六年级数学专题复习二

六年级数学专题复习二：应用能力训练

一、总体概述：

知识要点

1、 一般应用题常见的解题方法

（1）综合法：从条件出发，运用学过的基本数量关系推出其中两个数量关系可以解决的问题，然后把所推的数量作为新的已知条件，与其他的已知条件搭配，再得出可以解决的问题，这样逐步推导，直到求出问题中所需要求的结果。

（2）分析法：从问题入手，逐步分析其所含的每一个相关的数量，使之分解成可依次解答的几个简单应用题。

（3）综合分析法：将分析法、综合法结合起来交替使用。当已知条件中有明显计算过程时就用综合法顺推，遇到困难时再转向原题所提出的问题用分析法帮忙，逆推几步，顺推和逆推联系上了，问题便解决了。 2、典型应用题常见的解题方法

（1）对应法：解答这一类应用题时要通过观察、比较题目中的已知条件研究对应数量的变化，找准数量之间的对应关系，寻找答案。

（2）还原法：就是从结果把变化的情况一步一步倒着推，通过一次次计算和推理，把结果还原到开始状态，用还原法解答的题往往借助于图示法或列表法。

（3）假设法：就是先假设某事件的一种或几种情况，然后找出假设与实际的差距，再根据数量间的关系进行调整，是假设与实际相符。 （4）转换法：是一种间接解决问题的方法，它是指把待解决或未解决的问题进行变形（如利用不变量转化单位“1”；利用代数法转化分率句；将分率句转化成比；利用设数法转化单位“1”等），使之简单化、熟悉化、具体化，从而转变成已解决或较容易解决的问题的方法。 （5）列方程：部分应用题传统的算术方法思考、解答比较困难，而列方程解应用题，用字母表示未知数，将未知数直接参与计算，思考时就比较方便。

（6）代换法：有些题目给出两个或两个以上的未知量，并且这些未知量之间具有相等的关系，我们可以根据所提供的信息，用一个未知量代替其他的未知量，从而找到解决问题的方法。

（7）图表法：有些应用题的数量关系比较复杂，可以画图把数量之间的关系变得简洁明了，借助直观的图或表进行分析、判断、推理，用图形或表格来表示复杂的数量关系，从而很快的找出解题的方法。

二、分类解析：

1、行程问题

知识要点

路程、时间、速度是行程问题的三个基本量，它们之间的关系如下： 路程=速度×时间 速度=路程÷时间 时间=路程÷速度 在具体的相遇与追及问题中，关系式可描述为： 相遇的路程=速度和×相遇时间 追及的路程=速度差×追及时间

相遇路程就是在相同的时间（相遇时间）内两者走过的总路程；追及路程就是在相同的时间（追及时间）内一方比另一方多走的路程。

1

在流水问题中，顺水速度=船速+水流速度 逆水速度=船速—水流速度 典例解析及同步练习

典例1 从A到B是1千米的下坡路，从B到C是3千米的平路，从C到D是2.5千米的上坡路，小张和小王步行，下坡路速度都是每小时6千米，平路速度都是每小时4千米，上坡路速度都是每小时2千米。小张和小王分别从A、D同时出发相向而行，经过多长时间两人相遇？

解析：小张从A到B需要1÷6×60=10（分钟）；小王从D到C也是下坡，需要2.5÷6×60=25（分钟）；当小王到达C点时，小张已在平路上走了25－10=15（分钟），走了4×15÷60=1（千米），因此在B与C之间平路上剩下3－1=2（千米），由小张和小王共同相向而行，直到相遇，所需时间是2÷（4+4）×60=15（分钟）。从出发到相遇时间是25+15=40（分钟）。

解：1÷6×60=10（分钟）

2.5÷6×60－10=15（分钟） 3－4×15÷60=2（千米）

2÷（4＋4）×60+25=40（分钟） 答：经过40分钟两人相遇。

典例二 甲、乙两地相距300千米，一辆客车由甲地开到乙地需要15小时，一辆货车由乙地开到甲地需10小时，这两辆车由甲、乙两地分别同时开出相向而行，经过多少小时相遇？

