大学物理第二版习题答案

13级应用化学（2）班

物理习题详解

1

习题精解

1-1某质点的速度为v?2i?8tj，已知t=0时它经过点（3，7），则该质点的运动方程为（ ）

A.2ti?4t2j B.?2t?3?i?4t2?7j C.?8j D.不能确定 解：本题答案为B.

?????????dr因为 v?

dt???所以 dr?2i?8tjdt

??于是有

?rr0??t?dr???2i?8tj?dt

0????2即 r?r0?2ti?4tj ?????2亦即 r??3i?7j??2ti?4tj

故 r??2t?3?i?4t2?7j

???????????1-2 一质点在平面上作曲线运动,t1时刻位置矢量为r1??2i?6j，t2时刻的位置矢量为r2?2i?4j，求：

（1）在?t?t2?t1时间内质点的位移矢量式;(2)该段时间内位移的大小和方向；（3）在坐标图上画出r1,r2及

????r。

解 （1）在?t?t2?t1时间内质点的位移矢量式为

????? ?r?r2?r1??4i?2j??m?

（2）该段时间内位移的大小 ?r??42??2??25?m?

2该段时间内位移的方向与轴的夹角为 ??tan??1??2????26.6? 4??（3）坐标图上的表示如图1.1所示

1-3某质点作直线运动，其运动方程为x?1?4t?t ，其中x 以m 计，t 以s 计，求：（1）第3s末质点的位置；（2）头3s的位移大小；（3）头3s内经过的路程。 解 （1）第3s末质点的位置为

2x(3)?1?4?3?32?4(m)

（2）头3s的位移大小为

2

x(3)?x?0??3(m)

（3）因为质点做反向运动是有v(t)?0，所以令

dx?0，即4?2t?0,t?2s因此头3s内经过的路程为 dt x(3)?x(2)?x(2)?x(0)?4?5?5?1?5(m)

1-4 已知某质点的运动方程为x?2t,y?2?t2，式中t以s计，x和y以m计。（1）计算并图示质点的运动轨迹；（2）求出t?1s到t?2s这段时间内质点的平均速度；（3）计算1s末2s末质点的速度；（4）计算1s末和2s末质点的加速度。

解 （1）由质点运动的参数方程x?2t,y?2?t2消去时间参数t得质点的运动轨迹为

x2 y?2??x?0?

4运动轨迹如图1.2

（2）根据题意可得到质点的位置矢量为 r?(2t)i?(2?t2)j

所以t?1s到t?2s这段时间内质点的平均速度为

??????????rr(2)?r(1)??2i?3j(m?s?1) v??t2?1（3）由位置矢量求导可得质点的速度为

????? v?r?2i?(2t)j

所以 末和 末的质点速度分别为

???????1?1 v(1)?2i?2j(m?s)和v(2)?2i?4j(m?s)

（4）由速度求导可得质点的加速度为

???? a?v?2j

所以 末和 末质点的加速度为

????1 a(1)?a(2)??2j(m?s)

1-5湖中有一小船，岸边有人用绳子跨过离河面高H的滑轮拉船靠岸，如图1.3所示。设绳子的原长为l0，人以匀速v0拉绳，使描述小船的运动。

解建立坐标系如图1.3所示。按题意，初始时刻（t=0）,滑轮至小船的绳长为l0，在此后某时刻t,绳长减小到

l0?vt，此刻船的位置为

x?(l0?v0t)2?H2

3

这就是小船的运动方程，将其对时间求导可得小船的速度为 v?(l0?vt)v0vdx????0 dtcos?(l0?v0t)2?H2 将其对时间求导可得小船的加速度为

22v0H2v0H2dv a?????3

3dtx22??(l?vt)?H00??其中负号说明了小船沿x轴的负向（即向岸靠拢的方向）做变加速直线运动，离岸越近（x越小），加速度的

绝对值越大。

1-6大马哈鱼总是逆流而上，游到乌苏里江上游去产卵，游程中有时要跃上瀑布。这种鱼跃出水面的速度可达32km?h。它最高可跃上多高的瀑布？和人的跳高记录相比如何？ 解 鱼跃出水面的速度为v?32km?h?1?1?8.89m?s?1,若竖直跃出水面，则跃出的高度

v2 h??4.03(m)

2g此高度和人的跳高记录相比较，差不多是人跳高的两倍。

1-7 一人站在山坡上，山坡鱼水平面成?角，他扔出一个初速度为v0的小石子，v0与水平面成?角，如图1.4

22v0sin?????cos?所示。（1）若忽略空气阻力，试证小石子落到了山坡上距离抛出点为S处，有S?。（2）

gcos2???由此证明对于给定的v0和?值时，S在???4??2时有最大值Smax2v0?sin??1?。 ?gcos2?解 （1）建立如图1.4所示的坐标系，则小石子的运动方程为

?x??v0cos??t? ?12

y??v0sin??t?gt??2当小石子落在山坡上时，有 ??x?Scos?

