光学教程习题解

[《光学教程》（姚启钧）]习题解答

第一章 光的干涉

1、波长为500nm的绿光投射在间距d为0.022cm的双缝上，在距离180cm处的光屏上形成干涉条纹，求两个亮条纹之间的距离。若改用波长为700nm的红光投射到此双缝上，两个亮纹之间的距离为多少？算出这两种光第2级亮纹位置的距离。

解：?1?500nm ?y1?r0180?1??500?10?7?0.409cm d0.022 改用?2?700nm ?y2?r0180?2??700?10?7?0.573cm d0.022 两种光第二级亮纹位置的距离为： ?y?2?y2?2?y1?0.328cm

2、在杨氏实验装置中，光源波长为640nm，两狭缝间距为0.4mm，光屏离狭缝的距离为50cm，试求：⑴光屏上第1亮条纹和中央亮纹之间的距离；⑵若P点离中央亮纹为0.1mm问两束光在P点的相位差是多少？⑶求P点的光强度和中央点的强度之比。

解：⑴ ?y?r050???640?10?7?0.08cm d0.04⑵由光程差公式

??r2?r1?dsin??d???2?y r0???2???dy?? r04⑶中央点强度：I0?4A2 P点光强为：I?2A?1?cos2????? 4?I1?(1?2)?0.854 I02

3、把折射率为1.5的玻璃片插入杨氏实验的一束光路中，光屏上原来第5级亮条纹所在的位置变为中央亮条纹，试求插入的玻璃片的厚度。已知光波长为6?10?7m

解：n?1.5，设玻璃片的厚度为d

由玻璃片引起的附加光程差为：????n?1?d ?n?1?d?5? d?

5?5??6?10?7?6?10?6m?6?10?4cm

?n?1?0.54、波长为500nm的单色平行光射在间距为0.2mm的双缝上。通过其中一个缝的能量为另一个的2倍，在离狭缝50cm的光屏上形成干涉图样，求干涉条纹间距和条纹的可见度。

解： ?y?r050???500?10?7?0.125cm d0.02 由干涉条纹可见度定义：

V?IMax?IminIMax?IminA?2??1A?2? ??2A?1???1A??2?A1A2?2代入上式得

22 由题意，设A1?2A2，即

V?

22?0.94 35、波长为700nm的光源与菲涅耳双镜的相交棱之间距离为20cm，棱到光屏间的距离L为180cm，若所得干涉条纹中相邻亮条纹的间隔为1mm，求双镜平面之间的夹角

?。

解：??700nm,r?20cm,L?180cm,?y?1mm

由菲涅耳双镜干涉条纹间距公式

2rsin?

r?L20?180???????700?10?7?0.0035sin??2r?y2?20?0.1180?60?12? 3.14?y??r?L?? ??sin??0.0035?

6、在题1.6 图所示的劳埃德镜实验中，光源S到观察屏的距离为1.5m，到劳埃德镜面的垂直距离为2mm。劳埃德镜长40cm，置于光源和屏之间的中央。⑴若光波波长??500nm，问条纹间距是多少？⑵确定屏上可以看见条纹的区域大小，此区域内共有几条条纹？（提示：产生干涉的区域P1P2可由图中的几何关系求得）

S 2mm S` P2 P1 P0

0.4m 1.5m 题1.6图

解：由图示可知：??500nm?500?10?7cm,d?4mm?0.4cm,r0?1.5m?150cm ①?y?r0150???500?10?7?0.01875cm?0.19mm d0.4②在观察屏上可以看见条纹的区域为P1P2间

0.75?0.2?2?1.16mm

0.75?0.20.75?0.2?2?3.45mm P0P2?0.75?0.2P0P1?1.16mm上方的2.29mm范围内可看见条纹。 即P2P1?3.45?1.16?2.29mm，离屏中央

N?

P2P2.291??12 ?y0.197、试求能产生红光（??700nm）的二级反射干涉条纹的肥皂膜厚度。已知肥皂膜折射率为1.33，且平行光与法向成300角入射。

解：??700nm,n2?1.33

由等倾干涉的光程差公式：??2dn2?n1sini1? 2dn2?n1sini1? d?

222222?2

?2?2?

3?4n?sin30222o?426nm

8、透镜表面通常镀一层如MgF2（n?1.38）一类的透明物质薄膜，目的是利用干涉来降低玻璃表面的反射。为了使透镜在可见光谱的中心波长（550nm）处产生极小的反射，则镀层必须有多厚？

解：n?1.38

物质薄膜厚度使膜上下表面反射光产生干涉相消，光在介质上下表面反射时均存在半波损失。

由光程差公式：

1? 2?550??99.6nm?1?10?5cm h?4n4?1.38 ??2nh?

