第六章：点的运动学

第六章

点的运动学

一、要求

1、能用矢量法建立点的运动方程，求速度和加速度。

2、能熟练地应用直角坐标法建立点的运动方程，求轨迹、速度和加速度。

3、能熟练地应用自然法求点在平面上作曲线运动时的运动方程、速度和加速度，并正确

理解切向加速度和法向加速度的物理意义。

二、重点、难点

点的曲线运动的直角坐标法，点的运动方程，点的速度和加速度在直角坐标轴上的投影。点的曲线运动的自然法（以在平面内运动为主），点沿已知轨迹的运动方程，点的切向加速度与法向加速度。

三、学习指导

点的运动学是整个运动学的基础。三种方法描述同一点的运动，其结果是一样的。如果将矢量法中的矢量r、v、a用解析式表示，就是坐标法；矢量v、a在自然轴投影，就得出自然法中的速度与加速度。

直角坐标系与自然轴系都是三轴相互垂直的坐标系。直角坐标系是固定在参考系上，可用来确定每一瞬时动点的位置。点沿空间曲线运动有三个运动方程，点沿平面曲线运动有两个运动方程，点沿直线运动有一个运动方程。自然轴系是随动点一起运动的直角轴系（切向轴τ、法向轴n及副法向轴b），因此不能用自然轴系确定动点的位置。自然法以已知轨迹为前提，用弧坐标来建立点的运动方程，以确定动点每一瞬时在轨迹上的位置。

用直角坐标法求速度和加速度是将三个坐标分别对时间取一次和二次导数，得到速

度和加速度在三轴上的投影，然后再求它的大小和方向。用自然法求速度，则将坐标对时间取一次导数，就得到速度的大小和方向。自然法中的加速度物理概念清楚，a?和an分别反映了速度大小和速度方向改变的快慢程度。需注意的是不能将度。只有当an?0时，才有a?dvdtdvdt误认为是动点的全加速

。学员可自行分析，这时点作什么运动。

下面对矢量法、直角坐标法与自然法作一总结和比较：

问题 方法 矢量法 运动方程 速 度 加 速 度 轨 迹 矢径端图 备 注 概念清晰适用于理论推导 r?r(t) a?dxdtdxdtdxdt2vxdvdta?dvdt?drdt???22 2vx?vy?vz? ax?ay?az?dvxdtdvydtdvzdt2dxdt22 2dydt22dzdt2运动方程中消去时间x?f1(t) 直角坐标法 2t得：F1(x,y)?0F2(x,y)?0 y?f2(t) z?f3(t) v??v2y?2vza?ax?ay?azaxaayaazcos(v,x)?cos(v,y)?vxvvyvvz一般常用的计算方法 cos(a,x)?cos(a,y)? cos(v,z)?vcos(a,z)?aa??dvdtv2?dsdt22 对运动轨迹已知时，用此方法比较简单 轨迹的切线； v?dsdt自然法 s?f(t) an?? 已 知 沿轨迹的切线 沿轨迹的主法线，指向曲率中心；v与a?同号时加速，v与a?异号时减速 解题指导

点的运动学问题类型大致有四类：

1、 用坐标法（直角坐标法、自然法等）建立点的运动方程。

对于点的运动轨迹未知，一般选用直角坐标法；对于点的运动轨迹已知，多选用自然法，当然亦可以直角坐标法。具体步骤如下：

（1） 确定研究对象，即确定所要研究的动点（或刚体上一点）。

（2） 根据所选用的方法，选择对应的坐标系，并要明确坐标系是固定在什么物体上。

（3） 确定点运动的开始位置，然后将动点放在任意位置，用某一参量表示点的位置。所

选参量应与时间有关。不能将点放在特殊位置（如初、末位置），因为特定时刻的位置不能代表点的位置随时间变化的函数关系。 （4） 代入时间t找出坐标与时间t的函数关系，就得到动点在空间的几何位置随时间t的

