6-3-1 - 工程问题 题库教师版

工程问题

教学目标

1. 熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法；

2. 工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理； 3. 根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的统一和转换；

4. 工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用．

知识精讲

工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。

一． 工程问题的基本概念

定义 ： 工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。 工作总量：一般抽象成单位“1” 工作效率：单位时间内完成的工作量

三个基本公式：工作总量=工作效率×工作时间，

工作效率=工作总量÷工作时间，

工作时间=工作总量÷工作效率；

二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面：

① 具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题；

② 在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用；

③ 学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理；

④ 学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，不断地开拓解题思路．

三、利用常见的数学思想方法：

如代换法、比例法、列表法、方程法等 抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．

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例题精讲

模块一、工程问题基本题型

【例 1】 （难度等级 ※）一项工程，甲单独做需要28天时间，乙单独做需要21天时间，如果甲、

乙合作需要多少时间？

【解析】 将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的

人合作每天能完成总量的

【例 2】 （难度等级 ※）一项工程，甲单独做需要30天时间，甲、乙合作需要12天时间，如果乙单独

做需要多少时间？ 【解析】 将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的

112130128?121?112128121，乙每天完成总量的

112?12，两

，所以两人合作的话，需要1?天能够完成．

，甲、乙合作每天完成总量的

120?20，乙单独做每天能完成总量的

112?130?120，所以乙单独做1?天能完成．

【巩固】 （难度等级 ※）一项工程，甲单独做需要21天时间，甲、乙合作需要12天时间，如果乙单独

做需要多少时间？

【解析】 将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的

112121，甲、乙合作每天完成总量的

，乙单独做每天能完成总量的

112?121?128，所以乙单独做28天能完成．

【例 3】 （难度等级 ※※）甲、乙两人共同加工一批零件，8小时可以完成任务．如果甲单独加工，便

需要12小时完成．现在甲、乙两人共同生产了225小时后，甲被调出做其他工作，由乙继续生

产了420个零件才完成任务．问乙一共加工零件多少个?

【解析】 乙单独加工，每小时加工

18?112?124 甲调出后，剩下工作乙需做(1?22525?18)?124?845时所

以乙每小时加工零件420?零件420+60＝480(个)．

845?25(个)，则2小时加工25?225?60(个)，所以乙一共加工

【巩固】 （难度等级 ※※）一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，

由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？ 【解析】 共做了6天后，原来，甲做 24天，乙做 24天， 现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.这说

明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率是乙的工作效率的16/24=2/3。

如果甲独做，所需时间是30?30?32?75天如果乙独做，所需时间是30?30?23?50天；甲或

乙独做所需时间分别是75天和50天.

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【巩固】 （难度等级 ※※）某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人

合作，需48天完成.现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？ 【解析】 先对比如下：甲做63天，乙做28天；甲做48天，乙做48天.就知道甲少做63-48=15（天），乙

要多做48-28=20（天），由此得出乙的工作效率是甲的63-42=21（天），相当于乙要做21?天.

【例 4】 （难度等级 ※※）一项工程，甲、乙合作需要20天完成，乙、丙合作需要15天完成，由乙单

独做需要30天完成，那么如果甲、乙、丙合作，完成这项工程需要多少天？

【解析】 如果将整个工程的工作量看做单位“1”，从条件中我们很容易看出： 甲?乙?乙?13012034，甲先单独做42天，比63天少做了

4356 （天），乙还需要做 56?28天因此，乙还要做28+28=

， 乙?丙?120?130?115112， ，

因此不难得到丙的工作效率为

115?130?130，因此三个人的工作效率之和为

也就是说，三个人合作需要12天可以完成。

本题也可以分别求出甲和丙的工作效率，再将三人的工作效率相加，得到三人合作的总工效．但是这样做比较麻烦，事实上只要将甲乙工效和加上丙的工效就可以了．

【巩固】 （难度等级 ※※）一项工程，甲、乙合作需要9天完成，乙、丙合作需要12天，由丙单独做需

要36天完成，那么如果甲、丙合作，完成这项工程需要多少天？

【解析】 法一：和上题类似，我们可以有：甲?乙?为

112?136?11819118112136， 乙?丙??118， 丙?不难求得，乙的工作效率

136?118?112，因此甲的工作效率为?91，从而甲丙合作的工作效率为，

即甲丙合作12天能完成。

法二：仍然观察上面那三个等式，我们能否不求出每个人的工作效率，而同过整体的运算直接得到“甲 +丙”的值呢？

不难发现，我们只要把乙消掉就可以了；因此我们有：?甲?乙?丙?2???乙?丙??甲?丙，也就是说：甲?丙?

【巩固】 （难度等级 ※※）一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙

两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成？ 【解析】 设这件工作的工作量是1。甲乙两人合作每天完成

13660111161??)?2??作每天完成，甲、乙、丙三人合作每天完成(减去乙、丙两人

453645601803019?136?2?112?112，所以甲丙合作12天能完成。

，甲丙两人合作每天完成

1，乙丙两人合

每天完成的工作量，甲每天完成

130?145?190，甲独做需要1?190?90天 答：甲一人独做需

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要90天完成.

【巩固】 （难度等级 ※※）一件工程，甲、乙两人合作8天可以完成，乙、丙两人合作6天可以完成，

丙、丁两人合作12天可以完成．那么甲、丁两人合作多少天可以完成? 【解析】 甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是、、

8611112.对于工作效率有(甲，乙)+(丙，丁)

124－(乙，丙)=(甲，丁)．即

18+

112－

16=

124，甲、丁合作的工作效率为．所以，甲、丁两人

合作24天可以完成这件工程．

【巩固】 （难度等级 ※※）一项工作，甲、乙两人合做8天完成，乙、丙两人合做9天完成，丙、甲两

人合做18天完成．那么丙一个人来做，完成这项工作需要多少天?

