2011年高考天津市数学试卷-文科（含详细答案）

2011年普通高等学校招生全国统一考试

天津卷（文科）

第Ⅰ卷

本卷共8小题，每小题5分，共40分

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1?3i?( )． 1?i 啊．2?i 不．2?i 才．?1?2i D．?1?2i

1．（同理１）i是虚数单位,复数

1?3i?1?3i??1?i?4?2i【解】???2?i．故选A．

1?i1?i1?i2?????x?1,?2．设变量x,y，满足约束条件?x?y?4?0,则目标函数z?3x?y的最大值为

?x?3y?4?0,?( )．

A．?4 B．0 C．

4 的．4 3【解】画出可行域为图中的?ABC的区域，直线y?3x?z经过

A?2,2?时，z?4最大．故选D．

3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为?4，则输出y的值为( )．

A．0.5 B．1 C．2 D．4

【解】运算过程依次为：

输入x??4??4?3?x??4?3?7 ?7?3x?7?3??44?3 ?x?4故选Ｃ．

4．设集合A?x?Rx?2?0，B?x?Rx?0，C?x?Rx?x?2??0 ，则“x?A?B”是“x?C”的( )．

A．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

?3??11?3?y?21?2?输出2．

?????? 1

【解】A?B?x?Rx?0或x?2，

??C?x?Rx?x?2??0?x?Rx?0或x?2?

所以A?B?C．

所以“x?A?B”是“x?C”的充分必要条件．故选Ｃ． 5．已知a?log23.6，b?log43.2，c?log43.6，则 ( )． A．a?b?c B．a?c?b C．b?a?c D．c?a?b

【解】因为a?log23.6?log43.62，而3.6?3.6?3.2，

又函数y?log4x是?0,???上的增函数，则log43.62?log43.6?log43.2． 所以a?c?b．故选Ｂ．

2??x2y226．已知双曲线2?2?1?a?0,b?0?的左顶点与抛物线y?2px?p?0?的焦点的

ab距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为??2,?1?，则双曲线的焦距为 ( )．

A．23 B．25 C．43 D．45 【解】因为双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为??2,?1?，则?所以p?4．

p??2， 2x2y22又因为双曲线2?2?1?a?0,b?0?的左顶点与抛物线y?2px?p?0?的焦点的

ab距离为4，则

p?a?4，所以a?2． 2b??2?，即a?2b， a因为点??2,?1?在双曲线的一条渐近线上，则?1?所以b?1,c?5，焦距2c?25．故选Ｂ．

7．已知函数f?x??2sin??x???，x?R，其中??0，?π???π．若f?x?的最小正周期为6π，且当x?π时，f?x?取得最大值，则( )． 2 A．f?x?在区间??2π,0?上是增函数 B．f?x?在区间??3π,?π?上是增函数

2

C．f?x?在区间?3π,5π?上是减函数 D．f?x?在区间?4π,6π?上是减函数

π?π?????,?1π?22【解】由题设得?解得??，??．

33?2π?6π,???所以已知函数为f?x??2sin?其增区间满足?解得??xπ???． ?33??2?2k??xπ????2k?，k?Z． 3325π?6kπ?x?π?6kπ，k?Z． 25π?5π??5π??x?π，所以??,π?为一个增区间，因为??2π,0????,π?， 2?2??2?取k?0得?所以f?x?在区间??2π,0?上是增函数．故选Ａ．

8．对实数a和b，定义运算“?”：a?b??,?a,a?b?1设函数

?b,a?b?1.f?x??x2?2??x?1?，x?R．若函数y?f?x??c的图象与x轴恰有两个公共点，

则实数c的取值范围是( )．

A．??1,1???2,??? B．??2,?1???1,2? C．???,?2???1,2? D．??2,?1?

???x2?2,?1?x?2,【解】由题设f?x???

