第11章答案

习 题 十 一

11-1 如图所示，在点电荷+Q的电场中放置一导体球。由点电荷+Q到球心的径矢为r，在静电平衡时，求导体球上的感应电荷在球心O点处产生的场强E。

[解] 静电平衡时，导体内任一点的场强为零，O点的场强是点电荷+Q及球面上感应电荷共同贡献的，由场强叠加原理有

E0?EQ?E??0

E???EQ??

Q4??0r2? r11-2 一带电量为q、半径为r的金属球A，放在内外半径分别为R1和R2的不带电金属球壳B内任意位置，如图所示。A与B之间及B外均为真空，若用导线

把A，B连接，求球A的电势。

[解] 以导线把球和球壳连接在一起后，电荷全部分布在球壳的外表面上(或者说导体球的电荷与球壳内表面电荷中和)，整个系统是一个等势体，因此

UA?UB?q4??0R2

11-3 如图所示，把一块原来不带电的金属板B移近一块已带有正电荷Q的金属板A，平行放置。设两板面积都是S，板间距为d，忽略边缘效应，求：(1)板B不接地时，两板间的电势差；(2)板B接地时，两板间的电势差。

11-4 如图所示，有三块互相平行的导体板，上导体板到中间导体板的距离为5.0cm，上导体板到下导体板的距离为8.0cm，外面的两块用导线连接，原来不带电。中间一块两面上带电，其面电荷密度之和为??1.3?10?5Cm2。求每块板的两个表面的面电荷

密度各是多少(忽略边缘效应)?

[解] 在上板和中板之间电场方向垂直于板面。作底面为单位面积的闭合圆柱面，二底面分别位于二导体板内，圆柱面轴线与板面垂直，则此闭合圆柱面电通量为零。根据高斯定律可得

?2???3 (1) ?5???4 (2)

忽略边缘效应，则导体板可看成无限大的，具有屏蔽性，在相邻导体板之间的电场只由相对于二表面上电荷决定。因此上板和中板之间的场强为

?1?2?3?4?5?6d1d2E1??3 ?0在中板和下板之间的场强为

E2??4 ?0上板和下板相连接，因此相邻两板的电势差相等，即E1d1?E2d2，由此可得

?3d1??4d2 (3)

设中板总面电荷密度为?，则

?3??4?? (4)

由(3)、(4)两式可得

?3?d2d?d1???

d1?d2d?8.0?5.0?1.3?10?5?Cm2??4.9?10?6?Cm2? 8.0?4????3??1.3?10?5?4.9?10?6??Cm2??8.1?10?6?Cm2?

代入(1)、(2)两式中得到

?2??4.9?10?6?Cm2? ?5??8.1?10?6?Cm2?

在上板内任意点场强均为零，它是6个无限大均匀带电平面在该点产生的场强叠加的结果。故有

1??1??2??3??4??5??6??0 2?0考虑到(1)、(2)两式，则得到

?1??6 (5)

上下两块导体板原来是不带电的，根据电荷守恒定律，二导体板表面出现感应电荷后，总量仍为零。因此有

?1??2??3??4?0 (6)

由(5)、(6)两式得到

?1??6??1??2??5? 21?????4.9?10?6?8.1?10?6??Cm2??6.5?10?6?Cm2?

2

1l-5 如图所示，三个无限长的同轴导体圆柱面A、B和C，半径分别为Ra、Rb、Rc。圆柱面B上带电荷，A和C都接地。求B的内表面上线电荷密度?1和外表面上线电荷密度?2之比值?1?2。

11-6 在一半径为R1=6.0cm的金属球A外面套有一个同心的金属球壳B。已知球壳B的内、外半径分别为R2=8.0cm，R3=10.0cm。设球A带有总电量QA?3?10?8C，球壳B带有总电量QB?2?10?8C。求：(1)球壳B内、外表面上各带有的电量以及球 A和球壳B的电势；(2)将球壳B接地然后断开，再把金属球A接地，求金属球A和球壳B内、外表面上各带有的电量以及球A和球壳B的电势。

