支付已知收益率资产远期合约的定价

支付已知收益率资产远期合约的定价

一、支付已知收益率资产远期合约定价的一般方法

支付已知收益率的资产是指在到期前将产生与该资产现货价格成一定比率的收益的资产。外汇是这类资产的典型代表，其收益率就是该外汇发行国的无风险利率。股价指数也可近似地看作是支付已知收益率的资产。因为虽然各种股票的红利率是可变的，但作为反映市场整体水平的股价指数，其红利率是较易预测的。远期利率协议和远期外汇综合协议也可看作是支付已知收益率资产的远期合约。

构造组合：

为了给出支付已知收益率资产的远期定价，可以构建如下两个组合： 组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为Ke-r组合B：e-q

（T－t）（T－t）的现金；

单位证券并且所有收入都再投资于该证券，其中q为该资产按连续复利

计算的已知收益率。

组合A在T时刻的价值等于一单位标的证券。组合B拥有的证券数量则随着获得红利的增加而增加，在时刻T，正好拥有一单位标的证券。因此在t时刻两者的价值也应相等，即：

f?Ke?r(T?t)?Se?q(T?t)

f?Se?q(T?t)?Ke?r(T?t) （1）

公式（1）表明，支付已知红利率资产的远期合约多头价值等于e-q(T-t)单位证券的现值与交割价现值之差。或者说，一单位支付已知红利率资产的远期合约多头可由e-q的资产和Ke-r

（T－t）（T－t）单位标

单位无风险负债构成。

根据远期价格的定义，可根据公式（1）算出支付已知收益率资产的远期价格：

F?Se(r?q)(T?t) （2）

这就是支付已知红利率资产的现货-远期平价公式。公式（2）表明，支付已知收益率资产的远期价格等于按无风险利率与已知收益率之差计算的现货价格在T时刻的终值。

例：假设S&P500指数现在的点数为1000点，该指数所含股票的红利收益率预计为每年5%（连续复利），连续复利的无风险利率为10%，3个月期S&P500指数期货的市价为1080点，求该期货的合约价值和期货的理论价格。

根据公式（1），可得：

f?(1000e?0?05?0?25?1080e?0?1?0?25)??65?75

由于S&P500指数合约规模为指数乘以500，因此一份该合约价值为-65.75?500=-32877美元。

根据公式（2），可求出S&P500指数期货的理论价格：

F?1000e(0?1?0?5)?0?25?1012?58

二、外汇远期和期货的定价

外汇属于支付已知收益率的资产，其收益率是该外汇发行国连续复利的无风险利率，用rf表示。

用S表示以本币表示的一单位外汇的即期价格，K表示远期合约中约定的以本币表示的一单位外汇的交割价格，即S、K均为用直接标价法表示的外汇的汇率。根据公式（1），可以得出外汇远期合约的价值：

f?Se?rf(T?t)?Ke?r(T?t) （3）

根据公式（2），可得到外汇远期和期货价格的确定公式：

F?Se(r?rf)(T?t) （4）

这就是国际金融领域著名的利率平价关系。

若外汇的利率大于本国利率(rf?r)，则该外汇的远期和期货汇率应小于现货汇率； 若外汇的利率小于本国的利率(rf?r)，则该外汇的远期和期货汇率应大于现货汇率。 三、远期利率协议的定价

由于远期利率协议是空方承诺在未来的某个时刻（T时刻）将一定数额的名义本金（A）按约定的合同利率（rK）在一定的期限（T*-T）贷给多方的远期协议，本金A在借贷期间会产生固定的收益率r ，因此其属于支付已知收益率资产的远期合约。远期利率协议（Forward Rate Agreement, FRA）的定价可以用更直截了当的方式。远期利率协议多方（即借入名义本金的一方）的现金流为：

T时刻：A T*时刻：?AeKr(T*?T)

这些现金流的现值即为远期利率协议多头的价值。为此，要先将T*时刻的现金流用T*-T期限的远期利率(r)贴现到T时刻，再贴现到现在时刻t，即：

^f?Ae?r(T?t)?AerK(T*?T)?e?r(T*?T)??e?r(T?t)

?Ae

?r(T?t)???(rK?r)(T*?T)???1?e???? （5）

这里的远期价格就是合同利率。根据远期价格的定义，远期利率就是使远期合约价值为0的协议价格（在这里为rK）。

因此理论上的远期利率（rF）应等于：

rF?r （6）

?r*T*?t?r?T?t?r?T*?T

???得：

r*T*?t?r?T?t?rF?T*?T （7）

例:假设2年期即期年利率（连续复利，下同）为10.5%，3年期即期年利率为11%，本金为100万美元的2年?3年远期利率协议的合同利率为11%，请问该远期利率协议的价值和理论上的合同利率等于多少?

