食品价格变动与分析

装 订 线

“工大出版社杯”第十五届西北工业大学数学 建模竞赛暨全国大学生数学建模竞赛选拔赛题目

B题

密封号

2014年5月4日

剪 切 线 密封号

2014年5月4日 西北工业大学明德 学院 第 J 9024 队

姓名 班级 队员1 杨琳 121202 队员2 张阳 121202 队员3 田列敏 121202 食品价格变动与分析

摘要

近年来，随着经济的快速发展，居民消费价格指数（CPI）已成为了人们的热议话题之一。而食品价格，作为居民消费价格指数的重要组成部分，则直接影响居民生活成本和农民收入，是关系国民生计的重要战略问题。本文针对食品价格作了如下不同的模型和计算方法分析了我国食品价格的波动特点并对其走势进行预测，而且还用了有代表性的食品计算和预测居民消费价格指数。

针对问题一，先从国家数据网上搜集出十年来的食品价格消费指数，通过Hodrick-Prescott滤波方法剔除长期优势，可以获得周期波动序列，对我国食品价格指数波动的特点进行了分析，得出我国食品价格指数总体呈上升趋势，但大致经过两个波峰和波谷。其中粮食价格、肉类及其制品价格、鸡蛋价格、水产品价格、鲜菜价格、新鲜水果价格都与食品类价格指数有相关关系，影响食品类价格指数波动。其中，肉类及其制品对食品类价格指数波动影响较大，而鲜果对食品类价格指数波动最小了。

针对问题二，用多项式拟合模型y?a0?a1x??akxk,得到拟合之后

的函数，对我国2014年5月份的食品价格走势进行预测，通过EVIEWS作图分析得出我国五月份食物价格大体呈下降趋势，其中米面是呈上升趋势，其余都在经过2月高峰期后开始有下降的苗头，这可能是因为春节过后，人民群众普通食物消费下降，另外水产类受外界因素影响大，因而拟合效果不好。

针对问题三，运用多元线性回归模型 y??0??1x1??2x2??3x3??4x4首先对给出附件一中的食物种类进行数据处理，作图可知，豆角、香蕉、鸡蛋、菜籽油相关系数较高，经拟合优度，F检验，T检验得知预测值与理论值相差不大。综上分析得出统计部门可以通过检测少量的牛肉、活草鱼的价格，来代替检测大量食品价格，进而来检测和预测食物消费价格指数，并且相对其他食物来说比较精确。

关键字：居民消费价格指数 HP滤波分析 周期波动序列 多项式拟合 多元线性回归

目录

第一章 问题的重述---------------------------------------------1 第二章 问题的分析---------------------------------------------2 第三章 模型的假设--------------------------------------------3 第四章 符号说明-----------------------------------------------4 第五章 模型的建立与求解--------------------------------------5 5.1 数据处理----------------------------------------------5 5.2 问题一 ---------------------------------------------6 5.2.1 HP滤波分析---------------------------------------6 （一） 模型的建立---------------------------------------6 （二）模型的求解----------------------------------------9 （三）结果分析------------------------------------------12 5.3 问题二------------------------------------------------12 5.3.1 多项式拟合模型----------------------------------12 （一）模型的建立----------------------------------------12 （二）模型的求解----------------------------------------20

（三）结果分析------------------------------------------20

5.4 问题三------------------------------------------------20 5.4.1 多元线性回归模型------------------------------------20 （一）模型的建立--------------------------------------20

（二）模型的求解--------------------------------------20 （三）模型的检验--------------------------------------23

（四）结果分析----------------------------------------24

第六章 模型的评价与改进方法----------------------------------25 第七章 参考文献-----------------------------------------------26 第八章 附录---------------------------------------------------27

第一章 问题重述

消费者物价指数（Consumer Price Index），英文缩写为CPI，也称消费价格指数，是反映与居民生活有关的产品及劳务价格统计出来的物价变动指标，通常作为观察通货膨胀水平的重要指标，是与人民生活密切相关的参考指标。

2000年以来，我国城镇居民家庭食品消费支出占总支出的比重一直维持在36%以上。在收入增长缓慢的情况下，食品价格上涨将使人民群众明显感到生活成本增加，特别是食品价格上涨将降低低收入群体的生活质量。为监测食品价格的实际变化情况，国家统计部门定期统计50个城市主要食品平均价格变动情况，本题已给出27种食品在2014年1月1日至2014年4月10日之间每相差10天零售价格变化情况。数据见附件1。