【解析】 方法一：对于工作效率有：(甲，乙)+(乙，丙)－(丙，甲)=2乙，即+

81191181372－=为两倍乙的

工作效率，所以乙的工作效率为率为

1913144．而对于工作效率有，(乙，丙)－乙=丙，那么丙的工作效

148－

13144＝

148那么丙一个人来做，完成这项工作需1÷

1819=48天。

1方法二：2(甲，乙，丙)=(甲+乙)+(乙、丙)+(甲、丙)＝＋÷2＝

14821144＋

18＝

2172，所以(甲，乙，丙)=

2114421，即甲、乙、丙3人合作的工作效率为

21144．那么丙单独工作的工作效率为－

7218＝

，那么丙一个人来做，完成这项工作需48天．

【例 5】 （难度等级 ※※※）一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满；乙、丙两管同时开，4小时灌

满．现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满．乙单独开几小时可以灌满？ 【解析】 由于甲、乙和乙、丙的工作效率之和都知道了，根据“现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时灌满”，我们可以把乙管的6小时分成3个2小时，第一个2小时和甲同时开，第二个2小时和丙同时开，第三个2小时乙管单独开．这样就变成了甲、乙同时开2小时，乙、丙同时开2小时，乙单独开2小时，正好灌满一池水．可以计算出乙单独灌水的工作量为

1?15?2?12014?2?110，所以乙的工作效率为：

110?(6?2?2)?120，所以整池水由乙管单独灌水，

需要1?

． ?20（小时）

【例 6】 （难度等级 ※※※）(2007年四中考题)某水池可以用甲、乙两个水管注水，单开甲管需12小

时注满，单开乙管需24小时注满，若要求10小时注满水池，且甲、乙两管同时打开的时间尽量少，那么甲、乙最少要同时开放 小时．

【解析】 要想同时开的时间最小，则根据工效，让甲“满负荷”地做，才可能使得同时开放的时间最小．所

以，乙开放的时间为?1???1??10???412?241(小时)，即甲、乙最少要同时开放4小时．

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【例 7】 （难度等级 ※※※）一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就

把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？

【解析】 先计算1个水龙头每分钟放出水量.2小时半比1小时半多60分钟，多流入水4 × 60= 240（立

方米）.时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是240 ÷ （ 5× 150- 8 × 90）= 8（立方米），8个水龙头1个半小时放出的水量是8 × 8 × 90，其中 90分钟内流入水量是 4 × 90，

因此原来水池中存有水 8 × 8 × 90-4 × 90= 5400（立方米）.打开13个水龙头每分钟可以放出水8×13，除去每分钟流入4，其余将放出原存的水，放空原存的5400，需要5400 ÷（8 × 13- 4）=54（分钟）.所以打开13个龙头，放空水池要54分钟.水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的.

【例 8】 （难度等级 ※※※※）有10根大小相同的进水管给A、B两个水池注水，原计划用4根进水

管给A水池注水，其余6根给B水池注水，那么5小时可同时注满．因为发现A水池以一定的

速度漏水，所以改为各用5根进水管给水池注水，结果也是同时注满．(1)如果用10根进水管给漏水的A水池注水，需要多少分钟注满?(2)如果增加4根同样的进水管，A水池仍然漏水，并且要求在注水过程中每个水池的进水管的数量保持不变，那么要把两个水池注满最少需要多

少分钟?(结果四舍五入到个位)

【解析】 设每只进水管的工效为“1”，那么A池容量为4×5=20，B池容量为6×5=30．当用5根进水管给

B池灌水时需30÷5=6小时，而在6小时内5只其水管给A池也是灌有30的水，所以漏了30—20=10，因此漏水的工效为10?6?20?(10?(x?5353)?53.(1)用10根进水管给漏水的A池灌水，那么需

2小.4时＝144分钟. (2)设A池需x根，那么B池需14?x根，有

2所以有:3,28?2x?3x?5,化简解得x?6.6.所以A池用7根或6根进水管，

):(1?4x?)此时对应所需时间，分别为：

①当A池用7根进水管时：A：7根水管，需时间20?(7?)?33534小时=225分钟；B：7根水管，

需时间30?7?307小时?257分钟．此时要把两个水池注满最少需要257分钟；

53)?6013②当A池用6根进水管时：A：6根水管，需时间20?(6?需时间30÷8=

154小时?277分钟；B：8根水管，

小时=225分钟．此时要把两个水池注满最少需要277分钟．所以，要把两个水

管都注满，最少需257分钟，7根水管注A池，7根水管注B池．

【例 9】 （难度等级 ※※※）甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务．甲车单独清扫需10

小时，乙车单独清扫需15小时，两车同时从东、西城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫12千米．问：东、西两城相距多少千米？

【解析】 法一：

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30?30?2?45(天)。

法二：我们知道，甲乙合作，每天可以完成工程的

130，而题目中给定的“甲队先挖4天，再由

乙队单独挖16天”，相当于甲乙两队先合作4天，然后再由乙队单独挖12天，于是两队合作4天，可以完成工程的

415?12?145130?4?215，也就是说乙队12天挖了

130?145?19025?215?415，于是乙队的工作效率为

，那么甲队的工作效率就是，即甲队单独做需要90天，乙队单独做需

要45天。工程问题里面也经常用到比例，是因为工程问题的基本数量关系是乘法关系．其实这一点是与工程习惯无关的．

【例 24】 （难度等级 ※※※）（2008年第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛六年级第二试，第8题）

甲、乙、丙三人生产一批玩具，甲生产的个数是乙、丙二人生产个数之和的

112，乙生产的个数

是甲、丙两人生产个数之和的，丙生产了50个。这批玩具共有_________________个.

3【解析】 如果直接研究甲、乙、丙三者之间的关系，可能会略显复杂，我们需要引入一个中间量：甲乙丙

三人生产玩具数量的总和。甲是乙丙和的甲丙和的，同理可知乙占了总数的

3112，则总和为3，甲占了1份，甲占了总数的

13?14?51213；乙是

14，那么可知丙生产的玩具占总数的1?，所以总

数是50?

512?120（个）.

