2011 1北京高三西城期末年终文

北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末试卷

高三数学（文科） 2011.1

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项.

1. 已知集合A?{xx??1}，B?{xx?3}，那么集合A?B? （A）{x?1?x?3} （C）{xx??1}

2. 下列函数中，图象关于坐标原点对称的是 （A）y?lgx

（B）y?cosx

（C）y?|x|

（D）y?sinx

（B）{x?1?x?3} （D）{xx?3}

3. 若a?b，则下列不等式正确的是 （A）

1a?1b

（B）a3?b3 （C）a2?b2

（D）a?b

4. 命题“若a?b，则a?1?b”的逆否命题是 （A）若a?1?b，则a?b （C）若a?1?b，则a?b

（B）若a?1?b，则a?b （D）若a?1?b，则a?b

5. 设{an}是等差数列，若a2?4，a5?7，则数列{an}的前10项和为 （A）12

（B）60

（C）75

14,12]（D）120

开始 输入x x?[?2,2] 6. 阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间[内，那么输入实数x的取值范围是 （A）(??,?2] （B）[?2,?1] （C）[?1,2] （D）[2,??)

否 f(x)?2 是 xf(x)?2 输出 f(x)结束

1

AB?AD?CD?1，7． 如图，四边形ABCD中，

BD?2，BD?CD，将四边形ABCD

沿对角线BD折成四面体A??BCD，使平 面A?BD?平面BCD，则下列结论正确的是 （A）A?C?BD （C）?A?DC是正三角形

1（B）?BA?C?90?

（D）四面体A??BCD的体积为

113

8. 设函数f1(x)?log2x?()x，f2(x)?log1x?()x的零点分别为x1,x2，则

222（A）0?x1x2?1 （B）x1x2?1 （C）1?x1x2?2 （D）x1x2?2

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. i为虚数单位，则

2(1?i)2?______.

1210. 已知a?b?1，a?b?，则平面向量a与b夹角的大小为______.

?x?y?1?0,?11.若实数x,y满足条件?x?y?2,则2x?y的最大值为______.

?x?1,?12.在?ABC中，若a?xa223,b?3，?B?2??3，则c?____.

13. 已知双曲线?yb2?1的离心率为2，它的一个焦点与抛物线y?8x的焦点相同，

2那么双曲线的焦点坐标为______；渐近线方程为_______.

14.在平面直角坐标系中，定义d(P,Q)?x1?x2?y1?y2为两点P(x1,y1),Q(x2,y2)之

间的“折线距离”.在这个定义下，给出下列命题： ①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；

③到M(?1,0),N(1,0)两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形； ④到M(?1,0),N(1,0)两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线. 其中正确的命题是____________.（写出所有正确命题的序号）

2

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分13分）

已知函数f(x)?3sin2x?2sin2x.

?（Ⅰ）求f()的值；

6（Ⅱ）若x?[?

?6,?3]，求f(x)的最大值和最小值.

16.（本小题满分13分）

如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，?BAC?90?，

D为BC中点.

C1 A1

（Ⅰ）求证：A1B//平面ADC1； （Ⅱ）求证：C1A?B1C.

17.（本小题满分13分）

C

D B

A

B1

对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：

分组 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) 频数 10 24 m 频率 0.25 n p

0 10 15 20 25 30 次数

频率/组距 a 2 M0.05 1 合计 （Ⅰ）求出表中M,p及图中a的值；

（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间

[10,15)内的人数；

（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率.

3

18.（本小题满分13分）

已知椭圆C:xa22?yb22?1 （a?b?0）的一个焦点坐标为(1,0)，且长轴长是短轴长

的2倍.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设O为坐标原点，椭圆C与直线y?kx?1相交于两个不同的点A,B，线段AB的中点为P，若直线OP的斜率为?1，求△OAB的面积.

19.（本小题满分14分）

已知函数f(x)?ax?lnx(a?R).

(Ⅰ)若a?2，求曲线y?f(x)在x?1处切线的斜率； (Ⅱ)求f(x)的单调区间；

（Ⅲ）设g(x)?x2?2x?2，若对任意x1?(0,??)，均存在x2??0,1?，使得

f(x1)?g(x2)，求a的取值范围.

20.（本小题满分14分）

*已知数列{an}的首项为1，对任意的n?N，定义bn?an?1?an.

（Ⅰ） 若bn?n?1，求a4；

（Ⅱ） 若bn?1bn?1?bn(n?2)，且b1?a,b2?b(ab?0).

（ⅰ）当a?1,b?2时，求数列{bn}的前3n项和；

（ⅱ）当a?1时，求证：数列{an}中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次.

4

北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末

高三数学参考答案及评分标准

（文科） 2011.1

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 C 5 C 6 B 7 B 8 A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9.?i 10. 60? 11. 4 12. 3 13. (?2,0)，3x?y?0 14. ①③④ 注：13题第一问2分，第二问3分；

14题①③④选对其中两个命题得2分，选出错误的命题即得0分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.

