重点高中数学第三章指数函数和对数函数1正整数指数函数学案北师大版必修1(1)

重点高中数学第三章指数函数和对数函数1正整数指数函数学案北师大版必修1(1)

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3 1 正整数指数函数

学习目标 1.

了解正整数指数函数模型的实际背景.2.了解正整数指数函数的概念.3.理解具体的正整数指数函数的图像特征及其单调性．

知识点一 正整数指数函数的概念 思考 定义在N ＋上的函数对应关系如下，试写出其解析式，并指出自变量位置．拼

十年寒窗挑灯苦读不畏难；携双亲期盼背水勇战定夺魁。如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。

x

1 2 3 4 5 6 7 8 … y

2 4 8 16 32 64 128 256 …

梳理 正整数指数函数的定义

一般地，函数y ＝a x (a >0，a ≠1，x ∈N ＋)叫作正整数指数函数，其中x 是自变量，定义域是正整数集N ＋.

知识点二 正整数指数函数的图像特征及其单调性

思考 比较12，(12)2，(12

)3的大小，你有什么发现？

梳理 函数y ＝a x (a >0，a ≠1，x ∈N ＋)图像是散点图，当a >1时，在定义域上递增；当0

知识点三 指数型函数

思考 y ＝3·2x ，x ∈N ＋是正整数指数函数吗？

梳理形如y＝ka x(k∈R，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数，在实际问题中，经常会遇到类似的指数增长模型．

类型一正整数指数函数的概念

命题角度1 判断是否为正整数指数函数

例1 下列表达式是否为正整数指数函数？

(1)y＝1x；(2)y＝(－2)x；(3)y＝3－x(x∈R)；

(4)y＝e x(x∈N＋)．

反思与感悟判断函数是否为正整数指数函数，应注意函数形式是否符合，特别还应看定义域是否为正整数集．

跟踪训练1 下列函数中是正整数指数函数的是( )

4

5 A ．y ＝－2x ，x ∈N ＋

B ．y ＝2x

，x ∈R

C ．y ＝x 2，x ∈N ＋

D ．y ＝(12

)x ，x ∈N ＋ 命题角度2 根据正整数指数函数概念求参数

例2 已知正整数指数函数f (x )＝(a －2)·a x ，则f (2)等于( )

A ．2

B ．3

C ．9

D ．16

反思与感悟 解此类题的关键是找到参数应满足的条件．

跟踪训练2 函数y ＝(1－3a )x 是正整数指数函数，则a 应满足________．

类型二 正整数指数函数的图像与性质

例3 比较下面两个正整数指数函数的图像与性质．

(1)y ＝2x (x ∈N ＋)；

(2)y ＝0.95x (x ∈N ＋)．

反思与感悟 通过列表、描点画图，即可得到正整数指数函数的图像，由于定义域为正整数集，所以不需要连成光滑曲线，图像就是由一群孤立的点组成．

跟踪训练3 作出下列函数(x ∈N ＋)的图像． (1)y ＝3x ；(2)y ＝? ??

??12x .

类型三正整数指数函数的应用

例4 某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，设存期是x，本利和(本金加上利息)为y元．

(1)写出本利和y随存期x变化的函数关系式；

(2)如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和．

反思与感悟建立实际问题的函数模型关键是获得数据，并根据数据归纳规律．

跟踪训练4 一个人喝了少量酒后血液中酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少．为了保障交通安全，某地交通规则规定，驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.08 mg/mL.问喝了少量酒的驾驶员，至少过几小时才能驾驶？(精确到1小时)

6

7

1．下列函数：①y ＝3x 3(x ∈N ＋)；②y ＝5x (x ∈N ＋)；③y ＝3x ＋1(x ∈N ＋)；④y ＝(a －3)x (a >3，x ∈N ＋)．其中正整数指数函数的个数为( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

2．当x ∈N ＋时，函数y ＝(a －1)x

的值总大于1，则实数a 的取值范围是( )

A ．1

B ．a <1

C ．a >1

D ．a >2 3．某商品的价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化情况是( )

A ．增加7.84%

B ．减少7.84%

C ．减少9.5%

D ．不增不减 4．函数y ＝(13

)x (x ∈N ＋)的值域是( ) A ．R

B ．正实数

C ．N

D ．{13，132，133，…} 5．正整数指数函数f (x )＝(a －2)(2a )x (x ∈N ＋)在定义域N ＋上是________的．(填“增加”

或“减少”)

1．判断函数是否为正整数指数函数，应注意函数形式和定义域是否为正整数集．

2．当a >1时是增函数．

3．当0

4．正整数指数函数的图像是一些孤立的点．

8 答案精析 问题导学 知识点一

思考 y ＝2x

，x ∈N ＋，自变量在指数上．

知识点二

思考 12>(12)2>(12)3，对于y ＝(12

)x ，x ∈N ＋，x 越大，y 越小． 知识点三

思考 不是，正整数指数函数的系数为1.

题型探究

例1 解 (1)(2)底数不符合，要大于0且不等于1，(3)中y ＝3－x ＝(13

)x ，但定义域不符合，所以只有(4)为正整数指数函数．

跟踪训练1 D [结合正整数指数函数的定义可知选D.]

例2 C [∵f (x )是正整数指数函数，

∴????? a －2＝1，a >0且a ≠1，

∴a ＝3，f (x )＝3x . ∴f (2)＝32＝9.]

跟踪训练2 a <13

，且a ≠0 解析 由????? 1－3a >0，1－3a ≠1，解得a <13

，且a ≠0. 例3 解 列表比较如下：

函数 y ＝2x (x ∈N ＋) y ＝0.95x (x ∈N ＋)

图像

9 定义域

正整数集N ＋ 单调性

增函数 减函数

图像特征

由一群孤立的点组成

跟踪训练3 解 (1)

(2)

例4 解 (1)已知本金为a 元，利率为r ，则

1期后的本利和为y ＝a ＋a ×r ＝a (1＋r )，

2期后的本利和为y ＝a (1＋r )＋a (1＋r )r

＝a (1＋r )2

，

3期后的本利和为y ＝a (1＋r )3， x 期后的本利和为y ＝a (1＋r )x ，x ∈N ＋，

即本利和y 随存期x 变化的函数关系式为y ＝a (1＋r )x

，x ∈N ＋.

(2)将a ＝1 000(元)，r ＝2.25%， x ＝5代入上式，得

y ＝1 000×(1＋2.25%)5＝1 000×1.022 55≈1 117.68(元)，

即5期后本利和约为1 117.68元． 跟踪训练4 解 1小时后驾驶员血液中的酒精含量为0.3(1－50%) mg/mL ， x 小时后其酒精含量为0.3(1－50%)x mg/mL.

由题意知：0.3(1－50%)x

≤0.08，

(12)x ≤415

.采用估算法， 当x ＝1时，(12)1＝12>415

； 当x ＝2时，(12)2＝14＝416<415.

10 由于y ＝(12

)x 是减函数， 所以满足要求的x 的最小整数为2，

故至少过2小时驾驶员才能驾驶．

当堂训练

1．B 2.D 3.B 4.D

5．增加

解析 ∵f (x )＝(a －2)(2a )x

是正整数指数函数， ∴a －2＝1，且2a >0,2a ≠1，

∴a ＝3，∴f (x )＝6x ，x ∈N ＋.

∵6>1，∴f (x )在N ＋上是增加的．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/2qke.html