[解] 在球壳B内作一包围内腔的高斯面，由于球壳内场强处处为零，此高斯面的电通量为零。根据高斯定律，球壳B的内表面上所带电量与球A所带电量等值异号，所以

qB内??QA??3?10?8C

球壳B总电量为QB，因此其外表面上电量为

qB外?QB?qB内??2?10?8?3?10?8?C?5?10?8C

球A的电势为

1?QAqB内qB外???UA?????? ?4??0R14??0R24??0R34??0?R1R2R3??QAqB外qB内?3?10?8?3?10?85?10?8?9?10???6.0?10?2?8.0?10?2?10.0?10?2?9?3?V?5.6?10V ??UB?QA?qB内4??0r?qB外4??0R3

因为QA?qB内?0，所以

9?109?5?10?8UB??V?4.5?103V ?24??0R310.0?10qB外(2)将球壳B接地时，其电势变为零。因为QA与qB内等量异号，它们在球壳B产生的电势之和为零，所以球壳外表面不再有电荷。球壳B与地断开后，再将球A接地时，电荷将

??重新分布。设球A、球壳B内表面、球壳B外表面上电量分别为Q?A、qB内、qB外

因为U?A?0，于是有

Q?A4??0R1?q?B内4??0R2?q?B外4??0R3?0

?注意这时仍有Q?A?qB内?0，而且 qB内?q??q?B外 B内于是得到

qB内?Q??Q?1?Q?AAA???4??0?R2R3?R1????0 ??3?10?8?6.0?8.0Q???C?2.1?10?8C A??R2R3?R1R3?R1R28.0?10.0?6.0?10.0?6.0?8.0?8q???Q?A??2.1?10C B内?8??q??2.1?10?8?C??9?10?9C B外?qB内?qB内??3?10qB内R1R2金属球A接地，电势U?A?0，球壳B电势为

??UBQ?A4??0r?q?B内4??0r?q?B外4??0R3?q?B外4??0R3

9?109???9.0?10?9??V??8.1?102V ?210.0?10

11-7 一厚度为d的无限大均匀带电导体板，单位面积上两表面带电量之和为?。试求离左

表面的距离为a的点与离右表面的距离为b的点之间的电势差。

11-8 半径分别为R1和R2(R2>R1)的两个同心导体薄球壳，分别带电量Q1和Q2，今将内球

壳用细导线与远处的半径为r的导体球相连，导体球原来不带电。求相连后导体球的带电量q。

[解] 整个系统仍是孤立球形电容C3与内球到无限远(地)之间的电容之并联。而后者是内球形电容C1与外球孤立球形电容C2串联所构成的

C1?4??0R1R2

R2?R1C1C2C3C2?4??0R2 C3?4??0r

设小球C3上电量为q，则C1上电量Q1-q，C2上电量为Q2??Q1?q?设三个电容上的电压各为U1、U2、U3

U3?qC3 U1??Q1?q?C1 U2??Q2?Q1?q?C2

∵U3?U1?U2 ∴

qQ1?qQ2?Q1?q ??C3C1C2因而移到小球上的电量为

q?

r?R2Q1?R1Q2?

R2?R1?r?11-9 一种单芯同轴电缆的中心为一半径R1=0.5cm的金属导线，其外层包一层?r?5的固体电介质，最外面的是金属包皮。当在此电缆上加一电压后，介质中紧靠其内表面处的场强

E1为紧靠其外表面处的场强E2的2.5倍，若介质最大安全场强E*?40kVcm，求此电缆

能承受的最大电压是多少?

11-10 一平行板电容器面积为S，两板间距离为d，中间充满均匀电介质，已知当一板带自由电荷Q时，整块电介质的总偶极矩为P，求电容器中的电场强度。

11-11 两个同心的薄金属球壳，内、外壳半径分别为R1=0.02m和R2=0.06m。球壳间充满

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