2013届高三江苏专版数学一轮复习课时作业(16)导数与函数的综合问题

课时作业(十六) [第16讲 导数与函数的综合问题]

[时间：45分钟 分值：100分]

基础热身

4

1．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是________．

33

2．若函数y＝x＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是________． 3．方程2x3＋7＝6x2在(0,2)内的实根个数为________．

4．下列不等式在(0，＋∞)上恒成立的是________．(填序号) ①lnx>x；②sinx>x；③tanx>x；④ex>x＋1. 能力提升

5．当x≠0时，a＝ex，b＝1＋x，则a，b的大小关系是________． 6．方程x3－6x2＋9x－4＝0的实根的个数为________．

7．以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是________．

图K16－1 8．若函数y＝e＋mx有极值，则实数m的取值范围是________．

9．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是________． 10．[2011·镇江统考] 已知函数f(x)＝lnx＋2x，若f(x2＋2)

1

11．[2011·南通模拟] 已知函数g(x)＝＋lnx在[1，＋∞)上为增函数，且θ∈(0，π)，则θ的值为

sinθ·x

________．

12．[2011·海安检测] 已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(－∞，0)时不等式f(x)＋

11?

xf′(x)<0成立，若a＝30.3·f(30.3)，b＝logπ3·f(logπ3)，c＝log3·f?log39? ?，则a，b，c的大小关系是________．9

19

13．(8分)已知函数f(x)＝x4＋x3－x2＋cx有三个极值点．证明：－27

42

alnxb

14．(8分)已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0.

x＋1x

(1)求a，b的值；

lnx

(2)证明：当x>0且x≠1时，f(x)>. x－1

x

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15．(12分)[2012·苏南联考] 已知函数f(x)＝ln

x＋1

. x－1

x＋1

(1)求函数的定义域，并证明f(x)＝ln在定义域上是奇函数；

x－1

m

(2)若x∈[2,6]，f(x)>ln恒成立，求实数m的取值范围．

?x－1??7－x?

22

16．(12分)已知函数f(x)＝x－8lnx，g(x)＝－x＋14x. (1)求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)若函数f(x)与g(x)在区间(a，a＋1)上均为增函数，求a的取值范围； (3)若方程f(x)＝g(x)＋m有惟一解，试求实数m的值．

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课时作业(十六)

【基础热身】

1．(0，＋∞) [解析] y′＝－4x2＋b，函数有三个单调区间，即y′值有正、有负，则b>0. 1232?2.??3，＋∞? [解析] y′＝3x＋2x＋m，因为函数y＝x＋x＋mx＋1是R上的单调函数，故Δ＝4－

1

4×3m≤0，从而m≥. 3

3．1 [解析] 设f(x)＝2x3－6x2＋7，则f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)， 因为x∈(0,2)，所以有f′(x)<0，所以f(x)在(0,2)内单调递减， 又f(0)＝7>0，f(2)＝－1<0，

所以在(0,2)内存在惟一的x0，使f(x0)＝0，

因此，方程2x3＋7＝6x2在(0,2)内的实根个数为1.

1－cos2x1

4．③④ [解析] 当x＝1时，①，②不成立；对于③，设f(x)＝tanx－x，则f′(x)＝2－1＝

cosxcos2x

sin2x

＝2≥0，因此f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(x)min>f(0)＝0，符合题意；对于④，令f(x)＝ex－x－1，f′(x)cosx

＝ex－1，在(0，＋∞)上f(x)是增函数，故f(x)min>f(0)＝0，符合题意．

【能力提升】

5．a>b [解析] 设y＝ex－1－x，∴y′＝ex－1，∴x>0时，函数y＝ex－1－x是递增的；x<0时， 函数y＝ex－1－x是递减的，∴x＝0时，y有最小值0.故x≠0时，y>0，即a>b. 6．2 [解析] 令f(x)＝x3－6x2＋9x－4，则f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)． 由f′(x)>0得x>3或x<1；由f′(x)<0得1

∴f(x)的单调增区间为(3，＋∞)，(－∞，1)，单调减区间为(1,3)，∴f(x)在x＝1处取极大值，在x＝3处取极小值，

又∵f(1)＝0，f(3)＝－4<0，∴函数f(x)的图象与x轴有两个交点，即方程x3－6x2＋9x－4＝0有两个实根．

7．③④ [解析] 导函数的图象为抛物线，其变号零点为函数的极值点，因此③、④不正确． 8．m<0 [解析] y′＝ex＋m，由条件知ex＋m＝0有实数解，∴m＝－ex<0.

