蝴蝶定理与燕尾定理
更新时间:2024-04-25 10:09:01 阅读量: 综合文库 文档下载
燕尾定理
燕尾定理:
在三角形ABC中,AD,BE,CF相交于同一点O,那么S?ABO:S?ACO?BD:DC.
AEO
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”):
FBDCAS2aS1OS3S4DBbC
①S1:S3?a2:b2
②S1:S3:S2:S4?a2:b2:ab:ab; ③S的对应份数为?a?b?. 等积变形
①等底等高的两个三角形面积相等;
②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比; 如左图S1:S2?a:b
2ABS1aS2bCD
③夹在一组平行线之间的等积变形,如右上图S△ACD?S△BCD;
反之,如果S△ACD?S△BCD,则可知直线AB平行于CD.
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形); ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;
⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比.
二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.
如图在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上,E在AC上), 则S△ABC:S△ADE?(AB?AC):(AD?AE)
DAADEEBC
如图,S2?2,S3?4,求梯形的面积.
BC
S1S2S3S4
【巩固】(2006年南京智力数学冬令营)如下图,梯形ABCD的AB平行于CD,对角线AC,BD交于O,已知△AOB与△BOC的面积分别为25 平方厘米与35平方厘米,那么梯形ABCD的面积是________平方厘米.
A25O35BDC
梯形ABCD的对角线AC与BD交于点O,已知梯形上底为2,且三角形ABO的面积等于三
2角形BOC面积的,求三角形AOD与三角形BOC的面积之比.
3ADO
(第十届华杯赛)如下图,四边形ABCD中,对角线AC和BD交于O点,已知AO?1,并且三角形ABD的面积3?,那么OC的长是多少?
三角形CBD的面积5BCBAOCD梯形的下底是上底的1.5倍,三角形OBC的面积是9cm,问三角形AOD的面积是多少?
2
ADOBC
如下图,一个长方形被一些直线分成了若干个小块,已知三角形ADG的面积是11,三角形BCH的面积是23,求四边形EGFH的面积.
AGDFBHCE
如图,正方形ABCD面积为3平方厘米,M是AD边上的中点.求图中阴影部分
的面积.
BCGADM
【巩固】在下图的正方形ABCD中,E是BC边的中点,AE与BD相交于F点,三角形BEF的面积为1平方厘米,那么正方形ABCD面积是 平方厘米.
ADF
如图面积为12平方厘米的正方形ABCD中,E,F是DC边上的三等分点,求阴影部分的面积.
BECABODEFC
如图,在长方形ABCD中,AB?6厘米,AD?2厘米,AE?EF?FB,求阴影部分的面积.
AEOFBDC(2008年”奥数网杯”六年级试题)已知ABCD是平行四边形,BC:CE?3:2,三角形ODE的面积为6平方厘米.则阴影部分的面积是 平方厘米.
AOD
【巩固】右图中ABCD是梯形,ABED是平行四边形,已知三角形面积如图所示(单位:平方厘米),阴影部分的面积是 平方厘米.
BCEA9214BEDC【巩固】(2008年三帆中学考题)右图中ABCD是梯形,ABED是平行四边形,已知三角形面积如图所示(单位:平方厘米),阴影部分的面积是 平方厘米.
A8162BED
如图所示,BD、CF将长方形ABCD分成4块,?DEF的面积是5平方厘米,?CED的面积是10平方厘米.问:四边形ABEF的面积是多少平方厘米?
CAF5E10D
(2007年”迎春杯”高年级初赛)如图,长方形ABCD被CE、DF分成四块,已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米,那么余下的四边形OFBC的面积为___________平方厘米.
BCAE25O8F?B
(98迎春杯初赛)如图,长方形ABCD中,AOB是直角三角形且面积为54,OD的长是16,OB的长是9.那么四边形OECD的面积是 .
DCADO
BEC
燕尾定理应用 【例 1】 2009年第七届希望杯五年级一试试题)如图,三角形ABC的面积是1,E是AC的
中点,点D在BC上,且BD:DC?1:2,AD与BE交于点F.则四边形DFEC的面积等于 .
AEBDFC
【巩固】如图,已知BD?DC,EC?2AE,三角形ABC的面积是30,求阴影部分面积.
AEFB2DC
【巩固】如图,三角形ABC的面积是200cm,E 在AC上,点D在BC上,且
则四边形DFEC的面积等于 . AE:EC?3:5,BD:DC?2:3,AD与BE 交于点F.
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