?y??Ssin?联立以上四个方程，求解可得小石子在空中飞行的时间（即从抛出到落在山坡上是所经历的时间）t所满足的方程为

t?22v0?sin??tan?cos??t?0 g解之得 t?2v0?sin??tan?cos?? g4

但t?0时不可能的，因t?0时小石子刚刚抛出，所以小石子落在山坡的距离为

2v0cos??t2v0sin?????cos??x S? ??cos?cos?gcos2?（2）给定v0和?值时，有S?S???，求S的最大值，可令

22v0cos?2???? ?0

gcos2?dS?0，即 d?亦即 ???4??2

d2S?0，所以S有最大值，且最大值为 此时2d? Smax2v0?sin??1? ?gcos2?1-8一人扔石子的最大出手速度为v0?25m?s?1。他能击中一个与他的手水平距离为L?50m，高为h?13m处的目标吗?在这个距离上他能击中的最大高度是多少？

解 设抛射角为?，则已知条件如图1.5所示，于是石子的运动方程为

x?(v0cos?)t?? ?12

y??v0sin??t?gt??2可得到石子的轨迹方程为

gx2 y?xtan??2

2v0cos2?假若石子在给定距离上能击中目标，可令x?L 此时有

gL2 y?Ltan??2

2v0cos2?即

gL2gL22 y??2tan??Ltan??2

2v02v02v0d2ydy?0，即在给定已知条件及给定距离上能够?0，有tan??以tan?为函数，令，此时2dtan?d?tan??gL击中目标的最大高度为ymax?12.3m，故在给定距离上能击中h?13m高度的目标。

1-9 如果把两个物体A和B分别以速度vOA和vOB抛出去，vOA与水平面的夹角为?，vOB与水平面的夹角为?，

5

????

试证明在任意时刻物体B相对于物体A的速度为常矢量。

解 两物体在忽略风力的影响之后，将在一竖直面内做上抛运动，如图1.6所示，则两个物体的速度分别为 vA??vOAcos??i??vOAsin??gt?j

?????? vB??vOBcos??i??vOBsin??gt?j

所以在任意时刻物体B相对于物体A的速度为

vB?vA??vOBcos??vOAcos??i??vOBsin??vOAsin??j

它是与时间无关的常矢量。

1-10 如果已测得上抛物体两次从两个方向经过两个给定点的时间，即可测出该处的重力加速度。若物体沿两个方向经过水平线A的时间间隔为?tA，而沿两个方向经过水平线A上方h处的另一水平线B的时间间隔为

?????tB，设在物体运动的范围内重力加速度为常量，试求该重力加速度的大小。

解 设抛出物体的初速度为v0，抛射角为?，建立如图1.7所示的坐标系，则

12?h?vsin?t?gtA??0A??A2 ?

1?h??vsin??t?gt2B0BB??2所以

2gA?22v0sin?t?t??0A?Agg? ?

2vsin?2g?t2?0tB?B?0B?gg?于是有

???tA?? ????tB??此二式平方相减可得 g??tA1?tA2??tB1?tB2?2?4tA1tA224v0sin2?8hA??g2g2?4tB1tB2?4vsin?8hB?g2g202

8?hB?hA?8h ?2222?tA??tB?tA??tB注意此方法也是实验测得重力加速度的一种方法。

1-11 以初速度v0将一物体斜上抛，抛射角为?，不计空气阻力，则物体在轨道最高点处的曲率半径为（ ）

2v0sin?v0cos?gA. B. 2 C. D.不能确定

gv0g 6

解 本题正确答案为 C

因为初速为v0将一物体斜向上抛，抛射角为?，不计空气阻力时，物体在轨道的最高点处的速率为

?v2，所以物体在轨道最高点处的曲率半径为v?v0cos?，而此时物体仅有法向加速度an，且an?g?R2cos2?v2v0 R??gg1-12 一质点从静止出发沿半径为R?1m的圆周运动，其角加速度随时间的变化规律是??12t2?6t(SI)，试求该质点的角速度?和切线加速度a?。 解 因为

??12t2?6t

2所以 d??(12t?6t)dt 于是有

??0d???(12t2?6t)dt

032t故质点的角速度为

??4t?3t 切线方向加速度为

a??R??12t3?6t

2t?0.5s1-13 一质点做圆周运动方程为??2t?4t(?以rad计，t以s计）。在t?0时开始逆时针旋转，问：（1）

时，质点以什么方向转动；（2）质点转动方向改变的瞬间，它的角位置?多大？

解 （1）因质点做圆周运动角速度方向改变瞬时， ??d?t?0t,?0.2s 即 2?8 5dt所以t?0.5s时，质点将以顺时针方向转动。 （2）质点转动方向改变的瞬间，它的角位置为