请根据以上信息建立数学模型解决以下问题：

（1）根据附件以及相关统计网站的数据，分析我国食品价格波动的特点。 （2）预测2014年5月份食品价格走势。

（3）如何通过监测尽量少的食品种类价格即能相对准确地计算、预测居民消费者价格指数？在同样精度要求下，不同地区所选取的食品种类以及种类数目是否一致？

1

第二章 问题分析

2.1问题背景分析

在市场经济运行过程中，物价水平是一个重要的核心指标，也是国民经济发展状况的“晴雨表”。居民消费价格指数（Consumer Price Index，简称CPI）是反映一定时期内居民支付所消费商品和服务价格变动趋势及变化程度的相对数指标。它是一国分析和制定货币政策、财政政策、居民消费政策、工资政策、社会保障政策以及进行国民经济核算的重要依据。因此，对食品价格变动的分析和食品价格走势的预测具有十分重要的现实意义。而且，在目前，我国物价上涨的原因是多方面的包括需求增加，成本上涨以及通货膨胀惯性等因素，本着让数据说话，让曲线证明的基本原则，力求体现出食品价格变化的整体走势。 2.2过程分析

本问题的难点在于找出合适的拟合函数来拟合海量的数据，保证数据点的残差值最小并且做出短期类的预测。 2.3问题的分析与整合

首先，以问题三为指导，了解关于CPI的相关知识，初步确定解决问题一盒问题的重点。问题一是对数据初步处理阶段，分析得知各类食品的价格特点，关注价格的波动特点，为问题二选择合适的拟合方案奠定基础。

2

第三章 模型的假设

假设一 题中提供的背景数据以及我们收集到的数据准确无误。

假设二 在所预测的时间范围内不发生能影响CPI正常变化的重大事件，如金融危机、流行性疾病、能影响某种或某类相关物品价格飙升的灾难性事件等。 假设三 在所预测的时间范围内国家政府不采取能影响CPI正常走势的相关措施和制定相关法规。

假设四 食品零售价格每十天的平均价格与食品每日的价格偏差很小。 假设五 在对同类食品进行整合以得到一类食品的价格趋势当中，将同类中各种食品的权重视为一致。

3

第四章 符号说明

CPI---------------------------居民消费价格指数

CPIF--------------------------食品价格指数

a0,a1,a2ak---------------------回归参数

?0,?1,?,2?3,?4---------------回归系数

r------------------------------交叉相关系数

R------------------------------相关系数

4

第五章 模型的建立与求解

5.1数据处理

本文题目中并没有给出具体的数据，我们在中华人民共和国国家统计局网上 收集到了相对于上年同月的食品类居民消费价格分类指数，此数据无法直观的反 映出不同年月的食品类居民消费价格分类指数之间的关系。所以我们以2004 每 月的食品类居民消费价格分类指数为100，计算出2004年3月到2014年3 月每月的 食品类居民消费价格分类指数，并用此数据进行预测及分析。

1）对CPIF(食品类消费价格指数)进行分析 首先 对十年来CPIF数据结果进行统计和分析 :

时间为2004.3-2014.3 共对120个月度的数据进行分析。

CPIF1251201151101051009504050607080910111213

图 5—1 2004.3—2014.3食品类消费价格指数

如图5—1分析可得，食品价格指数范围从95-125波动 且大多数在100-110之间 103达到最多。从2004年3月开始一直到2014年3月 我国的食品价格共有三次大的涨落。

5

第一次峰值出现在 2004年9月 ，峰值113.0%，2005、2006年下降，2007年增长 2007年末 2008年初，食物价格迅速上涨 .

第二次峰值出现在 2008年2月 峰值 123.3% 达到最高值，接下来又下降最低值2009年5月，最低为99.4 %。

第三次峰指出现在2011年7月 峰值 114.8%，之后 2011、2012年又逐渐下降。

（数据来源：中国统计年鉴-国家数据）

5.2 问题一

5.2.1 HP滤波分析法

（一）模型的建立

1）对上述食品价格指数数据基于HP滤波分析得到如下图

Hodrick-Prescott Filter (lambda=14400)125120115151050-5-10-1504050607CPIF0809Trend1011Cycle121311010510095

图 5—2 食品类消费价格指数HP滤波分析

通过Hodrick-Prescott滤波方法剔除长期优势，可以获得周期波动序列。如图5—2可知，通过观察，2004年至今日，我国的食品价格指数总体趋势是上升的。

6

总体经过两个波峰两波谷，2006年6月-2007年食品价格指数呈上升趋势，在2008年2月左右达到峰值，据有关资料显示，此期间食品价格指数攀升是由于我国粮食产量下降，供给受影响所致。第二次上升从2009年5月开始至2011年7月左右，在此期间，2008年中央政府应对全球金融危机政策出台，为了使得经济持续增长而拉动内需。

2）CPI与食品价格指数的关系特点

125120115110105100950405060708CPI0910CPIF111213

图 5—3 CPI与食品价格指数（CPIF）波动图

由可知，CPI与食品价格指数趋势增长相似，由此可见CPI于食品价格指数可能保持目中相关关系，利用EViews统计软件对CPI于食品价格指数进行相关性分析得 到下图：

7

125120115CPIF1101051009598100102104CPI106108110

图 5—4 CPI与CPIF的相关性散点图

根据公式在分析经济周期问题的时候，计算交叉相关系数，可以分析CPIF与CPI的同步性。

cCPI.CPIF(l)r(l)?l?0,?1,?2,?????