?x?1,x??1或x?2画出函数的图象，函数图象的四个端点（如图）为，B?2A?2,1?，,?，C??1,?1?，D??1,?2?．

从图象中可以看出，直线y?c穿过点B，点A之间时，直线y?c与图象有且只有两个公共点，同时，直线y?c穿过点C，点D时，直线y?c与图象有且只有两个公共点，所以实数c的取值范围是??2,?1???1,2?．故选Ｂ．

3

第Ⅱ卷

二、填空题：本答题共6小题，每小题5分,共30分．

9．已知集合A?x?Rx?1?2，Z为整数集，则集合A?Z中所有元素的和等于 ．

【解】3．

解集合A得?1?x?3，则A?Z??0,1,2?，所有元素的和等于0?1?2?3． 10．一个几何体的三视图如右图所示（单位：m），则该几何体的体积为

??m3．

【解】4．

几何体是由两个长方体组合的．体积为 V?1?2?1?1?1?2?4．

11．已知?an?是等差数列，Sn为其前n项和，n?N?．若a3?16，

S20?20，则S10的值为 ．

【解】110．

?a3?a1?2d?16,设公差为d，由题设?解得d??2，a1?20．

S?20a?190d?20.1?20S10?10a1?45d?10?20?45???2??110．

12．已知log2a?log2b?1，则3?9的最小值为 ． 【解】18．

因为log2a?log2b?1，则log2ab?1，ab?2，a?2b?4

ab3a?9b?23a?9b?23a?2b?232a?2b?234?18，

?3a?9b,ab当且仅当?即a?2b时，等号成立，所以3?9的最小值为18．

?a?2b,13．（同理12）如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF?CF?2，AF:FB:BE?4:2:1，若CE与圆相切，则线段CE的长为 ．

4

【解】

7． 2因为AF:FB:BE?4:2:1，所以设BE?a，FB?2a，AF?4a． 由相交弦定理，DF?CF?AF?FB?2?4a?2a， 所以a?117，BE?，AE?7a?． 2222因为CE与圆相切，由切割线定理，CE?AE?BE?1777??．所以CE?． 2242????????P是腰DC上的动点，则PA?3PB的最小值为 ．

【解】5．

?ADC?90?，AD?2，BC?1，14．(同理14) 已知直角梯形ABCD中，AD//BC，

解法1 ．以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，建立如图的直角坐标系．

由题设，A?2,0?，设C?0,c?，P?0,y?，则B?1,c?．

????????PA??2,?y?，PB??1,c?y?． ????????PA?3PB??5,3c?4y?．

????????2PA?3PB?52??3c?4y??5，

????????3c3c当且仅当y?时，等号成立，于是，当y?时，PA?3PB有最小值5．

44解法2 ． 以相互垂直的向量DP，DA为基底表示PA?3PB，得

????????????????????????5?DA?D?P3P?C3C?BD?3A PA?3PB2??????????PC． DP?????又P是腰DC上的动点，即PC与DP共线，于是可设PC??DP，

5DA?(3??1)DP． 2????????225????2????25????????DA??(3??1)DP???(3??1)DA?DP 所以PA?3PB???42222225DA?(3??1)DP?25?(3??1)DP． 即 PA?3PB?411由于P是腰DC上的动点，显然当??，即PC?DP时，

33????????所以PA?3PB有最小值5．

有PA?3PB??? 5

????????解法3 ．如图，3PB?PF，设E为AF的中点，Q为AB的

????1????????中点，则QE?BF?PB，

2???????????????????? PA?3PB?PA?PF?2PE， ①

CPTDab1FBEG2QA????????????????????????因为PB?PQ?PE，PB?PQ?QB．

则

S????????2????????2????2????2????2????2 PB?PQ?PB?PQ?2PB?2PQ?PE?QB． ②

（实际上，就是定理：“平行四边形的对角线的平方和等于各边的平方和”） 设T为DC的中点，则TQ为梯形的中位线，TQ?设P为CT的中点，且设CP?a,PT?b，

13?AD?BC??． 22????2?2????29???1222则PB?a?1，PQ?b?，QB??a?b??，

44代入式②得

????2????2?212?29????2 2PB?2PQ?2?a?1??2?b???PE??a?b??，

4?4?????225????252??a?b??于是PE?，于是2PE?5，当且仅当a?b时，等号成立． 44????????????由式①，PA?3PB?2PE?5，