【例 25】 （难度等级 ※※※）(2008年实验中学考题)几个同学去割两块草地的草，甲地面积是乙地面

积的4倍，开始他们一起在甲地割了半天，后来留下12人割甲地的草，其余人去割乙地的草，这样又割了半天，甲、乙两地的草同时割完了，问：共有多少名学生？

【解析】 有12人全天都在甲地割草，设有人上午在甲地，下午在乙地割草．由于这人在下午能割完乙地

的草(甲地草的人每天割草为

3414)，所以这些人在上午也能割甲地

11614的草，所以12人一天割了甲地的草，每

454?116?203?12?，全部的草为甲地草的

54，，所以共有20名学生．

【巩固】 （难度等级 ※※※）一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工

作量的1倍．上午去甲工地的人数是去乙工地人数的3倍，下午这批工人中有

21712的人去甲工

地．其他工人到乙工地．到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需4名工人再做1天，

那么这批工人有多少人？

【解析】 根据题意，这批工人的人数是12的倍数，设这批工人有12x人．

那么上午有9x人在甲工地，有3x人在乙工地；下午有7x人在甲工地，有5x人在乙工地．所以甲

工地相当于?9x?7x??2?8x人做了一整天；乙工地相当于?3x?5x??2?4x人做了一整天．

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由于甲工地的工作量是乙工地的工作量的

32倍，假设甲工地的工作量是3份，那么乙工地的工作

32量是2份．8x人做一整天完成3份，那么4x人做一整天完成份．这

12??份，所以乙工地还剩下2?32?12份需要4名工人做一整天，所以甲工地的3份需要4??3?1?即8x?24??24人做一整天，

2?，

可得x?3，那么这批工人有12?3?36(人)．

【例 26】 （难度等级 ※※※）（2009年第七届“希望杯”六年级第2试）有两个同样的仓库，搬运完其

中一个仓库的货物，甲需要6小时，乙需要7小时，丙需要14小时．甲、乙同时开始各搬运一

个仓库的货物，开始时，丙先帮甲搬运，后来又去帮乙搬运，最后两个仓库的货物同时搬完．则

丙帮甲 小时，帮乙 小时．

【解析】 整个搬运的过程，就是甲、乙、丙三人同时开始同时结束，共搬运了两个仓库的货物，所以它们

完成工作的总时间为2?(?6117?114)?214小时．在这段时间内，甲、乙各自在某一个仓库内搬运，

1214?78丙则在两个仓库都搬运过．甲完成的工作量是?6，所以丙帮甲搬了1?214?134?31278?18的货物，丙

帮甲做的时间为?81114?134小时，那么丙帮乙做的时间为小时．

【巩固】 （难度等级 ※※※）搬运一个仓库的货物，甲需10小时，乙需12小时，丙需15小时．有同样

的仓库A和B，甲在A仓库，乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮甲搬运，中途又转向帮

乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物．丙帮助甲、乙各搬运了几小时？

【解析】 甲、乙、丙搬完两个仓库共用了：2?(110?112?11???8???3)?8小时，丙帮助甲搬运了?1?101515??1小时，丙帮助乙搬运了8?3?5小时．

【例 27】 （难度等级 ※※※※）甲、乙、丙三队要完成A，B两项工程，B工程的工作量是A工程工

作量再增加

3014，如果让甲、乙、丙三队单独做，完成A工程所需要的时间分别是20天，24天，

天．现在让甲队做A工程，乙队做B工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做B工程若干天，然后再与甲队合做A工程若干天．问丙队与乙队合做了多少天？ 【解析】 这个问题当中有两个不同的工程，三个不同的人，因此显得很难解决，数学中化归的思想很重要，

即以一个为基准，把其他的量转化为这个量，然后进行计算，我们不妨设A工程的工作总量为单

位“1”，那么B工程的工作量就是“

54”，那么这个问题就和例5联系到了一起了。

??5??111????????184??202430?三队合作完成两项工程所用的天数为：?1?成B工作，因此乙的工作量为用了??5?4?3?1??15?4?30天。18天里，乙队一直在完

124?18?34，B剩下的工作量应该是由丙完成，因此丙在B工程上

天也就是说两队合作了15天。

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解题关键是把“一项工程”看成一个单位，运用公式：工作效率?工作时间?工作总量，表示出各个工程队(人员)或其组合在统一标准和单位下的工作效率．

【例 28】 （难度等级 ※※※※）甲、乙、丙三人同时分别在3个条件和工作量相同的仓库工作，搬完货

物甲用10小时，乙用12小时，丙用15小时．第二天三人又到两个大仓库工作，这两个仓库的工作量相同．甲在A仓库，乙在B仓库，丙先帮甲后帮乙，用了16个小时将两个仓库同时搬完．丙

在A仓库搬了多长时间？

【解析】 因为A、B两个仓库的工作量相同，所以甲、乙、丙如果都在其中一个大仓库工作，那么8小时

可以搬完．因为甲、乙、丙三人每小时的工作量的比是成大仓库工作量的?8166?5?4120?1201101215:1:1?6:5:4，所以甲每小时可以完

46?5?4?130，丙每小时可以完成大仓库工作量的?8451．那么

甲16小时完成了A仓库的

?16?，丙在A仓库搬了(1?)?54130?6小时．

【例 29】 （难度等级 ※※※※）一项工程，乙单独做要17天完成．如果第一天甲做，第二天乙做，这

样交替轮流做，那么恰好用整天数完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，那

么比上次轮流的做法多用半天完工．问：甲单独做需要几天？

【解析】 甲、乙轮流做，如果是偶数天完成，那么乙、甲轮流做必然也是偶数天完成，且等于甲、乙轮流

做的天数，与题意不符；所以甲、乙轮流做是奇数天完成，最后一天是甲做的．那么乙、甲轮流做比甲、乙轮流做多用半天，这半天是甲做的．如果设甲、乙工作效率分别为V1和V2，那么

V1?V2?12V1，所以V1?2V2，乙单独做要用17天，甲的工作效率是乙的2倍，所以甲单独做需要

17?2?8.5天．

【例 30】 （难度等级 ※※※※）一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成．若甲

先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，??，两人如此交替工作，请问：完成任务时，共用了多少小时？ 【解析】 ① 若甲、乙两人合作共需多少小时？