sCPIsCPIF?1?(CPIi?CPI)(CPIFi?l?CPIF)?Ni?1cCPI.CPIF(l)??1N?l(CPIFi?CPIF)(CPIi?l?CPI)???Ni?1

N?l(l?0.1.2.3.???)(l?0.?1.?2.???)8

（二）模型的求解

Sample: 2004M03 2014M03 Included observations: 121

Correlations are asymptotically consistent approximations

CPI,CPIF(-i) CPI,CPIF(+i) i lag lead

. . |********** |********** . . |*********| |*********| . . |*********| |******** | . . |******** | |******** | . . |******* | |******* | . . |****** | |****** | . . |***** | |***** | . . |**** | |**** | . . |*** | |** | . . |*. | |*. | . . | . | | . | . .*| . | *| . | *** *| . | *| . | ****| *** . | | . | *****| . ****|| . | ******| . *****| . | | ******| . *****| . | | *******| . *****| . | |

0 0.9638 0.9638 1 0.9251 0.9044 2 0.8757 0.8387 3 0.8067 0.7589 4 0.7166 0.6631 5 0.6169 0.5638 6 0.5081 0.4606 7 0.3889 0.3547 8 0.2600 0.2413 9 0.1171 0.1161 -0.021-0.0059 2 -0.147-0.1144 7 -0.291-0.2370 3 -0.386-0.3153 8 -0.467-0.3783 1 -0.547-0.4441 5 -0.607-0.4945 8 -0.649-0.5359 2

9

10 11 12 13 14 15 16 17 *******| . ******| . -0.678-0.566| | 18 3 9 *******| . ******| . -0.691-0.589| | 19 2 7 *******| . ******| . -0.693-0.606| | 20 3 9 *******| . ******| . -0.678-0.609| | 21 2 5 *******| . ******| . -0.648-0.597| | 22 1 1 ******| . ******| . -0.627-0.590| | 23 0 4 ******| . ******| . -0.577-0.557| | 24 7 3 *****| . *****| . -0.518-0.508| | 25 6 7 *****| . *****| . -0.464-0.470| | 26 4 2 ****| ****|-0.389-0.408 . | . | 27 0 8 *** ****|-0.311-0.344| . | . | 28 7 9 * ***-0.233-0.276*| . | | . | 29 2 6 * *-0.153-0.204*| . | *| . | 30 9 2 . .-0.077-0.131*| . | *| . | 31 0 9 . .-0.047| . | *| . | 32 0.0080 3 . . |*. | | . | 33 0.0957 0.0411 . . |** | |*. | 34 0.1721 0.1192 . . |*** | |** | 35 0.2589 0.2065 . . |*** | |*** | 36 0.3449 0.2918

表 5—5 CPI与CPIF交叉相关系数表

运用EVIEWS相关图与交叉相关系数计算公式得到表5-4，可以看出CPI与食

10

品价格指数的相关性非常高。

总体看趋势成分可以观测到，当食品价格因供给和需求原因发生上涨时，CPI也在上涨，并受其他消费价格的影响，CPI表现为同比例大幅上涨。这主要是因为食品是作为居民消费支出的最大份额。且这与我国经济发展轨迹也有很密切联系。

3）各类食品价格指数影响食品类价格指数的波动特征

根据EViews对各类食品与食品价格指数做出的数据特征分析如图

Mean

Median Maximum Minimum Std.Dev. Skewness CPIF

107.0744 105.9

123.3 98.1 5.609687 0.822922 GRAIN 108.0008 105.9 133.9 98.3 7.567524 1.916938 PAPP 109.3744 105.9 149 84.5 15.39325 0.810847 EGG 107.1463 105.2 134.8 86 10.85198 0.462629 AP 107.4446 106.4 118.5 97.6 5.140735 0.296394 FV 109.6793

110

146 84.6 12.29

0.095687

FR

108.9058 108.1 149.2

83.8

11.55138 0.654766

表 5—6 各类食品与食品价格指数做出的数据特征

150140130GRAINPAPP120EGGAPFV110FR100908095100105110115120125CPIF

Correlation

1 0.440443 0.93423 0.504099 0.70941 0.089634 -0.08666

11

图5—7 六大类食物与CPIF的相关图

（三）结果分析

根据推算以及上述表格---图片得知，粮食价格、肉类及其制品价格、鸡蛋价格、水产品价格、鲜菜价格、新鲜水果价格都与食品类价格指数有相关关系，影响食品类价格指数波动。其中，肉类及其制品对食品类价格指数波动影响较大，而鲜果对食品类价格指数波动最小了。

5.3 问题二

5.3.1 多项式拟合模型

（一）模型的建立

1）.建立多项式拟合模型来推测5月份的价格走势。 设立如下函数关系式：

y?a0?a1x??akxk,

其中K代表（K）阶

计算各点到这条曲线的距离之和，得到即偏差平方和：

n2R2???yi??a0?a1xi??akkxi???.i?1?

