第3章交流电路

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第3章交流电路

交流电路中的电流（或电压）是随时间变化的。而随时间按正弦规律变化的交变电流（或电压）是工程技术中应用最广泛的一种，也是交变信号中最基本的信号。本章重点研究正弦交流电路。它的电压变换容易，输送和分配方便，其供电性能好，效率高；交流电器结构简单、价格便宜、维修方便；从计算与分析的角度考虑，正弦周期函数是最简单的周期函数,测量与计算也比较容易，是分析一切非正弦周期函数的基础。

正弦交流电路是电工技术中极其重要的一部分，也是重点和难点较为集中的一章。基本概念中的相位及相位差。电阻、电感和电容在交流电路中的不同响应及其频率特性等均应很好地掌握。其独特的相量分析方法又是分析三相交流电路的基础，也是交流电机、变压器及电子技术的重要理论基础。

3.1 正弦交流量及其表示

3.1.1 正弦交流电的基本概念

1．正弦交流量的正方向正弦交流电路中的电压、电流及电动势，其大小和方向均随时间变化，其数学表达式为：

e?Emsin??t??e?v?Vmsin??t??v? （3-1） i?Imsin??t??i?以v为例，其波形图如图3-1所示。在0~t1时间内若其实际正方向与参考方向（箭头所标）相同，则在t1~t2时间内，其实际正方

v V向v?与参考正方向相反。因此，在分析交流电路时，不同瞬时交流量的比较是没有意义的。这也是其区别于直流电的基本特征。 t

t2 T t1 0 2．正弦交流电的三要素

式（3-1）是正弦交流量的瞬时值表达式，其中Em、Vm、Im称为正弦量

v v′ R v R 的最大值或幅值；ω称为角频率；ψe、 ψv、ψi 称为初相位。如果已知幅值，角频率和初相位，则上述正弦量就能唯图3-1 正弦量的波形与正方向一地确定，所以称它们为正弦量的三要素。

（1）最大值、瞬时值、有效值

最大值是反映正弦量变化幅度的，又称幅值或峰值，规定用大写字母加下标m表示，即Em、Im、Vm.

瞬时值是正弦量任一时刻的值，规定用小写字母表示，分别为e、v、i. 而我们平常所说的电压高低、电流大小或用电器上的标称电压或电流指的是有效值。有

效值是由交流电在电路中作功的效果来定义的。叙述为：交流电流i通过电阻R在一个周期T内产生的热量与直流电流I通过R在时间T内产生的热量相等时，这个直流电流I的数值称为交流电流的有效值。数学表达为：

I2RT??i2Rdt

0T则有效值表达式为： I?1T?T0 i2dt （3-2）

将（3-1）式的正弦量代入（3-2）式可得：

I?V?Im2 Vm （3-3）

22 E?Em

可见，正弦交流量的最大值是其有效值的2倍，通常所说的交流电压220V是指有效值，其最大值约为311V。

（2）周期、频率、角频率

反映交流电变化快慢的物理量是频率f（或周期T）。即交流电每秒钟变化的次数，单位为赫兹（Hz）。而周期为其交变一次所需的时间，单位为秒（S）。它们互为倒数的关系。目前世界各国电力系统的供电频率有50Hz和60Hz两种，这种频率称为工业频率，简称工频。不同技术领域中的频率要求是不一样的。有的高达数千兆赫兹，称为高频交流信号。

而正弦交流量表达式中反映交流电变化快慢的特征量是角频率ω，一般正弦波形图中的横轴常用ωt表示（如图3-2所示）可见ωT=2π 则 ??2? ?2?f （3-4）

Tv 角频率的单位是弧度/秒（rad/s），它的含义是正弦量每秒变化的弧度数，或2π秒内交流量变化的周期数。它同样可以反映

(t) (T) 正弦量变化的快慢。（在交流发电机中，ω

2π 0′ 0 ωt

又与发电机转动的角速度相联系。）

Ψv （3）相位、初相位与相位差

任一瞬时的角度（ωt+ψ）称为正弦量

的相位角或相位，它与交流量的瞬时值相联系。

图3-2 角频率与初相位的示意图

t=0时的相位角ψ叫初相位角或初相位，它是正弦量初始值大小的标志。如：

v0?Vmsin?v

事实上，初相位的大小与我们讨论它时所取的计时起点有关，如果将图（3-2）中的计时起点左移到图中虚线处，则初相ψv=0。当然，初相位不同，其起始值也就不同。

在一个正弦电路中，存在有两个以上的正弦信号时，一般不是同时达到最大值或零值的，即它们之间存在着不同相位的问题。相位差是用来描述它们之间的先后关系的。如：

v?Vmsin??t??v?i?Imsin??t??i?

则它们的相位差为：

????t??v????t??i???v??i （3-5）可见，同频正弦量的相位差也就是其初相位之差。

同频正弦量的相位差?一般有以下三种情况。

① ???V??i?0（小于180°）即ψv>ψi ，这种情况为先v后i，称作v领先，i滞后，如图3-3（a）所示。（也可以哪个量先到最大值为参考来判别先后）

② ?=ψv-ψi=0 即ψv=ψi，称为同相位，同相位时两个正弦量同时增，同时减，同时到最大值，同时过零，如图3-3（b）所示。

③ ???v??i??? 称为反相位，如图3-3（c）所示。

0 φ Ψi Ψv v i i ωt

v v i ωt

ωt

0 0 (a) (b) (c)

图3-3 同频正弦量的相位差

需要说明的是，虽然几个同频正弦量的相位都在随时间不停地变化，但它们之间的相位差不变，且与计时起点的选择无关。正是由于相位差的存在，使得交流电路中出现许多新的物理现象；同时也因相位差的存在使得交流电路问题的分析和计算要比直流电路复杂，但内容更丰富。

正弦交流电路中为什么会出现相位差，相位差的大小与哪些因素有关，将是我们要讨论的重要内容。

3.1.2 正弦量的相量表示法

用三角函数式或波形图来表达正弦量是最基本的表示方法，但要用其进行电路分析与计算却是比较烦难的。由于在正弦交流电路中一般使用的都是同频正弦量，所以我们常用下面所述的相量图或相量表示式（复数符号法）进行分析与计算。这是电路理论中的基本表示法。

1．相量图

相量图是能够确切表达正弦量三要素的简捷图示法。可以由复平面内长为幅值以角速度ω旋转的矢量来表示，如，正弦电压v?Vmsin??t??V?便可为图3-4（a）的旋转矢量。此矢量大小为Vm，以角速度ω在复平面内旋转时，任意时刻其矢端的纵坐标值与正弦波的瞬时值对应，其与实轴的夹角即相位角ωt+ψv，为与空间矢量区别，我们约定用大写字母头上

? 加“·”表示。如图中的Vm

+j Vm v ?mVωt1 0 Ψv +1 Ψv 0 ωt1 ωt

图3-4 正弦量的相量图表示法

应用相量图分析正弦电压、电流问题时，由于这些正弦量的频率相同，（即矢量的旋转速度相同），因而它们之间的相对位置在任何瞬间均不会改变。所以在分析时，只需将它们当作不动量来处理。这样不会影响分析的结果。此外，工程计算中多用其有效值衡量大小，故只需用有效值相量表示即可。如：

v1?Vm1sin??t??1? v2?Vm2sin??t??2?

则其相量图可简作图3-5（a）所示，其中V1?Vm12、V2=

Vm22。若求电压v=v1+v2，则其便

?、V?构成的平行四边形的对角线。为由V12如图3-5（b）所示。显见，这样便可较方便地定出其和相量的有效值与初相位角。且

??V??V? （3-6）可表示为： V12当然，由相量图的计算结果变为正弦量，只需将其值乘以2，加上旋转因子ωt便为其确切的正弦表达，即： v??2V?1V?1VΨ1 Ψ2 Ψ ?V?2Vφ Ψ1 Ψ2 2Vsi??nt???

