层次分析法讲义冀永强

层次分析模型讲义

人们在日常生活中常常会碰到许多决策问题：买一件衬衫，你要在棉的、丝的、涤纶的……及花的、白的、方格的……之中作出抉择；请朋友吃饭，要筹划是办家宴或去饭店，吃中餐、西餐或是自助餐；假期旅游，是去风光绮丽的苏杭，还是去迷人的北戴河海滨，或是去山水甲天下的桂林。如果以为这些日常小事不必作为决策问题认真对待的话，那么当你面临报考学校、挑选专业或者选择工作岗位的时候，就要慎重考虑、反复比较，尽可能地作出满意的决策了。

从事各种职业的人也经常面对各种决策：一个厂长，要决定购买哪种设备，上马什么产品；科技人员要选择研究课题；医生要为疑难病症确定治疗方案；经理要从若干应试者中选拔秘书；各地区各部门的官员则要对人口、交通、经济、环境等领域的发展规划作出决策。

人们在处理上面这些决策的时候，要考虑的因素有多有少，有大有小，但一个共同点就是它们通常都涉及到经济、社会、人文等方面的因素。在作比较、判断、评价、决策时，这些因素的重要性、影响力或者优先程度往往难以量化，人们的主观选择也起着相当主要的作用，这就给用一般的数学方法解决问题带来实质上的困难。

美国科学家萨蒂（T. L. Saaty）等人在七十年代提出了一种能有效地处理这样一类问题的使用方法，称为层次分析法（AHP）。这是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。

下面以假期旅游为例介绍层次分析法的基本步骤和应用实例。

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例：假期旅游，有P1,P2,P3三个旅游胜地供你选择，你会根据诸如景色、费用、居住、饮食、旅途等一些准则去反复比较那三个候选地点，最终决策去哪个旅游地。

一、建立层次结构模型

层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维判断过程大体上是一样的。一般分为目标层、准则层和方案层。此例中，首先，你会确定这些准则在你的心目中占有多大比重，如果醉心旅游，自然会更看重景色；而平时俭朴或手头拮据的人则会优先考虑费用；中老年旅游者还会对居住、饮食等条件寄予较大关注。其次，你会就每一个准则将三个地点进行对比，譬如P1景色最好，P2次之；P2费用最低，P3次之等。最后，你将这两个层次的比较判断进行综合，在

P1,P2,P3中作出选择。

根据这个思路，在本例中，建立层次结构模型如下：

A 选择旅游地 目标层

C1景色 C2费用 C3居住 C4饮食 C5旅途 准则层

P1 P2 P3 方案层

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二、构造成对比较矩阵求权向量

通过相互比较确定各准则对于目标的权重。Satty等人的作法是不把所有因素放在一起比较，而是两两相互对比，对比时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高精确度。

1、构造成对比较阵

假设要比较某一层n个因素C1,C2,L,Cn对上一层一个因素A的影响，如旅游决策问题中比较景色等五个准则在选择旅游地这个目标中的重要性。每次取两个因素Ci和Cj，用aij表示Ci和Cj对A的影响之比，全部比较结果可用成对比较矩阵A表示：

A?(aij)n?n, aij?0, aji?由于aji?1 （1） aij1，称A为正互反矩阵。显然，aii?1。 aij约定比较尺度

aij?1 Ci与Cj同等重要

3 Ci比Cj重要一点 5 Ci与Cj重要 7 Ci与Cj重要得多 9 Ci与Cj极为重要

（2、4、6、8是介于1、3、5、7、9之间的重要性） （注：1.从心理学观点来看，分级太多会超越人们的判断能力，既增加了作判断的难度，又容易因此而提供虚假数据。Saaty等人还

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用实验方法比较了在各种不同标度下人们判断结果的正确性，实验结果也表明，采用1~9标度最为合适。

注：2.一般地需作

n(n?1)次两两判断。有人认为把所有元素都和2某个元素比较，即只作n?1个比较就可以了。这种作法的弊病在于，任何一个判断的失误均可导致不合理的排序，而个别判断的失误对于难以定量的系统往往是难以避免的。进行

n(n?1)次比较可以提供更多2的信息，通过各种不同角度的反复比较，从而导出一个合理的排序。) 在例1中，成对比较阵

??1??2?1A??4?1??31???312117151547123351211?3??5?1?3? ?1??1???成对比较阵确定了Ci与Cj的相对重要性关系，那么如何通过成对比较阵来确定诸因素C1,C2,?,Cn对上层因素A的权重呢？（Ci对A的重要性所占的比重） 2、求权向量（和法）

??1??2?1?A??4?1??3?1??314321751117212151315?3???0.2555??0.5111???列向量归一化??0.0643?????????0.0851??0.085???1??0.2450.4900.0700.0980.290??1.311????0.484?2.373??按行求和??0.273?0.032????????0.097?0.493?????0.0980.1760.0950.097??0.551?0.2350.4120.0590.1180.2860.4260.0480.095 4

?0.262???0.475??????0.055??w(2)。w(2)表示诸因素C1,C2,?,Cn对上层因素A的权 ?归一化???0.099??0.110???重，称w(2)为权向量。例如，景色C1对A的权重为0.262，费用C2对A的权重为0.475等等。

三、一致性检验

注意到矩阵A中，a12?a23?C11C?,a13?1?4,由此应有C22C3C2a13??8，事实上，a23?7，出现了不一致的情况。 C3a12（附 定义：对于一个正互反阵A满足aijajk?aik,i,j,k?1,2,?n,则称A为一致性矩阵，简称一致阵。否则，称A不是一致阵。 （1）一、二阶方阵一定是一致阵。

（2）n阶正互反矩阵A是一致阵的充要条件为A的最大特征根??n。）

在实际构造成对比较阵的过程中，全部一致的要求太苛刻了，所以成对比较阵通常是不一致的，但是我们有一个A不一致的容许范围，也就是说，若A在这个容许范围内也是可以的。因此，需要对A进行一致性检验。

把权向量w(2)作为A的特征向量，求最大特征根?。

1n(Aw(2))i （2） ???ni?1wi(2)定义一致性指标为 CI???nn?1 （3）

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