变化关系，亦即动点相对于坐标的运动规律——运动方程。。 2、求点的轨迹方程

先要知道直角坐标表示的点的运动方程（包括题给或自行建立），将方程中的时间t消去，得到动点的空间坐标之间的函数关系，就是动点的轨迹方程。但要注意点的运动轨迹是当t由0到?或到指定的时间T之间，点所经过的路径，它仅是按照数学表达式所画出的曲线上的一部分线段。

3、求点的速度、加速度以及曲率半径

知道运动方程后，根据已知量和需求量，可用数学求导方法，矢量合成法则以及法向加速度公式an?v2?，来求得动点的速度、切向加速度、法向加速度以及全加速度。

对于求点在轨迹上某处的曲率半径，要联合应用直角坐标法与自然法。

注意在求某一特定瞬时（ts）的动点的速度（vs）或加速度（an）时，千万不要用某瞬时的特定坐标值或速度瞬时值对时间求导数，求导后总为零。为了求特定时刻的速度与加速度，应该将运动规律和速度规律对时间求导数得出v和a是t的函数关系，再代入特定的时间（ts），就可以求得vs和as的大小。另外，在求导数时，还要注意数学中的复合函数求导。

4、已知点的加速度或速度，求运动方程

对于已给出动点的加速度或速度方程（包括自行建立的），应用所给定的初始条件，采取数学积分的方法，就可以得到点的运动方程，应该注意，对于不同的初始条件，将得

四、典型例题解析

例题6.1 （填空题）变矢量对自变量的导数是一个（ ），方向沿着（ ）对应点的切线。变矢量的矢导数在任一固定轴上的投影，等于这个矢量（ ）的导数。

解：新的矢量，矢端图，在该轴上的投影。

例题6. 2 已知动点的运动方程为x?50tm，y?500?5t2m，求（1）动点的运动轨迹；（2）当t?0时，动点的切向、法向加速度和轨迹的曲率半径。 解：（1）求动点的运动轨迹

由运动方程中消去时间t，即得到动点的轨迹方程为

x2?250000?500y

可知动点的轨迹为一抛物线。再作进一步分析：根据题意t?0时，x?0,y?500m，即开

y始运动时，动点在抛物线上的点A(0,500)处。以后，当从零增加

A而y的值减小，从而知动点仅在如图（2.1）中实线所示的半抛物线上运动。所以，该动点的轨迹应为半抛物线

2x?250000?500y (x?0)

（2）求t?0时，动点的切向、法向加速度和轨迹的曲率半径 由题中所给动点的运动方程求导得：

.?Ox题6.2图vx?x?50；vy?y??10t （1）

故动点的速度为

v?vx?vy?102225?tm/s2（2）

又由式（1）对时间求导得

ax?vx?0；ay?vy??10

??故动点的加速度

a?ax?ay?10m/s

?222而动点的切向加速度为

a??v?所以动点的法向加速度为

an?轨迹的曲率半径为

??将tv22310t25?t22 （3）

a2?a??5025?t2 （4）

an?2(25?t)2 （5）

?0代入式（3）、（4），求此时动点的切向、法向加速度及曲率半径分别为

a??0， an?10m/s2， ??250m

讨论：

（1）求动点的运动轨迹，由运动方程消去时间t后，应注意再做进一步地分析，以得出轨迹的确切结论。（2）本题有助于读者熟悉直角坐标法表示的动点运动方程、轨迹、速度、加速度之间的关系；熟悉切向加速度、法向加速度、速度、曲率半径之间的关系。

例题6. 3 长方体以等角速度??3.44rad/s绕轴AC转动，转向如图2.3所示，试求点B的速度与加速度。

解：作AC的垂线BD，则有

vB?BD???140mm/s， aB?BD??n2?481.73mm/s

2（本题也可采用直角坐标法求解，学员不妨试试）

???67lyCBD4lO?3lzAx2l题6.3图?kt例题6. 4 火箭在B点处铅直发射，如图2.4所示，?，

?3，求火箭的运动方程，以及在

时，火箭的速度和加速度。

?l解：火箭的运动方程为：xv?dydt?lksec2，y2?ltankt2，速度和加速度为

ykt，a?43dydt22va?2lkseckttankt当??kt?当??kt??6时，v?时，vlk，a?839lk2

??3?4lk，a?83lk2

BO

题6.4图

例题6. 5 自行车B沿近似用抛物线方程y?Cx2（其中C?0.01m?1)描述的轨道向下运动，如图2.5所示，当至点A（xA?20m，yA?4m）时，vB?8m/s，