图3-5 同频率正弦量的相量图与相量和

2. 相量表达式（复数符号法）

用画相量图的方法可以清楚地表示所讨论的各正弦量间的相互关系，也可通过作相量图求得所需结果，但在实际使时由于作图精度的限制，特别是分析复杂电路时还是比较困难的。而相量的数学表达——复数符号法才是分析交流电路的一般方法。

??V?ej(?t??v) 若将图3-4（a）中的相量用复数表示，则Vmm 根据欧拉公式：

Vmej??t??v??Vmcos??t??v??jVmsin??t??v? （3-7）

显见其虚部恰为我们所研究的正弦量。即

v?Vmsin??t??v??ImVmej??t??v? （3-8）

对于同频正弦量，ωt可免写，则其有效值相量可简作：

??Vej?v?V??Vv??Iej?i?I?? （3-9）同理： I i??Eej?e?E??Ee这种表示叫相量的极坐标表示法。需要说明的是只在电路与电工类书籍中这样表达。并

且，只有用复数表示的正弦量才叫相量，用复数表示的其它量不能叫相量。

借助于相量的复数表示，结合相量图，同频正弦量的分析与计算可以一步求得其大小（幅值）与初相位（辐角），方便多了。

当然，求得其大小与相位角后，也还需将其再写作正弦形式。亦即取虚部、乘以2、加上旋转因子ωt。

例3-1：已知i1?82sin??t?60??(A) ， i2?62sin??t?30??(A)，求： i=i1+i2。解（1）：将其写作有效值相量，用复数计算。

????8?60??8cos60??j8sin60??8?1?j3? I1?22???????6??30??6?cos??30???jsin??30????6?3?j1? I2?22???

??????I??I??8?1?j3??6?3?j1??9.196?j3.928?10?23.1?（A）则 I12?2?2???2?2??可得：i?102sin??t?23?1??A 解（2）：借助于相量图

22?I2?10A 如图3-6所示。显见 I?I1??Im?I3?928??arctg?arctg?23?1?

??9?196Re?I+j ?1I?I??10?23?1（A）则 I i?102sin??t?23?1??（A）

实用中，若只求其大小（一般为有效值），

则用相量法更简捷，更直观。也无需再写出其瞬时值表达式。

0 8A 60? 30? 6A Ψ +1 ?2I图3-6 例3-1 相量图

3.2 交流电路的分析与计算

3.2.1 单一参数的交流电路

电路中的参数据其物理性质的不同一般有电阻R、电感L和电容C三种。任何一个实际的电路元件，这三种参数都有。所谓单一参数是指忽略其它两种参数的理想化元件，分析与计算电路元件在交流电路中的电流、电压关系，能量转换与功率问题，首先必须掌握单一参数的交流特性。

1．线性电阻元件的交流电路

如图3-7所示。若i?Imsin?t

则 v?iR?ImRsin?t?Vmsin?t （3-10）

p i

v R ωt 0

??VI

图3-7 纯电阻电路图3-8 电阻元件的正弦波形与相位关系

可见，其电流电压不仅同频，而且同相位。其波形图、相量图如图3-8所示。（3-10）式中 Vm=ImR 或 V=IR

??I?R （3-11）相量式表作： V

且其瞬时功率 p?vi?VmImsin2?t

电阻元件的功率随时间变化的情况也见图3-8所示，其始终为正值，即始终消耗电能。

其在一个周期内的平均值，称为平均功率，又叫有功功率。单位为瓦特（W）或千瓦（kW）。

21T1T即 P??pdt??2VIsin?tdt?VI

TOTOV22或 P?VI?IR? （3-12）

R工程上关心的只是其平均功率，而不细究其瞬时功率。 2．线性电感元件的交流电路在图3-9中，若i=Imsinωt

di 则 v?L??LImcos ?t?Vmsin??t?90?? （3-13）

dti

p v ?V

i v L ωt

0 ?I

图3-9 电感元件电路图3-10 电感的正弦波形与相位关系

可见，线性电感元件的交流特性是其电压在相位上领先电流90°，其波形图与相位关系如图3-10所示

式（3-13）中 Vm=ImωL

其中?L?Vm?V?XL称为感抗，单位为欧姆（Ω），表示其限流作用的大小。

ImI??I??jX? （3-14）其相量表示式为：VLXL ?V?90?VV???90? 称为复感抗。 ?I?0?II显见，式中j正是电压领先于电流90°的

f 0 相位关系的表示，称其为正转90°因子。而其

图3-11 线性电感的频率特性

大小XL=ωL=2πf L关于频率f的关系如图3-11 所示。即感抗与频率成正比，频率越高，意味着

电流的交变速度越快，自感效应对电流的阻碍作用就越大。亦即，电感元件在电路中具有通直流（f=0），阻碍高频交流的作用，正是由于这种频率特性的存在，电感元件在交流电路中的应用才更加广泛，并其作用与地位更加重要。

下面研究线性电感元件在交流电路中的功率关系。

其中jXL?其瞬时功率 p?vi?VmImsin?tcos?t?VIsin2?t

可见其为谐变量，频率为2ω，其随时间变化的情况也如图3-10中所示。p>0表示电源输出电能给线圈，p＜0又说明线圈释放出磁能量送回电源。对理想线性电感而言，因其没有内阻，所以不会消耗能量，其有功功率

P?1Tpdt?0 T?O为了表达这种电—磁互换的速率，或电磁互换的规模，将瞬时功率的幅值定义为无功功率，用QL表示。

QL?VI?IXL2V2?XL （3-15）

为从概念上与有功功率区别，无功功率的单位用乏（var）或千乏（kvar）表示。

3．线性电容元件的交流电路 i 如图3-12所示，设加在线性电容元件C上的

电压为 v=Vmsinωt

dv则：i?C??CVmcos?t Cv dt?Imsin??t?90?? （3-16）

可见，线性电容元件的交流特性是电流比电压领先90°，其波形图与相位关系如图3-13所示。

p v i I?

0 ωt 图3-12 线性电容元件电路

XC ?V0 f

图3-13 电容的正弦波形与相位关系图3-14线性电容的频率特性

式（3-16）中Im=ωCVm

其中 1?Vm?V?XC 称为容抗，单位为欧姆（Ω），也反映其阻碍电流作用的强弱。

?CImI??I?(?jX) （3-17）其相量表达式为 V C其中?jXC?VV????90?称为复容抗， ?II其大小XC?1?1关于频率f的关系如图3-14所示。即容抗与频率成反比，频率?C2?fC越高，意味着电容充放电的速度越快，对电流的阻碍作用就越小。亦即，电容元件具有通高频交流，而隔直流的作用。也正是由于这种频率特性的存在，电容在电路与电子技术中有着更广泛的应用。

电容元件的瞬时功率p?vi?VmImsin?tcos?t?VIsin2?t 可见其为谐变量，频率也为2ω，其随时间变化的情况也见图3-13所示。

p＞0表示电容被充电，p＜0说明电容释放电能送回电源，理想线性电容元件也不消耗电能，

其有功功率 P?1T?TOpdt?0

为了表示这种电—电互换的规模，也定义其无功功率为：

V22 Qc?VI?IXC???CV2 （3-18）XC单位也为乏（var）或千乏（kvar）。

例3-2 有一LC并联电路接在220V的工频交流电源上，已知L=2H、C=4.75uF 试求：（1）感抗与容抗；（2）IL、IC与总电流I；（3）画出相量图；（4）QL、QC与总的无功功率。

解：（1）感抗XL=2πfL=2π×50×2=628Ω

11容抗Xc???670? ?62?fC314?4.75?10（2）IL??CIVV?0?350A IC??0?328A XLXC?V?为参考，作相量图如3-15图。（3）以电压V?LI?与I?反相位，则总电流I=IL-IC=0.022A。显见ILC图3-15 例3-2 相量图

（4）由相量关系可见，L中电流为正值时， C中电流必然为负值（总反相）这就是说L吸收功率时，C必然为释放出功率，反之亦然。

2故：QL?ILr XL?VIL?77?var? Qc?Ie2Xc?VIc?72.25?va?总无功功率 Q = QL - QC = 4.75(var)

亦即，L与C并联时，电磁能量的互换发生在L与C间。而与电源互换的部分只是其两者之差。

3.2.2 串联交流电路

1．RLC串联

许多实际电路中是由两个或三个不同参数的元件组成，具有一般性的串联电路是RLC

?I串联，如图3-16所示。

据KVL：v=vR+vL +vC

R L C ?RV??V??V?+V? 相量式为： VRLC由单一参数交流电路的伏安关系可有：

?V?LV?CV?CV??V??V??V?VRLC?R?I?(jX)?I?(?jX) （3-17） ?ILC??R?j(X?X)??I?Z?ILC图3-16 RLC串联电路

其中Z=R+j（XL –XC）称为复阻抗。XL-XC=X称为电抗，（感抗与容抗统称电抗）

Z的大小：

2 Z?R2??XL?XC? （3-18）

由 Z?V?V???Z?? （3-19）

I??I可见总电压与电流的相位差?亦为Z的辐角，称为阻抗角

即 ?v??i???arctgXL?Xc （3-20）

R?先于I? 总效果是电感性质，称为感性电路。当XL>Xc时 ?>0 V?滞后于I? 总效果是电容性质，称为容性电路。当XL

（3-21）

?LV?CV?V将其两边同除以电流I即为（3-18）式，再由

（3-20）式，显然，由电压关系构成的三角形与阻抗三角形是相似三角形。见图3-18所示。

?CVφ ?I?RV

下面再看其功率关系，由单一参数电路的分析知道，只有电阻元件消耗功率，所以其

有功功率 P=I2R?IVR?IVcos? （3-22）图3-17 感性电路相量图

无功功率 Q=I2(XL?XC)?I(VL?VC)?IVsin? （3-23）对于电源而言，不仅要为电阻R提供有功能量，而且还要与无功负荷L及C间进行能量互换。我们定义视在功率（或者叫电源的容量）S。且： S=VI （3-24）

为了区别于有功功率和无功功率，视在功率的单位用伏安（VA）或千伏安（kVA）表示。通常说变压器的容量为多少kVA，指的就是它的视在功率。

由（3-22）（3-23）（3-24）式显见： SP=Scos?

