专题03 截长补短法(解析版) 备战2022年中考几何压轴题分类导练

专题3：截长补短法

【典例引领】

例题：（2013黑龙江龙东地区）正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN 于点E，过点B作BF⊥MN于点F。

（1）如图1，点O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明）

（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明。

【答案】图2结论：AF﹣BF=2OE，图3结论：BF-AF=2OE

【分析】（1）过点B作BG⊥OE于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF﹣EF=AE，整理即可得证；（2）选择图2，过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF﹣EF=AE，整理即可得证；选择图3同理可证．

【解答】（1）证明：如图，

过点B作BG⊥OE于G，

则四边形BGEF是矩形，

∴EF=BG，BF=GE，

在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，

∵BG⊥OE，

∴∠OBG+∠BOE=90°，

又∵∠AOE+∠BOE=90°，

∴∠AOE=∠OBG，

∵在△AOE和△OBG中，

1

，

∴△AOE≌△

OBG（AAS），

∴OG=AE，OE=BG，

∵AF﹣EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE﹣GE=OE﹣BF，

∴AF﹣OE=OE﹣BF，

∴AF+BF=2OE；

（2）图2结论：AF﹣BF=2OE，

图3结论：AF﹣B F=2OE．

对图2证明：过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，

则四边形BGEF是矩形，

∴EF=BG，BF=GE，

在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，

∵BG⊥OE，

∴∠OBG+∠BOE=90°，

又∵∠AOE+∠BOE=90°，

∴∠AOE=∠OBG，

∵在△AOE和△OBG中，

，

∴△AOE≌△OBG（AAS），

∴OG=AE，OE=BG，

∵AF﹣EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE+GE=OE+BF，

∴AF﹣OE=OE+BF，

∴AF﹣BF=2OE；

若选图3，其证明方法同上

2

．

【强化训练】

1、（2018黑龙江龙东地区）如图，在RtΔBCD中，∠CBD=90°，BC=BD，点A在CB的延长线上，且BA=BC，点E在直线BD上移动，过点E作射线EF⊥EA，交CD所在直线于点F.

（1）当点E在线段BD上移动时，如图（1）所示，求证：BC﹣DE=√2

2

DF.

（2）当点E在直线BD上移动时，如图（2）、图（3）所示。线段BC、DE和DF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明.

【答案】(1)答案见解答（2）图（2）DE﹣BC=√2

2

DF．图（3）BC+DE=√2

2

DF．

【分析】为了证明图（2）的结论，需要构造等腰直角三角形，在BC上截取BH，使得BH=BE.连接EH，再证△AHE ≌△EDF，即可得出结论．图（3）同理可证．

【解答】（1）证明：如图1中，在BA上截取BH，使得BH=BE．

∵BC=AB=BD，BE=BH，∴AH=ED，

∵∠AEF=∠ABE=90°，

∴∠AEB+∠FED=90°，∠AEB+∠BAE=90°，∴∠FED=∠HAE，∵∠BHE=∠CDB=45°，∴∠AHE=∠EDF=135°，∴△AHE≌△EDF，∴EH=DF，

∴BC﹣DE=BD﹣DE=BE=√2

2

EH

∵EH=DF．

∴BC﹣DE=√2

2

DF．

（3）解：如图2中，在BC上截取BH=BE，同法可证：DF=EH．可得：DE﹣BC=√2

2

DF．

3

如图3中，在BA上截取BH，使得BH=BE．同法可证：DF=HE，可得BC+DE=√2

DF．

2

4

5 2．如图，（图1，图2），四边形ABCD 是边长为4的正方形，点E 在线段BC 上，∠AEF=90°,且EF 交正方形外角平分线CP 于点F ，交BC 的延长线于点N, FN ⊥BC.

（1）若点E 是BC 的中点（如图1），AE 与EF 相等吗？

（2）点E 在BC 间运动时（如图2），设BE=x ，△ECF 的面积为y 。

①求y 与x 的函数关系式；

②当x 取何值时，y 有最大值，并求出这个最大值.

【答案】（1）AE=EF ；（2）①y=-1

2x 2+2x （0＜x ＜4)，②当x=2,y 最大值=2.