该合约理论上的合同利率为：

??rF?r???0?11?3?0?105?2?12?0%3?2

?1?e（rk-r)(T*?T)????，该合约价值为： 根据?F?100万?e?0?105?2?[1?e(0?11?0?12)(3?2)]?8065?31美元

四、远期外汇综合协议的定价

根据定义，远期外汇综合协议是指双方在现在时刻（t时刻）约定买方在结算日（T时刻）按照合同中规定的结算日直接远期汇率（K）用第二货币向卖方买入一定名义金额（A）的原货币，然后在到期日（T*时刻）再按合同中规定的到期日直接远期汇率（K*）把一定名义金额（在这里假定也为A）的原货币出售给卖方的协议。在这里，所有的汇率均指用第二货币表示的一单位原货币的汇率。为论述方便，把原货币简称为外币，把第二货币简称为本币。

根据该协议，多头的现金流为： T时刻：A单位外币减AK本币 T*时刻：AK*本币减A单位外币

这些现金流的现值即为远期外汇综合协议多头的价值（f）。为此，要先将本币和外币分别按相应期限的本币和外币无风险利率贴现成现值，再将外币现金流现值按t时刻的汇率（S）折成本币。令rf代表在T时刻到期的外币即期利率，r*f代表在T*时刻到期的外币即期利率，则：

f?ASe?rf(T?t)?AKe?r(T?t)?AK*e?r(T?K]?Ae?r***?t)?ASe?rf*(T*?t)

f?Ae?r(T?t)[Se(r?rf)(T?t)(T*?t)[K?Se*(r*?rf*)(T*?t)] （7）

由于远期汇率就是合约价值为零的协议价格（这里为K和K*），因此T时刻交割的理

论远期汇率（F）和T*时刻交割的理论远期汇率（F*）分别为：

F?Se*(r?rf)(T?t) （8） （9）

F?Se得：

*(r*?rf)(T*?t)f?Ae?r(T?t)(F?K)?Ae?r*(T*?t）(K*?F*) （10）

有的远期外汇综合协议直接用远期差价规定买卖原货币时所用的汇率，用W*表示T时刻到T*时刻的远期差价。根据远期差价的定义，有W*=F*-F。可以得到：

W?Se*(r?rf)(T?t)?Se(r*?rf*)(T*?t)

W?Se?*(r?rf)(T?t)[e(r?rf)(T*?T)???1] （11）

其中，r和rf分别表示T时间到T*时刻本币和外币的远期利率。用W表示t时刻到T时刻的远期差价，可以得到：

W=F-S

?W?S[e(r?rf)(T?t)?1] （12）

例：假设美国2年期即期年利率（连续复利，下同）为8%，3年期即期年利率为8.5%，日本2年期即期利率为6%，3年期即期利率为6.5%，日元对美元的即期汇率为0.0083美元/日元。本金1亿日元的2年?3年远期外汇综合协议的2年合同远期汇率为0.0089美元/日元，3年合同远期汇率为0.0092美元/日元，请问该合约的多头价值、理论上的远期汇率和远期差价等于多少？

2年期理论远期汇率（F）为：

F?0?0083?e(0?08?0?06)?2?0?0086美元/日元

3年期理论远期汇率（F*）为：

F*?0?0083e(0?085?0?065)?3?0?0088美元/日元

2年?3年理论远期差价（W*）为：

W*?F*?F?0?0002美元/日元

2年期理论远期差价（W）为：

W?F?S?0?0086?0?0083?0?0003美元/日元

该远期外汇综合协议多头价值（f）为：

??9,469美元f?1亿?e?0?008?2??0?0086?0?0089??1亿?e?0?0085?3??0?0092?0?0088

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