VQ=Ssin?

QL?QCS=P2?Q2 （3-25）

ZVL?VCX?XLCφ 则其功率构成的三角形与电压、阻抗三

PVRR角形也是相似三角形。亦即，由电压三角形

同除以I便是阻抗三角形，同乘以I便是功

率三角形。如图（3-18）所示图3-18 电压、阻抗及功率三角形

P而 co?s? （3-26） S称为功率因数，它反映了有功功率的利用率，是电力供电系统中一个非常重要的质量参数。其重要性及其详细研究将在（3.2.4）节中专门讲述。从这个意义讲，?又被称为功率因数角。

需要特别说明的是串联交流电路中的电压三角形，功率三角形与阻抗三角形的相似的关系，对于我们分析计算串联电路是非常重要又相当方便的，希望读者能正确理解并记忆。

2．一般阻抗的串联

图3-19所示电路中的复阻抗Zi=Ri+jXi，称为广义阻抗。对于复杂交流电路，必须用相量式（复数）进行计算。原则上，只要用复数形式，直流电路的规律与分析方法均可适用。

对图3-19的两个复阻抗，据KVL：

??V?V?I?Z?I?Z?I??Z?Z??I?Z V121212..???V? （相量和）（3-27）多个阻抗串联时 V i?I等效复阻抗 Z??Zi （复数和）（3-28）即：Z??Ri?j?Xi?(?Ri)2?(?Xi)2?? 其中 Z?Z1 ?1V?VZ2 ??Ri?2???Xi?2 （3-29）

?Xi （3-30）

?Ri?2V??arctg且由?Xi的正负决定电路的性质。

图3-19 复阻抗的串联

需要注意的是：V??Vi Z??Zi，这只是代数和。

例3-3 有一个RLC串联电路，v=2202sin?314t?30??V，R=30Ω，L=254mH ， C=80μF。计算：

（1）感抗、容抗及阻抗；

（2）电流的有效值I及瞬时值i （3）作出相量图；

（4） VR、VL、VC、及vR、vL、vC （5） P及Q。解：（1）感抗XL=ωL=314×254×10-3=80Ω 1容抗 XC?1??40? ?6?C314?80?1036.9? 50 40 53.1?30 图3-20 例3-3 阻抗三角形

阻抗 Z?R2??XL?XC??50?

2（2） I?V?4.4 A ZXL?XC?53.1? R?LV?CV?V 阻抗角 ??arctg已知ψv=30°，???V??i?53.1??0（感性），则 ?v??i????23.1°

故 i?4.42sin?314t?23.1?? A

30? 23.1? ?VR?I?CV图3-21 例3-3 相量图

（3）相量图如图3-21所示。

（4）VR=IR=132V VL=IXL=352V VC=IXC=176V 由相量图可得：

vR?1322sin?314t?23.1??V vL?3522sin?314t?66.9??V

vC?1762sin?314t?113.1??V （5）P=I2R=583W

Q?QL?Qc?IVL?IVc?774var

例3-4图3-19的电路中，若其相量图如图3-22所示，试判别Z1 、Z2及整个电路的性质。

解：由Z?V?Z??1

?I??1?0 V?1领先于I?，故Z1为感性。

?为由V?与V?构成的平行四边形又因为V12φ1 φ ?I?V

?1V?， ?为图中虚线所示，V?滞后于I的对角线，则V22故Z2为容性。

?滞后于I?角?，故呈容性。整个电路的V（当然，若Z1，Z2已知，由其虚部的正

负便可直接判定其性质，但整个电路的性质判

?与I?的相位关系）定还需比较V。

3.2.3 并联及混联交流电路的分析与计算

1．一般阻抗的并联：

如图3-23所示为复阻抗的并联电路。 ??11??1? ??I??I??V?V??由KCL：I???12?V?ZVZ1Z2?ZZ2??1图3-22 例3-4相量图

?I?1I?VZ1 Z2 ?I2则多个阻抗并联时有：

???I? （相量和）（3-31） Ii11（复数和）（3-32） ??ZZiZZi图3-23 复阻抗的并联

同样应当注意： I??Ii 1??1 这只是代数和

2．混联交流电路的分析与计算：

一般的实际负载，常为RL的组合或RC的组合， i 由它们联接的电路常具有混联的方式。如图3-24所 i1 R1 R2 示的电路便具有这种特点。分析此类电路，常用的

v方法有两种。一种是已知参数的电路，可借助于相

量图进行分析与计算；另一种是由广义阻抗或复杂 jXL –jXC 参数（数值及相位角不特殊）组成的电路，一般用复数（相量式）进行分析与计算。实用中后者的情况具多，而前者技巧性较强。下面，我们通过例题

图3-24 实际阻抗的并联电路

介绍这两种分析方法

i2 例3-5 图3-25电路中I1=10A ， I2=102A， V=200V ， R=5Ω ， R2=XL ，试求I、XC、XL及R2。

?及V?如电路图中所示，解：设电压V12?滞后45°，以V? ?比V由R2=XL ，显然I222为参考相量，作相量图如图3-26所示。

?V?1I?I?1V–jXC ?2VR1 R2 jXL ?同相位，则由图得I=10A，且与V2

?同相位， V1=IR=50V也与V2从而 V2?V?V1?150V （三个电压同相位）

得： Xc?222L图3-25 例3-5电路图

?1IV2?15? I1?1V?I?2V?VV15R?x?2R2?2???7.52?

I2245R2=XL=7.5Ω

例3-6 图3-27电路中，已知V=100V，

f=50Hz I1=I2=I3 P=866W，求R、L、C。

?2I图3-26 例3-5相量图

??V?。??I??I?，故 I?,I?,I?构成等边三角形，其中V解：因为I1=I2=I3 ，且 I3123123?同相位，V?为参考相量，作相量图如图3-28所示。又因V?与I?先于I?90?。 V2RL2VR2P所以 VR=Vcos30= 50V 则 R??8.66? 且 I2=I3=?10A

?3I?LV?1I?2IR ?3I30? ?1I?V?VL C ?2I?RV图3-27 例3-6电路图图3-28 例3-6相量图

故 L?XL??XLH C?1?1?3?8μF ?0.0162?f?XC2?fXC例3-7 在图3-24所示的电路中，若R1=3Ω R2=8Ω XL=4Ω XC=6Ω，求：

（1）电路的等效复阻抗Z；

? I? I?； ??220??0?V求I（2）若V12（3）P、 Q、 S及cos?。解：（1）Z??R1?jxL??R2?jxC?48?12??4.032?j1.824?

R1?R2?j?xL?xC?11?2j??（2）I1?V220?0???44??53.1?（A）

R1?jxL5?53.1?

