数学建模及其应用复习

《数学建模及其应用》复习

一、解答下列问题

（一）问题背景：种群内个体有着极其相似性，四足野生动物为了保持运动的方便，过长的身长与过重的体重对它的生存和发展都是不利的，根据生物进化自然规律，我们可以假设动物的脊梁下陲度与身长比例是固定的。你能通过数学建模解决这类问题吗？即求出动物身长与体重的关系式。

提问一：为了方便数学建模需要对四足动物形态作一定的简化，你的简化假设是什么？ 提问二：由弹性梁的知识知：

b?flsd32

其中， f表示动物体重; b表示动物的脊梁下陲度;s表示躯干的横截面积;d表示躯干的横截面半径;l表示躯干长度。

bl与什么成正比：

由 和 ，可得

f?l

4即体重与躯干长度的4次方成正比。这样，野生动物管理人员，可以通过抽样测量部分动物，再根据统计理论估计出上述比例系数，最终得到经验公式，以后就能从躯干长度估计出动物的体重了。

（二）问题背景：人口控制论是重要的国策，实现人口的科学控制首先是建立人口系统的数学模型。我们假设仅考虑人口系统中人的出生、死亡因素，不考虑人口迁移随情况，你能在不同假设情况下建立合理的数学模型来描述人口数量与时间变化的关系式吗？

提问一：首先，假定人口的增长率是常数。研究从时刻t到t+?t内人口增量，请用等式表达人口增量：

如果等式两边同除?t，并令?t?0，则得微分方程：

如果加上初始条件，人口模型的方程为：

它的解为

提问二：如果考虑人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长开始起阻滞作用，因而人口增长率不断下降。你对人口增长率应该如何假设：

人口增长率r(x)＝ ，

1

人口模型转化为：

模型的解为

x?t??xm?xm??rt?e1???1?x??0?

请画出解的草图，并说明解函数的特性。

（三）问题背景：在人口模型中考虑某年各个年龄的女性生育率、死亡率、性别比等影响，人口模型应该是离散变量，模型能用来作人口总数、各个人口指数、人口的年龄分布等量的预测工作。请运用代数方法建立离散人口结构模型。

提问一：为了方便建立合理的数学模型，你打算作哪些模型假设：

设xi?t?表示第t年i岁人口数，令ui?t?表示第t年i岁人口的死亡率，请用xi?t?表达出ui?t?：

ui?t?＝

记bi?t?为第t年i岁的女性生育率，即每位女性平均生育婴儿数，[i1，i2]为为第t年i岁人口的女性比，则第t年的出生人数为：

f?t?＝ ki?t?记u00?t?为第t年婴儿死亡率，即第ｔ年出生但没有活到人口统计时刻的婴儿比例。

u00?t??f?t??x0?t?f?t?

将bi?t?分解为

bi?t????t?hi?t?

其中hi?t?是生育模式，是年龄为i的女性的生育加权因子，用以调整育龄妇女在不同年龄时生育率的高低，满足

?h?t??1

ii?i1i2利用(6)式对(5)式求和得到

??t??

?b?t?

ii?i1i22

记，bi'?t???1?u00?t???1?d0?t??hi?t?ki?t? 引入向量、矩阵记号

x?t???x0?t?,x1?t?,x2?t?,?,xm?t??

T

A?t?? B?t??

那么，x?t?1??A?t?x?t????t?B?t?x?t?

这个向量形式的一阶差分方程就是人口发展方程。当初始人口分布x?0?已知，又由统计资料确定了A(t)、B(t)，并且给定了总和生育率??t?以后，用这个方程不难预测人口的发展过程。

（四）问题背景：某系一年级有3个班共100名学生，其中甲班50名，乙班30名，丙班20名。若年终奖学金有10个名额，公平而又简单的名额分配办法是按学生人数的比例分配，显然甲乙丙三班分别占有5，3，2个名额。