根据相向行程问题的数量关系列式为： 300÷（300÷15＋300÷10）

根据工程问题的数量关系，列式为：

1÷（

11?） 15101小时，两人共行全程的30%，2典例三 两人同时分别从两地出发相向而行，经过1

再经过多少小时两人就能相遇？

此题从叙述方式看，是一道比较典型的相向行程问题，但认真分析数量关系，就可以清楚地分析出这是一道归一问题。

1

1小时——行了全程的30% 2

？小时——行完全程的（1－30%）

（1－30%）÷（30%÷1 或1 1

1） 21×［（1－30%）÷30%］ 21÷［30%÷（1－30%）］ 2

举一反三训练1

2

1、炼钢厂六月份前10天平均每天炼钢378吨，后20天平均每天炼钢360吨，这个月平均每天炼钢多少吨？

2、修一条长450米的路，已经修了3天，修了150米，照这样计算，剩下的路还需要多少天修完？

3、小明和小华在一个圆形跑道上，从同一地点同时向相反的方向走，跑道全长400米，小华每分钟走60米，小明每分钟走40米，经过多少分钟两人第二次相遇？

4、新华机械厂，去年第一、二季度的平均产量是843台，第三季度生产了981台，全年每个季度的平均产量是978台，第四季度生产机器多少台？

5、张师傅原定10天生产4000个零件，由于改进技术，到预定日期的前一天，已经比预定的完成的数量多生产了50个，他实际平均每天生产多少个零件？

6、一艘轮船用同样的速度航行，第一天行了384海里，第二天行了304海里，共用了21.5小时。两天各行了多少小时？

7、一本书原计划印270页，每页排24行每行排30个字，为了节约用纸，改为每页排30行，每行排36个字，这本书实际印了多少页？

8、师徒2人要生产840个机器零件，开始4小时共生产了280个，照这样计算要完成剩下的零件还需要多少小时？（用四种不同的方法解答）

3

典例四 甲、乙、丙三辆车先后从A地开往B地，乙比丙晚出发5分钟，出发后45分钟追上丙；甲比乙晚出发15分钟，出发后1小时追上丙。甲出发后几小时追上乙？

解析：本题只给出时间，而行程问题需知道路程、速度与时间三个量中的两个量。这里可设丙的速度为“1”。则乙追丙的追及路程为1×5=5，甲追丙的追及路程为1×（5+15）=20.

111，甲与丙的速度差为20÷60=，于是甲的速度为1+，9331150乙的速度为1+，甲追乙的追及路程为（1+）×15=，这样一来，就可以得出答案了。

9935011解：设丙的速度为“1”，有解析可以得到：÷［（1+）－（1+）］=75（分钟）

3391=1（小时） 41答：甲出发后1小时追上乙。

4从而乙与丙的速度差为5÷45=

举一反三训练2

1、甲、乙两人由A地到B地，甲的速度是50米/分，乙的速度是45米/分，乙比甲早走4分钟，两人同时到达B地，A地到B地的距离是多少米？

2、甲、乙两车同时、同地出发向同一目的地，甲车每小时行40千米，乙车每小时行35千米，途中甲车停车3小时，结果甲车比乙车迟1小时到达目的地，两地之间的距离是多少？

3、猎狗发现在距它35米处有一只奔跑的兔子，立刻追上去，兔子7步的路程猎狗只需4步，猎狗跑3步的时间兔子却跑4步，猎狗至少跑多远才能追上兔子？

4、由甲、乙、丙三人，从王庄到李庄去，距离是3千米，步行速度每小时3千米，有两辆自行车，每辆自行车只能一人骑，速度为每小时15千米，三人同时出发同时到达，最短需要多少小时？