?? I2?V220?0???22?36.9?（A）

R2?jxC10??36.9????I??I?验证） ??V?220?0??49.2??26.7?（A）（可用II12Z4.47?26.7?2（3）P?I12R1?I2R2?9.68kW

2Q?I12XL?I2XC?4.84kvar

S=VI=10.824kVA cos?=

P=0.89 S

3.2.4 功率因数的提高

交流电路中功率因数的高低是供电系统中密切关注的事情，提高输电网络的功率因数对国民经济的发展有着非常重要的意义。

由cos??P，提高cos?即提高有功功率的利用率，亦即使发电设备的容量得以充分利S用，或者说减小电源与负载间的无功互换规模。如电磁镇流式的日光灯。cos??0.5（感性）若不提高线路的功率因数，单其与电源间的无功互换规模就达50%。

另一方面，此种无功互换虽不直接消耗电源能量，但在远距离的输电线路上必将产生功

?P?率损耗。即?P?Ir???Vcos???r 其中r可认为是线路及发电机绕组的内阻。亦即提高

??22cos?，可同时减小线损与发电机内耗。

而cos?提高，从根本上讲，P的大小只决定于电阻性负载的应用。或者说其主要由用

户决定。从这个意义上讲，提高cos?又是广大用电户的事情。也就是说，这里还蕴含着一个顾全大局与爱国主义的问题。因此，它是与国与民皆息息相关的大事。

提高功率因数的首要任务是减小电源与负载间的无功互换规模，而不改变原负载的工作状态。因此，感性负载需并联容性元件去补偿其无功功率；容性负载则需并联感性元件补偿之。一般工矿企业大多数为感性负载，下面以感性负载并联电容元件为例，分析提高功率因数的过程。 ?CI ?V??II1?CI

φ R φ1 ?C V ?IL ?C?1II

（a）（b）

图3-29提高功率因数图例

感性负载并联电容提高功率因数的电路如图3-29（a）所示。以电压为参考相量作出如

?与V?间的相位图（b）的相量图，其中?1为原感性负载的阻抗角，?为并C后线路总电流I差。显见并C后，线路电流减小，负载电流与负载的功率因数仍不变，而线路的功率因数

提高。

?同相的分量）Icos??Icos?不变。无功分量由图（b）还可看出，其有功分量（与V11?垂直的分量）变小，实际是由电容C补偿了一部分无功分量。亦即，有功功率P不（与V变，无功功率Q减小，显然提高了电源的有功利用率。

?将若C值增大。IC也将增大，I将进一步减小，但并不是C越大、I越小。再增大C，I?，成为容性。一般将补偿为另一种性质的情况称作过补偿，补偿后仍为同样性质领先于V?V?同相位）的情况称作完全补偿。的情况叫欠补偿，而恰好补偿为阻性（I供电部门对用户负载的功率因数是有要求的，一般应在0.9以上，工矿企业配电时也必

须考虑这一因素，常在变配电室中安装大型电容器来统一调节。

下面介绍提高功率因数与需要并联电容的电容量间的关系，由图3-29（b）中的无功分量可得到：

IC?I1sin??Isin???P(tg?1?tg?) VPPsin?1?sin?

Vcos?1Vcos?又因 IC?V??cV XC

故： C?P?tg?1?tg?? （3-33）

2?V即把功率因数cos?1提高到cos?所需并入电容器的电容量。

例3-8 某学校有1000只220V、40W的日光灯，采用电磁镇流式，本身功耗为8W。其功率因数cos?=0.5，若改用cos?=0.95的电子式镇流器，功耗为0.1W，线路电流可减小多少？仅此一项可使变压器的输出功率减少多少？

解：cos?=0.5时 I?P?(40?8)?1000?436.4A

Vcos?220?0.5cos?=0.95时 I??P40?1000??191.4A（略

Vcos?220?0.95

故 ?I?I?I??245.0 A 变压器输出功率是指其视在功率则 ?S?IV?I?V??IV?54kVA

3.2.5 复杂交流电路的计算方法

前面对一般阻抗串并联交流电路的分析已经阐明，只要阻抗用复数、变量为相量形式，直流电路中介绍的分析方法在交流电路中同样适用。下面通过例题熟悉其分析计算方法。

??230?0?V 例3-9 图3-30电路中，已知V1a Z1 ??227?0?V Z?Z?0?1?j0.5?， V212?1V?3IZ3 Z2 ?2VZ3?5?j5? 。试求I?3。

解：对此题，用戴维南定理，叠加原理与节点电压法均可简捷解出，经比较用节点电压法仅需两步，其它两法均需三步，故择用节点电压法求解。

b 图3-30 例3-9电路图

?V???V?VV1212?Z3Z1Z2Z1????V?? ?V??Vab12111212Z3?Z1???Z1Z2Z3Z1Z3?????Vab?V1?V2?31?3??46?1?A I3Z32Z3?Z1??2?0? V， I??2?90?mA，ω=1000rad/s，例3-10，在图3-31电路中，已知VSS? R1=R2=1kΩ， L=1H， C=1μF，求VC解：用戴维南定理求解（直流电路中已练过，

用戴维南定理最简便）

?SV? 见图3-32（a）（1）去电容C求开路电压Vab???V??I?RVabSS2??2?0??2?90??1 ?2?135?V（2）由图3-32（b）求等效内阻抗Z0=R2=1kΩ

（3）其等效电路如图3-35（c）

C R1 L ?SI?CVR2 图3-31 例3-10电路图

??则： Vc?jXC?Vab

ZO?jXC而： XC?1?1k? ?C???j?2?135??故： VC1?j2?90?V

a V?ab b

?SVa R1 L R2 C b R1 L R2 Z0 a ?abV?CVZ0 ?SIb （a）（b）（c）

图3-32 例3-10求解图

3.3 交流电路的频率特性

正弦交流电路中的感抗和容抗都与频率有关，当其频率发生变化时，电路中各处的电流和电压的幅值与相位也会发生变化，这就是所谓频率特性。幅值关于频率的关系叫幅频特性，相位关于频率的特性称作相频特性，它在电子技术的应用中具有很重要的意义。

交流电路中的任一无源双口网络，如图3-33所示，其输出电流或电压与输入电流或电压之比称为电路的传递函数，它是一个复数，它关于频率的函数用H（j?）表示。如输出 ?2?1II ?之比表作： ?与输入电压V电压VH（jω） 12??V1V2H(j?)?V2 （3-34） ?V1。称为转移电压比。图3-33 双口网络

下面，仅就几种实用的电路进行频率分析。

3.3.1 RC电路的频率特性 C

1．高通滤波电路

?1R V图3-34所示的RC串联电路，其传递函数为：

VH(j?)?2??V1。?2VRR?j1?C?j?RC 1?j?RC图3-34 RC高通电路 ??RC1?(?RC)2?arctg1 ?RC0.707 A(ω) =A(?)??(?)

?RC其中幅频特性 A(?)? （3-35）

21?(?RC)0 ?2?4ω0 φ(ω) ω

相频特性 ?(?)?arctg1 （3-36）

?RC其特性曲线如图3-35所示，显见频率越高，其传递能力就越强。

???时，A(?)?1 ?(?)?0 ???1时， A(?)?0.707 ?(?)?

4RC图3-35 高通电路的频率特性这时V2?0.707V1，实际应用中，将这一频率视为信号能通过的最低频率。

即 fL?1 （3-37）

2?RC称为下限截止频率。亦即该电路具有使高频信号易通过而抑制低频信号的作用，故称为高通滤波电路。

２．低通滤波电路

与高通电路相反，低频信号易通过而抑制高频信号的电路称为低通滤波电路。

图3-36的电路便为典型的低通电路。（同学可以自己推证）

其上限截止频率为：

R ?1VC ?2V1 （3-38）图3-36 RC低通电路

2?RC３．带通滤波电路

具有上下限两个截止频率，只允许f在?f?fH?fL内的信号通过的电路称为带通滤波电fH?路，如图3-37（a）所示，其等效电路如图（b）所示。

?1 ?1VC V

?2R C V

（a）

Z1 Z2 ?2V （b）

图3-37 带通电路及其等效电路图

则 Z1?R?j1?1?j?RC

?Cj?RC其传递函数为：

Z2?R?(?j1)R ?C?11?j?RCR?j?C

RVZ21?j?RCH(j?)?2???Z?Z1?j?RCRV112?j?RC1?j?RC。

?113?j(?RC?)?RC?132?(?RC?12)?RC 1?(?RC)2 （3-39）

?arctg3?RC其中幅频关系

A(?)?132?(?RC?12)?RC （3-40）

21?(?RC)相频关系 ?(?)?arctg （3-41） 3?RC图3-38便为其频率特性曲线，由（3-40）和（3-41）式可知，当???0?1时： RC1 为最大值（3-42） 3。。A(ω) A(?)?132??1/3 ?(?)?0 V2与V1同相位（3-43）

这里 f?f0?1 （3-44） 2?RC1 320 φ(ω) 90° 45° 0 –45° –90° ωL ω0 ωH ω 称为带通电路的中心频率。

由

A(?)?132?(?RC?12)?RC?ωL ω0 ωH ω 可得下限截止频率 fL?0.303f0 图3-38 带通电路的频率特性

上限截止频率 fH?3.303f0

显然 ?f?fH?fL?3f0 （3-45）

?f称为带通滤波电路的通频带宽度。

需要说明的是，该网络还具有选频（单一频率）特性。在电子技术中，用此RC串并联网络可以选出f?f0?1的信号。（实验室常用的低频信号发生器就是由此来选频的。）

2?RC3.3.2 LC谐振电路及其频率特性

前面已经研究过的串并联交流电路中，凡含有电感和电容的电路，如果处于无功功率完全补偿而使电路的cos?=1的状态，便称为电路的谐振状态。这种谐振状态在电子技术中也有着广泛的应用。