9、在两块玻璃片之间一边放一条厚纸，另一边相互压紧，玻璃片l长10cm，纸厚为

0.05mm，从600的反射角进行观察，问在玻璃片单位长度内看到的干涉条纹数目是

多少？设单色光源波长为500nm

解：

H=0.05mm ??2n0hcos60?o?2

相邻亮条纹的高度差为：?h??2n0cos60o?5002?1?12nm?500?10?6mm

可看见总条纹数N?H0.05??100 ?h500?10?6则在玻璃片单位长度内看到的干涉条纹数目为： n?N100??10 l10即每cm内10条。

10、在上题装置中，沿垂直于玻璃表面的方向看去，看到相邻两条暗纹间距为1.4mm。已知玻璃片长17.9cm，纸厚0.036mm，求光波的波长。

解：

l H

当光垂直入射时，等厚干涉的光程差公式： ??2nh??2

可得：相邻亮纹所对应的厚度差：?h? 由几何关系：

?2n

?hH?l?，即?h?H ?lll?l0.14?4H?2?1??0.0036?0.56?31cm10? ??2n?h?2nl17.9

nm63.1 511、波长为400?760nm的可见光正射在一块厚度为1.2?10?6m，折射率为1.5的薄玻璃片上，试问从玻璃片反射的光中哪些波长的光最强。

解：h?1.2?10m,n?1.5

由光正入射的等倾干涉光程差公式：??2nh? 使反射光最强的光波满：足??2nh?

?6?2

?2?j?

??4nh1??7200nm

?2j?1?2j?1 j?5,??654.5nm

5、（略）

6、高5cm的物体距凹面镜顶点12cm，凹面镜的焦距是10cm，求像的位置及高度，（并作光路图）

解：

由球面成像公式：

112?? s?sr112? 代入数值 ?

s??12?20 得：s???60cm

由公式：

yy???0 ss?

y?s??? yss??60y???5??25cm s?12 y???

7、一个5cm高的物体放在球面镜前10cm处成1cm高的虚像。求⑴此镜的曲率半径；⑵此镜是凸面镜还是凹面镜？

解：⑴y?5cm,s??10cm y??1cm， 虚像s??0

由

y?s??? ys1s??? 5?10 得：s??2cm

⑵由公式

112?? s?sr112?? 2?10rr?5cm（为凸面镜）

8、某观察者通过一块薄玻璃板去看在凸面镜中他自己的像。他移动着玻璃板，使得在玻璃板中与在凸面镜中所看到的他眼睛的像重合在一起。若凸面镜的焦距为10cm，眼睛距凸面镜顶点的距离为40cm，问玻璃板距观察者眼睛的距离为多少？

解：

d P P` 40cm 由题意，凸面镜焦距为10cm，即

21? r10112?? ?ssr111?? s??4010

s??8cm PP??48cm

玻璃板距观察者眼睛的距离为d?

1PP??24cm 29、物体位于凹面镜轴线上焦点之外，在焦点与凹面镜之间放一个与轴线垂直的两表面互相平行的玻璃板，其厚度为d1，折射率为n。试证明：放入该玻璃板后使像移动的距离与把凹面镜向物体移动d1?n?1?/n的一段距离的效果相同。

证明：

P P? ?s 设物点P不动，由成像公式 s??112?? s?srrs

?2s?r?PP1 d1 s 由题3可知：PP1?d?d1?1???1???0 n?s?d 入射到镜面上的光线可视为从P1发出的，即加入玻璃板后的物距为

112?? ?s?drs1?? s1r?s?d?

2?s?d??r???s1??d 反射光线经玻璃板后也要平移d，所成像的像距为s1??s1???s?? 放入玻璃板后像移量为：?s1r?s?d?rs ?d?2?s?d??r?2s?r?p o? o ?1?d?d1?1?? ?n?d 凹面镜向物移动d之后，物距为s?d （s?0,d?0）

112?? ?s?drs2?? s2r?s?d?

2?s?d??rr?s?d??d

2?s?d??r?相对o点距离s2???s2??d? s2??s2???s?? ?s2

r?s?d?rs ?d?2?s?d??r?2s?r?10、欲使由无穷远发出的近轴光线通过透明球体并成像在右半球面的顶点处，问这透明球体的折射率应为多少？

解：

n n? s???,n?1,s??2r

n?nn??n?? s?sr 由球面折射成像公式：

n?n??n? 2rr 解得： n??2

11、有一折射率为1.5、半径为4cm的玻璃球，物体在距球表面6cm处，求：⑴物所成的像到球心之间的距离；⑵像的横向放大率。

解：

P? ⑴P由球面o1成像为P?，

P o1 o2 P?? n?nn??n?? ?ssr

1.511.5?1?? s??64 s???36cm

P?由o2球面成像P??

s2??36?8??44cm

11.51?1.5 ????44s2?4??11cm，P??在o2的右侧，离球心的距离11?4?15cm s2⑵球面o1成像 ?1??s1?1y1y?s?n?? （利用P194：??） ysnysn? 球面o2成像 ?2??s2?ny2?? ?s21y1?s2??3611s1?????1.5 ss2?6?44 ???1?2?

