七年级数学上册第三章3.4实际问题与一元一次方程第3课时一元一次
更新时间:2024-03-04 03:45:01 阅读量: 综合文库 文档下载
3.4 实际问题与一元一次方程
第3课时 体育赛事与一元一次方程
情景导入
置疑导入
归纳导入
复习导入
类比导入
悬念激趣
情景导入 我们来看两张图片(教师出示课件)
图3-4-7
(1)你知道它们蕴含的是我们数学中的什么问题吗? (2)路程、速度、时间这三个量之间有怎样的等量关系? [说明与建议] 说明:通过图片的形式揭示生活中蕴含着我们数学的一个常见问题——追及问题,激发学生的好奇心,引起每位同学的兴趣,唤醒学生的思维和问题意识,进而轻松地引入本节所要探讨的主要问题.建议:教学时注意引导学生关注路程公式的变形,让学生熟练掌握路程、速度、时间之间的关系.
复习导入 问题导入:1.若小明每分钟走60米,那么他4分钟能走__240__米.(路
程=速度×时间)
2.小明用4分钟绕学校操场跑了两圈(每圈400米),那么他的速度为__200__米/分.(速路程度=)
时间
3.已知小明家距离火车站2400米,他以4米/秒的速度骑车到达车站需要__10__分钟.(时路程间=)
速度
[说明与建议] 说明:通过几个简单的问题,引入路程、时间、速度概念及其之间的关系,复习了相关知识,同时降低了学生对于此类问题的畏惧感,便于新知识的学习.建议:从基本题目入手,让学生熟悉路程公式,并引导学生对公式灵活变形,为新课学习做好铺垫.
教材母题——教材第112页第5,6题
1.(我国古代问题)跑得快的马每天走240里,跑得慢的马每天走150里.慢马先走12
1
天,快马几天可以追上慢马?
2.运动场的跑道一圈长400 m.小健练习骑自行车,平均每分骑350 m;小康练习跑步,平均每分跑250 m,两人从同一处同时反向出发,经过多少时间首次相遇?又经过多少时间再次相遇? 【模型建立】
行程问题中常见的是追及问题和相遇问题.解决此类问题的关键是:(1)熟悉路程、速度、时间三者的关系;(2)理解相遇问题与追及问题的等量关系.相遇问题:甲的路程+乙的路程=甲、乙的距离;追及问题:甲的路程-乙的路程=甲、乙的距离.
【变式变形】
1.小彬和小明每天早晨坚持跑步,小彬每秒跑4米,小强每秒跑6米. (1)如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑,那么几秒后两人相遇?
(2)如果小彬站在小强前10米处,同时同向起跑,那么几秒后小强追上小彬? 解:(1)设x秒后相遇,根据题意得:
4x+6x=100,解得x=10.答:10秒后两人相遇. (2)设x秒后小强追上小彬,根据题意得: 6x-4x=10,解得x=5. 答:5秒后小强追上小彬.
2.A,B两地相距6千米,甲、乙两人分别从A,B两地出发,甲的速度是8千米/时,乙的速度是6千米/时.
(1)若两人相向而行,甲先出发半小时,乙才出发,问乙出发几小时后与甲相遇? (2)若两人同时同向出发,甲在后,乙在前,问甲用多少时间可以追上乙? (3)若两人同时出发,相向而行,经过多长时间两人相距0.4千米? (4)若两人同时出发,同向而行,经过多长时间两人相距1.8千米?
11
解:(1)乙出发x小时后与甲相遇,根据题意得:8×+8x+6x=6,解得:x=.
271
答:乙出发小时后与甲相遇.
7
(2)设甲用x小时可以追上乙,根据题意得:8x-6x=6,解得x=3.答:甲用3小时可以追上乙.
(3)设经过x小时两人相距0.4千米,根据题意得:8x+6x=6-0.4或8x+6x=6+0.4,
1616
解得:x=0.4或x=.答:经过0.4小时或小时两人相距0.4千米.
3535
(4)设经过x小时两人相距1.8千米,根据题意得:8x-6x=6-1.8或8x-6x=6+1.8.
解得:x=2.1或x=3.9.答:经过2.1小时或3.9小时两人相距1.8千米.
3.一架飞机加满油后最多能在空中飞行11小时,飞机在无风时的速度是550千米/时,风速为50千米/时,这架飞机最远飞出多远就应返回?
xx
解:设这架飞机最远飞出x千米就应返回,根据题意得+=11,解得x
550+50550-50=3000.
答:这架飞机最远飞出3000千米就应返回.
[命题角度1] 胜、负、平积分问题
本类题一般题意会明确胜、负、平某类情况的场次,关键是通过设未知数找到另两类型
2
之间的关系,而后根据题意求解. 例 某中学七年级举行足球赛,规定胜一场记3分,平一场记1分,负一场记0分,七年级(九)班在比赛中共积16分,其中胜的场数与平的场数相同,负的场数比胜的场数多1场,问七年级(九)班在比赛中共负了多少场?