????????所以PA?3PB有最小值5．

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16名篮球运动员在某次训练比赛15．(本小题满分13分) 编号分别为A1,A2,?,A16的

中的得分记录如下： 运动员编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 34 得 分 15 35 21 28 25 36 18

运动员编号 A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15 A16 25 33 22 12 得 分 17 26 31 38 (Ⅰ) 将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：

区间 人数

?10,20? ?20,30? 6

?30,40? (Ⅱ) 从得分在区间?20,30?内的运动员中随机抽取2人， (ⅰ) 用运动员编号列出所有可能的抽取结果；

(ⅱ) 求这2人得分之和大于50的概率． 【解】(Ⅰ) 区间 人数 ?10,20? 4 ?20,30? 6 ?30,40? 6 (Ⅱ) (ⅰ)得分在区间?20,30?内的运动员编号为 A3，A4，A5， A10，A11，A13．

从得分在区间?20,30?内的运动员中随机抽取2人，所有可能的抽取结果为

?A3,A4?， ?A3,A5?，?A3,A10?，?A3,A11?，?A3,A13?， ?A4,A5?，?A4,A10?，?A4,A11?，?A4,A13?， ?A5,A1?0，?A5,A11?，?A5,A13?， ?A1,0A?1，1?A10,A13?， ?A1,1A?1．3

共15种．

(ⅱ) 记“从得分在区间?20,30?内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”为事件B．

这2人得分之和大于50的所有可能结果有?A4,A5?，?A4,A10?，?A4,A11?，

?A5,A10?，?A10,A11?共5种．

所以P?B??51?． 15316．(本小题满分13分) 在?ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c．已知B?C，

2b?3a．

(Ⅰ) 求cosA的值； (Ⅱ) 求cos?2A???π??的值． 4?3a， 2【解】(Ⅰ) 解法1．由B?C，2b?3a得c?b?

7

32322222所以cosA?b?c?aa?4a?a12bc?4?2?33．

2a?32a解法2．由B?C，2b?3a得c?b?32a，B?πA2?2．

3由正弦定理得

aba?2asinA?sinB，即

sinA

sin???A?，?2?2??所以32sinA?cosA2，3sinAA12?1，所以sin2?3， cosA?1?2sin2A112?1?2?3?3． (Ⅱ) 因为cosA?13，A??0,π?，则sinA?223． cos2A?2cos2A?1??79，sin2A?2sinAcosA?429．

所以cos??2A?π?4???cos2Acosπ4?sin2Asinπ?4 ????7???24228?72?9?2?9?2??18． 17．(本小题满分13分)如图，在四棱锥P?ABCD中，底面

ABCD是平行四边形，?ADC?45?，AD?AC?1，O为AC的中点，PO?平面ABCD，PO?2，M为PD的中点．

(Ⅰ) 证明：PB//平面ACM； (Ⅱ) 证明：AD?平面PAC；

(Ⅲ) 求直线AM与平面ABCD所成角的正切值． 【解】(Ⅰ) 连接BD,MO．在平行四边形ABCD中， 因为O为AC的中点，所以O为BD的中点， 又M为PD的中点，所以PB//MO， 因为PB?平面ACM，MO?平面ACM，

8

PMDCOABPMDCNAOB所以PB//平面ACM．

(Ⅱ) 因为?ADC?45?，且AD?AC?1，所以?DAC?90?．即AD?AC． 又PO?平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PO?AD， 因为AC?PO?O，所以AD?平面PAC．

