湖南师大附中2019届高三摸底考试（高二上学期期末考试）理数试卷+Word版含答案

炎德·英才大联考湖南师大附中

2018年春季高二期末考试暨2019届高三摸底考试

数 学(理科)

命题：贺仁亮 朱修龙 周艳军 刘伟才

审题：高二数学备课组

时量：120分钟 满分：150分

得分：______________

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数z满足(2＋i)z＝2－i(i为虚数单位)，则z等于 A．3＋4i B．3－4i

3434C.＋i D.－i 5555

2．已知P＝{x|x2－5x＋4＜0}，Q＝{x|y＝4－2x}，则P∩Q等于

A．(1，4) B．[2，4) C．(1，2] D．(－∞，2]

3．已知两组样本数据{x1，x2，…，xn}、{y1，y2，…，ym}的平均数分别为h和k，则把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为

h＋knh＋mkA. B. 2m＋nmh＋nkh＋kC. D. m＋nm＋n

4．已知{an}为等比数列，a1>0，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a4＋a7＋a10等于 A．－7 B．－5 C．5 D．7

5．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：

①直线BE与直线CF异面； ②直线BE与直线AF异面； ③直线EF∥平面PBC； ④平面BCE⊥平面PAD. 其中正确的有

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

x2y2y2x2

6．已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)以及双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线将第一象

abab

x2y2

限三等分，则双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为

ab

2323

A．2或 B.6或

33C．2或3 D.3或6

π

7．函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)图像向右平移个单位后关于y轴对称，则φ的值

6是

ππ5π

A．0 B. C. D. 636

8．在正三角形ABC内任取一点P，则点P到A，B，C的距离都大于该三角形边长一半的概率为

A．1－

3π3π3π3π B．1－ C．1－ D．1－ 612918

9．底面是边长为1的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为 22π3π23π2π

A. B. C. D.

3333

10．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C

与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为

4π3π5πA. B. C．(6－25)π D. 544

?e，x≤0，11．已知函数f(x)＝?2F(x)＝f(x)－x－1，且函数F(x)有2个零点，则

?x＋ax＋1，x＞0，

实数a的取值范围为

A．(－∞，0] B．(－∞，1) C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)

12．已知[x)表示大于x的最小整数，例如[3)＝4，[－1.3)＝－1，下列命题中正确的是 ①函数f(x)＝[x)－x的值域是(0，1]； ②若{an}是等差数列，则{[an)}也是等差数列； ③若{an}是等比数列，则{[an)}也是等比数列； 1

④若x∈(1，2 018)，则方程[x)－x＝有2 017个根．

2A．②④ B．③④ C．①③ D．①④

选择题答题卡

题 号 答 案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得 分 x

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分． 13．从3名男同学和2名女同学中任选2名参加体能测试，则恰有1名男同学参加体能

测试的概率为________．(结果用最简分数表示)

14．《九章算术》是我国古代内容较为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡壔就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十1

二而一．”就是说：圆堡壔(圆柱体)的体积V＝×(底面的圆周长的平方×高)，则该问题

12中圆周率π的取值为________．(注：一丈＝10尺)

1

1＋2?(1＋x)6展开式中x2的系数为________．(结果用数字表示) 15.??x?16．如图2，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别

平行．点A，B是“六芒星”(如图1)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(内部以及边界)，→→→

若OP＝xOA＋yOB，则x＋y的最大值是________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分11分)

如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上的动点(含端点)，记∠BAD＝α，∠ADC＝β. (1)求2cos α－cos β的最大值；

1

(2)若BD＝1，cos β＝，求△ABD的面积．

7

18.(本小题满分11分)

7

已知正项等比数列{an}的公比为q，且a3＋a4＋a5＝，3a5是a3，a4的等差中项．数列

16

{bn}满足b1＝1，数列{(bn＋1－bn)·an}的前n项和为2n2＋n.