1???1?12?1?51?7??1?18?365（小时）．

②甲、乙两人各单独做7小时后，还剩多少？ 1?7?? ③余下的

136?112?1?12?1?351?1???18?3636．

136?由甲独做需要多少小时？

13（小时）．

④共用了多少小时？ 7?2?13?1413（小时）．

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在工程问题中，转换条件是常用手法．本题中，甲做1小时，乙做1小时，相当于他们合作1小时，也就是每2小时，相当于两人合做1小时．这样先算一下一共进行了多少个这样的2小时，余下部分问题就好解决了．

【巩固】 （难度等级 ※※※※）一件工程，甲单独做要6小时，乙单独做要10小时，如果接甲、乙、甲、

乙．．．顺序交替工作，每次1小时，那么需要多长时间完成？ 【解析】 甲1小时完成整个工程的

16?110?1641516，乙1小时完成整个工程的

415110，交替干活时两个小时完成整个工程的

45，甲、乙各干3小时后完成整个工程的

1301?3?，还剩下，甲再干1小时完成整个

51工程的

，还剩下，乙花小时即20分钟即可完成．所以需要7小时20分钟来完成整个工程．

3

【巩固】 （难度等级 ※※※※）规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时，第二个人接着

做一个小时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止．如果甲、乙轮流做一个工程需要9.8小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要9.6小时，那乙单独做这个工程需要多少小时？

【解析】 根据题意，有：

甲乙甲乙?甲1小时?乙0.8小时乙甲乙甲?乙1小时?甲0.6小时，可知，甲做1?0.6?0.4小时与乙做1?0.8?0.2小

时的工作量相等，故甲工作2小时，相当于乙1小时的工作量．

所以，乙单独工作需要9.8?5?5?2?7.3小时．

【巩固】 （难度等级 ※※※※）蓄水池有一条进水管和一条排水管．要灌满一池水，单开进水管需5小

时；排光一池水，单开排水管需3小时．现在池内有半池水，如果按进水，排水，进水，排水??

的顺序轮流各开1小时．问：多长时间后水池的水刚好排完？(精确到分钟)

【解析】 法一：

1小时排水比1小时进水多

13?15?2151215110，?2?3?，说明排水开了3小时后（实际加上进

110水3小时，已经过去6小时了），水池还剩一池子水的再过1小时，水池里的水为一池子水的把这些水排完需要所以共需要 6?1?法二：

1小时排水比1小时进水多

13?15?215310910?13?910110?15?310，

，

小时，不到1小时，

?7910小时?7小时54分．

，

215?4?12?130，

130说明8小时以后，水池的水全部排完，并且多排了一池子水的，

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排一池子需要3小时，排一池子水的所以实际需要8?

110?7910130需要3?130?110小时，

小时?7小时54分．

【巩固】 （难度等级 ※※※※）一项工程，甲、乙合作1235小时可以完成，若第1小时甲做，第2小时

乙做，这样交替轮流做，恰好整数小时做完；若第1小时乙做，第2小时甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多小时，那么这项工作由甲单独做，要用多少小时才能完成？

31【解析】 若第一种做法的最后一小时是乙做的，那么甲、乙共做了偶数个小时，那么第二种做法中甲、乙

用的时间应与第一种做法相同，不会多小时，与题意不符．所以第一种做法的最后一小时是甲

31做的，第二种做法中最后小时是甲做的，而这小时之前的一小时是乙做的，所以乙?331113甲?甲，

?121得乙?23甲．甲、乙工作效率之和为：1?1212135?563，甲的工作效率为：

563?(1?23)?363，

所以甲单独做的时间为1?

?21(小时)．

【例 31】 （难度等级 ※※※※）甲、乙、丙3队要完成A，B两项工程．B工程的工作量比A工程的工

作量多

14．甲、乙、丙3队单独完成A工程所需时间分别是20天、24天、30天.为了同时完

成这两项工程，先派甲队做A工程，乙、丙两队共同做B工程；经过几天后，又调丙队与甲队共同完成A工程．那么，丙队与乙队合作了多少天?

【解析】 设A项工程的工程总量为“1”，那么B工程的工程总量为

1+

5454，A、B两项工程的工程总量为

=

94．而甲、乙、丙合作时的工作效率为

94120+

124+

130=

18，甲、乙、丙始终在同时工作，所

124以两项工程同时完成时所需的时间为则B工程中剩下的-4534÷

18=18(天)．在这18天，乙完成18×

12=

34的工程量，

=

12的工程量是由丙帮助完成，即÷

130=15(天)．即丙队与乙队合作

了15天．

【例 32】 （难度等级 ※※※※※）蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单

开甲管需3小时，单开丙管需要5小时，要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时，现在池内有

16的水，若按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁??的顺序轮流打开1小时，

问多少时间后水开始溢出水池？

【解析】 甲乙丙丁顺序循环各开1小时可进水：?3114?15?16?760，循环5次后水池还空：1?16?760?5?14，

6-3.工程问题.题库 教师版 page 15 of 29

14的工作量由甲管注水需要：?4113?34(小时)，所以经过4?5?34?2034小时后水开始溢出水池．

【例 33】 （难度等级 ※※※※※）一件工程甲单独做50小时完成，乙单独做30小时完成．现在甲先做

1小时，然后乙做2小时，再由甲做3小时，接着乙做4小时??两人如此交替工作，完成任务共需多少小时？ 【解析】 甲、乙交替各做四次，完成的工作量分别为：

此时剩下的工作量为1?(1650?2030)?1751?3?5?750175?150?165023，

2?4?6?830?2030，

．还需甲做

23?3623?(小时)，

所以共需(1?3?5?7)?(2?4?6?8)?

