数学人教版九年级上册一元二次方程的根与系数的关系教案

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系

一、内容和内容解析

1.内容

一元二次方程根与系数的关系

2.内容解析

一元二次方程根与系数的关系是一元二次方程中一种重要的关系，利用这一关系

可以解决很多问题，同时在高中数学的学习中有着更加广泛的应用。实际上，一元n次方程的根与系数之间也存在着确定的数量关系。

?b?b2?4ac 一元二次方程ax?bx?c?0的求根公式x?，反映了方程的

2a2根是由系数a,b,c 所决定的，从一方面反映了根与系数之间的联系；而本节课中的

x1?x2??cb, x1x2?是从另一方面更简洁的反映了一元二次方程的根与系

aa数之间的关系，即通常所说的一元二次方程的根与系数之间的关系.

本节课从思考一元二次方程的根与方程中的系数之间的关系开始，由特殊到一

般，先让学生思考二次项系数为1的情形，然后再思考并证明一般形式时根与系数 的关系。本节课为选学内容，所以在利用根系关系解决问题时需酌情控制难度。

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：一元二次方程的根与系数的关系的探

索及简单应用。

二、目标和目标解析

1.目标

（1）知识与技能：了解一元二次方程的根与系数之间的关系，能进行简单应用。 （2）过程与方法： 在一元二次方程的根与系数的关系的探究过程中，感受由特殊到一

般地认知规律。

（3）情感态度与价值观：感受数学的严谨性和数学结论的确定性，提高运算能力，获

得成功的体验，建立自信心。

2.目标解析

达成目标（1）的标志是：学生知道一元二次方程的根与系数的关系，并利用根与系

数关系求出两根之和，两根之积。

达成目标（2）的标志是：学生能够借助问题的引导，发现、归纳并证明一元二次方

程的根与系数的关系。

达成目标（3）的标志是：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极

学习数学的态度。在观察、归纳、类比、计算与交流活动中，感受数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。

三．教学问题诊断分析

一元二次方程的根与系数的关系是在学生已经学习了一元二次方程解法基础上，对一元二次方程的根与系数之间的关系进行再探究。如果让学生思考ax?bx?c?02?b?b2?4ac的两个根与系数之间有怎样的关系，学生会回答出求根公式x?，而不

2a会想到两根之和、两根之积与系数之间的关系。因此，教师要利用本节课的探究一，引导学生从直观入手得到两根之和、两根之积与系数之间关系的猜想，进而由特殊到一般地探索一元二次方程根与系数的关系。

另外，在计算两根之积时，能否观察出式子中具有平方差公式的结构，并运用平方差公式正确进行计算，也是一部分学生的难点。

基于以上分析，本节课的教学难点是：发现一元二次方程根与系数的关系。 四、教学支持条件分析

利用幻灯片，展示学习内容，学案配合完成教学任务。

五、教学过程设计

1. 复习一元二次方程一般形式及求根公式

问题1 ： 一元二次方程的根与方程中的系数之间有怎样的关系？ 师生活动：学生回顾一元二次方程的一般形式及求根公式。 设计意图：复习一元二次方程的一般形式及求根公式，使学生进一步感受求根公式是

方程的根与系数之间的一种关系，并为本节课根系关系的推导做准备。 2.猜想二次项系数为1时，根与系数的关系（探究一）

问题2 :由因式分解法可知，你能看出方程(x?x1)(x?x2)?0的两根分别是什

么？你能将方程化成x2?px?q?0的形式吗？你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？

师生活动：学生独立思考，得出方程的两根为x1,x2，通过将(x?x1)(x?x2)?0的

左边展开，化为一般形式，得到方程x?(x1?x2)x?x1x2?0。这个方程的二次项系数为1，一次项系数p??(x1?x2)，常数项q?x1x2。学生独立观察并讨论后，发现两根之和x1?x2??p，两根之积x1x2?q。

设计意图：通过教师引导和点拨，让学生在二次项系数为1的方程中发现一元二次方程根与系数的关系。

练习1. 不解方程请直接说出下列方程的两根和与两根积。 (1)x?2x?3?0 (2)x?7x?8?0

2 2.若方程x?px?q?0的两个根为?3和?4，则p?___q?___

222师生活动：由学生独立思考，口答计算结果，集体评价，同学补充。

设计意图：通过计算，让学生熟练掌握当二次项系数为1时，根与系数的关系。

3.猜想、验证一元二次方程根与系数的关系（探究二）

问题3 :一元二次方程ax?bx?c?0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？请同学们填写下表，并猜想出一元二次方程根与系数的关系。

2

方程 两个根 两根之和 两根之积 a与b之间的关系 a与c之间的关系 x1?x2 x1x2 ?x1 x2 b a c ax?3x?4?0 2 3x2?5x?2?0 2x2?3x?1?0

师生活动：让学生独立完成计算，然后学生分小组进行讨论、交流、探究，教师巡视指 导。学生独立观察并讨论后，发现x1?x2??cbxx?，12。

aa设计意图：通过教师的引导与点拨，让学生在几个特殊的方程中发现一元二次方程根与

系数的关系。

教师追问1：这种关系是这几个方程所特有的还是对于任意的一元二次方程

ax2?bx?c?0(a?0)都适合呢？

教师追问2：如何证明这两者的关系呢？ 师生活动：让学生分小组进行讨论、交流、探究，教师巡视指导。由学生板演推导过程： 设x1,x2是方程ax2?bx?c?0(a?0)的两个根，所以

?b?b2?4ac?b?b2?4acx1?x2?