(1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{bn}的通项公式．

19.(本小题满分12分)

已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．

→1→

(1)设Μ为ΑΒ中点，若BP＝PC.求证：ΜΡ∥平面CΝΒ1；

3(2)设二面角Β－CΒ1－Ν大小为θ，求sin θ的值．

20.(本小题满分12分)

某卫生监督检查部门对5家餐饮店进行卫生检查，若检查不合格，则必须整改．若整改后经复查仍不合格，则强制关闭．设每家餐饮店检查是否合格是相互独立的，且每家餐饮店整改前合格的概率是0.5，整改后复查合格的概率是0.8.计算：

(1)恰好有两家餐饮店必须整改的概率； (2)平均有多少家餐饮店必须整改；

(3)至少关闭一家餐饮店的概率．(精确到0.01)

21.(本小题满分12分)

x2y2223

已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)，其焦点为F1，F2，离心率为，若点P?，?满足

ab22??2|PF1|＋|PF2|＝2a.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线l：y＝kx＋m(k，m∈R)与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，△AOB的5→→

重心G满足：F1G·F2G＝－，求实数m的取值范围．

9

22.(本小题满分12分) 设函数f(x)＝ln(x＋a)＋x2.

(1)若f(x)为定义域上的单调函数，求实数a的取值范围； (2)若g(x)＝ex＋x2－f(x)，当a≤2时，证明：g(x)>0.

炎德·英才大联考湖南师大附中

2018年春季高二期末考试暨2019届高三摸底考试

数学(理科)参考答案

一、选择题

2－i（2－i）（2－i）34

1．D 【解析】由(2＋i)z＝2－i，得z＝＝＝－i，故选D.

2＋i（2＋i）（2－i）55

2．C 【解析】解x2－5x＋4＜0，即(x－1)(x－4)＜0，得1＜x＜4，故P＝(1，4)．Q表示函数y＝4－2x的定义域，所以4－2x≥0，所以x∈(－∞，2]，即Q＝(－∞，2]．故P∩Q＝(1，2]．故选C.

3．B 【解析】因为样本数据{x1，x2，…，xn}的平均数为h，{y1，y2，…，ym}的平均数为k，所以第一组数据和为nh，第二组数据和为mk，因此把两组数据合并成一组以后，

nh＋mk

这组样本的平均数为，故选B.

m＋n

4．B 【解析】由等比数列的性质可得a5a6＝a4a7＝－8，又a4＋a7＝2，解得a4＝－2，a7＝4或a7＝－2，a4＝4，因为a7＝a1q6>0，所以a4＝－2，a7＝4，a7＝a4q3＝－2q3＝4，所

a4

以q3＝－2，所以a1＝3＝1，a10＝a7q3＝－8，所以a1＋a4＋a7＋a10＝－5，故选B.

q

5．B 【解析】将展开图还原为几何体(如图)，因为E，F分别为PA，PD的中点，所以EF∥AD∥BC，即直线BE与CF共面，①错；因为B?平面PAD，E∈平面PAD，E?AF，所以BE与AF是异面直线，②正确；因为EF∥AD∥BC，EF平面PBC，BC平面PBC，所以EF∥平面PBC，③正确；平面PAD与平面BCE不一定垂直，④错．故选B.

x2y2

6．A 【解析】由题意可知，双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线的倾斜角为30°

ab

a2＋b2b3cc2b223或60°，则k＝，∴k＝3或，则e＝，∴e＝1＋2＝2或. 2＝2＝a3aaaa3

π

7．D 【解析】f(x)＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)图像向右平移个单位后得到的函数是g(x)

6

ππ5πππ

＝sin?2x－＋φ?，又g(0)＝sin?－＋φ?＝±1，得φ－＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ＋

3263???3?

(k∈Z)，故选D.

8．A 【解析】满足条件的正三角形ABC如图所示：设边长为2，其中正三角形ABC

3

的面积S△ABC＝×4＝3.满足到正三角形ABC的顶点A，B，C的距离至少有一个小于1

4

1

的平面区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为1的半圆，则S阴影＝π，则使取

2

3π

到的点到三个顶点A，B，C的距离大于1的概率P＝1－，故选A.

6

9．D 【解析】设四棱锥为P－ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PA＝PB＝PC＝PD＝1的外接球的半径为R，过P作PO1⊥底面ABCD，垂足O1为正方形ABCD的对

22，OO1＝22

22

2π244?2?322????23

－R，在Rt△AOO1中，＝R，解得R＝，V球＝πR＝π＝. －R＋233?2?3?2??2?