为了求得符合条件的a值，对等式右边求ai偏导数，可以得到如下等式：

n ?2??y??a0?a1x??akkxi?1????x?0

12

n

?2??y??a0?a1x??akxk??i?1???0

n

?2???y??a0?a1x??akkxk???0.i?1?x

nn a0n?a1?xi??aki?1?xkii?1

nn2n

a0?xi?a1?akxk?1ii?1?xi?i?1?i?1

nknk?1n

a0?xi?a1?xi??aki?1i?1?x2kii?1

通过变化，得到如下矩阵：

??n?ni?1xi?nxki?1i?????n?a0????ni?1yi??a?i?1xi?n2i?1xi?nk?1?i?1xi???1???n??????i?1xiyi?????. ?n??ki?1xi?nk?1a?ki?1xi?n?2k?i?1xi???????nxk??i?1iyi??化简后

13

?1??1????1x1x2xnx1k?k?x2???kxn????????a0?a1????ak????????y1?y2???. ?yn?

求解矩阵a就可解得方程

（二）模型的求解

2）将参数带入方程运用EXCEL解得结果如下所示：

（说明：在以下图表中，用1.1,1.2,1.3替代2014年1月1-10日，2014年1月11-20日，2014年1月12-30日，2.1,2.2··3.1,3.2··以此类推··）

米面类均值价格拟合图5.145.135.12y1 = 0.0023x12 + 0.004x1 + 5.0733R12 = 0.7868价格（元）5.115.15.095.085.075.0600.511.522.5时间（月）33.544.5图 5—8

14

y1?0.0023x12?0.004x1?5.0733R?0.7868

2

分别将x=1.1,1.2,1.3····5.1,5.2,5.3代入公式得

米面价格（元）计量单位（千克）预测均价 1.1 预测均价 1.2 预测均价 1.3 预测均价 2.1 预测均价 2.2 预测均价 2.3 预测均价 3.1 预测均价 3.2 预测均价 3.3 预测均价 4.1 预测均价 5.1 预测均价 5.2 预测均价 5.3 5.080 2.081 5.082 5.091 5.093 5.094 5.107 5.109 5.111 5.128 5.153 5.156 5.159 价格（元）

米面价格呈上涨趋势。

图 5—9

此图拟合效果可以进行预测，米面价格总体趋势呈上升状态，预测出5月份

食用油均值价格拟合图17.5417.5217.517.4817.4617.4417.4217.417.3817.3617.3400.511.522.533.544.5y = -0.0395x2 + 0.1712x + 17.329R2 = 0.9069时间（月

图 5—10

y1??0.0395x12?0.1712x1?17.329R?0.90692

15

分别将x=1.1,1.2,1.3····5.1,5.2,5.3代入公式得

食用油价格（元）计量单位（千克）预测均价 1.1 预测均价 1.2 预测均价 1.3 预测均价 2.1 预测均价 2.2 预测均价 2.3 预测均价 3.1 预测均价 3.2 预测均价 3.3 预测均价 4.1 预测均价 5.1 预测均价 5.2 预测均价 5.3 17.039 17.477 17.484 17.514 17.514 17.513 17.480 17.472 17.463 17.600 17.174 17.151 17.126 价格（元） 图 5—11

食用油价格拟合的很好，反映出1月至4月呈先上升后下降趋势，在2月中旬达到峰值，在3月、4月又下降，预测5月份食用油价格呈下降趋势。

肉类均值价格拟合图31.831.631.431.23130.830.630.430.23000.511.522.533.544.5y = -0.0926x2 + 0.0363x + 31.64R2 = 0.8153时间（月）

图 5—12

y1??0.0926x12?0.0363x1?31.64R?0.8153分别将x=1.1,1.2,1.3····5.1,5.2,5.3代入公式得

16

2

肉类价格（元）计量单位（千克）预测均价 1.1 预测均价 1.2 预测均价 1.3 预测均价 2.1 预测均价 2.2 预测均价 2.3 预测均价 3.1 预测均价 3.2 预测均价 3.3 预测均价 4.1 预测均价 5.1 预测均价 5.2 预测均价 5.3 价格（元） 31.567 31.550 31.530 31.307 31.271 30.233 30.862 30.807 30.751 30.232 29.419 29.319 29.231 图 5—13

肉类价格拟合图下降趋势，预测五月份肉类价格下跌。

均值价格拟合图21.821.621.421.22120.820.620.420.22000.511.5y = -0.2183x2 + 0.9795x + 19.824R2 = 0.231922.533.544.5时间（月）