(小时)．

【例 34】 （难度等级 ※※※※※）甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮

流去做，恰好整数天做完，若按乙、丙、甲的顺序轮流去做，则比计划多用半天；若按丙、甲、乙的顺序轮流去做，则也比原计划多用半天．已知甲单独做完这件工作要10天，且三个人的工作效率各不相同，那么这项工作由甲、乙、丙三人一起做，要用多少天才能完成？

【解析】 首先应确定按每一种顺序去做的时候最后一天由谁来完成．如果按甲、乙、丙的顺序去做，最后

一天由丙完成，那么按乙、丙、甲的顺序和丙、甲、乙的顺序去做时用的天数将都与按甲、乙、

丙的顺序做用的天数相同，这与题意不符；如果按甲、乙、丙的顺序去做，最后一天由乙完成，那么按乙、丙、甲的顺序去做，最后由甲做了半天来完成，这样有甲?乙?乙?丙?甲，可得

2丙?12甲；而按丙、甲、乙的顺序去做，最后由乙做了半天来完成，这样有甲?乙?丙?甲?112乙1，

可得丙?乙．那么甲?乙，即甲、乙的工作效率相同，也与题意不合．所以按甲、乙、丙的顺

2序去做，最后一天是由甲完成的．那么有甲?乙??112丙?丙?12甲，可得乙?34甲，丙?12甲．这

项工作由甲、乙、丙三人一起做，要用1??

31??4???1?????4天．

42??9?10?

【例 35】 （难度等级 ※※※※※）甲、乙、丙三人完成一件工作，原计划按甲、乙、丙顺序每人轮流工

作一天，正好整数天完成，若按乙、丙、甲的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用

112天；

若按丙、甲、乙的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用天．已知甲单独完成这件工作需

310.75天．问：甲、乙、丙一起做这件工作，完成工作要用多少天？

【解析】 以甲、乙、丙各工作一天为一个周期，即3天一个周期．容易知道，第一种情况下一定不是完整

周期内完成，但是在本题中，有两种可能，第一种可能是完整周期?1天，第二种可能是完整周

期?2天．如果是第一种可能，有甲?乙?12丙?丙?13甲，得乙?丙?甲．然而此时甲、乙、丙

326-3.工程问题.题库 教师版 page 16 of 29

的效率和为

22?28???1????10.75?33?1291，经过4个周期后完成

1712928129?4?112129，还剩下1?112129?17129，

而甲每天完成

110.75?443?12129，所以剩下的不可能由甲1天完成，即所得到的结果与假设不

符，所以假设不成立．

再看第二种可能：

第一种情况 第二种情况 第三种情况 完整周期 n个周期 n个周期 n个周期 11不完整周期 甲1天，乙1天 乙1天，丙1天，甲121完成总工程量 “1” 天 “1” “1” 丙1天，甲1天，乙天 3可得甲?乙?乙?丙?甲?丙?甲?乙，所以丙?甲，乙?甲．因为甲单独做需10.75天，所

232413以工作效率为

443，于是乙的工作效率为

443443??34?3343?，丙的工作效率为

?943443?12?243．

于是，一个周期内他们完成的工程量为

1?943?4?74324343．则需?1???9??443??个完整周期，剩下

的工程量；正好甲、乙各一天完成．所以第二种可能是符合题意的．于是，根据第

943二种可能得出的工作效率，甲、乙、丙合作一天完成的工程量是要1?

943?439?479，所以三人合作完成工作需

天．

（二）等量代换法

【例 36】 （难度等级 ※※※）一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天？ 【解析】 丙2天的工作量，相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙合

作1天，与乙做4天一样.也就是甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3

倍.乙做13天，甲只要

133天，丙做13天，乙要26天，而甲只要

133?263?26天

263天他们共同做13天的工作

量，由甲单独完成，甲需要13?

【例 37】 （难度等级 ※※※）抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙

的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的．如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单

51独抄需要多少天才能完成？

【解析】 已知甲、乙、丙合抄一天完成书稿的，又已知甲每天抄写量等于乙、丙两人每天抄写量之和，

816-3.工程问题.题库 教师版 page 17 of 29

因此甲两天抄写书稿的，即甲每天抄写书稿的

81116；由于丙抄写5天相当于甲乙合抄一天，从

18116而丙6天抄写书稿的

18，即丙每天抄写书稿的

124148；于是可知乙每天抄写书稿的--

148＝

124.

所以乙一人单独抄写需要1÷

=24天才能完成．

【例 38】 （难度等级 ※※※）一项工程，甲独做6天完成，甲3天的工作量，乙要4天完成．两队合做2天后由乙队独做，还要几天才能完成？

【解析】 法一：我们把工程看作两个人分别完成的，那么显然，甲在其中只工作了2天，剩下的都是乙完

成的。甲完成整个工作需要6天，除去自己完成的2天以外，剩下工作量甲需要4天完成，乙的工作效率是甲的乙还要做

1633443163，因此甲4天完成的量，乙需要4?天。

16?天完成，除去与甲合作的2天以外，

?2?103法二：甲的工作效率为，所以乙的工作效率为天才能完成．

16?3?4?18．两队合作2天后乙队独做还要

11??110?1??2??2???683??8

【例 39】 （难度等级 ※※※）打印一份书稿，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成．如果甲、乙合做2天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成．甲、乙两人

合做需要几天完成？

【解析】 根据“甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成．如果甲、乙合做2天，

剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成”，可知甲做2天的工作量等于乙做3天的工作量，

所以完成这项工作甲、乙所用的时间比是2:3．另外，由于甲、乙单独做，乙用的时间比甲多

3?2?5天，所以乙独做需要的天数是：(3?2)?33?2?15(天)，甲独做需要15?5?10(天)，甲、

乙合做需要1??

