2013年全国中考动点问题汇编6（解析版）

58. （江苏扬州）如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=2，CD=1，BC=m，P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过P作PE⊥PA交CD所在直线于E．设BP=x，CE=y．

（1）求y与x的函数关系式；

（2）若点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围； （3）如图2，若m=4，将△PEC沿PE翻折至△PEG位置，∠BAG=90°，求BP长．

考点：四边形综合题．

分析：（1）证明△ABP∽△PCE，利用比例线段关系求出y与x的函数关系式；

（2）根据（1）中求出的y与x的关系式，利用二次函数性质，求出其最大值，列不等式确定m的取值范围；

（3）根据翻折的性质及已知条件，构造直角三角形，

利用勾股定理求出BP的长度．解答中提供了三种解法，可认真体会． 解答：解：（1）∵∠APB+∠CPE=90°，∠CEP+∠CPE=90°， ∴∠APB=∠CEP，又∵∠B=∠C=90°， ∴△ABP∽△PCE， ∴∴y=

，即x+x．

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2

2

，

（2）∵y=x+x=（x﹣）+，

∴当x=时，y取得最大值，最大值为．

∵点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上， ∴

≤1，解得m≤

．

∴m的取值范围为：0＜m≤．

（3）由折叠可知，PG=PC，EG=EC，∠GPE=∠CPE， 又∵∠GPE+∠APG=90°，∠CPE+∠APB=90°， ∴∠APG=∠APB．

∵∠BAG=90°，∴AG∥BC， ∴∠GAP=∠APB， ∴∠GAP=∠APG， ∴AG=PG=PC．

解法一：如解答图所示，分别延长CE、AG，交于点H，

则易知ABCH为矩形，HE=CH﹣CE=2﹣y，GH=AH﹣AG=4﹣（4﹣x）=x， 在Rt△GHE中，由勾股定理得：GH+HE=GH， 即：x+（2﹣y）=y，化简得：x﹣4y+4=0 ① 由（1）可知，y=

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x+x，这里m=4，∴y=

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x+2x，

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代入①式整理得：x﹣8x+4=0，解得：x=或x=2， ∴BP的长为或2．

解法二：如解答图所示，连接GC． ∵AG∥PC，AG=PC，

∴四边形APCG为平行四边形，∴AP=CG． 易证△ABP≌GNC，∴CN=BP=x．

过点G作GN⊥PC于点N，则GH=2，PN=PC﹣CN=4﹣2x． 在Rt△GPN中，由勾股定理得：PN+GN=PG， 即：（4﹣2x）+2=（4﹣x），

整理得：x﹣8x+4=0，解得：x=或x=2， ∴BP的长为或2．

解法三：过点A作AK⊥PG于点K， ∵∠APB=∠APG， ∴AK=AB．

易证△APB≌△APK， ∴PK=BP=x， ∴GK=PG﹣PK=4﹣2x．

在Rt△AGK中，由勾股定理得：GK+AK=AG，

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即：（4﹣2x）+2=（4﹣x）， 整理得：x﹣8x+4=0， 解得：x=或x=2， ∴BP的长为或2．

点评：本题是代数几何综合题，考查了全等三角形、相似三角形、勾股定理、梯形、矩形、折叠、函数关系式、二次函数最值等知识点，所涉及考点众多，有一定的难度．注意第（2）问中求m取值范围时二次函数性质的应用，以及第（3）问中构造直角三角形的方法．

59.（辽宁大连） 如图，一次函数 y = - x + 4的图象与

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222

x轴、y轴分别相交于点A、B.Ｐ是射线BO上的一个动点（点Ｐ不与点Ｂ重合），过点Ｐ作PC⊥AB，垂足为Ｃ，在射线CA上截取CD＝CP，连接PD.设BP＝t.

（1）t为何值时，点Ｄ恰好与点Ａ重合？

（2）设△PCD与△AOB重叠部分的面积为Ｓ，求Ｓ与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围. 考点：

分析：（1）首先求出点A、B的坐标，然后在Rt△BCP中，解直角三角形求出BC，CP的长度；进而利用关系式AB=BC+CD，列方程求出t的值； （2）点P运动的过程中，分为四个阶段，需要分类讨论： ①当0＜t≤

25时，如题图所示，重合部分为△PCD； 7②当

25＜t≤4时，如答图1所示，重合部分为四边形ACPE； 725时，如答图2所示，重合部分为△ACE； 4③当4＜t≤

④当t＞ 解答：

25时，无重合部分． 4

点评：本题考查了典型的运动型综合题，且计算量较大，有一定的难度．解题关键在于：一，分析点P的运动过程，区分不同的阶段，分类讨论计算，避免漏解；二，善于利用图形面积的和差关系计算所求图形的面积；三，认真计算，避免计算错误．

60. （辽宁大连）如图，抛物线y＝-点Ｃ，抛物线的对称轴与x轴相交

于点Ｍ.Ｐ是抛物线在x轴上方的一个动点（点Ｐ、Ｍ、Ｃ不在同一条直线上）.分别过点Ａ、Ｂ 作直线ＣＰ的垂线，垂足分别为Ｄ、Ｅ，连接ＭＤ、ＭＥ.

（1）求点Ａ、Ｂ的坐标（直接写出结果），并证明△ＭＤＥ是等腰三角形；

（2）△ＭＤＥ能否为等腰直角三角形？若能，求此时点Ｐ的坐标，若不能，说明理由； （3）若将“Ｐ是抛物线在x轴上方的一个动点（点Ｐ、Ｍ、Ｃ不在同一条直线上）”改为“Ｐ是抛物线在x轴下方的一个动点”，其他条件不变，△ＭＤＥ能否为等腰直角三角形？若能，求此时点Ｐ的坐标（直接写出结果），若不能，说明理由.

x+

2

x-4与x轴相交于点Ａ、Ｂ，与y轴相交于

考点：二次函数综合题．

分析：（1）在抛物线解析式中，令y=0，解一元二次方程，可求得点A、点B的坐标； 如答图1所示，作辅助线，构造全等三角形△AMF≌△BME，得到点M为为Rt△EDF斜边EF的中点，从而得到MD=ME，问题得证；

（2）首先分析，若△MDE为等腰直角三角形，直角顶点只能是点M．如答图2所示，设直线PC与对称轴交于点N，首先证明△ADM≌△NEM，得到MN=AM，从而求得点N坐标为（3，2）；其次利用点N、点C坐标，求出直线PC的解析式；最后联立直线PC与抛物线的解析式，求出点P的坐标．

（3）当点P是抛物线在x轴下方的一个动点时，解题思路与（2）完全相同． 解答：

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