?(0.25)?2?0.25?4?(0.25)2?0.25(rad)

?21-14 质点从静止出发沿半径为R?3m的圆周做匀变速运动，切向加速度a??3m?s，问：（1）经过多长时

间后质点的总加速度恰好与半径45角？（2）在上述时间内，质点所经历的角位移和路程各为多少？ 解 因为 a???dv?3 dt 所以 dv?3dt 即

?v0dv??3dt

0t 故质点做圆周运动的瞬间时速度为瞬时速率v?3t

7

质点的法向加速度的大小为

v2(3t)2??3t2 an?R3其方向恒指向圆心，于是总加速度为

2 a?an?a??3tn?3?

???????其中n为沿半径指向圆心的单位矢量，?为切向单位矢量。

?（1）设总加速度a与半径的夹角?，如图1.8所示，则 asin??a?，acos??an

?当?=45?时有an?a?，即3t2?3,t?1（负根舍去），所以t?1s时，a与半径成45角。

???s1ds?v?3t，所以?ds???3t?dt （2）因为

00dt故在这段时间内质点所经过的路程为s?1.5m，角位移为???s1.5??0.5(rad)。 R3?11-15 汽车在半径为R?400m的圆弧弯道上减速行驶，设某一时刻，汽车的速度为v?10m?s，切向加速度的大小为a??0.2m?s?2。汽车的法向加速度和总加速度的大小和方向。 解 已知条件如图1.9所示。汽车的法向加速度为

v2102??0.25(m?s?2) an?R400汽车的总加速度为 a?2an?a?2??0.25???0.2???222?0.32(m?s?2)

??所以a?an?a??0.25n???0.2??(m?s)，故加速度a和v的夹角为 ??180??arctan?

?????an?a???0.25??180??arctan????128?40?

0.2???习题精解

2-1 如图2.6所示，将质量分别为m和M的A,B两物块叠放在一起，置A,B间的静摩于光滑水平面上。

?擦系数为?s,滑动摩擦系数为?k，现用一水平力F作用于A物块上，要使A,B不发生相对滑动而一同前进，

则应有（ ）

????m?Mm?MF??mgF??mg A. F??smg B. C. D. F??(m?M)gsksMM解 本题正确答案为B

8

因A,B不发生相对滑动，设它们一同前进的加速度为a,水平方向受力如图2.6所示，则由牛顿第二运动定律的

对物体A有：F??smg?ma 对物体B有：?smg?Ma

m?Mmg Mm?Mmg,则A,B就不发生相对滑动。 可见只要F??sM????2-2 质量为0.25kg的质点，受力为F?ti(SI)的作用，式中t为时间。t?0时，该质点以v0?2jm?s?1的速

解之可得：F??s度通过坐标原点，则该质点任意时刻的位置矢量是_____.

????????v?t?dvFti?2???4ti,所以dv??4ti?dt，于是有?dv??4tidt，v?2ti?2j；又因为解 因为

v00dtm0.25???????2???dr??v，所以dr??2t2i?2j?dt，于是有?dr???2t2i?2j?dt，r?t3i?2tj?C，而t=0时质点通过dt3??23?了原点，所以C?0，故该质点在任意时刻的位置矢量为r?ti?2tj。

3????22-3 一质量为5kg的物体（视为质点）在平面上运动，其运动方程为r?6i?3tj(SI)，则物体所受合外力f??的大小为_____；其方向为______.

????d2rf?m?5??6j??30j 解 因为，所以物体所受合力f的大小为30N，其方向沿y轴负向。 ??dt22-4 A,B,C3个物体，质量分别为mA?mB?0.1kg,mC?0.8kg，当按图2.7(a)放置时，物体系正好匀速运动。（1）求物体C与水平面间的摩擦系数；（2）如果将物体A移动到物体B上面，如图2.7(b)所示，求系统的加速度及绳中的张力（滑轮与绳的质量忽略不计）。

解 （1）由于系统按图2.7（a）放置时，物体系正好匀速运动，所以有mBg???mA?mC?g，物体C与水平桌面间的摩擦系数为

??mB0.11???0.11

mA?mC0.1?0.89（2）如果将物体A移到物体B上面，分析受力如图2.7(b)所示，则 对物体A、B有：?mA?mB?g?T??mA?mB?a 对物体C有： T??mCg?mCa 解之可得系统的加速度 a?mA?mB??mCg?1.1?m?s?2?