一年后丙班有6名学生转入甲乙两班，仍按比例（表中的3列）分配名额时出现了小数，在将取得整数的9名分配完毕以后，三班同意剩下的1名参照所谓惯例中小数最大获得，即最后一名额归属丙班，于是三班仍分别占有５，３，２名额。

但是现在假如总名额增加1位，他们按照上述方法重新分配名额，计算结果见表6，7列。显然这个结果对丙班太不公平了，因为总名额增加1位，而丙班却由2位减为1位。

表1－1 按照比例并参照惯例的名额分配

学生人班别 数 甲 乙 丙 总和 53 33 14 100 学生人数的比例（％） 53 33 14 100.0 10个名额的分配 比例分配的名额 5.3 3.3 1.4 10.0 参照惯例的结果 5 3 2 10 11个名额的分配 比例分配的名额 5.83 3.63 1.54 11.00 参照惯例的结果 6 4 1 11 问题出在哪?要解决这个问题必须舍弃所谓惯例，找到衡量公平分配名额的指标，并由此建立新的分配方法。

提问一：假设只有A，B两方公平分配名额的情况。设两方人数分别是p1和p2，占

有名额分别是n1和n2，则两方每个名额代表的人数分别为 和 。 提问二：在什么情况下，分配是绝对公平的？哪一方是吃亏的？

提问三：如何定义对A的相对不公平值？如何定义对B相对不公平值？

提问四：假设A，B两方已分别占有n1和n2位，利用相对不公平值rA和rB讨论，当总名额增加1位时，应该如何分配给A还是B？

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上述方法可以推广到有m方分配名额的情况。设第i方人数为pi，已占有ni个名额，i=1,2,?,m。当总名额增加1位时，计算

Qi?pi2ni(ni?1),i?1,2,?,m

应将这一位分给Q值最大的一方。这种名额分配方法称Q值法。

（五）问题背景：众所周知，桥梁、隧道、狭窄路段往往成为阻碍交通的“瓶颈”，在这些地方车辆拥挤、车速很慢，以致单位时间通过的车辆较少。另一方面，交通空闲的路段车速固然很快，但是由于车辆稀少，单位时间通过的车辆也不多。对于交通的规划和指挥者来说，如何安排和控制车辆的密度使得单位时间通过的车辆最多，自然是十分重要的课题，请建立数学模型来描述交通处平衡态时的车流量与车速的关系表达式。

提问一：假设车流的密度、速度和流量分别记作ρ(x，t)、u(x，t)和q(x，t)，则三者关系是：

如果在面前的第j－1车突然减速，即vj?1?t?＜ vj?t?，使车队偏离平衡状态，则他将施加制动力，使第j车也减速，并且当两车之间的速度差vj?t?－ vj?1?t?越 时，制动力也越 。相反，如果第j－1车加速，vj?1?t?> vj?t?，则他要施加驱动力，vj?1?t?－ vj?t?越 时，驱动力也越 。此外，制动力（或驱动力）还与车流密度有关，当车流拥挤，即两车之间的距离较小时，为避免碰撞，制动力会较 ，而当车流稀疏时，制动力较 。

另一方面，按照牛顿第二定律，制动力（或驱动力）与第j车的加速度成正比。如果假定司机从发现前面车辆速度变化到他施加制动力（或驱动力）有一个反应时间τ，那么制动

dvj(t??)力（或驱动力）将与

dt成正比。

提问二：首先，利用牛顿第二定律可以写出该动态方程满足的微分方程

对方程两边积分得到

vj(t??)??lnxj(t)?xj?1(t)??j

得到平衡状态下车流速度u和密度ρ满足 常数α可由u(?m)=0确定，于是得到

车流量与车速的关系表达式：

（六）问题背景：自从核武器问世以来。核大国之间从未停止过竞争。人们自然十分担心，这样的竞争是否会永无止境地扩展下去，我们的世界会逐渐变成一个“核弹库”吗？请你建

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立数学模型来定性地讨论一下这个问题。

提问一：假设双方的基本想法是：在遭到对方突然袭击后．保证能有足够数量的弹头幸存下来，以便给进攻者以报复性的“致命打击”。

现假定甲、乙双方拥有的核弹头数分别为x和y。x、y显然是整数，方为了自己的安全，其拥有的弹头数必然要随着乙方弹头数y的增长而增长，因而存在一个 函数f?y?，当 时，甲方才感觉到自己是安全的。同样道理，存在另一 函数g?x?，当 时，乙方才感到安全。