图 5—14

y1??0.2183x12?0.9795x1?19.824R?0.2319

2

分别将x=1.1,1.2,1.3····5.1,5.2,5.3代入公式得

17

大 米

粳米

5.746665.743335.72666千

7 5.73 5.75 5.75 3 5.74 5.72 5.72 7 5.71 5.71 5.72 克 5.74 5.75 5.75

面

粉

富强粉

面

粉

标准粉

豆制

品 豆腐 花生

油 压榨一级大豆

油 5L桶装

千

5.106665.19333克 5.06 5.1 5.16

7 5.17 5.19 5.22 3 5.19 5.19 5.19 5.19 5.18 5.19 5.2

千

4.366664.38666

克 4.23 4.28 4.33 4.28 4.35 4.37 4.38 7 4.39 4.39 4.38 7 4.38 4.39 4.39

千

4.19666

克 4.13 4.14 4.15

4.14 4.17 4.2 4.2 4.19

4.2 4.19 4.2 7 4.21 4.23 4.23

29.229.229.229.029.226629.329.363329.3升

4 29.23 8 29.25 8 29.32 8 7 29.36 29.37 6 3 29.4 29.4 8 12.212.216612.512.326612.212.303312.212.1升

4 12.21 12.2 7 12.2 12.22 6 7 12.33 12.3 8 3 5 12.22 9 28

菜籽

油 一级散装 升猪

猪肉后臀尖(后腿千肉 肉) 克猪

千肉

五花肉

克牛

千

肉

腿肉

克羊

千肉 腿肉 克千

鸡

白条鸡

克

13.313.513.456613.513.513.566613.613.636613.713.78 13.48 1 7 6 13.56 8 7 13.63 13.61 7 7 5 13.77 3 27.6

28.228.627.224.523.923.38 28.07 2 27.99 5 28.56 1 28.14 26.15 25.28 6 25.33 1 23.54 3 27.5

27.883328.627.128.096624.425.256623.823.36 27.99 28.1 3 5 28.46 8 7 26.08 25.2 9 7 4 23.51 2 60.759.996662.562.462.063361.261.473359.3 59.91 8

7 7 61.16 6 3 61.75 61.45 2 3 61.2 61.35 61.4 60.1

61.160.666662.562.776661.861.986661.962.19 60.64 7 7 2 63.11 62.7 7 62.22 61.85 9 7 4 62.11 4 18.918.933319.419.319.446619.019.136617.718.9 18.93 7

3 4 19.54 6 7 19.21 19.12 8 7 18.8 18.1 5 29

鸡 鸡胸肉

鸭 白条鸭

鸡

蛋

散装鲜鸡蛋

活鲤

鱼 活草

鱼 带

千21.0

21.121.321.321.296621.020.3克

1 21.05 2 21.06 2 21.23 4 7 21.45 21.21 9 21.25 20.9 20.65 7 千16.4

16.617.117.017.217.153316.915.9克

6 16.53 6 16.55 4 17.42 7 17.21 17.01 17.21 4 3 9 16.16 9 千10.7

10.710.756610.710.310.55669.80333

克 6 10.76 5 7 2 10.63 2 7 10 9.75 9.66 3 9.53 9.4 9.31

千13.7

13.813.813314.714.514.776613.913.913.8克

8 13.81 5 3 3 15.05 5 7 14.2 13.92 1 14.01 7 13.97 9 千15.4

15.615.536616.416.316.116.163316.216.5克

4 15.51 6 7 6 16.79 4 16.53 16.18 16.13 8 3 6 16.4 7 千29.429.63 29.929.67 30.830.77 30.030.543329.82 29.61 29.529.656629.729.71 29.6

30

鱼 克 1 7 2 4 3 4 7 5 7

大白菜 油

菜

芹

菜

黄

瓜

西红柿 豆

角

千

2.463332.72666克 2.47 2.46 2.46

3 2.7 2.87 2.61 7 2.49 2.49 2.55 2.51 3.17 3.83 4.03

千

6.356665.946664.56333克 6.53 6.42 6.12

7 6.51 6.24 5.09 7 4.61 4.46 4.62 3 5.37 6.09 5.75 千

6.343334.86333

克 6.26 6.37 6.4

3 7.18 7.19 6

6.79 5.27 4.77 4.55 3 4.8 5.3 5.6

千

10.4

克 7.19 6.79 7.05 7.01 4 10.1 8.2

9.58 7.85 7.9 6.96 7.57 6.3 5.84 5.11

千6.876667.11666

克 6.8 6.93 6.9 7 7.48 7.37 6.5 7 6.19 6.21 6.26

6.22 6.56 7.12 6.99

千10.0

10.112.311.610.811.011.1

克 9 10.09 5 10.11 3 12.93 4 12.3 11.44 11.46 5 11.25 6 11.54 4

31

土 豆

苹

果

富士苹果香 蕉 国产

千

4.10666

克 3.86 3.89 3.95

3.9 4.13 4.21 4.17

4.17 4.14 4.09 4.09 7 4.26 4.38 4.52

千

10.010.410.310.416610.310.346610.410.4

克 9.92 9.98 1 9.97 1 10.47 7 7 10.38 10.33 3 7 2 10.41 6

千5.993336.486

克

4.97

5.1 5.32

5.13 5.81 6.11 6.06 3 6.03 6.12 6.24 6.13 6.32 6.46 6.68

注：另外有CPI 以及CPIF统计图册，还有2004年3月-2014年3月CPI及食品类消费价格指数等数据, 保存在外部文件夹内。

32

水产类价格（元）计量单位（千克）预测均价 1.1 预测均价 1.2 预测均价 1.3 预测均价 2.1 预测均价 2.2 预测均价 2.3 预测均价 3.1 预测均价 3.2 预测均价 3.3 预测均价 4.1 预测均价 5.1 预测均价 5.2 预测均价 5.3 20.637 20.685 20.728 20.911 20.922 20.922 20.762 20.723 20.679 20.170 19.141 19.889 18.883 价格（元） 图 5—15

