直线的倾斜角和斜率

数学说课教案

直线的倾斜角和斜率

一 、教材结构与内容分析

直线的倾斜角与斜率是高二数学教材第二册（上）第七章第一节的内容，是在学生已经掌握了函数的图像和三角以及向量的知识后学习的。它是解析几何的第一课时，可以让学生认识到数形结合这种数学思想方法的重要性，同时为进一步学习直线的方程做知识铺垫。

二、教学目标

1．基础知识目标：使学生了解直线的方程和方程的直线概念，理解直线的倾斜角和斜率的概念。

2．能力训练目标：培养学生观察、归纳、联想等发现规律的一般方法，并初步了解数形结合的数学思想。

3．情感目标：让学生在民主、和谐的共同活动中感受学习的乐趣，师生共同构建和谐课堂。

三、教学重点、难点和关键

1．教学重点：直线的倾斜角和斜率的概念。 2．教学难点：斜率概念的学习。 3．关键：正确理解斜率的概念。 四、教法和学法

为了体现以学生发展为本，体现循序渐进与启发式的教学原则，我进行了这样的教法设计：在教师的引导下，创设情境，确立学生的课堂主体地位，通过一系列问题的设置来启发学生思考，在思考中体会数学概念形成过程中所蕴含的数学思想方法，同时辅以多媒体手段，结合师生共同讨论，培养学生观察、讨论、归纳等学习数学的方法。

五、教学过程设计

（一）创设情境，引入主题

用一个二元一次方程引入，引导学生理解二元一次方程的一个解可以用直角坐标系上的一个点来表示，接着把这个方程转化为一次函数的形式，进而指出这个方程的所有解在直角坐标系上组成了一条直线，并给出方程的直线和直线的方程的概念。让学生认识到一个二元一次方程可以在直角坐标系上表示一条直线，并简单说明解析几何的特点，在给出一个圆的方程，激发学生的求知欲。

（二）由形入手，形成概念 设计了一组问题： 1．怎样确定一条直线？ 2．一点能确定一条直线吗？

3．过一已知点P的任何一条直线与x轴的相对位置有哪些可能？（请全体同学动手画

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图体验，并由学生归纳总结出直线与x轴的相对位置的四种情况。）

然后在多媒体上作如下展示：

引导学生一起提出直线的倾斜角概念：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。

（三）讨论归纳，深化概念

1．关键有3点：（1）x轴为始边；（2）逆时针旋转；（3）最小正角。 2．平行于x轴或与x轴重合的直线，我们规定它的倾斜角为0°。 3．倾斜角的取值范围：0°≤ α ＜ 180°。

4．根据倾斜角的定义，坐标平面内的任何一条直线都有惟一的一个倾斜角；反之，直线的倾斜角的大小又确定了直线的方向。

（四）即时训练，巩固新知

练习1：同桌2个同学在直角坐标系中各画一条直线，请对方在你的图上标出倾斜角，并互相批改。

设计这个练习的目的主要是为了吸引全体学生的参与，同时巩固所学的新概念，最后拿几组同学的答案在投影仪上点评。

（五）探索研究，再引斜率

通过刚才的学习巩固，学生已经知道可以用倾斜角刻画直线的方向，但是为什么要再引

α = 90

°

图1

α = 0°

0°＜α ＜ 90°

90°＜α ＜ 180°

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进斜率来刻画直线的倾斜程度，而且为什么要用倾斜角的正切定义斜率，这是本课最大的难点。

为了解决这些问题，先回到一开始提出的二元一次方程，让学生认识到在直线的方程中倾斜角并没有体现出来，所以我们还有必要再引进一个量来刻画直线的倾斜程度，同时我们知道角又是经常用它的某个三角函数值来转化，但是用什么呢？这里我借助几何画板设计如下：

然后自然地提出了斜率的概念：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k来表示，即tanα =k.

接下来引导学生归纳如下：

1．斜率可以看成关于倾斜角的函数。（并作出图像） 2．斜率k是一个数值，它可以是任何实数。 3．直线的倾斜角存在，斜率不一定存在，有斜率必有倾斜角。

4．倾斜角为90°，直线的斜率不存在，直线是垂直于x轴的直线。

下面举例说明：

例1 如图2，直线的倾斜角α 1=30°，直线l2⊥l1，

图2 求直线l1、l2的斜率。

例2 如图3，比较直线l1、l2、l3、l4的各斜率k1、k2、k3、k4大小。

图3

（六）反思总结，提高认识

由学生总结本节课学习的主要内容： 1．直线的方程和方程的直线概念。 2．直线的倾斜角概念。 3．直线的斜率概念。 4．数形结合的数学思想。

让学生通过知识性内容的小结，把课堂传授的知识尽快转化为学生的素质，并逐渐培养学生良好的个性品质。

l1

选择例1这个题目主要是为了加深学生对直线的倾斜角和斜率的理解，同时初步介绍解析几何问题的一般方法，注意数形结合，另外还可以示范解题的规范。

选择例2这个题目主要是为了进一步加深学生对这2个概念的理解，同时再强调一下作图对解题的辅助作用。

练习2：教科书P.37练习1。

安排这个练习的主要目的是巩固学生对概念的理解。

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（七）任务延后，自主探究

学生经过以上六个环节的学习，已经初步掌握了直线的倾斜角和斜率的概念，有待于进一步提高认知水平，因此我针对学生素质的差异设计了有层次的作业。

思考题：

（1）已知直线l的倾斜角为α，且30°≤α＜120°，求直线l的斜率α的取值范围。 （2）已知直线l的斜率为k，且-1≤k≤3，求直线l的倾斜角α的取值范围。 （3）你能说出过原点且斜率是2的直线方程吗?

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