【分析】

（1）在AB 上取一点G ，使AG=EC ，连接GE ，利用ASA ，易证得：△AGE ≌△ECF ，则可证得：AE=EF ；

（2）同（1）可证明AE=EF ，利用AAS 证明△ABE ≌△ENF ，根据全等三角形对应边相等可得FN=BE ，再表示出EC ，然后利用三角形的面积公式即可列式表示出△ECF 的面积为y ，然后整理再根据二次函数求解最值问题．

【解答】

（1）如图，在AB 上取AG=EC ，

∵四边形ABCD 是正方形，

∴AB=BC ，

有∵AG=EC ，∴BG=BE ，

又∵∠B=90°，

∴∠AGE=135°，

又∵∠BCD=90°，CP 平分∠DCN ，

∴∠ECF=135°，

∵∠BAE ＋∠AEB=90°，∠AEB ＋∠FEC=90°，

∴∠BAE=∠FEC ，

在△AGE 和△ECF 中，

{∠∠∠∠=∠∠∠∠∠∠=∠∠∠∠∠∠=∠∠∠∠ ,

∴△AGE ≌△ECF ，

∴AE=EF ；

(2)①∵由（1）证明可知当E 不是中点时同理可证AE=EF ，

∵∠BAE=∠NEF ，∠B=∠ENF=90°，

6 ∴△ABE ≌△ENF ，

∴FN=BE=x ，

∴S △ECF =12 (BC-BE)·FN

， 即y=1

2 x(4-x ），

∴y=- 1

2x 2+2x （0＜x ＜4)，

②y =?12x 2+2x =?12(x 2?4x )=?1

2(x ?2)2+2，

3．阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，在三角形内取一点D ，AD ＝AC ，∠CAD ＝30°，求∠ADB ．

小明通过探究发现，∠DAB ＝∠DCB ＝15°，BC ＝AD ，这样就具备了一边一角的图形特征，他果断延长CD 至点E ，使CE ＝AB ，连接EB ，造出全等三角形，使问题得到解决．

（1）按照小明思路完成解答，求∠ADB ；

（2）参考小明思考问题的方法，解答下列问题：

如图2，△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 、F 分别为BC 、AC 、AB 上一点，连接DE ，延长FE 、DF 分别交BC 、CA 延长线于点G 、H ，若∠DHC ＝∠EDG ＝2∠G ．

①在图中找出与∠DEC 相等的角，并加以证明；

②若BG ＝kCD ，猜想DE 与DG 的数量关系并证明．

【答案】（1）135°;（2）①∠HDC ＝∠DEC;②猜想DG ＝kDE.

【分析】（1）根据辅助线证得△DAB ≌△BCE ，则∠ADB ＝∠CBE （还不能直接求得，考虑全等的其他等边等角），∠ABD ＝∠E ，BD ＝BE ，得到∠BDE ＝∠E ＝∠ABD ．考虑引入未知数，设∠CBD ＝x ，则∠E ＝∠ABD ＝∠BDE ＝x+15°，利用∠ABC ＝∠ABD+∠CBD 求得x ，再由周角求得结果． （2）①∠DEC 是△DEH 的外角，等于∠DHC+∠HDE ，而∠DHC ＝∠EDG ，等量代换得∠DEC ＝∠EDG+∠HDE ＝∠HDC ．

②由条件DHC ＝∠EDG ＝2∠G ，在FG 上方构造2∠G 即∠FGM ＝∠FGD ，则∠EDG ＝∠MGD ，令M 落在BA 延长线上，加上∠B ＝∠ACB ，即得△BGM ∽△CDE ，有∠∠∠∠=∠∠