现在，我们假设在一次打击不可能毁灭对方所有弹头。讨论稳定区域必定存在，即曲线x?f?y?和y?g?x?必定相交。

因为，甲方只要拥有不少于

枚弹头，即可认为自己是安全的。同样道理，y＝rx与y?g?x?相交而进入乙方安全区。

假如甲方加强了弹头的防卸能力，弹头幸存率p?r?增大，曲线x?f?y?将向 移动。假如甲方加强了对重要城市及要害部门的防卫，则乙方就会感到要给对方以致命的打击必须拥有比y0更多的弹头，例如需要y0个弹头。此时y?g?x?将 移。

六十年代初期，苏联十分重视发展亿吨级氢弹，希望以加强弹头威力，而美方提高命中准确度，以提高对目标破坏力。记k为破坏力大小，记x为爆炸威力，y为精确度(如距目标中心的距离)。

根据实验结果，他们导出了一个经验公式：

22k?x3y

*由公式可以看出，若爆炸力提高到x?8x，则破坏力增大到k*? ；若精确度提高8倍，即y?正确的。

（七）问题背景：某超市要引进一种新的商品出售，为了推销该商品，它打算印制一些有关该商品的传单式广告分发给消费者。虽然消费者对这种商品的需求量是随机的，但是与超市投入的广告费用有一定关系。根据以往的经验，超市掌握了若干个潜在消费群体（所谓潜在的消费群体是指那些确实有倾向购买这种商品，但不一定花钱从这家超市购买的人），广告将优先分发给他们。在对销售量随广告费增加而变化的随机规律作出合理假设的基础上，如何根据商品的购进价和售出价确定广告费和购进量的最优值，使得超市的利润（在平均意义下）达到最大。

提问一：如果记广告费为c，潜在需求量为s(c)，那么s(c)函数具有什么性质？

提问二：假设市场需求量r服从密度函数为p(r)分布，商品购入单价为a，售出单价为b，购入量u，不计仓储费用。广告费中固定费用为c0，每份广告的印刷和邮寄费用为k，广

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**y8，则破坏力k*? 。以后的事实证明，美国所采取的对策是

告将优先分发给s0?S?c1?个确定的潜在消费者。

首先在给定的广告费c下，售出商品所得的收入为： 则平均利润J(u)的表达式为

求出使J(u)达到最大的u值，记作u*，u*满足

?u*0p(r)dr?b?ab

由假设r服从?s(0),s(c)?内的均匀分布，有 得

u(c)?*b?abs(c)

最大的平均利润为

如果取满足上述条件的双曲线函数s(c)?Sc??c??，其中?、?由s(c)在c1处的函数

和导数的连续性决定。得s(c)合理形式为

可以得到

???c??c0????*J(u(c))????1?c?k?k???S(c?c1)?s0k(S?s0)??c?c?c1?k(S?s0)?*0?c?c0c0?c?c1 (13) c1?c为求最佳广告费c，对（13）右端的第3式求极值。用微分法算出

二、运用建模方法解决下列问题：

问题一：一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励。俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鱼，并且得到8条鱼的数据加表1.7（胸围指鱼身的最大周长）： 表1.7 身长/cm

36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1 6

重量/g 胸围/cm 765 24.8 482 21.3 1162 27.9 737 24.8 482 21.6 1389 31.8 652 22.9 454 21.6 用机理分析建立模型，并试用数据确定参数。

问题二：在公路上有两个观测站，一个固定在x?a，另一个是移动的x?b?t?。N?t?表示公路上区间?a,b?t??内的车辆数，证明N?t?的变化率有关系

dNdb??????b,t??u?b,t??????a,t?u?a,t?dtdt??