水产价格拟合最差，究其原因，是水产品价格受外界因素影响很大。虽然拟合不理想，但依稀可以推测5月份水产品价格会下跌。

蔬菜类均值价格拟合图987654321000.511.522.533.544.5y = -0.3713x2 + 1.6449x + 5.277R2 = 0.495时间（月）

图 5—16

y1??0.3713x12?1.6449x1?5.277R?0.495

2

分别将x=1.1,1.2,1.3····5.1,5.2,5.3代入公式得

18

蔬菜类价格（元）计量单位（千克）预测均价 1.1 预测均价 1.2 预测均价 1.3 预测均价 2.1 预测均价 2.2 预测均价 2.3 预测均价 3.1 预测均价 3.2 预测均价 3.3 预测均价 4.1 预测均价 5.1 预测均价 5.2 预测均价 5.3 6.637 6.716 6.787 7.093 7.098 7.100 6.807 6.738 6.661 5.779 4.008 3.740 3.565 价格（元）

图 5—17

蔬菜类价格拟合图相对来说平稳，但是还是呈现先轻微上升后下降趋势，2月份达到峰值，根据趋势，结果还是预测5月份价格下降。

水果类均值价格拟合图109.8y = -0.1478x2 + 1.0204x + 8.0484R2 = 0.85849.69.49.298.88.600.511.522.533.544.5时间（月）

图 5—18

y1?0.1478x12?1.0204x1?8.0484R?0.8584

分别将x=1.1,1.2,1.3····5.1,5.2,5.3代入公式得

水果类价格（元）计量单位（千克）预测均价 1.1 预测均价 1.2 预测均价 1.3 预测均价 2.1 预测均价 2.2 预测均价 2.3 预测均价 3.1 预测均价 3.2 2

预测预测均价 3.3 均价 4.1 预测均价 5.1 预测预测均价 5.2 均价 5.3 9.349 9.486 9.625 10.843 11.009 11.177 12.632 12.827 13.025 14.717 17.097 17.351 17.608

19

图 5—19

水果类价格拟合图分析呈上涨局势，在3月达到顶峰后又轻微下降，预测5月份是呈下降趋势。

（三）结果分析

总的来说，我国五月份食物价格大体呈下降趋势，其中米面是呈上升趋势，其余都在经过2月高峰期后开始有下降的苗头，这可能是因为春节过后，人民群众普通食物消费下降，另外水产类受外界因素影响大，因而拟合效果不好。

5.4 问题三

5.4.1多元线性回归模型

（一）模型的建立

我们设定模型为下面所示形式

y??0??1x1??2x2??3x3??4x4

首先对给出附件一中的食物种类进行数据处理，将10天为单位制变换为以月为单位，每三个数值取平均值为月数据。（注：数据有效时间范围2013.2-2014.2）（数据来源于中华人民共和国统计局官网）

（二）模型的求解

首先对食物种类与CPI进行相关性分析，得出相关矩阵（详见附录1），相关系数相关系数如下图所示，相关系数逼近1的食物就是与CPI线性关系强，将这些食物选出，进行多元线性回归。

20

CPI与各种食物的相关系数图10.80.60.40.20相关系数CPI鸡鸡鸡鸭　活蛋鲤活鱼草带鱼　大鱼白油菜　芹菜　黄菜　西瓜红豆柿　土角　苹豆　香果　蕉-0.4-0.6-0.8-1大-0.2　面米　面粉　豆粉制花品生大油豆菜油籽猪油　猪肉　牛肉　羊肉　肉食物种类图 5—20

由此图可知，相关性高的食物有：豆角、香蕉、鸡蛋、菜籽油相关系数较高。经过多次检测，确定用这四种食物进行多元线性回归分析，并利用计算机软件Eviews进行多元线性回归分析，分析结果如下表所示：

Dependent Variable: CPI Method: Least Squares Date: 05/04/14 Time: 03:26 Sample (adjusted): 2013M03 2014M03 Included observations: 13 after adjustments

Variable C 豆角（xa） 香蕉（xb） 鸡蛋（xc）

Coefficient 59.20234 -0.211117 -0.421017 0.559248

Std. Error 13.03340 0.050883 0.141538 0.150589

t-Statistic 4.542356 -4.149088 -2.974592 3.713726

Prob. 0.0019 0.0032 0.0177 0.0059

21

菜籽油（xd） R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood F-statistic Prob(F-statistic)

3.121892 0.987445 3.161585 0.0134 102.5615 0.379777 -0.177723 0.039565 -0.222385 2.429587