12、一个折射率为1.53、直径为20cm的玻璃球内有两个小气泡。看上去一个恰好在球心，另一个从最近的方向看去，好像在表面与球心连线的中点，求两气泡的实际位置。

解：

?2? P1,Po1 n?nn??n?? 设气泡P 1经球面o1成像于球心，由球面折射成像公式：

s?sr

11.531?1.53 ???10s1?10

s1??10cm， 即气泡P1就在球心处 另一个气泡P2

11.531?1.53 ???5s2?1010?6.05?3.95cm s2??6.05cm， 即气泡P2离球心

13、直径为1m的球形鱼缸的中心处有一条小鱼，若玻璃缸壁的影响可忽略不计，求缸外观察者所看到的小鱼的表观位置和横向放大率。

解：由球面折射成像公式：

n?nn??n?? s?sr11.331?1.33?? ?s?50?50 解得 s???50cm，在原处

??

s?n?501.33????1.33 sn??50114、玻璃棒一端成半球形，其曲率半径为2cm。将它水平地浸入折射率为1.33的水中，沿着棒的轴线离球面顶点8cm处的水中有一物体，利用计算和作图法求像的位置及横向放大率，并作光路图。

解：

P on??1.5 n?nn??n?? s?sr1.51.331.5?1.33?? s??82 s???18.5cm

由球面折射成像公式： ??

s?n?18.51.33????2.05 sn??81.5

15、有两块玻璃薄透镜的两表面均各为凸球面及凹球面，其曲率半径为10cm。一物点在主轴上距镜20cm处，若物和镜均浸入水中，分别用作图法和计算法求像点的位置。设玻璃的折射率为1.5，水的折射率为1.33。

解：

n1nn2 由薄透镜的物像公式：

n2n1n?n1n2?n ????ssr1r2 对两表面均为凸球面的薄透镜：

1.331.331.5?1.331.33?1.5??? ?s?2010?10 s???40.9cm

对两表面均为凹球面的薄透镜：

1.331.331.5?1.331.33?1.5??? s??20?1010 s???13.2cm

16、一凸透镜在空气的焦距为40cm，在水中时焦距为136.8cm，问此透镜的折射率为多少（水的折射率为1.33）？若将此透镜置于CS2中（CS2的折射率为1.62），其焦距又为多少？

解：

n1nn2 ⑴ 薄透镜的像方焦距：f??n2?n?n1n2?n????rr2??1

n1?n2 时，f??n1?11??n?n1?????r1r2?

在空气中：f1??1?11?n?1??????r1r2? 在水中：f2??1.33?11??n?1.33?????r1r2?

两式相比：

f1??n?1.33?40 ??f2?1.33?n?1?136.8 解得n?1.54 ⑵n1?n2?1.62 f??n11 ?n?n1?11?????r1r2?f1??n?1? 而： ?1?11?????r1r2?1 则：f??1.62?40??1.54?1???437.4cm

1.54?1.62第4章 光学仪器的基本原理

1、眼睛的构造简单地可用一折射球面来表示，其曲率半径为5.55mm，内部为折射率等于4/3的液体，外部是空气，其折射率近似地等于1。试计算眼球的两个焦距。用肉眼观察月球时月球对眼的张角为10，问视网膜上月球的像有多大？

解：由球面折射成像公式：

令s???, 令s???,n?nn??n?? s?sr4n?f???r?3?5.55?2.22cm

4n??n?13n1f???r???5.55??16.7cm

4n??n?131o y?

y??2?5.55?

?180?0.19mm?0.019cm

2、把人眼的晶状体看成距视网膜2cm的一个简单透镜。有人能看清距离在100cm到

300cm间的物体。试问：⑴此人看远点和近点时，眼睛透镜的焦距是多少？⑵为看

清25cm远的物体，需配戴怎样的眼镜？

??2cm 解：⑴对于远点：s1??300cm,s1 由透镜成像公式：

111?? ?s1f1?s1111??f1? 2?300f1??1.987cm111??f2? 对于近点：2?100f2??1.961cm ⑵对于25cm

111?? 2?25f?

f??1.852cm 由两光具组互相接触d?0组合整体：

111??f?f??f2?111??1.852f??1.961

1?0.030cm?1 （近视度：300o） f??3、一照相机对准远物时，底片距物镜18cm，当镜头拉至最大长度时，底片与物镜相距20cm，求目的物在镜前的最近距离？

解：由题意：照相机对准远物时，底片距物镜18cm， f??18cm

由透镜成像公式：

111?? s?sf?111?? 20s18

s??180cm

4、两星所成的视角为4?，用望远镜物镜照相，所得两像点相距1mm，问望远镜物镜的焦距是多少？

解：1??3.14rad

180?603.14?1mm 180?60f??859.5mm?85.95cmf??4??f??4?