BdvBdt?4m/s2x，试求该瞬时

的加速度大小。假设可将车-人系统看成点。

解：由抛物线方程y?Cx2可求得当至点A时的曲率半径为 3（1?y)2???62.47m''y'2，由vB?8m/s，

?2vBBaB??dvBdt?4m/s2n，aB??1.0245m/s2

Oy?Cx2AyA2n22由a?(a??4.13m/s B)?(aB)

xA

题6.5图

例题6. 6 小环M同时套在细杆OA和半径为r的固定大圆圈上，如图2.6所示，细杆OA绕大圆圈上的固定点O转动，它与水平直径的夹角???t，其中?为常数。试求小环M的运动方程，以及它的速度和加速度。

解：采用弧坐标法求解，取小环初瞬时的位置M0为弧坐标s的原点，小环M的运动方向为弧坐标s的正向，则小环M的弧坐标为

s?M0M?r?2??2r?t （1）

此即小环M弧坐标形式的运动方程。 小环M的速度大小为

v?s?2r? （2）

其方向沿轨迹切向并指向运动前进一方。由上式可知v为常数，这表明M沿大圆圈做匀速圆周运动。小环M的切向与发向加速度分别为

a??v?0；an???v2r?4r?2 （3）

故小环M的加速度大小为

a?an?a??an?4r? （4）

222其方向沿MO1而指向圆心O1

讨论：

（1）本题也可采用直角坐标法求解，取如图（2）所示固定直角坐标系Oxy，则小环M的直角坐标为 将?x?OM?cos??2rcos??r?rcos2?y?OM?sin??2rsin?cos??rsin2?2（5）

??t代入上式，即得小环M在直角坐标系中的运动方程为

x?r(1?cos2?t) （6）

y?rsin2?t

上式对时间求一阶导数得

?vx?x??2r? sin2?t? （7）

vy?y??2r?cos2?t

所以，小环M的速度大小和坐标轴夹角的方向余弦分别为

v?vx?vy?2r?22

（8）

cos(v,x)?vxv??sin2?t??sin2? vycos(v,y)??cos2?t?cos2?

v

再将（7）式对时间求一阶导数得

? 2ax?vx??4r?cos2?t （9） ?2a?v??4r?sin2?tyy

故小环M的加速度大小和方向余弦分别为

a?ax?ay?4r?222

cos(a,x)?cos(a,y)?ax aay

a ??cos2?t??sin2?t（10）

（2）本题也可采用极坐标法求解，以O点为极点，x轴为极轴，则小环M的极坐标形式的运动方程为：

??OM?2rcos??2rcos?t （11）(a)

???t （11）(b)

所以小环M的径向和横向速度分别为

v??d?dt??2r?sin?t （12）(a) d?dt?2r?cos?t （12）(b)

v???故小环M的速度大小和方向分别为：

v?v??v??2r?

v?v???ctg?

22tg(v,?)?即角?(v,?)?900??0，又由（11）式可得小环M的径向与横向加速度分别为

a??d?dt222??(?2d?dt)2??4r?2cos?t （13）(a)

2a???d?dt2d?d????4r?dtdt222sin?t （13）(b)

故小环M的加速度大小和方向分别为

a?tg(a,?)?a?a?a??a??4r? ?tg?；?(a,?)?1800??0

（3）比较以上三种解法可见，在动点运动轨迹已知的情况下，利用弧坐标法求解不仅方便，而且速度、加速度的方向容易确定。如果点的运动轨迹未知，则一般选用直角坐标法求解。

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