典例五 一艘轮船顺流航行105千米，在逆流航行60千米，共用12小时；若顺流航

4

行60千米，在逆流航行132千米，共用15小时。如果先顺流航行120千米，在逆流航行120千米回到始点，共需多长时间？

解析：这是流水问题，关键是求出船速与水速，或求出顺水速度与逆水速度。这里采用比较的方法，题设可化成等价的两个条件：顺流航行35千米，逆流航行20千米用4小时；顺流航行20千米，逆流航行44千米用5小时。比较可得，顺流航行35×5－20×4=95（千米）所用的时间等于逆流航行44×4－20×5=76（千米）所用的时间。于是，顺水速度：逆水速度=95：76=5：4，由此可得，顺水速度=（35＋20÷4×5）÷4=15（千米/时），逆水速度=（35÷5×4＋20）÷4=12（千米/时）。

解：由解析所得出的条件可知往返120千米所需时间为：120÷15＋120÷12=18（小时） 答：共需18小时。 举一反三练习3

1、一艘轮船在一条河里顺流而下200千米要用10小时，逆流而上行120千米也要用10小时，这艘轮船在静水中航行280千米要用多长时间？

2、一只小船顺流每小时行7.8千米，逆流每小时行4.2千米，现在甲、乙两只同样的小船，同时同地反向而行，经过1小时同时返回出发点，那么，在1小时内，甲、乙两船同方向行驶多长时间？

3、甲河是乙河的支流，甲河水流速度为3千米/时，乙河水流速度为2千米/时，一艘船沿乙河逆流行驶6小时，行驶84千米到达甲河，在甲河还要顺流航行133千米，这艘船一共航行多少小时？

4、甲、乙两个码头相距130千米，汽船从乙码头逆流行驶6.5小时到达甲码头，又知汽船在静水中每小时行驶23千米。汽船从甲码头顺流开回乙码头需要几小时？

5一支运货小船队，第一次顺流航行48千米，逆流航行8千米，共用10小时；第二次用同样的时间，顺流航行了24千米，逆流航行了14千米。求这支小船队在静水中速度和水流速度。

典例六 一列火车车身长200米，用15秒开过每小时行4千米的同方向行走的步行人甲，而用12秒开过骑自行车的人乙，那么乙每小时行多少千米?［注：开过是指火车头从甲

5

（或乙）的身旁开过到火车尾离开甲（乙）］

解析：由于火车用15秒时间开过同向行走的步行人甲，用12秒时间开过骑自行车的人乙，所以乙的骑行方向与火车的前进方向相反，因为由常识知道，骑车的速度比步行的速度快。因此，本题中给出火车尾与甲的追及问题以及火车尾与乙的相遇问题。再利用追及与相遇问题的基本关系式不难解决。

解：火车追甲的路程=火车车身长+甲在追击时间内走的路程，即200+4000×

15650650130=（米），那么火车的速度为：÷15=（米/秒）。火车尾与乙的相遇路程3600339505013020为200米，从而火车与乙的速度和为：200÷12=（米/秒），那么乙的速度为－=

339920（米/秒），而米/秒=8千米/时

9答：乙每小时行8千米。 举一反三训练4：

1、一列长150米的火车以18米/秒的速度穿越一条300米的隧道。火车穿越隧道（进入隧道直至完全离开）要多长时间？

2、快慢两列火车的车身长分别是150米和200米，它们相向行驶在两条平行的轨道上。若坐在慢车上的人看见快车驶过窗口的时间是6秒，则坐在快车上的人看见慢车驶过窗口的时间是多少秒？

3、某列火车通过360米的第一个隧道，用了24秒，接着通过长216米的第二个隧道，用了16秒。这列火车与另一列长75米时速为86.4千米的火车相向而行，错车而过交叉的时间是多少？

2、和差、和倍、差倍问题

知识要点

1、已知两数和及它们的差，求这两个数各是多少的应用题，叫做和差应用题，简称和差问题。

和差问题的解题规律是：小数加上两数差就是大数，两数和加上两数差便是大数的2倍；大数减去两数差是小数，两数和减去两数差是小数的2倍。因此，用两数和加上两数差，再除以2，就可求出其中的大数；用两数和减去两数差，再除以2，就可以求出其中的小数。最终我们可以用公式表示为：（两数和+两数差）÷2=大数；（两数和—两数差）÷2=小数。