9．－20且－2＋a<0，因此－2

1

10．(1,2) [解析] 由f(x)＝lnx＋2x?f′(x)＝＋2xln2>0(x∈(0，＋∞))，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递

x

22

增，又f(x＋2)

sinθ·x－1π11

11. [解析] 由题意，g′(x)＝－≥0. 2＋≥0在[1，＋∞)上恒成立，即2sinθ·xxsinθ·x2∵θ∈(0，π)，∴sinθ>0.故sinθ·x－1≥0在[1，＋∞)上恒成立，

π

只需sinθ·1－1≥0，即sinθ≥1，只有sinθ＝1.结合θ∈(0，π)，得θ＝.

2

12．c>a>b [解析] 令g(x)＝xf(x)，则由于f(x)是R上的奇函数，所以g(x)为R上的偶函数，又当x∈(－∞，0)时不等式f(x)＋xf′(x)<0成立，即g′(x)＝f(x)＋xf′(x)<0，故当x∈(－∞，0)时，g(x)单调递减，从而g(x)在(0，＋∞)上单调递增．

1

又由于2>30.3>1，logπ3∈(0,1)，log3＝－2，所以g(－2)＝g(2)>g(30.3)>g(logπ3)，即c>a>b.

919

13．[解答] 证明：因为函数f(x)＝x4＋x3－x2＋cx有三个极值点，

42

所以f′(x)＝x3＋3x2－9x＋c＝0有三个互异的实根． 设g(x)＝x3＋3x2－9x＋c，

则g′(x)＝3x2＋6x－9＝3(x＋3)(x－1)，

当x<－3时，g′(x)>0，g(x)在(－∞，－3)上为增函数； 当－31时，g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)上为增函数．

所以函数g(x)在x＝－3时取极大值，在x＝1时取极小值． 因为g(x)＝0有三个不同实根，所以g(－3)>0且g(1)<0. 即－27＋27＋27＋c>0且1＋3－9＋c<0，

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解得c>－27且c<5，故－27

x＋1

f?1?＝1，a?－lnx????x?b

14．[解答] (1)∵f′(x)＝－2，由题意知：?1x?x＋1?2f′?1?＝－，?2?∴a＝b＝1.

lnx1(2)证明：由(1)知f(x)＝＋，

x＋1x

x2－1?lnx1?所以f(x)－＝. 2lnx－

x?x－11－x2?

x2－1－?x－1?2

设h(x)＝2lnx－(x>0)，则h′(x)＝. xx2当x≠1时，h′(x)<0，而h(1)＝0，

b＝1，??即?a 1

－b＝－，?2?2

1

故当x∈(0,1)时，h(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0.得h(x)>0，

1－x2lnxlnx

从而，当x>0且x≠1时，f(x)－>0，即f(x)>. x－1x－1

x＋1

15．[解答] (1)由>0，解得x<－1或x>1，

x－1

∴函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，

－x＋1x－1?x＋1?－1＝－lnx＋1＝－f(x)，

f(－x)＝ln＝ln＝ln??－x－1x＋1x－1?x－1?

x＋1

∴f(x)＝ln在定义域上是奇函数．

x－1

m

(2)由x∈[2,6]时，f(x)>ln恒成立，

?x－1??7－x?

x＋1m∴>>0，x∈[2,6]， x－1?x－1??7－x?

∴0

令g(x)＝(x＋1)(7－x)＝－x2＋6x＋7，x∈[2,6]， 令g′(x)≥0，即－2x＋6≥0，得x≤3； 令g′(x)<0，即－2x＋6<0，得x>3.

故x∈[2,3]时函数单调递增，x∈[3,6]时函数单调递减， x∈[2,6]时，g(x)min＝g(6)＝7， ∴0

8

16．[解答] (1)因为f′(x)＝2x－，所以切线的斜率k＝f′(1)＝－6，

x

又f(1)＝1，故所求切线方程为y－1＝－6(x－1)，即y＝－6x＋7.

2?x＋2??x－2?

(2)因为f′(x)＝，又x>0，所以

x

当x>2时，f′(x)>0； 当0

即f(x)在(2，＋∞)上递增，在(0,2)上递减，

又g(x)＝－(x－7)2＋49，所以g(x)在(－∞，7)上递增，在(7，＋∞)上递减，

??a≥2，

欲f(x)与g(x)在区间(a，a＋1)上均为增函数，则?解得2≤a≤6.

?a＋1≤7，?

2

(3)原方程等价于2x－8lnx－14x＝m，令h(x)＝2x2－8lnx－14x，则原方程即为h(x)＝m.

因为当x>0时原方程有惟一解，所以函数y＝h(x)与y＝m的图象在y轴右侧有惟一的交点．

2?x－4??2x＋1?8

又h′(x)＝4x－－14＝，且x>0，所以当x>4时，h′(x)>0；当0

xx

即h(x)在(4，＋∞)上递增，在(0,4)上递减．

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故h(x)在x＝4处取得最小值，

从而当x>0时原方程有惟一解的充要条件是m＝h(4)＝－16ln2－24.

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