∠∠=k ．又通过三角形内角和求

得∠M ＝∠HDC ，证得△MFG ≌△DFG ，有MG ＝DG ，得证．

【解答】（1）延长CD 至点E ，使CE ＝AB ，连接EB

∵，∠ACB ＝90°，AC ＝BC

∴∠CAB ＝∠CBA ＝45°

∵AD ＝AC ，∠CAD ＝30°

∴BC ＝AD ，∠ACD ＝∠ADC ＝180°?∠∠∠∠

2＝75°，∠DAB ＝∠CAB ﹣∠CAD ＝15°

∴∠BCD ＝∠ACB ﹣∠ACD ＝15°

即∠DAB ＝∠BCD

在△DAB 与△BCE 中，

{∠∠=∠∠∠∠∠∠=∠∠∠∠∠∠=∠∠

7 ∴△DAB ≌△BCE （SAS ）

∴∠ADB ＝∠CBE ，∠ABD ＝∠E ，BD ＝BE

∴∠BDE ＝∠E

设∠CBD ＝x ，则∠ABD ＝45°﹣x ，∠BDE ＝∠BCD+∠CBD ＝15°+x

∴∠ABD ＝∠E ＝∠BDE ＝15°+x

∵∠ABC ＝∠ABD+∠CBD

∴45°＝15°+x+x ，得：x ＝15°

∴∠CDB ＝180°﹣∠BCD ﹣∠CBD ＝180°﹣15°﹣15°＝150°

∴∠ADB ＝360°﹣∠ADC ﹣∠CDB ＝360°﹣75°﹣150°＝135°

（2）①∠HDC ＝∠DEC ，证明如下：

∵∠DHC ＝∠EDG

∴∠HDC ＝∠HDE+∠EDG ＝∠HDE+∠DHC ＝∠DEC

∴∠HDC ＝∠DEC

②猜想DG ＝kDE ，证明如下：

在FG 的上方作∠FGM ＝∠FGD ，使∠FGM 的一边与BA 延长线交于M

∵∠DHC ＝∠EDG ＝2∠FGD

∴∠DHC ＝∠EDG ＝∠MGD

∵AB ＝AC

∴∠B ＝∠ACB

∴∠M ＝180°﹣∠B ﹣∠MGD ＝180°﹣∠ACB ﹣∠EDC ＝∠DEC

∴∠M ＝∠HDC

在△MFG 与△DFG 中，

{∠∠=∠∠∠∠∠∠∠∠=∠∠∠∠∠∠=∠∠

∴△MFG ≌△DFG （AAS ）

∴MG ＝DG

∵∠B ＝∠ACB ，∠EDG ＝∠MGD

∴△BGM ∽△CDE ∴∠∠∠∠

=∠∠

∠∠

∵BG ＝kCD

∴∠∠∠∠=∠∠∠

∠∠=K

∴DG ＝MG ＝kDE

4．【问题情境】在△ABC 中，AB=AC ，点P 为BC 所在直线上的任一点，过点P 作PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ．当P 在BC 边上时（如图1），求证：PD+PE=CF ．

8

图① 图② 图③

证明思路是：如图2，连接AP ，由△ABP 与△ACP 面积之和等于△ABC 的面积可以证得：PD+PE=CF ．（不要证明）

【变式探究】

当点P 在CB 延长线上时，其余条件不变（如图3）.试探索PD 、PE 、CF 之间的数量关系并说明理由.

请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：

【结论运用】

如图4，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C′处，点P 为折痕EF 上的任一点，过点P 作PG ⊥BE 、PH ⊥BC ，垂足分别为G 、H ，若AD=8，CF=3，求PG+PH 的值；

【答案】【变式探究】∠∠=∠∠?∠∠. 【结论运用】4

【分析】【变式探究】按照【问题情境】的证明思路即可解决问题．

【结论运用】过E 作EQ BF ⊥，利用问题情境中的结论可得PG PH EQ +=，易证EQ DC BF DF ==，，只需求即可．

【解答】【变式探究】：连接,AP

∵PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，CF ⊥AB ，

ABC ACP ABP S S S ∴=-V V V ，

9 11122

2AB CF AC PE AB PD ∴?=?-?，

AB AC =Q ，

.CF PE PD ∴=-

【结论运用】过E 作EQ BF ⊥，垂足为Q ，如图④，

∵四边形是长方形， 90BC C ADC =∠=∠=?，． 835AD CF BF BC CF AD CF ==∴=-=-=Q ，，． 由折叠可得： DF BF BEF DEF =∠=∠，．

590DF C ∴=∠=?Q ．，

222253 4.DC DF CF ∴=-=-=

90EQ BC C ADC ⊥∠=∠=?Q ，，

90EQC C ADC ∴∠=?=∠=∠．

∴四边形EQCD 是长方形． 4EQ DC ∴==．

∵AD ∥BC ， DEF EFB ∴∠=∠．

BEF DEF BEF EFB BE BF ∠=∠∴∠=∠∴=Q ，．．

由问题情境中的结论可得： 4PG PH EQ PG PH +=∴+=．． PG PH ∴+的值为4．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/2qsq.html