2、已知两个数的和与两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题，我们通常把它叫做和倍问题。它是一类典型的应用题。向解答和差应用题一样，要想顺利的解答和倍问题，

6

最好的办法就是根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，是数量关系一目了然，从而找出解题规律，正确迅速的列式解答。和倍问题中的关系如下：两数和÷（倍数+1）=小数；小数×倍数=两数和—小数=大数。

3、已知大小两个数的差，还知道大数是小数的几倍，求大小两个数各是多少的应用题，我们通常把它叫做差倍问题。差倍问题也是一种典型的应用题。那么，如何解决差倍问题呢？和解答和倍问题类似的，我们仍可以用画线段图的方法来帮助分析、思考，它具有形象、直观等特点。我们可以通过分析数量关系，发现条件和问题之间的内在联系，找出解题规律，正确列式解答。常用的数量关系式有：两数差÷（倍数—1）=小数；小数×倍数=小数+差=大数。

典例解析及同步训练

典例1 有1元和5元人民币共17张，合计49元，两种面值的人民币各有多少张？ 解析： 该题求两种面值的人民币各有多少张，已知总张数17张，但两种人民币张数相差多少难以确定，怎么办？再分析题意，有知两种面值的人民币的总钱数及各自的票面值，但两种人民币相差的钱数也难以确定，这又怎么办？

我们可假设17张人民币全是5元的，总钱数则为5×17=85（元），比实际的49元多85—49=36（元），多大原因是把1元的人民币假设为5元的人民币，用数量关系式表示为：

每张5元币比1元币多的钱×1元币的张数=比实际多的钱。 根据这一关系式可以先求1元人民币的张数。

解：（5×17－49）÷（5－1）=9（张） 17－9=8（张） 答：1元的人民币有9张，5元的有8张。 举一反三练习1 1、小张和小赵共有400元，如果小赵借给小张20元，两人的钱相等。两人各有多少元？

2、甲、乙两车间共有工人450人。甲车间为了支援乙车间，抽出124人加入乙车间，这时乙车间还比甲车间少26人。甲、乙两车间原来各有多少工人？

3、实验农场为了种植试验的需要，把一块20公顷的坡地分成两小块，使它们的和恰是差的5倍。这两块地各是几公顷？

4、小明用21.4元去买两种贺卡，甲卡每张1.5元，乙卡每张0.7元，钱恰好用完。可是售货员把甲卡张数算作乙卡张数，把乙卡张数算作甲卡张数，要找给小明3.2元，小明买甲、乙卡各几张？

7

典例2 某印刷厂第一季度印书690000册，二月份印的册数是一月份的2倍，三月份印的册数是一月份的3倍，一、二、三月份分别印书多少册？

解析：我们可以从一月份印书册数为标准（1倍），则690000册是一月份的（1＋2＋3）倍。

解：一月份印书：690000÷（1＋2＋3）=115000（册） 二月份印书：115000×2=230000（册） 三月份印书：115000×3=345000（册）