如果移动的观测站设想是在一个移动的汽车上，试对证明的结论给出解释。

问题三：一个汽车制造商售出一辆某品牌的汽车可获利1500美元．估计每100美元的折扣可以使销售额提高15％．

(1)多大的折扣可以使利润最高?

(2)假设实际每100美元的折扣仅可以使销售额提高10％，对结果会有什么影响?如果每100美元折扣的提高销量10％到15％之间的某个值，结果又如何? (3)什么情况下折扣会导致利润的降低?

问题四：污水处理厂每天可将处理池的污水（中含污物）浓度降低一个固定比例q，问： （1）n天可将池内污物浓度降低多少？

（2）多长时间才能使污水浓度降低一半？

（3）假如有一个污染源每天以原污染物的十分之一，（2）的结果又如何？

问题五：一头猪重200磅，每天增重5磅，饲养每天需花费45美分。猪的市场价格为每磅65美分，但每天下降1％，

（1）写出猪t天后售出时利润表达式？ （2）求出售猪的最佳时间？

（3）如果有新的饲养方式，每天的饲养花费为60美分，会使猪按7磅／天增重，那么是否值得改变饲养方式?求出使饲养方式值得改变的最小的增重率． （4）如果

p?0.65?0.01t?0.00004t2表示t天后猪的价格（美分/磅），猪的最佳售出时

间又是多少？

问题六：学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍．学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数。

①按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。 ②用上述Q值方法分配名额。

问题七：在超市购物时你注意到大包装商品便宜这种现象了吗？比如洁银牙膏50g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试构造模型解释这个现象。

（1）分析商品价格c与w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。 （2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减小的程度变小，解释实际意义是什么？

问题八：甲、乙两公司通过广告来竞争销售商品的数量，广告费分别是x和y。设甲、乙两公司商品的售量在两公司总售量中占的份额，是它们的广告费在总广告费所占份额的函数

?x??y???f?f?x?y??x?y????和??。又设公司的收入与售量成正比，从收入中扣除广告费后即为公司

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的利润。试构造模型的图形，并讨论甲公司怎样确定广告费才能使利润最大。

t?xx?y，则f?t??f?1?t??1。画出f?t?的示意图。

（1）令

（2）写出甲公司利润的表达式p?x?。对于一定的y，使p?x?最大的x的最优值应满足什么关系？用图解法确定这个最优值。

问题九：有人观察一片土地中的田鼠数量，一开始是2只，2个月后繁殖为5只，4个月后为20只，6个月后达到109只．若假设田鼠的月生育率为40％，依据上题模型假设，请写出田鼠总数N?t?表达式，并用它分别计算2、6、10月后田鼠的总数。

问题十：当老鼠过多时鼠群就会发生瘟疫，而且鼠群总数增大会吸引大量猫、猫头鹰等捕鼠动物．因此在几个星期内鼠群的97—98％就会死去或被捕食，直到数量降至最高峰的2％时，由于密度太低，瘟疫停止传播，捕鼠动物因鼠稀少而离开．设在增加时服从指数规律

dpdt?apdp??Bp2，减少时服从dtT1?1alnQq，而从最

。试证明鼠群增加到最高峰需时间

T2?Q?q高峰减少至最低数字需时间

Q?qQB(其中，Q是鼠群最高峰的数量，q是鼠群最低峰的

数量)。设T1?4年，q50，说明a?1。

问题十一：你希望买—辆新车而且选择范围只限于Saturn、Cavalier和Hyundai三家公司,公司都向你提供其最优惠的交易条件：

Saturn 车价13 990美元 预付定金1000美元 月利率3.5％直到60个月 Cavalier 车价13550美元 预付定金1500美元 月利率4.5％直到60个月 Hyundai 车价12400美元 预付定金500美元 月利率6.5％直到48个月

你每个月为买车最多能付475美元。利用动力系统模型来决定你应该买哪家公司的车。

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