1

10．A 【解析】设直线l：2x＋y－4＝0.因为|OC|＝|AB|＝d1，其中d1为点C到直线l

2

114

的距离，所以圆心C的轨迹为以O为焦点，l为准线的抛物线．圆C半径最小值为d2＝×225

2

2?4π2?＝，其中d2为点O到直线l的距离，圆C面积的最小值为π＝.故选A.

5?5?5

11．B 【解析】因为F(x)＝f(x)－x－1，且函数F(x)有2个零点，即f(x)－x－1＝0有2个实数根，所以当x≤0时，令ex－x－1＝0，解得x＝0，此时只有一个实数根，当x＞0时，令f(x)－x－1＝0，即x2＋(a－1)x＝0，即x[x－(1－a)]＝0，此时解得x＝1－a，要使得函数F(x)有2个零点，则1－a＞0，所以a＜1，故选B.

12．D 【解析】当x∈Z时，[x)＝x＋1，f(x)＝[x)－x＝x＋1－x＝1；当xZ时，令x＝n＋a，n∈Z，a∈(0，1)，则[x)＝n＋1，f(x)＝[x)－x＝1－a∈(0，1)，因此f(x)＝[x)－x的值域是(0，1]；0.9，1，1.1是等差数列，但[0.9)＝1，[1)＝2，[1.1)＝2不成等差数列；0.5，1，2是等比数列，但[0.5)＝1，[1)＝2，[2)＝3不成等比数列；由前分析可得当x∈Z时，f(x)＝1；当xZ，x＝n＋a，n∈Z，a∈(0，1)时，f(x)＝1－a＝1－(x－n)＝n＋1－x，所以f(x

13

＋1)＝f(x)，即f(x)＝[x)－x是周期为1的函数，由于x∈(1，2)时f(x)＝2－x＝，x＝，即

22

1

一个周期内有一个根，所以若x∈(1，2 018)，则方程[x)－x＝有2 017个根．①④正确，故

2

选D.

二、填空题 3

13. 【解析】从3名男同学和2名女同学中任选2名参加体能测试，则恰有1名男同5

1C133C2学参加体能测试的概率为2＝.

C55

1

14．3 【解析】圆柱体体积公式V＝πr2h，而由题意有V＝×(2πr)2×h，所以π＝

12

3.

1166621＋2?(1＋x)6＝1·15．30 【解析】因为?(1＋x)＋2·(1＋x)，则(1＋x)展开式中含x?x?x1122624422

的项为1·C26x＝15x，2·(1＋x)展开式中含x的项为2·C6x＝15x，故x的系数为15＋xx15＝30.

角线AC，BD的交点，设球心为O，连接AO，由于AO＝PO＝R，AO1＝PO1＝33→→

16．5 【解析】令正三角形边长为3，则OB＝(1，0)，OA＝?－，?，设直线AB与

?22?

→→→

OC的交点为点D，若OD＝xOA＋yOB，则x＋y＝1.又由线性规划知识知当P在C点时，x

→→

＋y有最大值，此时OP＝5OD，故x＋y的最大值是5.

三、解答题

π

17．【解析】(1)由△ABC是等边三角形，得β＝α＋，

3

πππ

0≤α≤，故2cos α－cos β＝2cos α－cos?α＋?＝3sin?α＋?，

33?3???π

故当α＝，即D为BC中点时，原式取最大值3.5分

6

143

(2)由cos β＝，得sin β＝，

77

ππ33π

故sin α＝sin?β－?＝sin βcos －cos βsin ＝，7分

33143??