(Ⅲ) 取DO的中点N，连接MN,AN，所以MN//PO，MN?由PO?平面ABCD，得MN?平面ABCD， 所以?MAN是直线AM与平面ABCD所成的角． 在Rt?DAO中，AD?1，AO?1PO?1． 21515，所以DO?．从而AN?DO?． 2224在Rt?ANM中，tan?MAN?MN145． ??AN55445． 5直线AM与平面ABCD所成角的正切值为x2y218．(本小题满分13分) 设椭圆2?2?1?a?b?0?的左右焦点分别为F1，F2，点

abP?a,b?满足PF2?F1F2．

(Ⅰ) 求椭圆的离心率e；

(Ⅱ) 设直线PF2与椭圆相交于A,B两点，若直线PF2与圆?x?1??y?3交于M，N两点，且MN?2??2?16相

5AB，求椭圆的方程． 8【解】(Ⅰ)设F1??c,0?，F2?c,0?． 因为PF2?F1F2，则由e??a?c?2?b2?2c，a2?2ac?a2?4c2?0，

c122，有4e?2e?2?0，即2e?e?1?0，e??1（舍去）或e?． a21所以椭圆的离心率为e?．

21222(Ⅱ) 解法1．因为e?，所以a?2c，b?3c．所以椭圆方程为3x?4y?12c．

2b?3，则直线PF2的方程为y?3?x?c?． 直线PF2的斜率k?a?c

9

222??3x?4y?12c, A,B两点的坐标满足方程组???y?3?x?c?.2消去y并整理得5x?8cx?0．则x1?0，x2?8c． 58?x?c,2?x?0,??833?5?1?Ac?于是? ?不妨设?c,，B0,?3c． ??5???5?y1??3c?y?33c.2?5????16?8??33所以AB??c?0???c?3c??c．

??555????5于是MN?AB?2c．

8圆心??1,3?到直线PF2的距离d?222?3?3?3c2?32?c2，

?MN?3222?4因为d??，所以?2?c??c2?16，即7c2?12c?52?0， ?4?2?26?0（舍去）解得c??，或c?2．于是a?2c?4，b?3c?23． 7x2y2??1． 所以椭圆的方程为

161219．(本小题满分14分) 已知函数f?x??4x?3tx?6tx?t?1，其中t?R．

322 (Ⅰ) 当t?1时，求曲线y?f?x?在点0,f?0?处的切线方程；

(Ⅱ) 当t?0时，求f?x?的单调区间；

(Ⅲ) 证明：对任意t??0,???，f?x?在区间?0,1?内存在零点．

32【解】(Ⅰ) 当t?1时，f?x??4x?3x?6x，f?0??0，

?? f??x??12x?6x?6，f??0???6．

2 所以曲线y?f?x?在点0,f?0?处的切线方程为y??6x． (Ⅱ) f??x??12x?6tx?6t，令f??x??0，解得x??t或x?22??t． 2因为t?0，所以要分为t?0和t?0讨论．

10

(1) 若t?0,则

t??t. 2当x变化时，f??x?，f?x?的变化情况如下表：

x t????,?? 2?? ? 单调递增 ?t?,?t?? 2?? ? 单调递减 ??t,??? ? 单调递增 f??x? f?x? 所以，f?x?的单调增区间是???,(2) 若t?0,则?t???t??t?，，单调减区间是,?t?t,???????． 2??2?t. 2当x变化时，f??x?，f?x?的变化情况如下表：

x ???,?t? ? 单调递增 ?t???t,? ?2? ? 单调递减 ?t?,???? 2??f??x? f?x? ? 单调递增 所以，f?x?的单调增区间是???,?t?，??t??t?,???，单调减区间是??t,?． ?2??2?t?2??t?需,???内单调递增．