答：一、二、三月份分别印书115000册、230000册、345000册。 举一反三练习2

1、师徒两人共同工作3小时，一共生产了450个零件，已知师傅的工作效率是徒弟的2倍，师徒每小时各生产多少个零件？

2、糖果盒里一共有奶糖、水果糖和咖啡糖150颗，已知奶糖颗数是水果糖的2倍，而水果糖的颗数又是咖啡糖的3倍，奶糖、水果糖和咖啡糖各有多少颗？

3、学校科技小组共有组员30人，其中男生比女生的2倍少3人，科技小组中男生女生各有多少人？

4、甲、乙、丙三人共有306元钱，甲的钱比乙的2倍多8元，乙的钱比丙的3倍多6元，甲、乙、丙三人各有多少元钱？

典例3 一个体育队，男队员人数的

11与女队员人数的相等，男队员比女队员多4532人，男、女队员各多少人？

解析：根据题意画出线段图，可以看出：把女队员人数看作1份（标准数），那么女队员人数就是2份，男队员人数就是3份，进而可知，男队员人数比女队员多（3－2）份。用

8

图表示为：

解：女队员：45×2=90（人） 男队员：45×3=135（人） 答：男、女队员分别有135人、90人。 举一反三练习3

1、暑假里，兄弟两人去钓鱼，哥哥比弟弟多钓了20条，哥哥钓的条数又正好是弟弟的3倍。兄弟俩各钓了多少条鱼？

2、仓库有面粉和大米，已知大米比面粉多4500千克，大米比面粉的3倍还多700千克，大米和面粉各有多少千克？

3四年级图书角有大小两个书架，大书架上的书是小书架上的4倍。如果从大书架上取出150本放到小书架上，这时，两个书架上书的本数相等。大小书架原来各有多少本书？

4、甲、乙两堆鸭梨的质量相等，如果从甲堆拿走6千克，往乙堆放进14千克后，乙堆梨的质量是甲堆的3倍。甲、乙两堆原来各有多少千克？

9

3、平均数问题

知识要点

平均数的意义：把几个不相等的数移多补少，使它们完全相等，而这几个数的总和完全不变，求出的相等的数就是平均数。平均数问题的基本数量关系是：总数量÷总分数=平均数

总数量÷平均数=总分数 平均数×总分数=总数量 在实际问题中，要抓住“总数量”以及与之对应的“总分数”来解决问题。 典例解析及同步练习

典例1 某零件厂有3个生产车间。第一车间有8人，二月份共生产零件640个；第二车间有6人，二月份共生产零件500个；第三车间有8人，二月份共生产零件620个。二月份平均每人生产零件多少个？

解析：因为零件厂有3个车间，可知问题中的“平均”是指“三个车间”，是按三个车间的总人数来计算的，因此所需条件便是三个车间的生产总量和人数总和。二者的商便是所要求的答案了。

解：（640＋500＋620）÷（8＋6＋8）=80（个） 答：二月份平均每人生产零件80个。 举一反三练习1

1、用五个同样的杯子装水，水面的高度分别是6厘米、5厘米、9厘米、8厘米和7厘米，这五个杯子水面的平均高度是多少厘米？

2、某电视机厂六月份前10天共生产电视机3300台，后20天共生产电视机6300台，这个月平均每天生产电视机多少台？

3、水果店在一星期前4天共卖出230千克水果，后三天平均每天卖出320千克，这个水果店这一星期平均每天卖出多少千克？

4、四年级一班第一小组在体侧时测得该组6个男生的平均体重为40千克，4个女生的平均体重是30千克，该组这10个同学的平均体重是多少千克？

10

剩下的一半少3个，第四次搬走剩下的一半多3个，第五次搬走剩下的一半，最后剩3个。这堆西瓜有多少个？

解析：由倒推法可得到下表： 第五次后 第四次后 第三次后 第二次后 第一次后 原 有 3个 3×2=6（个） （6＋3）×2=18（个） （18－3）×2=30（个） （30＋3）×2=66（个） 66×2=132（个） 答：这堆西瓜有132个。 举一反三练习3

1、有一堆棋子（棋子数大于1），把它四等分后剩一枚，拿去三份另一枚，将剩下的棋子在四等分后还是剩一枚，再拿走份另一枚，将剩下的棋子四等分还是剩一枚。原来至少有多少枚棋子？

2、操场上原来有一些学生，第一次走了全部人数的一半多8人，第二次走了余下的一半少4人，剩下的同学如果站成2排，每排刚好6人，操场上原来有多少个同学？

3、一个箱子里放着一些茶杯，有一个小朋友从箱子里往外拿茶杯，拿的规则是，每次都要拿出箱子里茶杯总数的一半，然后再放回一个，就这样，这个小朋友一共拿了597次之后，这时箱子里还有2个茶杯。那么刚开始时箱子里有多少个茶杯？

16

5 鸡兔同笼问题

知识要点

鸡兔同笼是我国古代的趣题。题中给了鸡与兔的总只数、总腿数，还有每只鸡每只兔有

几条腿，求鸡和兔各有多少。我国古代《孙子算经》上，“鸡兔同笼问题”的解题方法基本上是先进行假设，然后用替代的方法求出答案。解答鸡兔同笼的基本关系式有： 鸡数=（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数） 兔数=（总脚数－鸡腿数×总头数）÷（兔脚数－鸡脚数） 典例解析及同步训练