0.829402 Mean dependent var 0.744103 S.D. dependent var 0.192115 Akaike info criterion 0.295265 Schwarz criterion 6.155198 Hannan-Quinn criter. 9.723488 Durbin-Watson stat 0.003657

图 5—21

由图 5—21表可以得到多元线性回归公式如下：

CPI?59.20234?0.211117xa?0.421017xb?0.559248xc?3.121892xd

将对应数据带入对CPI进行预测

时间 2013.02 2013.03 2013.04 2013.05 2013.06 2013.07 2013.08 2013.09 2013.10 2013.11 2013.12 2014.01 2014.02

实际值(CPI) 102.1 102.4 102.1 102.7 102.7 102.6 103.1 103.2 103 102.5 102.5 102 102.4

预测值(CPI) 102.3011 102.2874 102.0763 102.6121 102.6324 103.0058 102.9707 103.0505 102.9862 102.4855 102.4395 102.1265 102.3261

图 5—22

22

下图显示为预测CPI

103.6103.2102.8102.4102.0Forecast: CPIFActual: CPIForecast sample: 2013M02 2014M03Adjusted sample: 2013M02 2014M02Included observations: 13Root Mean Squared Error 0.150707Mean Absolute Error 0.112838Mean Abs. Percent Error 0.110023Theil Inequality Coefficient 0.000735 Bias Proportion 0.000000 Variance Proportion 0.046728 Covariance Proportion 0.953272101.6101.22013Q12013Q22013Q3CPIF2013Q4± 2 S.E.2014Q1

图 5—23

（三）模型检验

（1）拟合优度，参考指标是R-squared和Adjusted R-squared,，如果这两个指标越大，说明拟合的越好，说明模型中的各个解释变量对被解释变量的联合影响越大。

上述表中 R=0.82940 调整后的R=0.744103 （2）F检验

若样本值F大于临界值F，则拒绝原假设，说明方程显著。反之，则不能拒绝原假设，说明方程不显著。Prob(F-statistic)<0.05,说明方程显著。

（3）T检验，0.0019<0.05；0.0032 <0.05；0.0177<0.05；0.0059<0.05；说明 各变量对CPI影响较显著。

（4）经计算，预测值与理论值相差不大，这是由于取值在时间点上的差异，食物价格取自于每月前十天，由于波动不是很明显，可以代替作为整个月份的食物价格，而且进行多元回归分析就有误差，这样就存在了误差也在合理范围之内，但在相对其他食物来说，是比较精确的。

综上叙述分析可知，统计部门以检测少量的牛肉、活草鱼的价格可以代替检测大量食品价格来检测和预测食物消费价格指数，并且相对其他食物来说比较精

23

确。并且，在同等精度要求下，不同地区所选的食品种类以及数目基本一致。

通过分析数据，根据图表所知，最终达到了通过检测豆角、香蕉、鸡蛋、菜籽油这四种食物价格就能准确地达到计算、预测居民消费者价格指数的目的。

24

第六章 模型的评价及推广

1.模型的客观评价

本文经过仔细观察，认真分析，最终选取与CPI具有高度相关性的食品价格这一侧面来分析两者之间的联系，采用数据统计中的回归分析的方法进行考虑，经过两次建立数学模型，最终得到了两者拟合度较高的二次多项式回归模型，说明食品价格领涨CPI，但两者皆不可能无限制增长，仅在二次函数单调增部分之内变动，且较符合实际情况。但是考虑因素较为狭窄，不利于推广。但对于问题二的模型，我们可以得知它的优缺点

优点：统计回归模型是数据统计分析中一个重要的模型，通过利用最小二乘法对数据进行拟合从而得到因变量与自变量的函数关系。本文中选择与CPI变化趋势密切的食品价格这一侧面来分析两者关系，具有一定的代表性。本文选取了近六年的月度数据来讨论食品价格与CPI之间的联系，是建立在一定置信水平上的较为简单的模型，所以此模型处理数据较少，计算过程简单但是有一定的可靠程度。另外本文通过散点图观测分别讨论了两者线性和非线性的关系，最终选取较好模型来解决此问题。

缺点：本文所讨论的仅是食品单价一个侧面与CPI之间的联系，食品价格指数仅占CPI的百分之三十四，范围狭窄，故而应用中有一定的局限性，不利于模型的推广。

2.模型的推广

统计回归模型能推广至研究两者之间确实存在函数关系的因素中，比如：施肥量与作物产量，基于最小二乘法的多项式拟合模型具有很好的推广价值，对政府的宏观调控措施有一定的参考价值。除了在价格走势及预测领域，还可以用在金融投资领域，可以建立最优风险资产组合模型。

25

第七章 参考文献

【1】姜启源、谢金星、叶俊，数学模型（第四版），北京：高等教育出版社，2011.1. 【2】辜子寅 《我国食品价格指数的数据特征分析》 常熟理工学院数学与统计学院.

【3】曾庆红 《关于应对金融危机 拉动内需的建议》）.

