含参不等式恒成立问题例析

含参不等式恒成立问题例析

廖东明

含参不等式恒成立问题是高考的热点问题，此类问题灵活多变，综合性强，不少学生望而生畏．理解问题的本质，掌握解决的方法，多练习几道此类试题，就能增强解决此类问题的信心．

一、已知参数范围求自变量的求值范围

例1 对任意[2,3]a ∈-，不等式2(6)930x a x a +-+->恒成立，求实数x 的取值范围．

分析：参数a 是一次的，变量x 的最高次数为二次，采用变更主元法，构造关于a 的一次函数()g a 建构不等式组获解．另外，参数a 可以分离，也可以利用分离参数法求解．

解法 1 构造函数2()(3)69g a x a x x =-?+-+，则问题转化为()0g a >对任意[2,3]a ∈-恒成立．若3x =，则()0g a =，不符合题意．所以3x ≠，则问题等价于

(2)0(3)0g g ->??>?，即22815030

x x x x ?-+>??->??，解得0x <或5x >，所以(,0)(5,)x ∈-∞+∞． 解法 2 不等式2(6)930x a x a +-+->即2(3)(3)x a x -?<-对任意[2,3]a ∈-恒成立．显然30x -≠．若3x <，则3a x <-即3x a <-对任意[2,3]a ∈-恒成立，所以min (3)0x a <-=．若3x >，则3a x >-即3x a >-对任意[2,3]a ∈-恒成立，所以max (3)5x a >-=．综上可知，实数x 的取值范围是(,0)(5,)-∞+∞．

点评：变更主元法只适用于参数a 是一次的，且给定了参数a 的取值范围求变量x 的取值范围类型．而参数分离法（当参数可分离时）则更具有普遍性，转化为()()f x g a ≤或()()f x g a ≥的形式，进而根据()()f x g a ≤?min ()()f x g a ≤或()()f x g a ≥?

max ()()f x g a ≥来获解．在本例中，若(2,3]a ∈-，则解答中将(2)0(3)0g g ->??>?

变为(2)0(3)0

g g ->??≥?，将m i n (3)0x a <-=变为min (3)0x a ≤-=，再完成后续的修改工作，得到x 的取值范围是(,0](5,)-∞+∞．

【牛刀小试】设不等式221(1)x m x ->-对满足||2m ≤的一切m 的值恒成立，求实数

x 的取值范围．

x << 二、已知自变量x 的范围求参数a 的取值范围

1．参数可分离型 例2 已知定义在(,3]-∞上的减函数()f x ，使22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对一

切x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．

分析：本题是函数不等式恒成立问题，可先根据函数的单调性去掉函数的对应法则f 转化为自变量的大小关系，再考虑定义域，转化为建构一个不等式组对x ∈R 恒成立问题．

解：原问题等价于不等式组222sin 3sin 1cos a x a x a x ?-≤??-≥++??即2223sin 19(sin )24

a x a a x ?≤+??-≥--+??对一切x ∈R 恒成立，所以22294

a a a ?≤??-≥??

，解得a ≤≤． 点评：已知不等式在未知数x 的某一范围内恒成立求参数的取值范围问题，通常采用分离参数法（参数可分离时），把求参数的取值范围问题转化为求函数的最值问题（当最值不

存在时，转化为求函数的上确界M 上或下确界M 下问题）． 【牛刀小试】设4()f x x x

=+，若不等式()()0f x f a -<对(1,8)x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．

（答案：(0,1][4,)

a ∈+∞．提示：44a x a x

+>+对(1,8)x ∈恒成立，因为函数4y x x =+在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，(1)5y =，(2)4y =，17(8)2

y =，所以417[4,)2x x +∈，所以4172a a +≥，所以20540a a a >??-+≥?，解得01a <≤或4a ≥．） 2．参数不可分离型

例 3 已知不等式22(45)4(1)30m m x m x +---+>，对于一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．

分析：本题参数不可分离，审视所给的不等式特点，对二次项的系数分类讨论，利用二次函数的图象和性质求解．

解：（1）当2450m m +-=时，有5m =-或1m =．①5m =-时，不等式为2430x +>，解集为1(,)8

-+∞而不为R ，所以5m ≠-．②1m =时，不等式为30>，对一切实数x 恒成立，所以1m =满足． （2）当2

450m m +-≠时，由不等式恒成立得24500

m m ?+->??

22245016(1)12(45)0

m m m m m ?+->??--+-

【牛刀小试】若不等式22

()(1)0a a x x -++≤对一切(0,2]x ∈恒成立，则a 的取值范围为（ ） A

．(-∞ B

．)+∞ C

．13([,)

+-∞

+∞ D ．11[22

（答案：C ．解：若不采用分离参数法，构造函数22()()(1)f x a a x x =-++．因为

()0f x ≤对一切(0,2]x ∈恒成立，所以必然是20a a -<，所以函数()f x 的对称轴

212()x a a =-位于y 轴的右方．故原问题等价于22122()(2)3()20a a f a a ?≥?-??=-+≤?

或221022()1()02()a a f a a ?<

?≤?-?，解得a ∈?或13([,)a +∈-∞+∞，选C ．采用分离参数

法，则2max 1

1()1

2a a x x -≥=+

，解得a ≤

a ≥．）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/2qzq.html