mA?mB?mC9

绳子的张力 T?m )g?1.7(NC?a???2-5 已知条件如图2.8所示，求物体系加速度的大小和A、B两绳中的张力（绳与滑轮的质量及所有的摩擦均忽略不计）。

解 受力分析如图2.8所示。由于绳子不可伸长，所以设物体系的加速度为a，则由牛顿第二运动定律可得 对于水平运动的物体有 TB?2ma 对于竖直运动的物体有 TA?TB?mg?ma 对于斜面上运动的物体有

2mgsin45??TA?2ma 联立以上三个方程可得物体系的加速度为 a?2mgsin45??mg2?1 ?5m5A、 B两绳子的张力分别为

232?2mg,TB? TA?5?2?15?mg

?2-6 长为l的轻绳，一端固定，另一端系一质量为m的小球，使小球从悬挂着的铅直位置以水平初速度v0开始运动，如图2.9所示。用牛顿运动定律求小球沿逆时针转过?角使的角速度和绳中的张力。 解 小球在任意位置是的受力分析如图2.9所示，则由牛顿第二运动定律可得

?v2?对法向有： T?mgcos??m??

?l?对切向有： ?mgsin??m??dv?? ?dt?对切向方程两边同乘以d?，得 ?mgsin?d??m?即

?mgsin?d??m?亦即

gsin?d???l??d? 于是有

?dv??d? ?dt??dv???d?l?? dt?? 10

??0gsin?d????l??d?

?0?积分可得 g?1?cos???1212l?0?l? 22所以小球沿逆时针转过?角时的角速度为

???02?g?cos??1??2l12v0?2gl?cos??1? l将v?l?代入法向方程可得绳中的张力为

2?v0? T?m??2g?3gcos??

?l?2-7质量为20g的子弹沿x轴正方向以500m?s的速率射入一木块后，与木板一起沿x轴正方向的速度前进，在此过程中木块所受的冲量为（ ）

A. 9N?S B. ?9N?S C. 10N?S D. ?10N?S 解 本题正确答案为A

根据动量定理可得子弹受到的冲量为

I?mv?mv0?0.02?50?0.02?500??9(N?s) 由牛顿第三运动定律得木块所受的冲量为I???I?9N?s。

?1???1??2-8 一质量为10kg的物体在力f?(120t?40)i(SI)作用下，沿x轴运动。t?0时，其速度v0?6im?s，

则t?3s时，其速度为（ ）

?????1?1?1?1A. 10im?s B. 66im?s C. 72im?s D. 4im?s

解 本题正确答案为C 在x方向，动量定理可写为所以 v?v0?3??120t?40?dt?mv?mv00，即mv?mv0?660

660660?6??72?m?s?1?。 m10?????????2-9 有一质点同时受到了3个处于同一平面上的力f1、f2和f3的作用。其中f1?5i?7tj，f2??7i?5tj，

11

???f3?2i?2tj(SI)，设t?0时，质点的速度v0?0，则质点将( )

A.处于静止状态 B.做匀速直线运动 C.做加速运动 D.做减速运动 解 本题正确答案为A

???? 因为质点所受的合外力f?f1?f2?f3?0，所以质点保持原有的运动状态，而质点原来静止，故质点仍

将处于静止状态。

2-10一个不稳定的原子核，其质量为M，开始时是静止的。当它分裂出一个质量为m、速度为v0的粒子后，原子核的其余部分沿相反方向反冲，则反冲速度的大小为（） A.

mmm?Mmv0 B. v0 C. v0 D. v0

MM?mmM?m 解 本题正确答案为A.

因为原子核所受合外力为零，所以原子核的动量守恒。若设剩余部分的速度为u，则mv0??M?m?u?0，所以剩余部分的反冲速度为u??mv0。

M?m2-11 一物体质量为10kg。受到方向不变的力F?30?40t(SI)的作用，在开始的2s内，此力的冲量大小等

于______;若物体的初速度大小为10m?s ，方向与F同向，则在2s末物体的速度大小等于_______.