【4】于红艳 储德银 《我国居民消费价格指数与食品类价格指数的动态相关性分析》

【5】第四届文鼎创杯华中地区大学生数学建模邀请赛（城市居民食品分类及零售价预测）

【6】《计量经济学》（庞浩第一版）第三章多元线性回归模型Eviews上机操作 【7】本文部分数据来自于考题附件，还有部分数据出自中国统计年鉴。 【8】高铁梅《计量经济分析方法与建模EVIEWS应用及实例》第10页.

26

第八章 附录

1.系数矩阵表

1 -0.27127 -0.03717 0.217626 -0.27127

-0.03717 0.925046

-0.0329 -0.12319 -0.47023

-0.534 0.605832

1 0.925046 0.795301 0.904365 -0.84613

-0.5281 0.877707

0.57558 0.038154

-0.1188 -0.06471 0.864214

1 0.955401 0.978841 -0.97972 -0.73601 0.658742 0.145255 0.189129 0.974617

1 -0.95818 -0.792 0.813354

0.217626 0.795301 0.955401 1 0.939179 -0.98984 -0.85714 0.442965 0.364661 0.397575 0.962031

-0.0329 0.904365 0.978841 0.939179 -0.47023 0.605832

-0.5281 -0.73601 -0.85714

-0.792 0.653235 0.115171 0.151273 0.974654

1 -0.14406 -0.52419 -0.52369

1 -0.46447 -0.40688

-0.12319 -0.84613 -0.97972 -0.98984 -0.95818 1 0.813354 -0.52186 -0.32152 -0.36067 -0.98365

-0.82112

-0.534 0.877707 0.658742 0.442965 0.653235 -0.52186 -0.14406 0.5689

-0.1188 0.145255 0.364661 0.115171 -0.32152 -0.52419 -0.46447

-0.82112

1 0.996836 0.297336

0.57558 -0.06471 0.189129 0.397575 0.151273 -0.36067 -0.52369 -0.40688 0.996836 0.038154 0.864214 0.974617 0.962031 0.974654 -0.98365 0.019486 0.492865 0.524672

1 0.334886

0.5689 0.297336 0.334886 1

-0.11633 0.923622 0.982947 0.918921 0.979588 -0.95904 -0.71702 0.691216 0.141698 0.187036 0.981104

0.52302 0.392688 -0.56268 -0.27586 0.268728

-0.36463 0.267243 0.177877 0.084646 0.018556 -0.15749 0.300923 0.271212 0.102139 -0.15274 0.316861 0.276384 0.234463 0.132687 -0.28219 0.021406 -0.42887 0.679477 0.551114 0.433855 0.325032 0.054369 0.069528 0.162222

0.53118 -0.49386 0.1907

-0.11419

0.20596 0.251129

0.45787 0.503354 0.525645

0.1564 0.117251

0.28768 0.249463

0.532674 0.051697 0.239122 0.443863 0.182425 -0.37812 -0.45198 -0.28644 0.720215 0.725573 0.287306

-0.1814 0.722927 -0.00262 0.052349 0.536127

-0.541 -0.03284 0.284808 0.255935 0.182198

0.21559 0.709256 0.825119 0.862532 0.872899 -0.86027 -0.91164 0.424581 0.402415 0.419347 0.901008

0.14829 -0.69483 -0.76029 -0.71078 -0.69578 0.758008 0.426778 -0.45257 -0.25334 -0.30319 -0.75193

0.149442 -0.01212 -0.08325 -0.05996 -0.03645 0.080254 -0.15718 0.051391 -0.01614 -0.03627 -0.05245

0.81754 -0.09657 0.142856 0.376102 0.158131 -0.28245 -0.65452 -0.39409 0.708263 0.682464 0.243903 -0.18305

-0.33605 0.677441 0.620069 0.513411 0.484745 -0.57683 -0.07902 0.603524 0.054858 0.117142 0.545036

0.79072 0.816355 0.733175 0.722471 -0.77501 -0.30933 0.677512 -0.02243 0.037541 0.733684

-0.57715 0.813429 0.670029 0.478986 0.595062 -0.56678 -0.03077 0.867402 -0.26994 -0.19879 0.570819 -0.07287 0.857748 0.805304

0.73573 0.844806

-0.75119 -0.68148

-0.73282 0.547257 0.350766 0.126131 0.404639 -0.19095 0.130172 0.759824 -0.75543 -0.72416 0.250543 -0.54055 0.493781 0.235531 0.047676 0.336354

0.69995 -0.06666 -0.04204 0.780642

-0.0887 -0.01519 0.686622 -0.67976 -0.66795 0.165794

2013年1月-12月50个城市主要食品平均价格变动情况数据（红色代表平均值）

商品

名称 规格等级

20132013201320132013201320132013年1年1年2年2年3月年3年4年4

1~10月月月月月月月

11~202013年3月1~1011-202013年单1~1011~202013年1月1~1011-202013年2月日

位 日 日 21-30日 日 日 21-28日 （元） 日 21-30日 日 日 21-30

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