?1?10?1???615?(天)．

【例 40】 （难度等级 ※※※）一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可以完成；如果甲先做

20天，那么乙接着做8天可以完成．如果甲、乙合作，那么多少天可以完成？

【解析】 本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们先画出示意图：

6-3.工程问题.题库 教师版 page 18 of 29

从图中可以直观地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量．于是可用“乙工作4天”等量替换题中“甲工作5天”这一条件，通过此替换可知乙单独做这一工程需要20?4?24(天)完成，即乙的工作效率是

124．

45又因为乙工作4天的工作量和甲工作5天的工作量相等，所以甲的工作效率是乙的

124?45?130，为

，那么甲、乙合作完成这一工程需要的时间为1?(124?130)?1313(天)．

【巩固】 （难度等级 ※※※）一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成；甲先做8小时，乙接

着做6小时也可以完成．如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？ 【解析】 根据题意可知，甲做8?6?2小时的工作量等于乙做12?6?6小时的工作量， 可见甲做1小时的工作量等于乙做3小时的工作量．

那么可以用乙做3小时来代换甲做1小时，可知乙完成全部工作需要6?3?12?30小时， 甲先做的3小时相当于乙做了9小时，所以乙还需要30?9?21小时．

【巩固】 （难度等级 ※※※）一份文件，如果甲抄10小时，乙抄10小时可以抄完；如果甲抄8小时，

乙抄13小时也可以抄完．现在甲先抄2小时，剩下的甲、乙合作，还需要几小时才能完成？

【解析】 由题意可知，甲、乙合作的效率为

110；将甲抄8小时，乙抄13小时，转化为甲乙和抄8小时，

??1?1??(13?8)?10?25乙单独抄5小时，则乙单独工作的效率为?1?8? 所以甲单独工作的效率

110?125?350，

3:1?3:2．

．甲、乙两人的工作效率之比为

502515甲先抄2小时，这2小时的工作量如果两人合作，需要3?2?(3?2)?1小时， 所以剩下的工作量由甲、乙合作，还需要10?1?85145小时．

【例 41】 （难度等级 ※※※※※）(2008年北大附中“资优博雅杯”数学竞赛)一项工程，甲先做若干

天后由乙继续做，丙在工程完成

1256时前来帮忙，待工程完成时离去，结果恰按计划完成任务，

6-3.工程问题.题库 教师版 page 19 of 29

其中乙做了工程总量的一半．如果没有丙的参与，仅由乙接替甲后一直做下去，将比计划推迟313天完成；如果全由甲单独做，则可比计划提前6天完成．还知道乙的工作效率是丙的3倍，问：计划规定的工期是多少天？

【解析】 丙在工程完成一半时前来帮忙，待工程完成

不来帮忙，这

1356时离去，所以乙、丙合做了全部工程的；如果丙

311的工程由乙独做，那么乙完成这的工程时间将比乙、丙合做多用

3103天．由于乙

的工效是丙的工效的3倍，乙、丙合做的工效之和为乙独做的倍，那么乙独做所用的时间为乙、

34丙合做所用时间的

1431倍，所以乙、丙合做这的工程所用的时间为

31103?(43?1)?10天．那么乙的

工效为?10?(1?)?33140．由于在丙来帮忙的情况下乙共做了工程总量的一半，所以乙工作的天

数为

12?140?20天，其中有10天是乙、丙在合做，另外10天(被分成了前后两段)乙一个人独做．那

12?140712?13?10?124712么乙、丙共完成了全部工程的，根据题意，这

712的工程如果由甲独做，只需

要20?6?14天，那么甲的工效为

?14?．甲完成全部工程需要24天．由于全部由甲独做

可比计划提前6天完成，所以原计划工期是24?6?30天．

（三）比例法

【例 42】 （难度等级 ※※※）一批零件平均分给甲、乙两人同时加工，两人工作5小时，共完成这批零

件的

23。已知甲与乙的工作效率之比是5:3，那么乙还要几小时才能完成分配的任务？

2335?3?14【解析】 乙5小时完成总工作量的?作量为

12；乙每小时完成总工作量的?5?412?120?5?51120；乙需要完成的总工

；乙要完成这个任务还需要的时间：（小时）

【例 43】 （难度等级 ※※※）一项工程，甲15天做了

14后，乙加入进来，甲、乙一起又做了

14，这时

丙也加入进甲、乙、丙一起做完．已知乙、丙的工作效率的比为3：5，整个过程中，乙、丙工作的天数之比为2：1，问题中情形下做完整个工程需多少天?

【解析】 方法一：先把整个工程分为三个阶段：Ⅰ﹑Ⅱ﹑Ⅲ；且易知甲的工作效率为

160.又乙、丙工作的

14天数之比为(Ⅱ+Ⅲ)：Ⅲ=2：1，所以有Ⅱ阶段和Ⅲ阶段所需的时间相等．即甲、乙合作完成的的工程与甲、乙、丙合作完成1?14?14?12的工程所需的时间相等．所以对于工作效率有：(甲+

6-3.工程问题.题库 教师版 page 20 of 29

乙)×2=(甲+乙+丙)，甲+乙=丙，那么有丙-乙=的工作效率为

15?14?(16031203120,丙的工作效率为：)?12?(160?1608120160.又有乙、丙的工作效率的比为3：5．易知乙

5120.那么这种情形下完成整个工程所需的时间为：

?)?15?6?6?27天.

方法二：显然甲的工作效率为作的天数为

14?(?3x60112011?(160设乙的工作效率为3x，那么丙的工作效率为5x．所以有乙工，12?()?160?8x),丙工作的天数为

12?(1?8x).且有

)?41?3x)?1x?86032?(12?26011111?(x即?8?)(.?3x)??(?8x),60460260解得

x?.所以乙的工作效率为

14?(160?312012012,丙的工作效率为高?(160?81205120.那么这种情形下完成整个工程所需

的时间为：15?

)?)?15?6?6?27天.