?1解 在开始的2s内，此力的冲量大小为 I???30?40t?dt?14.(N?s)

02由质点的动量定理得

I?mv?mv0

?当物体的初速度大小为10m?s，方向与F同向时，在2s末物体速度的大小为

?1 v?I140?v0??10?24(m?s?1) m102-12 质量均为M的3只小船（包括船上的人和物）以相同的速度沿一直线同向航行，

时从中间的小船向前后两船同时以速度（相对于该船）抛出质量同为m的小包。从小包被抛出至落入前、后两船的过程中，试分析对中船。前船、后船建立动量守恒方程。

解 设3条小船以相同的速度v沿同一直线同向航行，根据题意作图2.10。则由动量守恒定理得 对于前船有

Mv?m(v?u)?(M?m)V前 对于后船有

Mv?m?v?u??(M?m)V后 对于中船有

Mv?m(v?u)?m(v?u)?(M?2m)V中

12

所以抛出小包之后3船的速度变为 V前?v?mmu,V中?v,V后?v?u

M?mM?m?12-13 一质量为0.25kg的小球以20m?s的速度和45°的仰角投向竖直放置的木板，如图2.11所示。设小球与木板碰撞的时间为0.05s。反弹角度与入射角相同。小球速度的大小不变，求木板对小球的冲力。

解 建立坐标系如图2.11所示。由动量定理得到小球所受的平均冲力为

1?F??mvcos45????mvcos45?????x?????t ?

?F?1??mvsin45????mvsin45???y???t??代入数值计算可得 ??Fx??144(N)

Fy?0???因此木板对小球的冲力为F??141iN。

2-14一质量为m的滑块，沿图2.12所示的轨道一初速v0?2Rg无摩擦地滑动，求滑块由A运动到B的过程中所受的冲量，并用图表示之（OB与地面平行）

解 因为轨道无摩擦，所以滑块在运动过程与地球构成的系统机械能守恒，于是

1212mv0?mgR?mvB 22而v0?2Rg，因此vB?2Rg，方向竖直向上。 滑块由A运动到B的过程中所受的冲量为

????? I?mvB?mv0?m2Rgj?2mRgi?mRg(?2i?2j)

如图2.12所示。

2-15 一质量为60kg的人以2m?s为的水平速度从后面跳上质量为80kg的小车，小车原来的速度为

?11m?s?1，问：（1）小车的速度将如何变化？（2）人如果迎面跳上小车，小车的速度又将如何变化？

解 若忽略小车与地面之间的摩擦，则小车和人构成的系统动量守恒。 （1）因为m车、人v车、人?m车v车?m人v人 所以v车、人m车v车?m人v人??1.43m?s?1，车速变大，方向与原来相同。

m车、人（2）因为m车、人v车、人?m车v车?m人v人 所以v车、人?

m车v车?m人v人??0.286m?s?1，车速变小，方向与原来相反。

m车、人13

2-16 原子核与电子间的吸引力的大小随它们之间的距离r而变化，其规律为F?k，求电子从r1运动到r2r2(r1?r2)的过程中，核的吸引力所做的功。

解 核的吸引力所做的功为 W??r2r1??r2r2kr?rFdr??Fcos?dr???2dr?k12

r1r1rr1r22-17 质量为的子弹，在枪筒中前进受到的合力为，单位为，x的单位为m，子弹射出枪口时的速度为，试求

枪筒的长度。

解 设枪筒的长度为l，则根据动能定理有

12Fdx?mv ?02l

8000?1??32 400?xdx??2?10?300??0?92??l819???0即?l???0 ，得l?0.45(m) l?0.9l?400?20?22所以枪筒的长度为0.45m。

2-18从轻弹簧的原长开始第一次拉伸长度L。在此基础上，第二次使弹簧再伸长L，继而第三次又伸长L。求第三次拉伸和第二次拉伸弹簧时做的功的比值。 解 第二次拉伸长度L时所做的功为 W2?1132k?2L??kL2?kL2 222 第三次拉伸长度L时所做的功为 W3?11522k?3L??k?2L??kL2 222所以第三次拉伸和第二次拉伸弹簧时做的功的比值为

W25?。 W332-19 用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对钉的阻力与钉进木板之深度成正比。在第一次锤击时，钉被击入木板1cm。假定每次锤击铁钉时速度相等，且锤与铁钉的碰撞为完全弹性碰撞，问第二次锤击时，钉被击木板多深？

解 据题意设木板对钉子的阻力为?kx，锤击铁时的速度为v，则由功能原理可知在第一次锤击时有

0.01l121mv??kxdx；在第二次锤击时有mv2??kxdx，联立这两个方程可得第二次锤击时钉被击入的深

00.0122度为l?0.01?4.14?10(m)。

2-20如图2.13所示，两物体A和B的质量分别为mA?mB?0.05kg，物体B与桌面的滑动摩擦系数为

?3?k?0.1，试分析用动能定理和牛顿第二运动定律求物体A自静止落下h?1m时的速度。

解 用牛顿第二运动定律求解。分析物体受力如图2.3所示，则

14

对物体A有：mAg?T?mAa 对物体B有：T??kmBg?mBa 解之得：a? 因为v?所以 v?1??kg 22v0?2ah,v0?0,

gh?1??k??9.8?1??1?0.1??2.97?m?s?1?

