指数函数和对数函数复习（有详细知识点和习题详解）

指数函数与对数函数总结与练习

一、指数的性质 （一）整数指数幂

0??a???a1．整数指数幂概念： a?a a?1?a?0? (n?N)?????n个an a?n?1an?a?0,n?N?

?2．整数指数幂的运算性质：（1）a?a?anmnm?n?m,n?Z? （2）?am??amn?m,n?Z?

nn（3）?ab??a?bn?n?Z?

n其中a?a?a?amnm?n?am?nna?a?， ????a?b?1??an?b?n?n．

b?b?n3．a的n次方根的概念

一般地，如果一个数的n次方等于a?n?1,n?N??，那么这个数叫做a的n次方根， 即： 若xn?a，则x叫做a的n次方根， ?n?1,n?N??

说明：①若n是奇数，则a的n次方根记作na； 若a?0则na?0，若a?o则na?0；

②若n是偶数，且a?0则a的正的n次方根记作na，a的负的n次方根，记作：

?na；（例如：8的平方根?8??22 16的4次方根?416??2）

③若n是偶数，且a?0则na没意义，即负数没有偶次方根； ④?0n?0?n?1,n?N?? ∴n0?0；

⑤式子a叫根式，n叫根指数，a叫被开方数。 ∴

n?a?nn?a．

．

4．a的n次方根的性质

一般地，若n是奇数，则a 若n是偶数，则a5．例题分析：

例1．求下列各式的值： （1）3??8

?例2．已知a?b?0, n?1,n?N， 化简：n?a?b??nn?a；

?a?a????aa?0a?0nn．

3? （2）??10?2 （3）4?3???4 （4）

nn?a?b?n．

（二）分数指数幂

10121．分数指数幂：

5a10?a?an25?a?0?

3a12?a?a43?a?0?

即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式； 如果幂的运算性质（2）?ak??akn对分数指数幂也适用，

25524?3?4?2???253254333544?a，?a??a?a， ∴a?a a?a．例如：若a?0，则?a??a

????即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。

34m规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是an?mna1m?a?0,m,n?N?1n?,n?1?；

? （2）正数的负分数指数幂的意义是a?n?manam?a?0,m,n?Nr,n?1?．

2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用 即

?1?aa?arsr?s?a?0,r,s?Q?r

?2??a?s?ars?a?0,r,?s ? Q?3??ab?r?abr?a?0b,?0r,?Q?

说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用； （2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。

3．例题分析：

例1． 用分数指数幂的形式表示下列各式?a?o?： a?a， a?a， aa.

例2．计算下列各式的值（式中字母都是正数）．

2111???（1）?2a3b2???6a2b3???315???1???8466????3ab?； （2）?mn?；

?????82332

例3．计算下列各式： （1）

?35?125??45 （2）aa223a?a?0?．

（三）综合应用

例1．化简：5x?1?5x?5x?1.

1111 例2．化简：(x2?y2)?(x4?y4).

1例3．已知x?x

?1（1）x2?x?3，求下列各式的值：

?123；（2）x2?x?32.

二、指数函数

1．指数函数定义：

一般地，函数y?ax（a?0且a?1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R．

2．指数函数y?ax在底数a?1及0?a?1这两种情况下的图象和性质：

a?1 0?a?1 图象 性质 （1）定义域：R （2）值域：(0,??) （3）过点(0,1)，即x?0时y?1 （4）在R上是增函数 （4）在R上是减函数

例1．求下列函数的定义域、值域：

1（1）y?82x?1 （2）y?

1x?x1?() （3）y?3

2例2．当a?1时，证明函数y?

例3．设a是实数，f(x)?a?a?1a?1xx 是奇函数。

22?1x(x?R)，

（1）试证明：对于任意a,f(x)在R为增函数； （2）试确定a的值，使f(x)为奇函数。

三、对数的性质

1．对数定义：一般地，如果a（a?0且a?1）的b次幂等于N, 就是ab?N，那么数 b叫做a为底 N的对数，记作 logaN?b，a叫做对数的底数，N叫做真数。

bN?b 即a?N， loga 指数式ab?Na N b 底数 对数的底数 幂 真数 指数 对数 对数式logaN?b

说明：1．?在指数式中幂N > 0，∴在对数式中，真数N > 0．（负数与零没有对数）

02．?对任意 a?0且 a?1, 都有 a?1 ∴loga1?0，同样：logaa?1．

b3．如果把a?N中的b写成logaN， 则有 alogaN?N（对数恒等式）．

3．介绍两种特殊的对数：

①常用对数：以10作底 log10N 写成 lgN

②自然对数：以e作底为无理数，e= 2.71828…… ， logeN 写成 lne． 例2．（1）计算： log927，

（2）求 x 的值：①log3x??

（3）求底数：①logx3??

34； ②log??2x?2?1????3x2?2x?1??1．

35， ②logx2?78．

4．对数的运算性质：

如果 a > 0 ， a ? 1， M > 0 ，N > 0， 那么 （1）loga(MN)?logaM?logaN； （2）logaMNn?logaM-logaN； ?nlogaM(n?R)．

（3）logaM例3．计算： （1）lg14?21g

73?lg7?lg18； （2）

lg243lg9；

5．换底公式：logaN?logmNlogma ( a > 0 , a ? 1 ；m?0,m?1)

证明：设logaN?x，则ax?N，

x 两边取以m为底的对数得：logma?logmN，∴xlogma?logmN，

从而得：x?loglogmmNa ， ∴ logaN?loglogmmNa．

说明：两个较为常用的推论：

n（1）logab?logba?1 ； （2）logamb?nmlogab （a、b?0且均不为1）．

证明：（1） logab?lognba?nmlgblga??1； lgalgb?nlgbmlga?nmlogab．

4（2） logamb?例4．计算：（1） 5

lgblga1?log0.23； （2）log43?log92?log232．

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