１．串联谐振

在LC串联情况下发生的谐振称为串联谐振。如图3-39所示的电路，若XL?XC，则总阻

?同相位，cos?=1，电路发生谐振。 ?与I抗Z=R，V谐振时的频率f0由XL?XC 即 2?f0L?可得： f?01 2?f0C12?LC?IR L C （3-46）

?V由此可见，改变电路参数L、C或改变电源

频率都可满足式（3-46）而出现谐振现象。因此

又把式（3-46）称为谐振条件。图3-39 RLC串联电路

（1）串联谐振的特点：

① 谐振时电路的阻抗 Z0=R2?(XL?XC)2=R为最小值，呈纯电阻性。 ② 电压一定时，谐振时的电流 I?0VR2?(XL?XC)2?V 为最大值，其随频率变化的R关系如图3-40所示。（XL..XC关于频率的关系也在其中。）

I I0 |Z| XL （R） 0 f0 XC f ?VC?LV?R?V?V?I图3-40 电流、阻抗与频率的关系图3-41 串联谐振时的相量图

???V?，又称串联谐振为电③ 谐振时电感与电容上的电压大小相等、相位相反。即VLC压谐振。谐振时电路的相量图如3-41所示。

如果谐振时XL?XC＞＞R，则谐振电压VL?VC＞＞V，将使电路出现过压现象，故电力技术中一般不允许工作在此状态。在电子技术的工程应用中，把谐振时的VL或VC与总电压V之比叫做电路的品质因数，用Q表示。即： Q?VLVC?0L1??? （3-47） VVR?0RCI I0 （2）串联谐振电路的选频性与通频带

电压一定时，电路中的电阻R越小，谐振时

I0Q2>Q1 Q2 Q1 20 fL f0 fH f

的电流I0?V就越大，所得到的I~f曲线就越尖

R锐，如图3-42所示。在电子技术中，常用这种特性来选择信号或抑制干扰。显然，曲线越尖锐其选频特性就越强。（但不是越好，为什么？）

通常也用所谓通频带宽度来反映谐振曲线的

尖锐程度，或者选择性优劣，与带通滤波电路中图3-42 串联谐振的选频性的定义相类似，与0.707I0对应的两频率fH、

（同学可以自己证明）： fL之间的宽度△f定义为通频带宽度。

?f?fH?fL?f0 （3-48）

Q式（3-48）中Q即电路的品质因数，可见Q值的大小与选频特性的优劣有着直接的联系。Q值越大，选频性越强。

串联谐振电路用于频率选择的典型例子便是收音机的调谐电路（选台），如图3-43所示。其作用是将由天线接受到的无线电信号，经磁棒感应到L2C的串联电路中，调节可变电容C的值，

L1 LL L2 C 便可选出f=f0的电台信号，它在C两端的电压图3-43 收音机的调谐电路最高，然后经放大电路进行放大，这就是收音机的调谐过程。

２．并联谐振

LC并联情况下发生的谐振称为并联谐振。电子技术中，实用的并联谐振电路如图3-44所示。

（1）谐振条件

??VV由KCL： I ??I??I???12?2?1II1R?j?L?j?I?CR R?L? ??=V?j()??C?R2??2L2?R2??2L2???VL C ?与V?同相位，电路为纯电阻性，谐振时，I所以上式中虚部：图3-44 并联谐振电路

?L 2 ??C?0 （3-49）R??2L2由此式可得谐振频率为：

?0?11R2 或

f0??22?LCL1R2 （3-50）

?LCL22R在电子技术中，R一般只是电感线圈的内阻，R＜＜?0L，式中项可以忽略， L2

故： ?0?1LC2?LC这就是实用并联谐振电路的谐振频率（或谐振条件）。

（2）并联谐振的特点 ① 谐振时的电路阻抗

222Z0=R??L 是最大值。

或 f0?1 （3-51）

V |Z| R 由（3-49）式 R2??2L2?L

C0 f0 f 可得： Z0?L （3-52）图3-45 并联谐振的频率特性

RC其随频率变化的关系如图3-45所示。

② 恒流源供电时，谐振电路的端电压V=IZ0也是最大值，其随频率变化的关系也如图3-45所示。

③ 谐振时电路的相量关系如图3-46所示。

?2I???I?，R＜＜?L时，可见，I1的无功分量I120?，亦即电路中的谐振量是电 ?≈?I可近似认为I21.??I?V??1?1II流，故又称电流谐振。

这种谐振电路在电子技术中也常作选频使用。

电子音响设施中的中频变压器（中周）便是其典图3-46 谐振时的相量图型的应用例子。正弦信号发生器，也是利用此电路来选择频率的。（电子技术中介绍）

可以推证，此电路的品质因数（R＜＜?0L时）

?I2I1I?L1 （3-53） Q???1?0?IIIR?0RC同样，R值越小，Q值越大，其选频特性就越强。

3.3.3 非正弦周期信号的频率分析（谐波分析）

现代工程技术中，非正弦周期信号的应用也相当广泛，特别是在控制技术、测量技术、无线电工程等领域。

数学分析中已经介绍过，任何一个非正弦周期信号，都可以看作多个不同频率的正弦信号的叠加，即所谓傅立叶级数法。因此，分析这类信号的基本方法仍可归结为正弦分析法，只是频率不同而已，所以也归在此章的内容中。

１．非正弦周期信号的分解

电工电子技术中的非正弦周期信号，如矩形波、三角波、锯齿波及整流后的波形等，都能满足数学上的所谓狄里西利条件，故可以将其展开为傅立叶三角级数。

设周期为T的某一非正弦信号（函授）为f（t），则其展开的傅立叶级数表达式：

? f(t)?A0??Akmsi（ nk?t??k）k?1 （3-54）

式中A0为常数，即直流分量。A1msin(?t??1)是与非正弦周期信号同频率（??2?）

T的正弦波，称为基波（或一次谐波）。其后各项的频率是基波频率的整数倍，分别称为二次谐波、三次谐波??，统称高次谐波。这种分解分析的方法叫谐波分析法。

据傅立叶三角级数的收敛性，Akm的大小随频次的升高而减小。实用中，只需考虑直流成分和前几次谐波就够了。亦即其主要成分在低频分量中。

为确定级数中常数A0、Akm和?k，利用三角公式，可将式（3-54）写作：

f(t)?A0??(Bkmsink?t?Ckmcosk?t) （3-55）

k?1?其中 Bkm?Akmcos?k

Ckm?Akmsin?k

22显见： Akm?Bkm ?k?arctgCkm ?CkmBkmA0、Bkm和Ckm可由下面的公式定出：

1A0?TT?f(t)dt0T

BkmCKM2?T?0T0f(t)sink?t （3-56）

2?T?f(t)cosk?tv 例3-11 求矩形波电压（如图3-47所示）的傅立叶级数展开式

解：该周期函数可表作：

Vmt?(0,T)2 v（t）=? ?T?Vt?(,T)?m2Vm 则其傅立叶系数

TTT?211?A0??v(t)dt???Vmdt??Vmdt??0T0T?0?T2??0 –Vm T/2 T t

图3-47 矩形波电压

TBkm2222??v(t)sink?tdt??Vmsink?tdt??Vmsink?tdtT0T0TT2TTv Vm ?42?Vm (k为奇数) ?Vm(?cosk??1)??k?(k为偶数)k???00 T 2T t

即：B2m?B4m?B6m????0 图3-48 锯齿波电压

B1m?4Vm B3m?T?44Vm B5m?Vm ?? 3?5?TTCkm2222??v(t)cosk?tdt??Vmcosk?tdt??Vmcosk?tdt?0 T0T0TT2得其展开式为：v(t）?11 V（sin?t?sin3?t?sin5?t???）m?3511sin2?t?sin3?t???) 2?3?4同理，图3-48所示的锯齿波电压可展开为： v(t)?Vm(?121?sin?t?２．非正弦周期信号的分析与计算

由于非正弦周期信号都可展为一系列不同频率的正弦信号及直流成分的叠

加，所以根据线性电路的叠加原理，电路的分析尽可看作直流电源和一系列不同频率的正弦电源的分别作用之和。

（1）平均值

非正弦周期信号的平均值就是其直流分量。即：

T?1I0??i(t)dt?T0? （3-57）

?T1V0??v(t)dt??T0?（2）有效值

据3.1节中的（3-2）式，将展为傅立叶级数的i（t）或v（t）代入（3-2）式，可得非正弦周期性电流或电压的有效值与组成它的各次谐波有效值之间的关系为：

222I?I?I?I????? （3-58）012 ?222V?V0?V1?V2?????式中 I1?I1m2 I2?I2m2 ?? ， V1?V1m2 V2?V2m2 ??