【例 44】 （难度等级 ※※※※）甲、乙、丙三村准备合作修筑一条公路，他们原计划按9:8:3派工，后

因丙村不出工，将他承担的任务由甲、乙两村分担，由丙村出工资360元，结果甲村共派出45

人，乙村共派出35人，完成了修路任务，问甲、乙两村各应分得丙村所付工资的多少元？

【解析】 丙村出的360元钱是不是应该按照甲乙两村派出的人数比即45:35?9:7来进行分配呢？我们仔

细思考一下，发现丙村所出的钱应该是其他两个村帮他完成的工作量，换句话说，我们应该考虑

的是甲乙两村各帮丙村出了多少人，然后再计算如何分配。

甲、乙两村共派出了45?35?80人，而这80人，按照原计划应是甲村派出80?99?8?3?36人，

乙村派出32人，丙村派出12人，所以，实际上甲村帮丙村派出了45?36?9人，乙村帮丙村派出了35?32?3人，所以丙村拿出的360元钱，也应该按9:3?3:1来分配给甲、乙两村，所以，甲村应分得：360?(3?1)?3?270元，乙村应分得：360?270?90元．

【例 45】 （难度等级 ※※※※）(2007年二中考题)某工地用3种型号的卡车运送土方．已知甲、乙、丙

三种卡车载重量之比为10:7:6，速度比为6:8:9，运送土方的路程之比为15:14:14，三种车的

辆数之比为10:5:7．工程开始时，乙、丙两种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，直到

天后，另一半甲种车才投入工作，一共干了25天完成任务．那么，甲种车完成的工作量与总工作量之比是多少？

【解析】 由于甲、乙、丙三种卡车运送土方的路程之比为15:14:14，速度之比为6:8:9，所以它们运送1次

10所需的时间之比为

1514145714::?::689249，相同时间内它们运送的次数比为：:245714:9．在前10天，

甲车只有一半投入使用，因此甲、乙、丙的数量之比为5:5:7．由于三种卡车载重量之比为

10:7:6，所以三种卡车的总载重量之比为50:35:42．那么三种卡车在前10天内的工作量之比为：

2??4??9??50?:35?:42????????20:20:27．在后155??7??14??天，由于甲车全部投入使用，所以在后15天里

的工作量之比为40:20:27．所以在这25天内，甲的工作量与总工作量之比为：

6-3.工程问题.题库 教师版 page 21 of 29

20?10?40?15(20?20?27)?10?(40?20?27)?15?3279．

【例 46】 （难度等级 ※※※※）（2008年清华附中考题）甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们工资

共1800元，三人完成这项工程的具体情况是：甲、乙两人合作6天完成了工程的，因为甲有

31事，由乙、丙合作2天完成余下工程的

14，以后三人合作5天完成了这项工程，按完成量的多

少来付劳动报酬，甲、乙、丙各得多少元？

【解析】 根据题意可知，甲、乙两人的工作效率之和为?6?31118；

乙、丙两人的工作效率之和为(1?)?31141?2?1121；

110甲、乙、丙三人的工作效率之和为(1?)?(1?)?5?34．

118?160?7180分别可求得甲的工作效率为

110?118?2110?112?160，乙的工作效率为

1160，丙的工作效率为

??6?2?5???33:91:5656339118045，则甲完成的工程量为：245??2?5??3333?91?561445160??6?5??，乙完成的工程量为：11:917180:，

丙完成的工程量为：所以，甲应得1800?

，三人所完成的工作量之比为元，乙应得330?9133?910146018045．

?330元，丙应得330??560元．

【例 47】 （难度等级 ※※※※）一个水箱，用甲、乙、丙三个水管往里注水．若只开甲、丙两管，甲管

注入18吨水时，水箱已满；若只开乙、丙两管，乙管注入27吨水时，水箱才满．又知，乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍．则该水箱最多可容纳多少吨水？

【解析】 由于乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍．那么甲管注入18吨水的时间是乙管注入

18?2?36吨水的时间，则甲管注入18吨水的时间与乙管注入27吨水的时间比是36:27?4:3．那么在这两种情况下丙管注水的时间比为4:3，而且前一种情况比后一种情况多注入27?18?9吨水，则甲管注入18吨水时，丙管注入水9?(4?3)?4?36吨．

所以该水箱最多可容纳水18?36?54吨．

【例 48】 （难度等级 ※※※※）一个水箱有甲、乙、丙三根进水管，如果只打开甲、丙两管，甲管注入

吨水时，水箱已满；如果只打开乙、丙两管，乙管注入40吨水时，水箱才满．已知乙管每

分钟注水量是甲管的1.5倍，则该水箱注满时可容纳 吨水．

30【解析】 方法一：乙注入40吨水的时间相当于甲注入

那么，乙注40吨水丙可注水量为

90?30?120（吨）为水箱容量。

401.5?130401.5吨水的时间，甲注入30吨水，丙可注水量为x，

401.5?130x，解得x?90，

x，所以30?x?40?方法二：如果只打开甲、丙两管，注满水时甲管注入了30吨水；如果只打开乙、丙两管，注满

6-3.工程问题.题库 教师版 page 22 of 29

水时乙管注入了40吨水．由于乙管每分钟注水量是甲管的1.5倍，所以在甲管注入30吨水的时间内，乙管可以注入30?1.5?45吨水，而在只打开乙、丙两管的情况下乙管共注入了40吨水，可见打开甲、丙两管注满水所用的时间是打开乙、丙两管所用时间的

4540?98倍．可以假设打开乙、

98a丙两管的情况下丙管注了a吨水，则打开甲、丙两管的情况下丙管注了

98a?30?a?40吨水，所以有

，得到a?80，所以水箱注满时可容纳80?40?120吨水．在得到第一种情况所

9用时间是第二种情况所用时间的倍之后，可以假设第二种情况此时乙、丙两管继续注水，总时

8间为注满水所需时间的倍，也就是与第一种情况所用时间相同．此时，注入的水量也是水箱容

89积的倍，即比第一种情况多了倍．然而此时注水时间相同，所以丙管注入的水量相同，乙管

8891则注入30?1.5?45吨水，比甲管多注了45?30?15吨，所以这15吨就是水箱容积的，那么水

81箱容积为15?