用动能定理求解。对于物体A,B构成的系统动能定理可写为 mAgh??kmBgh?所以

1?mA?mB?v2 22?mA??kmB?gh2??0.05?0.1?0.05??9.8?1??2.97?m?s?1? v?mA?mB0.05?0.052-21 一弹簧劲度系数为k，一段固定在A点，另一端连结一质量为m的物体，靠在光滑的半径为a的圆柱体

表面上，弹簧原长AB，如图2.14所示，再变力的作用下物体极其缓慢的沿圆柱体表面从位置B移到了C，试分别用积分法和功能原理两种方法求力F所做的功。 解 利用积分法求解。

分析物体受力如图2.14所示，由于物体极其缓慢地沿光滑表面移动，所以有 F?mgcos??kx?mgcos??ka?

?因此力F所做的功为

W???01Fds???mgcos??ka??d?a???mgasin??ka2?2

02?利用功能原理求解，力F所做的功为 W?EMC?EMB?mgasin??122ka? 22-22 一长为l、质量均匀的链条，放在光滑的水平桌面上。若使其长度的1/2悬于桌边下，由静止释放，任其自由滑动，则刚好链条全部离开桌面时的速度为（） A.

2gl B.

13gl C. 23gl D. 22gl m，若选取桌面为零势能点，则由机械能守恒定l解 本题正确答案为B。

根据题意作图2.15.设链条的质量为m，则单位长度的质量为律得

??m?l???m???l??1?1???????g?????????l??g????mv2

?4??2?2??l?2???l??其中v为链条全部离开桌面时的速度。解之得

15

v?13gl 22-23 一弹簧原长为0.5m，劲度系数为k，上端固定在天花板上，当下端悬挂一盘子时，其长度为0.6m，然后在盘子中放一物体，弹簧长度变为0.8m,则盘中放入物体后，在弹簧伸长过程中弹性力做功为（） A.

?0.80.6kxdx B. ??kxdx C.

0.60.8?0.30.1kxdx D. ??kxdx

0.10.3 解 本题正确答案为D 因为弹力所做的功为W????0.8?0.5?0.6?0.5???kx?dx???0.1kxdx

0.32-24 如图所示，已知子弹的质量为m?0.02kg，木块的质量为M?8.98kg，弹簧的劲度系数

k?100N?m?1，子弹以初速v0射入木块后，弹簧被压缩了l?10m。设木块与平面间的滑动摩擦系数为

?k?0.2，不计空气阻力，试求v0的大小。

解 设子弹与木块碰撞后共同前进的速度为v，因碰撞过程中动量守恒，所以有 mv0??m?M?v 在子弹与木块一同压缩弹簧时，由功能原理得 ??k?m?M?gl?121kl??m?M?v2 22联立以上两式可得子弹的初速度为

v0?12kl??k?m?M?gl?12?319(m?s) 21?m???2?m?M?2-25 质量为M的物体静止于光滑的水平面上，并连接有一轻弹簧如图2.17所示，另一质量为M的物体以速度v0与弹簧相撞，问当弹簧压缩到最大时有百分之几的动能转化为势能，

解 当弹簧压缩到最大时系统以同一速度v前进，此过程中系统的动量守恒，所以有Mv0??M?M?v于是

1v?v0，故弹簧压缩到最大时动能转化为势能的百分率为

211?1?2Mv0??M?M??v0?22?2??50%

12Mv022-26 如图2.18所示，一木块M静止于光滑的水平面上，一子弹m沿水平方向以速度v射入木块内一段距离S?后停止于木块内。（1）试求在这一过程中子弹和木块的动能变化是多少？子弹和木块之间的摩擦力对子弹和木块各做了多少功？（2）证明子弹和木块的总机械能的增量等于一对摩擦力之一沿相对位移S?做的功。 解 （1）如图2.18所示。设子弹停止于木块内，二者一同前进的速度为V,因为子弹与木块碰撞的过程中动量

2 16

守恒，所以有mv??m?M?V,解之可得V?因此在这一过程中子弹和木块的动能变化为

mv

m?M211?mv?12?M ?Ek?mv2??m?M????mv?22m?M??2?m?M子弹和木块之间的摩擦力对子弹所做的功为

?? ?22?1?mv?1212??mv??mv?mv?1 ?f??S?S???m?????0 ??2?m?M?22??m?M????子弹和木块之间的摩擦力对木块所做的功为

1?mv?1m?2? f?S?M??0?Mv????0 2?m?M?2?m?M? （2）子弹和木块的总机械能的增量为

22?1??1?mv?212?m?12?M?2? ?EM??Mv???0???m???mv???mv??