15.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）f()=3sin6?32??3?2sin?42?6 ??????2分

?2??1. ??????4分

（Ⅱ）f?x??3sin2x?cos2x?1 ??????6分 ?2sin(2x??6)?1. ??????8分

因为x?[?所以 ?12?6,?2]，所以??6?2x??6?5?6， ??????10分

?sin(2x??6)?1， ??????11分

所以f(x)的最大值为1 ，最小值为?2. ??????13分

16.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）连结A1C，设A1C交AC1于点O，连结OD. ??????2分

5

因为ACC1A1为正方形，所以O为A1C中点， 又D为BC中点，所以OD为?A1BC的中位线，

所以A1B//OD. ??????4分 因为OD?平面ADC1，A1B?平面ADC1， 所以A1B//平面ADC1. ??????6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，C1A?CA1 ??????7分

因为侧面ABB1A1是正方形，AB?AA1， 且?BAC?90?， 所以AB?平面ACC1A1. 又AB//A1B1，

所以A1B1?平面ACC1A1. ??????9分 又因为C1A?平面ACC1A1，

所以A1B1?C1A. ??????10分 所以C1A?平面A1B1C. ??????12分 又B1C?平面A1B1C，

所以C1A?B1C. ??????13分 17.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25知，

10M?0.25，

C1 O A1

B1

C D

A B

所以M?40. ??????2分 因为频数之和为40，所以10?24?m?2?40，m?4. ??????3分

p?mM?440?0.10. ??????4分

2440?5?0.12.?????6分

因为a是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以a?（Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组[10,15)内的频率是0.25，

所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人. ???8分 （Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m?2?6人，

设在区间[20,25)内的人为?a1,a2,a3,a4?，在区间[25,30)内的人为?b1,b2?. 则任选2人共有(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,b1),

(a2,b2),(a3,a4)，(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),(b1,b2)15种情况， ??????10分

而两人都在[25,30)内只能是?b1,b2?一种， ??????12分

6

所以所求概率为P?1?

18.（本小题满分13分）

115?1415.（约为0.93） ??????13分

解：（Ⅰ）由题意得c?1,a?2b， ??????2分

又a2?b2?1，所以b2?1，a2?2. ??????3分 所以椭圆的方程为

x2?y?1. ??????4分

22（Ⅱ）设A(0,1)，B(x1,y1)，P(x0,y0)，

联立??x2?2y2?2, 消去y得?y?kx?1(1?2k2)x2?4kx?0??（*），解得x?0或x??4k4k1?2k2，所以x1??1?2k2，

4k2所以B(?1?2k2,1?2k2k1?2k)，P(?121?2k2,1?2k2)， 因为直线OP的斜率为?1，所以?12k??1，

解得k?12（满足（*）式判别式大于零）. O到直线l:y?122x?1的距离为， 5AB?x2221?(y1?1)?35， 所以△OAB的面积为12?235?25?23.

19.（本小题满分14分） 解：(Ⅰ)由已知f?(x)?2?1x(x?0)， f?(1)?2?1?3.

故曲线y?f(x)在x?1处切线的斜率为3. (Ⅱ)f'(x)?a?1ax?1x?x(x?0). ①当a?0时，由于x?0，故ax?1?0，f'(x)?0

所以，f(x)的单调递增区间为(0,??). 7

??????6分

??????8分

??????10分

??????11分

??????12分

??????13分

??????2分

??????4分 ??????5分

??????6分

②当a?0时，由f'(x)?0，得x??11a.

1在区间(0,?)上，f?(x)?0，在区间(?,??)上f?(x)?0，

aa所以，函数f(x)的单调递增区间为(0,?)，单调递减区间为(?,??).

aa11 ??????8分

（Ⅲ）由已知，转化为f(x)max?g(x)max. ??????9分

g(x)max?2 ??????10分

由(Ⅱ)知，当a?0时，f(x)在(0,??)上单调递增，值域为R，故不符合题意. (或者举出反例：存在f(e3)?ae3?3?2，故不符合题意.) ??????11分 当a?0时，f(x)在(0,?)上单调递增，在(?,??)上单调递减，

aa11故f(x)的极大值即为最大值，f(?所以2??1?ln(?a)， 解得a??1e31a)??1?ln(1?a)??1?ln(?a)， ???13分

. ??????14分

20.（本小题满分14分）

(Ⅰ) 解：a1?1,a2?a1?b1?1?2?3,a3?a2?b2?3?3?6

a4?a3?b3?6?4?10. ??????3分

（Ⅱ）（ⅰ）解：因为bn?1bn?1?bn（n?2），

所以，对任意的n?N有bn?6?*bn?5bn?4?1bn?3?bn?1bn?2?bn，

即数列{bn}各项的值重复出现，周期为6. ??????5分 又数列{bn}的前6项分别为1,2,2,1,11,，且这六个数的和为7. 22设数列{bn}的前n项和为Sn，则，

当n?2k(k?N)时，

S3n?S6k?k(b1?b2?b3?b4?b5?b6)?7k，

*当n?2k?1(k?N)时，

S3n?S6k?3?k(b1?b2?b3?b4?b5?b6)?b6k?1?b6k?2?b6k?3

* ?7k?b1?b2?b3?7k?5 ， ??????7分

所以，当n为偶数时，S3n?72n；当n为奇数时，S3n?7n?32. ??????8分

8

（ⅱ）证明：由（ⅰ）知：对任意的n?N*有bn?6?bn，

又数列{bn}的前6项分别为1,b,b,1,112,，且这六个数的和为2b??2. bbb设cn?a6n?i(n?0)，（其中i为常数且i?{1,2,3,4,5,6}），

所以cn?1?cn?a6n?6?i?a6n?i?b6n?i?b6n?i?1?b6n?i?2?b6n?i?3?b6n?i?4?b6n?i?5

?2b?2b?2.

所以，数列{a6n?i}均为以2b?因为b?0时，2b?2b2b?2为公差的等差数列. ??????10分

2b?2??2?0， ??????12分

?2?0，b?0时，2b?所以{a6n?i}为公差不为零的等差数列，其中任何一项的值最多在该数列中出现一次. 所以数列{an}中任意一项的值最多在此数列中出现6次，

即任意一项的值不会在此数列中重复出现无数次. ??????14分

9

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