 3]'; a2=[4 -1 -5 -6]'; a3=[1 -3 -4 -7]'; A=[a1,a2,a3] ; [R,S]=rref(A) r=length(S) R =

1.0000 0 -1.2222 0 1.0000 0.5556 0 0 0 0 0 0

S =

1 2

r =

2

最大线性无关组为：a1 a2

a3=-1.2222a1+0.5556a2

八. 判断方程组否有解，如果有，求其通解：

?x1?x2?3x3?x4?1??3x1?x2?3x3?4x4?4?x?5x?9x?8x?0234?1

clear

a=[1 2 -3 -1;3 -1 -3 4;1 5 -9 -8]; b=[1 4 0]'; [R,s]=rref([a,b]); [m,n]=size(a); x0=zeros(n,1); r=length(s); x0(s,:)=R(1:r,end);

disp('非齐次线性方程组的特解为：') x0

disp('对应的线性方程组的基础解系为：') x=null(a,'r')

非齐次线性方程组的特解为： x0 =

1.5000 0 0.1667 0

对应的线性方程组的基础解系为： x =

-2.5000 0 -1.1667 1.0000

a?112?，a2??021?，求两向量的点积（数量积）和叉积（向

九. 已知向量1?量积），以及它们之间的夹角的大小。

a1=[1 1 2]'; a2=[0 2 1]';

TT

y1=norm(a1); y2=norm(a2); y3=dot(a1,a2); y=y3/(y2*y3); c=acos(y) c*180/pi

c =

1.1071

ans =

63.4349

十. 计算行列式：

1?x1y1D?1?x1y21?x1y31?x1y41?x2y11?x2y21?x2y31?x2y41?x3y11?x3y21?x3y31?x3y41?x4y11?x4y21?x4y31?x4y4

的值。其中?x1x2x3x4???2357?，?y1y2syms x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3 y4

D=[1+x1*y1 1+x1*y2 1+x1*y3 1+x1*y4; 1+x2*y1 1+x2*y2 1+x2*y3 1+x2*y4; 1+x3*y1 1+x3*y2 1+x3*y3 1+x3*y4; 1+x4*y1 1+x4*y2 1+x4*y3 1+x4*y4];

x1=2;x2=3;x3=5;x4=7;y1=4;y2=5;y3=6;y4=7; d=det(D); eval(d)

ans =

0 十一.

y3y4???4567?。

a?1122?，a2??0215?，a3??205?1?，

分析向量组1?TTTTa4??3386?的线性相关性，找出它们的最大无关组，并将其余向量表示成最大

无关组的线性组合。

a1=[1 1 2 2]'; a2=[0 2 1 5]'; a3=[2 0 5 -1]'; a4=[3 3 8 6]'; A=[a1,a2,a3,a4] ; [R,S]=rref(A) r=length(S)

R =

1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 S =

1 2 3 r =

3

最大线性无关组为：a1 a2 a3; a4=a1+a2+a3

十二. 求解五阶方程组

注：在系数矩阵中没有数据的地方，矩阵元素均为零。

a=[4 1 0 0 0; 1 4 1 0 0; 0 1 4 1 0; 0 0 1 4 1; 0 0 0 1 4]; b=[2 1 1 1 2]'; inv(a)*b

?41??x1??2??141??x??1????2????141??x3???1???????141???x4??1??14?????2?? ?x5???

ans =

0.4808 0.0769 0.2115 0.0769 0.4808

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