为各次谐波分量的有效值。

（3）平均功率

TT由平均功率 P?1pdt?1v(t)i(t)dt 的定义式，将展为傅立叶级数的v（t）与i（t）

T?T?00代入，可推证得： P?P0??Pk?V0I0??VkIkcos?k （3-59）

k?1k?1??

例3-12 全波整流的电压波形如图3-49（a）所示，它的傅立叶展开式为

v(t)?222Vm(1?cos2?t?cos4?t?co6s?t??) ?315351??314rads。其中Vm?310V，受其作用的电路如3-49（b）所示，其中L=5H，C=32?F，

R=2k?，求vR(t)及其有效值VR。

解：由傅立叶展开式得：

V0?2?Vm?197V，

??4V??900?132??900V， V??26??900V V2m42322 v Vm

0 L +- +?V2- ?4+V- ?6+V- V0 v C R vR C R vR t T （a）（b）（c）

图3-49 例3-12图

图3-49（c）为其等效电路图。对直流分量来讲，L相当于短路，C相当于开路，所以：VRo?V0?197V

R//1j2?C。??对二次谐波来说 VR21j2?L?R//j2?CV2?2.242?91.5?V

则 vR2?2.24sin(2?t?91.5?)V

?对四次谐波 VR41。j4?C0.11?V4??90.9?V

12j4?L?j4?CR//（4?t?90.9?）则 vR4?0.11sinV

将上述结果叠加

得：vR(t)?vR0?vR2?vR4???

?197?2.24sin(2?t?91.5?）?0.11sin（4?t?90.9?）???V 有效值：VR?VR0?VR2?VR4??? ?1972?(

2222.242)2?(0.112)2???≈197V

３.4 三相交流电路

电力输配电系统中使用的交流电源绝大多数是三相制系统。前面研究的单相交流电也是由三相系统的一相提供的。之所以采用三相系统供电，是因为在发电、输电以及电能转换为机械能方面都具有明显的优越性。

本节在介绍三相交流电产生的基础上，着重介绍三相负载的连接、分析与计算，并简介安全用电技术。

需要说明的是，三相交流即三个单相的组合，学习时请着重注意相与相间的关系。

３.4.１三相交流电的产生与联接

1．三相交流电的产生

三相交流电源是由三相发电机产生的，图3-50便是一台三相交流发电机的示意图。令三相全同绕组A-X、B-Y、C-Z

Y （首-末）对称分布在定子凹槽内，转子 C N + 通入直流电励磁。图示磁极形状是为产生

A 中性面正弦磁场而设计的。当转子由原动机带动， ω X 以角速度?旋转时，三个绕组依次切割

_ S Z 旋转磁极的磁力线而产生幅值相等（绕组

B 全同）、频率相同（以同一角速度切割）、只在相位上（时间上）相差120°的三相交变感应电动势。若以图3-50中A相

（位于磁场为零的中性面上）为参考，规图3-50 三相交流发电机示意图定其正方向为末端指向首端，则：

eA?Emsin?t eB?Emsin(?t?120?) （3-60）

eC?Emsin(?t?240?)?Emsin(?t?120?)其波形如图3-51所示。不难证明：

e eA eB eC eA?eB?eC?0 （3-61）

这样的三相电源称为三相对称电源。

其某一参考值出现的先后顺序为 A→B→C→A,叫做三相电源的相序。（在图3-50中，若转子磁极逆时针旋转，则其相序为A→C→B）。

若以有效值相量表示，则为：

EA?E?0??E。ωt 0 120° 240° 图3-51 三相对称电源的波形 13 (3-62)

EB?E??120??E（??j）22??E??120??E（?1?j3）EC22。更易看出：

?CE??E??E??0 (3-63) EABC120°120°

?AE120°

?BE

其相量图如3-52图所示.。

２．三相（发电机）绕组的联接

三相交流发电机绕组的联接方式有两种：星性或三角形。一般常作星性联接，即三个末端X、Y、Z连在一起，三个首端A、B、C

连同末端连接点N引出，如图3-53所示。图3-52 三相对称电动势

这样联接的优点是：

?① 可以提供两种电压； VCA

?AE② 各相绕组承压低； ?AVN ③ 空载时发电机无内耗。 ?CE

?B?C（三角形联接时的情况同学可以自析之） VV?BE

图中由星性点引出的导线称为中线， ?AB VB

俗称零线；A、B、C端引出的导线称为相线，

俗称火线。所谓两种电压，即每相绕组的端

?，称为相电压，其有效值 ?、V?、V电压VCAB?BCV C

?、图3-53 三相电源的星性接法 ?、V记作Vp；任意两条相线间电压VBCAB?，称为线电压，其有效值记作V。各电压 VlCA?A?V的参考方向也如图3-53中所示，则由图可得：

?CAV?CV?ABV?B?V?=V?—V? VABAB

30° 30° ?AV?=V?—V? （3-64） VBCBC?BV30?—V?=V? VCCAA?C?V?BCV发电机内阻抗上压降与输出电压相比可以

忽略不计，则相电压基本上等于电源的电动势，图3-54 相、线电压间关系故其相量图可如3-54图所示。

显见，三相电源的线电压也是对称的，其在相位上领先于相应的相电压30°。且由其几何关系可得： Vl?3Vp （3-65）

上述电源的供电线路称为三相四线制供电方式，我国的低压配电系统大都采用三相四线制。相电压为220V时，线电压为380V；线电压为220V时，相电压为127V。是常用的两种电压模式。

3.4.2 负载的星性（Y）连接

三相负载的连接方式也有两种，即星性和三角形连接，依电源额定电压与负载需求，两种连接方式都为常用。本节先分析负载Y连接时的三相电路。

负载星性连接的三相四线制电路如图3-55所示，三相负载分别为ZA、ZB、ZC，由于中线的存在，负载的相电压即为电源的相电压，且流过每相负载的电流亦即相线中电流，分

别为：

?V?IA?A ZA?V?IB?B （3-66） ZB?V?IC?C ZC?CVN ?AIZA ?AV?NIN′ ZC ZB ?BV?BI?CI据KCL，中线电流为：图3-55 三相四线制电路

??I??I??I? （3-67） INABC下面分负载对称与不对称两种情况进行讨论。

1．负载对称时的Y连接

所谓对称负载，即三相阻抗完全相同，亦即：

ZA?ZB?ZC?Z?? （3-68）

一般的三相电气设备，大都是（如三相电动机）对称负载。

?为参考相量，则：设以VA?V?0?VpV?IA?A?p??(o???)?Ip?(o???) ZAZ??Z?Vp??120?VB?IB???Ip?(?120???) ZBZ???Vp?120?V??Ip?(120???) IC?C?Z??ZC可见，三个相电流也对称。

设?＞0，相量图如3-56图所示。则中线电流：

?CV?CIφ ?AVφ φ ?AI?BI?BV??I??I??I?=0 INABC显然，此时中线完全可以省去，这样的图3-56 负载对称时的相量图

三相电路称为三相对称电路。负载的中点N′

与电源中点N等电位，电路的工作状态与有为中线无关。去掉中线的三相对称电路为三相三线制电路。

2．负载不对称时的Y连接

三相负载不完全相同时，称为不对称负载。若中线牢固，则每个单相满足（3-66）式，

??I??I??I?≠0，此时中线不可省去。但显然三个电流不再对称，且INABC负载不对称而无中线的情况，

属于故障现象。下面的例题可以

?AV?CVN FUA ?AIRA ?NIFUB ?IBRB N′ RC ?BVFUC ?CI

进一步说明中线的作用。

例3-13 在图3-57的电路中，

Vl=380V，三相电源对称，

RA?11?，RB?RC?22?。

（1）求负载的相电流图3-57 例3-13电路图与中线电流；（2）若中线因故断开，求负载的相电压与相电流；（3）中线断开，A相短路时的相电压与相电流。

解：（1）因有中线，则负载相电压即电源相电压，并对称 Vp?Vl3=220V，

则 IA?VpRA=20A， IB?IC?VpRB=10A

?为参考，作相量图如图3-58（a）以V。 A由相量图 IN?IA?2IBcos60?=10A

?CV

?CI

?B I

′ ?VB

N′ ?CV?C′ V?NI?AI?AV?A′ A RV?B′ B RV?C′R C V?N?NV?CI120° ?VN?N120° ??AVIB?AI?A′ V?AV?BV?CV?BVN

?B′ V（a）（b）（c）

图3-58 例3-13求解图

（2）中线断开时，N与N′不再等电位，其等效电路如图3-58（b）所示。可见，利用

??、V??、V??，便可求得各负载的相电压V??。弥尔曼定理求得VABNNC???VVVAB220?00220??1200220?1200??C??RARBRC112222?? 111111????RARBRC112222??VNN?110?00?55??1200?55?1200V利用相量图3-58（c），可得