4mm和1.9mm，5、一显微镜具有三个物镜和两个目镜。三个物镜的焦距分别为16mm、

两个目镜的放大本领分别为5和10倍。设三个物镜造成的像都能落在像距为160cm处，问这显微镜的最大和最小的放大本领各为多少？

第五章

1、试确定下面两列光波

光的偏振

??????? E1?A0?excos??t?kz??eycos??t?kz???

2???????????E2?A0?exsin??t?kz??eysin??t?kz???

2????的偏振态。

解：①E1?A0?excos??t?kz??eycos??t?kz??????????? 2??? Ex1?A0cos??t?kz? Ey1?A0cos??t?kz? 有：Ex1?Ey1?A0

222??????A0sin??t?kz? 2??t?kz?0 分析

?t?kz?为（左旋）圆偏振光

?2??Ex?A???Ey?0??Ex?0???Ey?A?A,0?

?0,A?②E2?A0?exsin??t?kz??eysin??t?kz???????????? 2?? Ex2?A0sin??t?kz? Ey2?A0sin??t?kz? 有：Ex1?Ey1?A0

222???????A0cos??t?kz? 2??t?kz?0 分析

?t?kz?为（左旋）圆偏振光

?2??Ex?0???Ey??A??Ex?A???Ey?0,A??0?

?A,0?2、为了比较两个被自然光照射的表面的亮度，对其中一个表面直接进行观察，另一个表面通过两块偏振片来观察。两偏振片的透振方向的夹角为600。若观察到两表面的亮度相同。则两表面实际的亮度比是多少？已知光通过每一块偏振片后损失入射光能量的1000。

解：由于被光照射的表面的亮度与其反射的光的光强成正比。设直接观察的表面对应的光强为I1o，通过两偏振片观察的表面的光强为I2o 通过第一块偏振片的光强为： I1?1I2o?0.9 211?Io2?0.9??0.1Io2 24 通过第二块偏振片的光强为： I2?0.9I1cos60?0.9?2? 由I1o?I2?0.1I2o 则：

I1o?0.1 I2o3、两个尼科耳N1和N2的夹角为600，在它们之间放置另一个尼科耳N3，让平行的自然光通过这个系统。假设各尼科耳对非常光均无吸收，试问N3和N1的透振方向的夹角为何值时，通过系统的光强最大？设入射光强为I0，求此时所能通过的最大光强。

解：

I0 N1

I1 I3 N3

N2

I2 N1 N3

? 60o N2

I1?1I0 221I0cos2? 212o22? I2?I3cos?60????I0cos??cos?60???

2dI? 令：2?0得：tan??tan?60???

d? I3?I1cos?? ??30 I2?

o1I0cos2302?cos260??30?29I??322 04、在两个正义的理想偏听偏振片之间有一个偏振片以匀角速度?绕光的传播方向旋转（见题5.4图），若入射的自然光强为I0，试证明透射光强为I?N1 1I0?1?cos4?t? 16?t N2 题5.4图 证明： I1?N1

1I0 22N

?t ?t

N2

I??I1cos

I?I?cos2?90???t??I??sin2?t 111222?I0cos?t?sin?t?I0sin2?t?I0?1?cos4?t?2816

5、线偏振光入射到折射率为1.732的玻璃片上，入射角是600，入射光的电矢量与入射面成300角。求由分界面上反射的光强占入射光强的百分比。

解：

A 60? 设入射线偏振光振幅为A，则入射光强为I0?A2 入射光平行分量为：AP1?Acos30o 入射光垂直分量为：AS1?Asin30o 由：1sin60??3sini2得：i2?30o

?o?1tan?i1?i2?tan?60?30?AP???0 由：

AP1tan?i1?i2?tan?60??30o?sin?60??30o?sin?i1?i2??1AS1?????? ?oAS1sin?i1?i2?2sin?60?30??1? AS I??

11AS1?A 241I0 46、一线偏振光垂直入射到一方解石晶体上，它的振动面和主截面成300角。两束折射光通过在方解石后面的一个尼科耳棱镜，其主截面与入射光的振动方向成500角。计算两束透射光的相对强度。

解：

A 方解石 N Ae A 50 oN

Ao 1A 2 Ao?Asin30? Ae?Acos30?oo3A 2 当光振动面与N主截面在晶体主截面同侧：

A2e?Aecos80o?A2o?Aosin80o?3Acos800 21Asin80o 22I2eA2sin280oe ?2??10.72 2oI2oA23?cos80o 当光振动面与N主截面在晶体主截面两侧：

N Ae 50o A Ao A2e?Aecos20?o3Acos200 2

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