高三人教A版文科数学一轮复习课时作业导数的应用

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大千教育课时作业(十六) 导数的应用

1．当x≠0时，有不等式( )

A．ex<1＋x B．当x>0时，ex<1＋x，当x<0时，ex>1＋x C．ex>1＋x D．当x<0时，ex<1＋x，当x>0时，ex>1＋x

1

2．已知点P在函数f(x)＝sinx(x∈[0，π])的图象上，若过该点的图象的切线方程为y＝

2

33－πx＋，则点P的坐标为( )

6

π1?5π1π32π3， B.?，? C.?，? D.?，? A.??62??62??32??32?

3．图K16－1都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是( )

图K16－1 A．①② B．①③ C．③④ D．①④

4．若函数y＝ex＋mx有极值，则实数m的取值范围是________． 5．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f′(x)和y＝f(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )

图K16－2 6．若函数f(x)＝x－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是( ) A．(－2,2) B．[－2,2] C．(－∞，－1) D．(1，＋∞) 7．下列不等式在(0，＋∞)上恒成立的是( )

π

x≠＋kπ，k∈N? D．ex>x＋2 A．lnx>x B．sinx>x C．tanx>x??2?

8．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，

1??400x－2x2?0≤x≤400?，

已知总营业收入R与年产量x的关系是R＝R(x)＝?则总利润最大

3

??80000?x>400?，

时，每年生产的产品数是( )

A．100 B．150 C．200 D．300

11

9．函数f(x)＝ax3＋ax2－2ax＋2a＋1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是

32

( )

63838163A．－

516516516516

32

10．已知函数f(x)＝x－3ax＋a(a>0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是________．

11．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离x(千米)成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离x(千米)成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．

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π??π?的值为________． 12．已知函数f(x)＝f′?cosx＋sinx，则f′?4??4?3

－，3?内可导，其图象如图K16－3，记y＝f(x)的导函数为13．函数y＝f(x)在定义域??2?y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为________． 图K16－3

alnxb

14．(10分)已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3

x＋1x＝0.

(1)求a，b的值；

lnx

(2)证明：当x>0，x≠1时，f(x)>. x－1

15．(13分)[2011·上海模拟] 围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求场地一面利用旧墙，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图K16－4所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙造价为180元/m，设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此场地围墙总费用为y(单位：元)．

(1)将y表示为x的函数；

(2)试确定x的值，使修建此场地围墙总费用最小． 图K16－4

选做题：

16．(12分)已知函数f(x)＝ln

x＋1

. x－1

x＋1

(1)求函数的定义域，并证明f(x)＝ln在定义域上是奇函数；

x－1m

(2)若x∈[2,6]时，f(x)>ln恒成立，求实数m的取值范围；

?x－1??7－x?

(3)当n∈N*时，试比较f(2)＋f(4)＋f(6)＋…＋f(2n)与2n＋2n2的大小关系．

课时作业(十六)

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1．C [解析] 设y＝ex－1－x，∴y′＝ex－1，∴x>0时，函数y＝ex－1－x是递增的，x<0时，函数y＝ex－1－x是递减的，∴x＝0时，y有最小值y＝0.

11

2．B [解析] 切线的斜率为k＝，设P点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝cosx0＝，因为

22

π3

x0∈[0，π]，所以x0＝，从而y0＝.故选B.

32

3．C [解析] 导函数的图象为抛物线，其变号零点为函数的极值点，因此③④不正确．

xxx

4．m<0 [解析] y′＝e＋m，由条件知e＋m＝0有实数解，∴m＝－e<0.

5．D [解析] D中两个函数图象有升有降，因此导函数图象应有正有负，而图中函数图象恒为正或恒为负，故D不可能正确．

6．A [解析] f′(x)＝3x2－3，f(x)极大值＝f(－1)＝2＋a，f(x)极小值＝f(1)＝－2＋a，函数f(x)有3个不同零点，则2＋a>0且－2＋a<0，因此－2

π

x≠＋kπ，k∈N?，7．C [解析] 当x＝1时，A，B不成立；对于C，设f(x)＝tanx－x??2?

2

1－cosxsin2x1

则f′(x)＝2－1＝＝2≥0，因此f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(x)min>f(0)＝0；

cosxcos2xcosx

x

对于D，令f(x)＝e－x－2，f′(x)＝ex－1>0，故f(x)min>f(0)＝－1，不符合题意．

8．D [解析] 由题意得，总成本函数为 C＝C(x)＝20000＋100x，所以总利润函数为

x2??300x－2－20000?0≤x≤400?，

P＝P(x)＝R(x)－C(x)＝?

??60000－100x?x>400?.

??300－x?0≤x≤400?，而P′(x)＝?

?－100?x>400?.?