???55?00V VNN由KVL可见，各相负载的相电压为：

???V??V?? V???V??V?? ???V??V?? V VBBNNAANNCCNN??的箭头端，这种情形称为星性据相量的三角形关系，可见负载相电压的Y点移到了VNN点漂移。且显见：

??VA?VN?N?165V VA2??VC??VB2?VNVB?N?2VBVN?Ncos120??252V

从而 IA??VAV??15A IB?IC?B?11.4A 相位关系见相量图。 RARB可见，此时负载相电压与电源相电压发生偏离，若原来各相负载均工作在额定电压下，

现在已出现欠压与过压故障，负载不仅不能正常工作，而且将受到损害。

（3）A相负载被短路，又无中线，则

??0，由图3-59的电路可见，B、C两相负 VA??VC??380V 载均承受电源的线电压，即 VBA

B C RA N′ RC 这是负载不对称、无中线时最严重的过压 RB ?B′ V?C′ 事故，也是三相对称负载严重失衡。不难证明， V负载的不平衡情况越严重，无中线时产生的欠压与过压现象就越严重。因此，中线的作用是为了保证负载的相电压对称，或者说保证负载

均工作在额定电压下。故中线必须牢固，决不图3-59 例3-13（3）电路图允许在中线上接熔断器或开关。

3.4.3 负载的三角形(△)连接

负载作三角形连接的三相电路如图3-60所示。电压与电流的参考方向如图中所标，可见，三相负载的电压即为电源的线电压，且无论负载对称与否，电压总是对称的，或者说

Vp?Vl （3-69）

A ?AI?ABI?CAVZA ZC ZB ?、I?、I?（相电流） V? 而三个负载中电流IABCABC?、I?、I?（线电流）间关系，与三条相线中电流IABC据KCL：

B ?VBC C ?BI?BCI?CI?CAI

??I??I??IAABCA??I??I??IBBCAB? （3-70） ??I??I??ICCABC?（从这个意义上讲,Y连接时，Ip?Il 与有无中线无关。）

1．负载对称时的△连接

三相负载对称时，ZA?ZB?ZC?Z??，则三个相电流： Ip?IAB?IBC?ICA?图3-60 负载的△连接 ?CI?CAIVpZ?Vl （3-71） Z30?BI30° 30° ?BCI?ABI?为也是对称的，即相位互差120°。若以IA参考，则其相量图如图3-61所示。由（3-69）

式，作出三个线电流也如图中所示，可见其也图3-61 相、线电流间关系是对称的。

显见，线电流比相应的相电流滞后30°，且：

?AI Il?3Ip （3-72）综合负载对称时Y与△连接的情况与特征，可见，只要计算其中一相，再利用（3-65）与（3-72）式便可得对称的三个线量。

2．负载不对称时的△连接

负载不对称时，尽管三个相电压对称，但三个相电流因阻抗不同而不再对称，（3-72）式的关系不再成立，只能逐相计算，并依（3-70）式计算各线电流。

综合负载的两种连接方法，三相负载采用何种连接方式？依据是什么呢？

我们知道，一般的电器负荷大都有额定电压这一重要标志。决定采用何种连接方式的依据即应使每相负载承受的电压等于其额定电压。如三相电动机铭牌上常有“Y/△、 380V/220V”这样的标识，意即：Y连接时接380V线电压，△连接时接220V线电压。事实上每相负载均工作在220V相电压下。而‘照明用电Y连，动力用电Y、△均可’的认识是毫无道理的。

例3-14 图3-62（a）所示的三相对称电路中，电源线电压为380V。负载ZY?22??30?? 负载Z??38?60??，求：

（1）Y接法时的负载相电压；（2）△接法时的负载相电流；

?。 ?、I?、I（3）线路电流ICAB解：（1）VA?VB?VC?Vl3?220V （2） IAB?IBC?ICA?Vl=10A Z???380?0°V, 作相量图如图3-62(b)所示。（3）设V（由于对称，只取一相便可。） AB?CAVA ?AI?BI?CI?IA??IAY?IAY B C 30° ?ABV

（a）电路图（b）相量图

图3-62 例3-14图

???VA?220??30?=10A 注意到Y连接时相电压滞后线电压30°，则 IAYZY22??30?而

?V380?0??比I?又滞后30°， ?IAB?AB??10??60?A ， IA?ABZ?38?60???103??90?A 则 IA?故 IA?22?IAY?IA??20A ，或： IA?20??60?A

??20??180?A ， I??20?60?A 据对称性： IBC3.４.4 三相电路的功率

1. 有功功率

单相电路的有功功率P1?VIcos??VpIpcos?，三相电路，无疑是三个单相的组合，故三相电路的有功功率为各相有功功率之和，即：

P3?PA?PB?PC?VApIApcos?A?VBpIBpcos?B?VCpICpcos?C （3-73）

VpIpcos? （3-74）当三相负载对称时 P3?3P1?3式中?是Vp与Ip间的相位差，亦即负载的阻抗角。

负载对称时，Y连接时的相电压与?连接时的相电流均难以测得，故三相负载铭牌上

标的额定值一般均为线电压与线电流，也便于测量。无论是Y连接，还是?连接的对称负载，都有 3VpIp? P?3VlIl （同学可以自己验证），所以（3-73）式常表作：

3VpIpco?s （3-75）

但需注意的是，这样表达并非负载接成Y或?时功率相等。可以证明，Vl一定时，同一负载接成Y时的功率PY与接成?时的功率P?间的关系为：（同学自证之）

P?=3PY （3-76） 2．无功功率与视在功率

与有功功率的研究方法类同，三相无功功率也有：

负载不对称时 Q?QA?QB?QC （3-77）负载对称时 Q?3VpIpsin? （3-78）

三相视在功率 S?3.4.5

P2?Q2（对称） 3VlIl （3-79）

安全用电技术简介

为了使电力输电线路与电气设备能真正为人类造福，而不是因使用不当造成

灾害，我们必须了解一些安全用电的常识与技术。

1．安全用电常识

（1）安全电流与安全电压

通过人体的电流一般不能超过7～10mA，有的人对5mA的电流就有感觉，当通过人体的电流在30mA以上时，就有生命危险。36V以下的电压，一般不会在人体中产生超过30mA的电流，故把36V以下的电压称为安全电压。当然，触电的后果还与触电持续时间及触电部位有关，触电时间愈长愈危险。

（a）双线触电（b）单相触电① （c）单相触电②

图3-63 常见的触电方式

（2）触电方式

常见的触电情况如图3-63所示，其中图（a）为双线触电，是最危险的触电方式，人体将直接承受电源线电压。图（b）为典型的单相触电，人体承受电源的相电压，也是很危险的。即使电源的中性点不接地，因为导线与大地之间存在分布电容，也会有电流经人体与另外两相构成通路，如图（c）所示。在高压输电线路中，其足以危及人身安全，也是很危险的。

2．触电的防止与相关的安全技术

（1）对电力线路按有关规定进行严格的电气和机械强度的设计及施工验收，保证其对建筑物及大地的安全距离，避免人体触电。

（2）对人体经常接触的电气设备应尽量使用36V以下的安全电压。在潮湿和危险的环境下，应使用更低的24V或12V电压。

（3）对工作电压大于安全电压而人体又不可避免会触及的电气设备，如电动机等，必须采用接地保护或接零保护。

① 接地保护

对中性点不接地的供电系统，将电气设备的外壳用足够粗的导线与接地体可靠连接，称为接地保护。如图3-64所示。

当电动机的某相绕组因绝缘损坏而与外壳相碰时，由于其外壳与大地有良好接触，所以人体触及带电的外壳时，仅仅相当于一条电阻很大的（大于1k?）与接地体并联的支路，而接地体电阻R。（规定不大于4?）很小，人体中几乎无电流流

过，避免了单相触电②的事故。图3-64 接地保护

② 接零保护

对中性点接地的供电系统，还需将电气设备的外壳与电源的零线连接起来，这样的连接叫接零保护。如图3-65所示。

（a）（b）

图3-65 接零保护

接零保护还适用于三相五线制系统，第五条线（PE线）也与中性线连接，但正常情况下无电流流过（不闭合）。只有相线与设备外壳接触时，才有电流流过，还不会导致人体触电，如图3-65（b）所示。这种系统比三相四线制系统更安全、更可靠，家用电器都应设置此种系统。