ABBD

由正弦定理＝，

sin∠ADBsin∠BAD

437sin β8

故AB＝BD＝×1＝，9分

3sin α3314

118323

故S△ABD＝AB·BD·sin B＝××1×＝.11分

22323

713a5a518．【解析】(1)依题意，a3＋a4＋a5＝，6a5＝a3＋a4，则a5＝，a3＋a4＝，得2＋16168qq3

＝， 8

111

即6q2－q－1＝0，解得q＝或q＝－(舍)，所以q＝，a1＝1，

232

n－11?∴数列{an}的通项公式为an＝??2?.5分 (2)设cn＝(bn＋1－bn)·an，数列{cn}的前n项和为Sn，则Sn＝2n2＋n，所以cn＝??S1 （n＝1）?， ?S－S （n≥2）－?nn1

解得cn＝4n－1.7分

－－

所以bn＋1－bn＝(4n－1)·2n1，故bn－bn－1＝(4n－5)·2n2，n≥2， bn－b1＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b3－b2)＋(b2－b1)

－－

＝(4n－5)·2n2＋(4n－9)·2n3＋…＋7·21＋3，9分

－－

设Tn＝3＋7·21＋…＋(4n－9)·2n3＋(4n－5)·2n2，

－－

2Tn＝3·2＋7·22＋…＋(4n－9)·2n2＋(4n－5)·2n1，

－－－

所以，－Tn＝3＋4·21＋…＋4·2n3＋4·2n2－(4n－5)·2n1，

－

因此Tn＝(4n－9)·2n1＋5，n≥2，又b1＝1，

－

所以bn＝(4n－9)·2n1＋6.11分 19．【解析】(1)证明：∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，

俯视图为直角梯形，∴BA，BC，BB1两两垂直．且BC＝4，BA＝4，BB1＝8，AN＝4， 以BA，BB1，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图

则N(4，4，0)，B1(0，8，0)，C1(0，8，4)，C(0，0，4)，∴M(2，0，0)． BP1→

∵＝，∴P(0，0，1)，则MP＝(－2，0，1)，设n2＝(x，y，z)为平面NCB1的一个法PC3向量，

→?（4，4，－4）＝0?x＋y－z＝0，?n2·CN＝0?（x，y，z）·

则? ??

→（x，y，z）·（－4，4，0）＝0－x＋y＝0，???n2·NB1＝0?

→

取n2＝(1，1，2)，∴MP·n2＝(－2，0，1)·(1，1，2)＝0，又PM平面CNB1，∴MP∥平面CNB16分

→

(2)由(1)可知平面ΒCΒ1的一个法向量为BA＝(4，0，0)，平面CΒ1Ν的法向量为n2＝(1，1，2)，

→?BA（1，1，2）·n2?（4，0，0）·630

则cos θ＝?＝＝，∴sin θ＝.12分 ?66→4×6?|BA||n2|?

【注】本题只给出向量法，其他方法请参照标准酌情给分． 20．【解析】(1)每家餐饮店必须整改的概率是1－0.5＝0.5，且每家餐饮店是否整改是相互独立的．

52

所以恰好有两家餐饮店必须整改的概率是P1＝C5×(1－0.5)2×0.53＝.4分

16

(2)由题知，必须整改的餐饮店数ξ服从二项分布B(5，0.5)．从而ξ的数学期望是 Eξ＝5×0.5＝2.5，即平均有2.5家餐饮店必须整改.8分

(3)某餐饮店被关闭，即该餐饮店第一次检查不合格，整改后经复查仍不合格，所以该餐饮店被关闭的概率是P2＝(1－0.5)×(1－0.8)＝0.1，从而该餐饮店不被关闭的概率是0.9.由题意，每家餐饮店是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家餐饮店的概率是P3＝1－0.95≈0.41.12分

2x22y2

21．【解析】(1)由e＝，可设椭圆C的方程为2＋2＝1，

2aa

1323点P?，?满足|PF1|＋|PF2|＝2a，等价于点P在椭圆上，∴2＋2＝1，∴a2＝2，

2a2a?22?2x

所以椭圆C的方程为＋y2＝1.5分

2

?y＝kx＋m，

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得方程组?2

?x＋2y2－2＝0，

消去y并整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，

Δ>01＋2k2>m2

?4km?x＋x＝1－

＋2k则?