令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，P最大．

9．D [解析] f′(x)＝ax2＋ax－2a＝a(x＋2)(x－1)，要使函数f(x)的图象经过四个象限，

16563a＋1??a＋1?<0，解得－

2

10.?，＋∞? [解析] ∵f′(x)＝3x2－3a2(a>0)，∴由f′(x)>0得：x>a或x<－a，由?2?f′(x)<0得－aa－3a＋a<0，??3

∴当x＝a时，f(x)有极小值，x＝－a时，f(x)有极大值．由题意得：?－a＋3a3＋a>0，

??a>0.解得a>

2. 2

3

3

k1

11．5 [解析] 依题意可设每月土地占用费y1＝，每月库存货物的运费y2＝k2x，k1，

x

k14

k2是比例系数，于是由2＝得k1＝20；由8＝10k2得k2＝. 105

204x

因此，两项费用之和为y＝＋(x>0)，

x5

204

y′＝－2＋，令y′＝0，得x＝5或x＝－5(舍去)．

x5

当05时，y′>0.

因此，当x＝5时，y取得极小值，也是最小值．

故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．

π??π?＝－f′?π?sinπ＋cosπ，12.2－1 [解析] 因为f′(x)＝－f′?sinx＋cosx，所以f′ ?4??4??4?44

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π?整理得f′??4?＝2－1.

111

－，1?∪[2,3) [解析] 函数在?－，1?和(2,3)上为减函数，且在x＝－，1,2处13. ??3??3?3

1

－，1?∪[2,3)． 均取得极值，因此f′(x)≤0的解集为??3?

x＋1

f?1?＝1，b＝1，a?－lnx??????x?b

14．[解答] (1)∵f′(x)＝－2，由题意知：?即?a11 x?x＋1?2f′?1?＝－，－b＝－.??22??2

∴a＝b＝1.

lnx1(2)证明：由(1)知f(x)＝＋，

x＋1x

x2－1?lnx1?所以f(x)－＝， 2lnx－

x?x－11－x2?x2－1－?x－1?2

设h(x)＝2lnx－(x>0)，则h′(x)＝，

xx2当x≠1时，h′(x)<0，而h(1)＝0，

1

故当x∈(0,1)时，h(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0.得h(x)>0.

1－x2lnxlnx

从而，当x>0，x≠1时，f(x)－>0，即f(x)>. x－1x－1

15．[解答] (1)设矩形另一边长为a m，则 y＝45x＋180(x－2)＋180×2a ＝225x＋360a－360.

360

由已知ax＝360，∴a＝. x

2360

∴y＝225x＋－360(x＞0)．

x3602

(2)y′＝225－2，令y′＝0得x1＝－24(舍)，x2＝24.

x

此时，x＝24是x∈(0，＋∞)内唯一的极值点，即为最小值点，且当x＝24时，y＝225×242360＋－360＝10440. 24

∴当x＝24时，修建围墙总费用最小值为10440元． 【选做题】

x＋1

16．[解答] (1)由>0，解得x<－1或x>1，

x－1

∴函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，

－x＋1x－1?x＋1?－1＝－lnx＋1＝－f(x)．

f(－x)＝ln＝ln＝ln??－x－1x＋1x－1?x－1?

x＋1

∴f(x)＝ln在定义域上是奇函数．

x－1

x＋1m

(2)∵x∈[2,6]时，f(x)＝ln>ln恒成立，

x－1?x－1??7－x?

x＋1m∴>>0，∵x∈[2,6]， x－1?x－1??7－x?

∴0

令g(x)＝(x＋1)(7－x)＝－(x－3)2＋16，x∈[2,6]，由二次函数的性质可知 x∈[2,3]时g(x)单调递增，x∈[3,6]时g(x)单调递减， 又g(2)＝15，g(6)＝7，

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故x∈[2,6]时，g(x)min＝g(6)＝7， ∴0

2n＋1357

(3)f(2)＋f(4)＋f(6)＋…＋f(2n)＝ln×××…×＝ln(2n＋1)．

1352n－1

证法一：设函数h(x)＝lnx－(x－1)，x∈[1，＋∞)，

1－x

则x∈(1，＋∞)时，h′(x)＝<0，即h(x)在(1，＋∞)上递减，

x

所以h(x)

x2?－x2－2x1?证法二：构造函数h(x)＝ln(1＋x)－?x＋?(x>0)，h′(x)＝－x－1＝，

2x＋1x＋1

当x>0时，h′(x)<0，∴h(x)＝ln(1＋x)－?x2?x＋2??在(0，＋∞)上单调递减，

∴h(x)

∴当x＝2n(n∈N*)时，ln(1＋2n)－(2n＋2n2)<0， ∴ln(1＋2n)<2n＋2n2.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/2ru5.html