金属外壳的单相电器，必须使用三眼插座和三级插头，也如图3-65（b）所示。由于外壳可靠接零，故可保证人体触及时不会触电。

需要指出的是，中性点接地的供电系统，若只采用接地保护不能可靠地防止触电事故，如图3-66所示。当绝缘设备损坏时，接地电流 Ie?Vp?R0?R0

式中R0、R0′分别为保护接地和工作接地的

接地电阻。

若R0=R0′=4?，则其对地电压 Ve?Vp?R0?R0Ro?Vp2，图3-66 接地保护的不安全原理

接地电流 Ie?Vp?R0?R0?Vp2R0

若供电系统相电压为220V，则Ie?27.5A, Ve?110V, 这对人体是极不安全的。

（2）利用各种联锁、信号、标志防止触电

电气设备设置联锁环节，当设备的防护罩打开时，能自动切断连在其上的电源，防止触电。在危险场合设置信号，声、光报警，或“高压危险”等标志；在检修电路时，挂上“正在工作，请勿合闸”等标志，作为警示。 3．电气火灾及防火措施（1）电气火灾成因

电路或电气设备因受潮使其绝缘程度降低，造成漏电起火；电路过载甚至短路时，保险丝未起作用，造成线路和设备温度升高，使绝缘熔化燃烧；电气设备没按规定安装灭弧罩、防护板等造成电火花、电弧，引起周围易燃物燃烧也是电气火灾的重要成因。

（2）防火措施

①不私拉乱接电线，避免造成短路； ②保持必要的防火间距与良好的通风；

③有良好的过热、过流保护，不随意增设用电设备，以免造成线路的过载运行。

④根据导线截面核算线路容量，配用熔断丝。一般是根据导线的安全载流量Ia，配用熔断丝电流IRN。且满足式： Ia＞IRN≥IL 其中IL是负载电流。

若线路中某些设备对电压的要求比较高，则按安全载流量选择了导线后，还要进行电压损失校验。

4．触电与电气火灾的急救措施

无论是触电还是电气火灾及其它电气事故，首先应切断电源。拉闸时要用绝缘工具，需切断电线时要用绝缘钳错位剪开，切不可同一位置齐剪，以免造成电源短路。

对已脱离电源的触电者要用人工呼吸或胸外心脏挤压法进行现场抢救，以争取进医院抢救的时间，但千万不可打强心针。

在发生火灾不能及时断电的场合，应采用不导电的灭火剂（如四氯化碳、二氧化碳干粉等）带电灭火，切不可用水灭火。

电气事故重在预防，一定要按照有关规程和规定办事，这样才能从根本上杜绝电气事故。

习题

1．概念题部分

3.1-1 指出v=2202sin（314t-60°）V的幅值、有效值、周期、频率、角频率及初相位，并画出波形图。

3.1-2 在波形图上如何确定初相位的正或负？

??220?45?V， 3.1-3 复数的加减运算或乘除运算分别用哪种表达形式为宜？已知V?的指数表达式。求jV3.1-4 指出下列各式的错误。

??220sin??t?60?? V i?10?30? A VI?10ej30? A I?10sin?314t?45?? A

3.2-1 如何理解例3-2中总电流比支路电流小的现象？如果XL=XC，将会出

现什么现象？如何解释这一现象？

3.2-2 请列表比较R、L、C三种参数在正弦电源作用下各自表现的特征及其关系。

3.2-3 指出下列各表达式哪些是正确的，哪些是错误的。（1）纯电感电路：

diVv?LvL=ωLi i= p=I2XL dtXL?VV? ?jXL I??j?LI?V?XL ?I（2）纯电容电路：

???CV i?Cdv v?i QC=ωCV2 ICCdt?CV??j?CV? ??jXC II?I??j?C ?V3.3-1 图3-43中，L2与C是串联关系吗？怎样去理解？

3.3-2 若图3-44中的线圈电阻R趋于零，试分析发生谐振时的Z0、I1、I2及V。 3.3-3 若非正弦周期信号为电流形式，则其傅立叶展开后的等效电源应如何理解？

3.4-1若将图3-50所示的发电机A相绕组的始末端倒置，试分析各相、线电压的变化情况。

3.4-2某单位一座三层住宅楼采用三相四线制供电线路，每层各使用其中一相。有一天，突然二、三的照明灯都暗淡下来，一层仍正常，试分析故障点在何处？若三层比二层更暗些，又是什么原因？

3.4-3有人说，既然同一三相对称负载接成Y和△时，若线电压Vl不变，P??3PY，则只要改变连接方式，便可使电动机的功率增大。这种说法对吗？为什么？

3.4-4试写出同一三相对称负载接成Y或△功率相等时的线电压间关系式。

2．计算与计算机仿真题部分

3-1写出下面各相量的瞬时值表达式（??314rads）

??2?53?A ??100?0?V I（1）V??120??（2）V?6??3??A V I3??(60?j80)V I??(3?j)A （3）V3-2为测线圈的参数，在线圈两端加上电压V=100V，测得电流I=5A，功率P=200W，电源频率f=50HZ，计算这个线圈的电阻及电感各是多少？

3-3右图的电路中，已知R=30?，C=25?F，且iS?10sin（1000t-30°）A，试求：

?、V?、V?；（1）VR、VC、V及VRC （2）电路的复阻抗与相量图；

（3）各元件的功率。

3-4在RLC串联电路中，已知端口电压为10V，

iS vR R v vc C 电流为4A，VR?8V，VL?12V，??10rads，题3-3图试求电容电压与R、C的值。

??50?60?V，试确定复阻抗Z的性质。 ??100?0?V，V3-5下图电路中，VLS

3-6试求右上图电路中A0与V0的读数。

3-7在本题图示的电路中，已知电源频率为50HZ，VAC?VCD?VAD?220V，I=1A，试求R、L、C的值。

R B

A L －jXc 10A A1 －j10Ω A0 Z 5Ω j5Ω V0 100VV V1 ?VL+ ?VS - 题3-5图题3-6图

L C C ?I?1IR1 ?2I?VXL R2

?VD

题3-7图题3-8图

3-8在本题电路图中，已知V=220V，R1?10?,XL?103?,R2?20?, 试求各个电流与平均功率。

?。 ??18?45?A，求电压V3-9在下图的电路中，已知IAB

题3-9图题3-10图

I1 ?I10Ω A 20Ω j 2Ω Z1 Z2 V I ?ABVB j6Ω ZL 3-10在右上图所示电路中，如果Z1和Z2的参数选得合适，无论负载阻抗ZL如何改变，负载中电流的有效值I可保持不变，问阻抗Z1和Z2应该怎样选择？

题3-11图题3-12图

i 80Ω 80Ω ?LIR v L C 0.191H ?SI?LV?SV3-11上图所示电路中，电压v?2202sin314tV，R—L支路的平均功率为40W，功率因数cos?1?0.5，为提高电路的功率因数，并联电容C=5.1?F，求电容并联前、后电路的总电流各为多大？功率因数为多少？并说明电路的性质如何？

??10?0?V，3-12在本题图示的电路中，已知电压源与电流源同频率，f?50HZ，且VS?。 ?，用弥尔曼定理求V??0.1?0?A，试用戴维南定理求IILSL??30?300A，求电流I?。 3-13已知本题图中，恒流源IS3-14写出右下图电路的转移电压比H(j?)。

5Ω

?I?SI3Ω R R ?1I－j4Ω ?1VC C ?2V j4Ω

题3-13图题3-14图

3-15有一个2000pF的电容和一个10?的电阻及0.2mH的线圈，（1）将它们接成串联谐振电路，求谐振时的阻抗和谐振频率；

（2）接成实用的并联谐振电路，再求谐振时的阻抗和谐振频率，并与（1）比较之。 3-16收音机的调谐电路如下图所示，利用改变电容C的值出现谐振来达到选台的目的。已知L1?0.3mH，可变电容C的变化范围为7～20pF，C1为微调电容，是为调整波段覆盖范围而设置的，设C1=20 pF，试求该收音机的波段覆盖范围。

3-17右下图所示为正弦脉动电压波形，已知Vm?10V，求其平均值及有效值。

题3-16图题3-17图

v L LC1 C L L1 vm t 0 T/2 T 3-18设电源v(t)?222Vm(1?cos2?t?cos4?t?co6s?t???)，已知?315352Vm?2202V，??314rads，电路如下图所示。其中L=1H，C=100?F，R=1000?。

求（1）R中的电流；（2）R的端电压。

v(t) C R

A R N XC B N′ XL C 题3-18图题3-19图

3-19右上图所示三相电路的电源电压Vl?380V，每相负载的阻抗均为10?。试求：（1）各相电流和中线电流；

??220?00V，作相量图；（2）设V

（3）三相平均功率。

3-20三相四线制380V／220V的电源供电给一座三层楼，每层作为一相负载，装有数目相同的220V的日光灯，每层总功率都为2000W，总功率因数为0.91。

（1）说明负载应如何接入电路；

（2）如第一层仅开有