2011年全国初中数学联赛四川初赛试题(初三组)参考答案及评分细则

2011年全国初中数学联赛四川初赛试题参考解答及评分细则——第 1 页（共 2 页） 2011年全国初中数学联赛四川初赛试题

参考答案及评分细则

一、选择题（本大题共6个小题，每小题7分，共42分）

1、D

2、C

3、B

4、B

5、C

6、A

二、填空题（本大题共4个小题，每小题7分，共28分） 1、4 2、6

7 3、2 4、 65 三、（本大题满分20分）

已知抛物线()02

a c bx ax y ++=与直线()412

k x k y --=．无论k 取任何实数，此抛物线与直线都只有一个公共点，求抛物线的解析式。

解：联立()??

???--=++=4122k x k y c bx ax y ，消y 得()0422=+++-+k k c x k b ax （5分） 由条件知()()()04421442222=-++--=???

? ??++--=?ac b k a b k a k k c a k b 对任何的实数k 恒成立（10分）

则??

???=-=+=-04042012ac b a b a （15分）

解得1=a ，2-=b ，1=c

故所求抛物线的解析式为122+-=x x y ．（20分）

四、（本大题满分25分）

如图，ABC ?与ADE ?都是等腰直角三角形，其中 90=∠=∠DAE BAC ，点M 是线段BE 的中点，求证：DC AM ⊥．

证明：如图，延长AM 至F ，使得MF AM = 连结FB ，FE ，设AF 交CD 于N ，AC 交EF 于G ． ∵ME BM =，MF AM =

∴四边形ABFE 为平行四边形（5分）

∴EF AB //，且EF AB =

∴

90=∠=∠BAC AGE （10分）

∴CAD EAG AEG EAG ∠+∠==∠+∠ 90

∴CAD AEG ∠=∠，即DAC AEF ∠=∠（15分） 又∵ABC ?与ADE ?都是等腰直角三角形

∴AC AB EF ==，DA AE =

2011年全国初中数学联赛四川初赛试题参考解答及评分细则——第 2 页（共 2 页） ∴DAC AEF ???（SAS ）（20分） ∴ADC EAF ∠=∠

∴ 90=∠+∠=∠+∠DABN EAN DAN ADN ， ∴ 90=∠AND ，即DC AM ⊥． （25分）

五、（本大题满分25分）

已知a 为实数，若关于x 的方程01

43||214442=-+-+a x x x x 有实数解，求实数a 的取值范围。 解：令14|

|4+=x x t ，显然0≥t ，当0=x 时0=t

又由于24414x x ≥+，故2114|

|4≤

+x x ，等号在22±=x 时取到，即21≤t 所以2

10≤≤t （5分） 原问题变为关于t 的方程0322=--a t t 在2

10≤≤t 时有实数解 因为9131322

2-??? ??-=-=t t t a （10分） 于是当3

1=t 时，a 有最小值91- （15分） 又因为0=t 时，0=a ，当21=t 时，12

1-=a ，所以a 有最大值121- （20分） 综上所述，实数a 的取值范围为12191-≤≤-

a （25分）

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