18?120吨．

【例 49】 （难度等级 ※※※※※）有甲、乙两个相同的空立方体水箱，高均为60厘米，在侧面上分别

有排水孔A和B．A孔和B孔距底面50厘米和30厘米，且两孔排水速度相同．现在以相同速

度一起给两水箱注水，并通过管道使A孔排出的水直接流入乙箱．70分钟后两水箱同时注满．如果关闭两孔，直接将空水箱注满需要________分钟．

既注水又排水只注水只注水甲A孔10厘米20厘米30厘米相当于只注水既注水又排水只注水B孔20厘米10厘米30厘米乙

【解析】 由于两个立方体水箱上的孔的高度不同，所以在不同的阶段，两个水箱内注水、排水的情况不同，

对此可以分阶段进行分析．

如图所示，当注水没有超过30厘米高度时，水没有达到A、B两孔的高度，此时两个孔都

不排水，所以这个阶段两个水箱都是只注水，所用时间也相同； 当水达到30厘米高度而又没有达到50厘米高度时，甲箱还是只注水，乙箱则既注水又排水；当甲箱内的水达到50厘米高度时，甲箱开始既注水又排水，而此时乙箱在注水的同时也在排水，同时A孔排出的水也流入乙箱，由于A、B两孔排水速度相同，所以A孔排出、流入乙箱的水与孔排出的水相同，所以这一阶段乙箱相当于只注水．

由于两水箱同时注满，注满水所用的时间相同，那么甲、乙两水箱的既注水又排水阶段所用

B的时间相同，注入的水量也相同，都是10厘米高度的水，那么甲箱的第二个只注水阶段(即注满20厘米高度水的阶段)所用的时间就与乙箱既注水又排水阶段(注满10厘米高度水的阶段)所用的

6-3.工程问题.题库 教师版 page 23 of 29

时间相同，那么这时候甲、乙两水箱每分钟注入的水量之比为20:10?2:1，可见注水速度是排水孔排水速度的2倍．

假设只注水注满10厘米高度水所用的时间为1份，那么对于甲箱来说，它只注水的时间为5份，既注水又排水的时间为1?2?(2?1)?2份，所以注满甲箱的总时间为5?2?7份，为70分钟，那么1份为10分钟．则关闭排水孔只注水的情况下，将空水箱注满需要10?6?60分钟．

【例 50】 （难度等级 ※※※※※）如图，有一个正方体水箱，在某一个侧面相同高度的地方有三个大小

相同的出水孔．用一个进水管给空水箱灌水，若三个出水孔全关闭，则需要用1个小时将水箱灌

满；若打开一个出水孔，则需要用1小时5分钟将水箱灌满；若打开两个出水孔，则需要用72分钟将水箱灌满．那么，若三个出水孔全打开，则需要用多少分钟才能将水箱灌满？

【解析】 设进水管每小时进水单位1，那么水箱灌满后水的总量为1，进水管每分钟进水量为

160．由于打

开一个出水孔，则需要用65分钟将水箱灌满，说明一个出水孔在这65分钟内的出水量等于进水管5分钟的进水量，那么打开一个出水孔时一个孔出水量为：孔时两个孔出水量为：

1260?15560?112，同理可知打开两个出水

，由于打开两个出水孔时比打开一个出水孔时多出了72?65?7分

1112?2)?7?2?1420钟水，所以一个孔每分钟出水量为：(?5112?1420，那么开一个孔的实际出水时间为：

这说明在前面的65?35?30?35(分钟)．分钟内进水管进水量恰好达到三个出水孔的高

度，在此之前由于水箱内的水未达到出水孔的高度，即使出水孔开着也不出水，而水箱内水量达到出水孔的高度后，在进水管进水的同时出水孔开始出水．后出水孔才开始出水，此时还需进

30?12?(160?1420?3)?82.512160?30?12，即在进水管进了

12的水

的水．所以，开三个出水孔所需的时间为：

(分钟)．

【巩固】 （难度等级 ※※※※※）一个长方体水槽，侧面相同高度的地方开有若干大小相同的出水孔．现

用一个进水管给空水槽灌水，若出水孔全关闭，灌满水槽需要用1个小时；若打开一个出水孔，

灌满水槽则需要用64分钟；若打开两个出水孔，灌满水槽需要用70分钟．要想能够把水槽灌满，最多可以打开 个出水管，经过 分钟才能将水箱灌满．

【解析】 进水管每分钟灌进水槽容积的

分别是水槽容积的

160?64?1?160460．而在开一个出水孔和开两个出水孔的情况下，出水孔出的水

?(115)和

160?70?1?1060?16．两次出的水之比是

1156:1?2:5，

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说明水得放到孔所在的高度才能开始出水．

设进水x分钟后开始出水，则有(64?x):[2?(70?x)]?2:5，解得x?40． 那么一个出水孔的出水速度为要想能够把水槽灌满，由于

160160??(1?1360160?40)?(64?40)?1360．

?6，所以最多可以打开

15个出水孔．

打开5个出水孔时，灌满水槽所需的时间为40?1?1?????5??160(分钟)． 3?60360?

【例 51】 （难度等级 ※※※※※）(2007年人大附中考题)有一个敞口的立方体水箱，在其侧面一条高

线的三等分处开两个排水孔A和B，已知两孔的排水速度相同且保持不变，现在从水箱上面匀速注水，如果打开A孔，关闭B孔，那么经过20分钟可将水箱注满，如果关闭A孔，打开B孔，

则需要22分钟才能将水箱注满，那么两孔都打开，经过 分钟才能将水箱注满．

【解析】 本题需要注意侧高线的不同位置上的两个排水孔起作用的阶段不同，只有当水上升到其高度后排

水孔才开始排水，在此之前则是不排水的．

(法1)方程法．设进水速度为x，出水速度为y，立方体水箱的容积为1．则

?2?x???3??1?x???31323?(x?y)?20

?(x?y)?221x解此类方程，可采用换元法．设

?2a???3??1a???31323b?20b?22118?a，

1x?y?b，原式可以变形为：

，解得：??a?18?b?24172．

所以x?，y?118?124?．

113?24?13?(118?2?172)?26所以，打开两个排水孔注满水箱的时间为：?18?31(分钟)．

(法2)设单开进水管注满水箱的所需进水时间为x分钟，同时开一个进水管与一个出水孔注满

3水箱的所需的进水时间为y分钟．则

31?2x?y?20，解得：x?6，y?8． ?x?2y?22?以水箱的看作“1”，则进水速度为

3116，出水速度为?61118?124，

所以灌满水箱最上层的需要1??31?1?6???2??1224?分钟．

那么总共需要6?8?12?26(分钟)． (法3)图示法．

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