典例1 鸡兔同笼，头有46个，足有128只，鸡兔各几只？

解析：如果46只全都是兔，一共就是4×46=184（只）脚，这和已知的128只脚相比多了184－128=56（只）脚。如果用一只鸡换一只兔，就要减少4－2=2（只）脚。那么46只兔里应该还进几只鸡才能使56只脚的差数就没有了呢？显然，56÷2=28（只），也就是要用28只鸡去置换48只兔就行了。所以鸡的只数就是28只，兔的只数是46－28=18（只）。

解：鸡的只数：（4×46－128）÷（4－2）=28（只）兔的只数：46－28=18（只） 答：鸡有28只，兔有18只。 举一反三训练1

1、有鸡兔共20只，脚44只，鸡兔各几只？

2、动物园里有一群鸵鸟和长颈鹿，它们共有30只眼睛和44只脚，鸵鸟和长颈鹿各有多少只？

3、小新有2分、5分的硬币共35枚，一共是1元1角5分，那么，2分的硬币和5分的硬币各有多少枚 ？

4、100名师生参加植树活动，老师每人栽6棵树，学生每4人栽6棵，一共栽了240棵，老师学生各栽多少棵？

典例2 鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80，鸡与兔各多少只？

17

解析：假设100只全是鸡，那脚的总数是2×100=200（只），此时兔的脚数是0只，鸡脚比兔脚多200只，而实际上鸡脚比兔脚多80只，因此，鸡脚比兔脚多200－80=120（只），这是因为把其中的兔换成了鸡。每将一只兔换成鸡，鸡的脚数就增加了2只，兔的脚数减少4只，鸡脚与兔脚的差数增加了2＋4=6（只）， 所以，换成鸡的兔子有120÷6=20（只），鸡有100－20=80（只）。

解：（2×100－80）÷（2＋4）=20（只） 100－20=80（只） 答：鸡有80只，兔有20只。 举一反三练习2

1、鸡兔同笼，鸡比兔多26只，足数一共是274只，鸡兔各几只？

2、某小学举行一次数学赛，共15道题，每做对一题得8分，每做错一题倒扣4分，小明共得72分，他做对了多少道题？

3、有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，两对翅膀；蝉6条腿，1对翅膀），蜻蜓有多少只？

典例3 某运输队包运2000块玻璃，合同规定每块运费3角，若弄碎一块，还要赔偿4元。结果，这个运输队共得到运输费578元5角。运到的完整玻璃有多少块？

解析：如果2000块玻璃都完整运到，应得运费3×2000=6000（角）。但现在少得运费6000－5785=215（角）这是由于弄碎了部分玻璃的缘故。弄碎一块赔偿40角，还要扣去运费3角，也就是弄碎一块少得运费40＋3=43（角）.那么要用多少个43角去替代215角呢？用215÷43便可求得，这正是弄碎的玻璃的块数，包运的2000块中减去弄碎的块数便是运到的完整玻璃的块数。

解：2000－（3×2000－5785）÷（40＋3）=1995（块） 答：运到的完整玻璃有1995块。 举一反三练习3

1、六年级一班有43名同学向灾区捐款，共计100元，其中11名学生每人捐1元，其他同学捐2元或5元，捐2元和5元的同学各有多少名？

2、学校组织学生参观，参观的师生共450人，一辆旅游车比一辆中巴车多座20人，3辆旅游车和5辆中巴车的人数相等，如果都做旅游车需要几辆？如果都坐中巴车需要几辆？

18

3、小冬参加学校数学竞赛，试卷共有30道题，按规则，做对一道题得5分，做错一道题扣2分，空题得0分，结果小冬得了112分，他做对了多少道题？

4、甲、乙、丙三种练习簿每本价钱分别为7角、3角、2角，三种练习簿一共买了47本，付了21元2角，买乙种练习簿的本数是丙种练习簿的2倍，三种练习簿各买了多少本？

19

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/2r7o.html