2a2a

?b?b2?4ac?b?b2?4ac?b?b2?4ac?b?b2?4acx1?x2??? x1x2?

2a2a2a2a?b?b2?4ac?b?b2?4ac ?2a

b2?(b2?4ac)?4a2

??2b4ac?2a 4a2 bc?a a

?? 从而得出一元二次方程的两个根

x1,x2和系数a,b,c有如下关系：

bc x1?x2?? x1x2?

aa 设计意图：通过讨论，让学生经历有特殊到一般的探究过程，明确一元二次方程的根

与系数关系。

教师追问3：通过探究一和探究二的证明我们是否得出根与系数之间关系在不同方程

中有不同的结论？

师生活动：教师提出问题，学生思考交流后发表观点，探究一的结论只是当二次项系

数为1时，是探究二的一种特殊情况。

设计意图：通过探究，让学生进一步体会由特殊到一般地认知规律，更加明确一元二

次方程根与系数的关系。

教师追问4：判断下面3道题运用是否正确？在运用根与系数的关系时应注意什么？

(1)x2?2x?1 x1?x2??2 x1x2?1

(2)2x2?3x?1?0 x1?x2?31xx?122 2

2(3)x?x?1?0 x1?x2??1 x1x2?1

师生活动：教师提出问题，学生思考，交流后发表观点，教师引导学生总结得到： ⑴不是一般式的要先化成一般式 ⑵在使用 x1?x2??b时， 注意“－ ”不要漏写。 a 注：能用公式的前提条件为??b2?4ac?0

设计意图：通过思考、交流，让学生体会运用根与系数关系应注意的地方，培养学生

归纳概括能力。

4.练习、巩固根与系数的关系，并会简单应用。

例1：不解方程求下列方程的两根和与两根积

(1)x?2x?1?0 (2)x?3x?1?0 (3)3x?2x?2 (4)3x?2?1?4x (5)2x?6x?0 (6)3x?1 师生活动：学生独立回答问题，集体评价，同学补充。 设计意图：加强对一元二次方程根与系数关系的认识，并进一步熟悉根与系数关系的

应用。 例2.方程2x?3x?1?0的两根记作

222222222x1和x2，不解方程，求x1?x2的值。

师生活动：教师引导学生规范解题步骤，和学生一起总结解题方法，深入体会整体代

入法。

设计意图：让学生进一步巩固对一元二次方程根与系数关系的认识。

练习1.方程x?3x?1?0的两根记作x1和x2，不解方程，求下列各式的值。

2 (1)1122 (2)x1?x2?x2x1 (3)(x1?1)(x2?1)

x1x2 师生活动:三名学生板书，其他学生在学案上完成，教师巡视、指导，然后小组交流，

并评价。

设计意图：学生在经历分析、观察、类比、归纳、概括的认知过程时，感受整体带入法

在数学中的应用，同时学生良好思维品质得到提升，加深了运用根与系数关系的灵活性，提高了学生分析问题、解决问题的能力。

例3.当m取何值时，方程x?mx?m?1?0分别适合下列条件：

（1）两根之和等于2 （2）两根互为倒数 （3）两根互为相反数 (4）有一个根为0

师生活动：教师出示问题，学生独立思考、解答、展示，集体评价。 设计意图：逆用一元二次方程根与系数的关系，加深对一元二次方程根与系数关系的认

识。

25.课堂小结

教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：

) (1)一元二次方程根与系数的关系是什么？ ) (2)我们是如何得到根与系数关系的？ ) (3)我们学习根与系数关系的哪些应用？

师生活动：教师请学生回顾本节课所学内容，学生思考交流后，教师与学生共同总结本

节课重点内容。这一过程，教师应重点关注：①学生是否掌握一元二次方程根与系数的关系；②学生能否运用一元二次方程根与系数的关系解决问题。

设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，把握本节课的核心，培养学生概括

能力，并体验数学活动充满着探索性与创造性。小结过程中，不同学生会有不同的体会，要尊重学生的个体差异，激发学生主动参与意识，为每个学生都创造数学活动中获得活动经验的机会。

6.布置作业

必做题：课本17页第7题 选做题：若方程

2x(x?3)?1的两根分别为x1,x2，则

x2x1??___x1_?x,2?__。_ _x1x2六、目标检测设计

1.一元二次方程x2?5x?6?0的两根之和是（ ）。

A. 5 B. 6 C. -5 D. -6 2.一元二次方程3x?2x?1的两根之积是（ ）。

2 A.

21 B. ? C. 1 D. 2 33 3.若方程x?4x?1?0的两个根是x1,x2，则

22222=____,x1=____。 ??x2x1x24.当m取何值时，方程x2?(m?2)x?2m?1?0的两根分别适合下列条件： （1）两根之和等于1 （2）两根之积为3

师生活动：学生独立完成，教师巡视观察学生的解答情况，了解学生本节课的知识掌握

情况，发现问题重点讲解，学生完成后，集体评价。

设计意图：教师对学生本节课学习效果的评价，既要关注学生对一元二次方程根与系数

关系的理解和掌握，又要关注他们情感态度与价值观的形成与发展；既要关注学生学习的结果，又要关注他们在学习过程中的变化与发展。

七．板书设计

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 22的值 x1?x2二、例题不解方程求根与系数的关系：x1?x2??b a 三、学生练习区 c x1x2?a根与系数关系的证明：

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