2?? (Ⅲ) 由(Ⅱ)可知，当t?0时，f?x?在?0,?内单调递减，在?要讨论

??t与讨论的区间?0,1?的相互位置关系． 2t(1) 当?1，即t?2时，f?x?在?0,1?内单调递减，

2因为f?0??t?1?0，f?1???6t?4t?3??6?4?4?2?3?0，

2所以对任意t??2,???，f?x?在区间?0,1?内存在零点． (2) 当0?t?t??t??1，即0?t?2时，f?x?在?0,?内单调递减，在?,1?内单调递增． 2?2??2? 11

若t??0,1?，f?73?t???t?t?1?0， ?4?2?f?1???6t2?4t?3??6t?4t?3??2t?3?0．

所以对任意t??0,1?，f?x?在区间??t?,1?内存在零点． 2??若t??1,2?，f?7373?t???t?t?1??t?1?0， ?44?2?f?0??t?1?0．

所以对任意对任意t??0,1?，f?x?在区间?0,?内存在零点． 所以对任意t??0,2?，f?x?在区间?0,1?内存在零点． 综合以上，对任意t??0,???，f?x?在区间?0,1?内存在零点． 20．(本小题满分14分) 已知数列?an?与?bn?满足

??t?2?3???1? bn?1an?bnan?1???2??1，bn?2nn?1，n?N?，且a1?2．

(Ⅰ) 求a2，a3的值；

(Ⅱ) 设cn?a2n?1?a2n?1，n?N?，证明?cn?是等比数列． (Ⅲ) 设Sn为?an?的前n项和，证明：

SSS1S21????2n?1?2n?n??n?N??． a1a2a2n?1a2n33???1?【解】(Ⅰ) 因为bn?2又bn?1an?bnan?1???2??1，

nn?1，n?N?，所以bn???2,n為奇數,

?1,n為偶數.当n?1时，a1?2a2??1，由a1?2，得a2??当n?2时，2a2?a3?5，得a3?8； (Ⅱ) 对任意n?N?,有 a2n?1?2a2n??2

2n?13； 2?1， ①

12

2a2n?a2n?1?22n?1， ② ②－①得 a2n?1?a2n?1?3?22n?1．

即 cn?a2n?1?a2n?1?3?22n?1， 于是

cn?1?4， cn所以?cn?是等比数列．

(Ⅲ)解法1．a1?2，由(Ⅱ)可得当k?N?且k?2时，

a2k?1?a1??a3?a1???a5?a3???a7?a5?????a2k?1?a2k?3? ?2?3?2?32?5?2?k?23??2

?2?3?2?1?4k?1?1?4?22k?1．

所以，对任意k?N?，a2k?1?22k?1． 由式①a2n?1?2a2n??22n?1?1得a2k?所以a2k?1?a2k?22k?11?22k?1．k?N?， 2?1?1???22k?1??． ?2?2k 2因此，S2k??a1?a2???a3?a4?????a2k?1?a2k??于是 S2k?1?S2k?a2k?所以

S2k?1S2k?a2k?1a2kk?12k?1?2． 2k?12k?1k?22 ?22k?1?12k?12?22k?1?22kk? ?

22k22k?1 ?1?1k． ?4k4k?4k?1?所以，对任意k?N?，

13

SSS1S2????2n?1?2n a1a2a2n?1a2n?S?SS??SS?S???1?2???3?4?????2n?1?2n? ?a1a2??a3a4??a2n?1a2n?????11??121n???? ???1?4?4?4?1?????1?42?42?42?1??????1?4n?4n?4n?1??????????1?2n?11??1?????n?nn? ?n??????2?22???44?4?1???412??44?4?1????1?11??n?????n?．

3?412?解法2．由(Ⅱ)可得 a2n?1?a2n?1?3?22n?1．

a2n?1a2n?13??， 2n?12n?124?24an?1131d?d?d?1?设dn?2，则，于是?dn?1?， n?1nn?122n?1444则

?1?于是dn?1??d1?1????4?n?1，因为d1?2?1，所以d1?1?0， 2因而dn?1．即a2n?1?22n?1． 以下同解法1．

14

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/2qzw.html