2?m?M??m?M??2??????2?m?M?2?22 而摩擦内力所做的总功为

W??f??S?S???f?S??f?S??12?Mmv?2?m?M?? ?正好等于一对摩擦力之一沿相对位移S?做的功。

2-27 证明：在光滑的台面上，一个光滑的小球撞击（撞击可认为时完全弹性碰撞）另一个静止的光滑绣球后，两者总沿着互成直角的方向离开，设光滑的小球质量相等（除正碰外）。

证明 如图 2.19所示，由于在光滑台面上光滑的小球间的碰撞为完全弹性碰撞，所以动能和动量守恒。 由动量守恒，得

mv0?mv1?mv2 （1） 由动能守恒，得

???121212mv0?mv1?mv2 （2） 222（1）式两边平方，得

22 v0?v12?v2?2v1?v2 （3）

??将（3）式与（2）式比较，得v1?v2?0，而v1和v2均不为零，所以有v1?v2。

??????

习题精解

3-1 某刚体绕定轴做匀速转动，对刚体上距转轴为r处的任意质元的法向加速度为和切线加速度来正确的是

17

（）

A. an，a?大小均随时间变化 B. an，a?大小均保持不变 C. an的大小变化，a?的大小保持不变 D. an大小保持不变，a?的大小变化

解 刚体绕定轴做匀变速转动时，因为an?r?2,a??r?，而?为恒量，所以???0??t，故

an?r??0??t?。可见：an的大小变化，a?的大小保持恒定，本题答案为C. ?,?a?r3-2 一飞轮以的角速度转动300rad?min，转动惯量为5kg?m2，现施加一恒定的制动力矩，使飞轮在2s内停止转动，则该恒定制动力矩的大小为_________. 解 飞轮转动的角速度为???12???0t?0??01300?????2.5?rad?s?2?所以该恒定制动力矩大小为2260M?J??5?2.5?12.5?N?m?。

?13-3 一飞轮半径r?1m，以转速n?1500r?min转动，受制动均匀减速，经t?50s后静止，试求：（1）角

速度?和从制动开始到静止这段时间飞轮转过的转数；（2）制动开始t?25s后时飞轮的角速度?；（3）在时飞轮边缘上一点的速度和加速度。 解 （1）角加速度

?????0t?0?2n???50122?3.14?502?3.14?150060??3.14rad?s?2

??从制动开始到静止这段时间飞轮转过的转数 N?2?（2）制动开始后t?25s时飞轮的角速度

1500??3.14?25?78.5?rad?s?2? ???0??t?2n???t?2?3.14?60（3）在t?25s是飞轮边缘上一点的速度和加速度分别为 ?????1 v???r????78.5?1???78.5??m?s?

???2??0t??t2?15001?50??3.14?502602?625?圈? 2?3.14?????????2a?ann?a?????2r?n???r?????78.5??1?n???3.14?r????6.16?103n?3.14???m?s?2?

??3-4 有A、B两个半径相同、质量也相同的细圆环，其中A环的质量分布均匀，而B环的质量分布不均匀。若两环对过环心且与环面垂直轴的转动惯量分别为JA和JB，则有（）

A. JA?JB B.JA?JB C.JA?JB D.无法确定JA和JB的相对大小。

解 因为转动惯量J?rdm,对于细圆环而言，各质元dm到转轴的距离均为圆环的半径，即r?恒量，所

m?2 18

以J?r2m?dm?mr2。故A,B两个半径相同、质量也相同的细圆环，不论其质量在圆环上如何分布，两环对

过环心且与环面垂直轴的转动惯量JA?JB，本题答案为C。

3-5 刚体的转动惯量取决于______、________和____________等3各因素。_

解 干体的转动惯量取决于：刚体的总质量、质量的分布和转轴的位置3个元素。

3-6 如图3.4所示，细棒的长为l。设转轴通过棒上离中心距离为d的一点并与棒垂直，求棒对此轴的转动惯量JO?。试说明这一转动惯量与JO?棒对过棒中心并与此轴平行的转轴的转动惯量JO之间的关系（此为平行轴定理）。

解 如图3.4所示，以过O?点垂直于棒的直线为轴，沿棒长方向为x?轴，原点在O? 处，在棒上取一原长度元dx?，则 JO??m??x??dm??2?1???d??2??1????d??2??x??2?m??122?dx??ml?md ?l?12所以JO?与JO之间的关系为

JO??JO?md2

3-7 一轻绳在具有水平转轴的定滑轮上，绳下挂一物体，物体的质量为m，此时滑轮的角加速度为?，若将物体取下，而用大小等于mg，方向向下的拉绳子，则滑轮的角加速度将（ ） A.变大 B.不变 C.变小 D.无法确定

解 设滑轮的半径为R,转动惯量为J，如图3.5所示。使用大小等于mg，方向向下的力拉绳子时，如图3.5（a）,滑轮产生的角加速度为??mgR。 J绳下段挂一质量为m的物体时，如图3.5（b），若设绳子此时的拉力为T，则 对物体有： mg?T?m?R 对滑轮有： TR?J? 此时滑轮产生的角加速度为

mgR

J?mR2 比较可知，用大小等于mg，方向向下的拉力拉绳子时，滑轮产生的角加速度变大，本题答案为A.