解:设胜了x场,同样平了也是x场,负了(x+1)场.依题意可得3x+x=16,x=4. 所以x+1=5.
答:七年级(九)班比赛中共负了5场. [命题角度2] 环形跑道问题
环形跑道问题类似于直线跑道,也涉及同向与反向,同向是追及,反向是相遇. 例 [雅安中考] 甲、乙二人在一环形跑道上从A点同时同向匀速跑步,甲的速度是乙的2.5倍,4分钟后两人首次相遇,此时乙还需要跑300米才跑完第一圈,求甲、乙二人的速度及环形跑道的长.
解:设乙的速度为x米/分,则甲的速度为2.5x米/分,根据题意,得2.5x×4-4x=4x+300,解得x=150.
∴2.5x=2.5×150=375,4x+300=4×150+300=900.
答:甲、乙二人的速度分别为375米/分、150米/分,环形跑道的长为900米. [命题角度3] 相遇、追及问题
路程问题包括相遇与追及,解决此类问题关键是抓住等量关系.相遇问题:甲的路程+乙的路程=甲、乙之间的距离,追及问题:甲的路程-乙的路程=甲、乙之间的距离.借助线段图分析此类问题,可以化繁为简,便于解决.
例 A,B两地相距200千米,甲、乙两车分别从A,B两地出发,甲的速度为60千米/时,乙的速度为40千米/时.
(1)如果甲、乙相向而行,甲先行50千米,乙再出发,问:乙出发几小时后与甲相遇? (2)如果甲、乙同向而行,甲在后,乙在前,乙先行驶两小时,甲再出发,问乙在距离B地多远处被甲追上?
解:(1)乙出发x小时后与甲相遇,根据题意得: 50+40x+60x=200,
解得x=1.5.答:乙出发1.5小时后与甲相遇. (2)设甲出发x小时后追上乙,根据题意得: 60x-40x=200+40×2, 解得x=14.
∴40×(14+2)=640(千米).
答:乙在距离B地640千米处被甲追上.
[教材习题答案]详见光盘内容
[当堂检测]
1. 足球比赛的计分规则是:胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.一队打14场,负5场,共得19分,那么这个队共胜了( ) A.6场 B.5场 C.4场 D.3场
2. 一份数学试卷,只有25个选择题,做对一题得4分,做错一题倒扣1分,某同学做了全
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部试卷,得了70分,他一共做对了( ) A.17道 B.18道 C.19道 D.20道
3. 小聪从家到学校,如果每分钟走100米,就会迟到3分钟;如果每分钟走150米,就会早到3
分钟,问小聪每分钟走多少米才能按时到校?
参考答案: 1. B 2. C
3. 解:设小聪按时到校要分钟,则根据题意可列方程:
.
解得:x=15,
100(15+3)÷15=120
答:小聪每分钟应该走120米
如何列一元一次方程解行程类应用问题
所谓行程类应用问题是指与路程、速度、时间这三个量有关的应用问题.在列出一元一次方程解这类应用题时,我们常用的公式是:路程=速度×时间;速度=路程÷时间;时间=路程÷速度.
当考虑两人或两个物体运动时,就有“相向”、“同向”、“背向”这三种情况.“相向而行”是指两者面对面地行进,其距离越来越近;“同向而行”是指两者的运动方向相同;“背向而行”是指两者背对背行进。如果两人或两个物体相向而行,到一定时间就会相遇;相遇后仍按原方向行进,就会变成背向而行。总之,相向而行与背向而行,其运动方向都是
?方向相同?同向?相反的,所以我们可作如下分类:两人(物体)运动??相向,如果运动路线不
方向相反???背向?是直线,而是一个圆圈(比如我们在操场上进行环形赛跑),情况就要复杂一些.这时两人(或
物体)如果面对面跑,那么也就是背对背跑,这两人(或物体)的距离会有“增加——减少——增加——减少——增加……”的现象;如果不是面对面跑,而是同向跑,那么速度快的,就会比速度慢的先多跑1圈,然后多跑2圈,3圈,…….这两人(或物体)的距离也会有“增加——减少——增加——减少——增加……”的现象.对于这些情况,只要到操场上试一试或在纸上画幅图分析一下,就可以明白.
在行程问题中还有一类顺逆航行的问题.如果航行的工具是轮船,那么常用的相等关系是:顺水速度=静水速度+水流速度;逆水速度=静水速度-水流速度.
如果航行的工具是飞机,那么常用的相等关系是:顺风速度=无风时飞机速度+风速;逆风速度=无风时飞机速度-风速.
例1 一条环形跑道长400米.甲练习骑自行车,平均每分钟行驶550米;乙练习长跑,平均每分钟跑250米.两人同时、同地、同向出发,经过多少时间,两人首次相遇?
分析 本题是行程问题的追及问题.它有两个相等关系:甲的路程-乙的路程=环形跑道-圆的周长;甲用的时间=乙用的时间.
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