2m－2xx＝??1＋2k

1

2

2

12

22①.7分

54→→

设△AOB的重心为G(x，y)，由F1G·F2G＝－，可得x2＋y2＝.②

99

x1＋x2y1＋y2?由重心公式可得G??3，3?，代入②式，

整理可得(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＝4(x1＋x2)2＋[k(x1＋x2)＋2m]2＝4，③

22

2（1＋2k）将①式代入③式并整理，得m＝，10分

1＋4k222

4k4412（1＋2k）则m＝＝1＋.又由Δ>0可知k≠0，令t＝2>0，∴t2＋4t>0， 22＝1＋41k1＋4k1＋4k

＋k2k4∴m2>1，∴m∈(－∞，－1)∪(1，＋∞).12分

2x2＋2ax＋1

22．【解析】(1)解法1：f(x)的定义域为(－a，＋∞)，f′(x)＝ x＋a

方程2x2＋2ax＋1＝0的判别式Δ＝4a2－8.

(ⅰ)若Δ<0，即－20，故f(x)单调递增． (ⅱ)若Δ＝0，则a＝2或a＝－2.

（2x＋1）2

若a＝2，x∈(－2，＋∞)，f′(x)＝.

x＋2222

当x＝－时，f′(x)＝0，当x∈?－2，－?∪?－，＋∞?时，f′(x)>0，所以f(x)

22??2??

单调递增．

（2x－1）2

若a＝－2，x∈(2，＋∞)，f′(x)＝>0，f(x)单调递增．

x－2

(ⅲ)若Δ>0，即a>2或a<－2，

－a－a2－2－a＋a2－22

则2x＋2ax＋1＝0有两个不同的实根x1＝，x2＝.

22

当a<－2时，x1<－a，x2<－a，从而f′(x)在f(x)的定义域内没有零点，故f(x)单调递增． 当a>2时，x1>－a，x2>－a，f′(x)在f(x)的定义域内有两个不同的零点， 即f(x)在定义域上不单调．综上：实数a的取值范围为a≤2.6分

解法2：很显然f′(x)不可能有连续零点，若f(x)为定义域上的单调函数，

1

则f′(x)≤0或f′(x)≥0恒成立，又f′(x)＝＋2x，因为x＋a>0，

x＋a

所以f′(x)<0不可能恒成立，所以f(x)为定义域上的单调函数时，只可能f′(x)≥0恒成立，

1111即＋2x≥0恒成立，即＋2(x＋a)－2a≥0，即2a≤＋2(x＋a)，而＋2(xx＋ax＋ax＋ax＋a＋a)≥22，

所以2a≤22，a≤2，即实数a的取值范围为a≤2.

2x2＋2ax＋11

解法3：由解法2可知x∈(－a，＋∞)，＋2x≥0恒成立，得≥0恒成

x＋ax＋a

立，

aa

－?＝－≥0， 即2x2＋2ax＋1≥0恒成立，(ⅰ)当a≤0时，－a－??2?2

2222

所以2x＋2ax＋1>2a－2a＋1＝1，所以当a≤0时2x＋2ax＋1≥0恒成立；

a?aa22?(ⅱ)当a>0时，－a－?－2?＝－<0，所以(2x＋2ax＋1)min＝－＋1，

22

2a

所以－＋1≥0时2x2＋2ax＋1≥0恒成立，解得0

2

为a≤2.

(2)因为g(x)＝ex＋x2－f(x)＝ex－ln(x＋a)，

当a≤2，x∈(－a，＋∞)时，ln(x＋a)≤ln(x＋2)，故只需证明当a＝2时，g(x)>0.

1

当a＝2时，函数g′(x)＝ex－在(－2，＋∞)上单调递增，

x＋2

又g′(－1)<0，g′(0)>0，故g′(x)＝0在(－2，＋∞)上有唯一实根x0，且x0∈(－1，0)， 当x∈(－2，x0)时，g′(x)<0，当x∈(x0，＋∞)时，g′(x)>0，从而当x＝x0时，g(x)取得最小值g(x0)．

1

由g′(x0)＝0得ex0＝，ln(x0＋2)＝－x0，

x0＋2

2x0＋2x0＋1（x0＋1）21

故g(x0)＝ex0－ln(x0＋2)＝＋x＝＝>0，所以g(x)≥g(x0)>0.

x0＋20x0＋2x0＋2

综上，当a≤2时，g(x)>0.12分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/2qzo.html