??3-8 力矩、功和能量的单位量纲相同，它们的物理意义有什么不同？ 解 虽然力矩、功和能量的单位量纲相同，同为LMT2?2,但物理量的量纲相同，并不意味着这些物理量的物理

意义相同，力矩为矢量，而功和能量均为标量。力矩通过做功的过程使物体的转动状态发生变化，以改变物体所具有的能量。

3-9 如图3.6所示，两物体的质量分别为m1和m2，滑轮的转动惯量为J，半径为r。若m2与桌面的摩擦系数为?，设绳子与滑动间无相对滑动，试求系统的加速度a的大小及绳子中张力T1和T2的大小。

19

解 分析受力如图3.6所示。m1和m2可视为质点，设其加速度分别为a1和a2，则由牛顿运动定律得 ??m1g?T1?m1a1

?T2??m2g?m2a2滑轮作定轴转动，则由转动定律有

T1r?T2r?J? 由于绳子与滑轮间无相对滑动，所以 a1?a2?a??r

联立以上4个方程可得，系统的加速度a的大小及绳子中张力T1和T2的大小分别为

JJm??m?11m1??m2r2mg,T?r2mg a?g,T1?122JJJm1?m2?2m1?m2?2m1?m2?2rrrm2??m2?3-10 如图3.7所示。两个半径不同的同轴滑轮固定在一起，两滑轮的半径分别为r1和r2，两个滑轮的转动惯量分别为J1和J2，绳子的两端分别悬挂着两个质量分别为m1和m2的物体，设滑轮与轴之间的摩擦力忽略不计，滑轮与绳子之间无相对滑动，绳子的质量也忽略不计，且绳子不可伸长。试求两物体的加速度的大小和

绳子中张力的大小。

解 分析受力如图3.7所示。m1和m2可视为质点，设其受绳子的拉力分别为T1和T2，加速度分别为a1和a2，则由牛顿第二运动定律得

?m1g?T1?m1a1 ?

T?mg?ma?2222滑轮作定轴转动，则有转动定律有

T1r1?T2r2??J1?J2?? 由于绳子与滑轮间无相对滑动，所以 a1??r1,a2??r2

联立以上5个方程可得，两物体的加速度和绳子中的张力分别为

20

总平动动能为

2.0?1?30N0???6.022?2130?1.9?92210? E平动??3M2?10?21.??20J? 104-3 体积为1.0?10m的容器中含有1.03?10 氢分子，如果其中的压强为1.013?10Pa。求气体的温度和2235分子的方均根速率。

解 氢气的摩尔数为1.03?1023N，根据理想气体的状态方程得

0 T?N02?221301.?01350pV6.?10??1.31.0?31230R?1.?0323?108.31?071.102?7K? 氢分子的方均根速率为

v23RTH2???3?8.31?71.272.0?10?3?9.43?102?m?s?1? 4-4 在300K时，1mol氢气分子的总平动动能、总转动动能和气体的热力学能各是多少？ 解 对1mol气体分子有

E3平?RT?3?8.31?300?3.74?10322?J?E?22RT?2转2?8.31?300?2.49?103?J?

E总?E平?E转?6.23?103?J?4-5 （1）当氧气压强为2.026?105Pa，体积为3?10?3m3时，所有氧气分子的热力学能是多少？（度为300K时，4?10?3kg的氧气的热力学能时多少？ 解 （1）质量为M的理想气体的热力学能 E?Mi?2RT 根据理想气体的状态方程 pV?M?RT

故 E?Mi?2RT?i2pV 对于氧气分子，i?5，所以 E?i2pV?52?2.026?105?3?10?3?1.52?103?J? （2）当温度为300K时，4?10?3kg的氧气的热力学能

2）当温26

E?Mi45RT???8.31?300?7.8?102?J? ?2322?14-6 储有氧气的容器以速度v?100m?s运动，假设该容器突然停止，全部定向运动的动能都变为气体分子热运动的动能，问容器中氧气的温度将会上升多少？ 解 容器突然停止时，容器中分子的定向机械运动动能

1?Nm?v2经过分子与器壁的碰撞和分子之间的相互碰2撞而转变为热力学能的增量??N对于氧气分子，i=5,所以

??i?kT? 2?15?k?T?Nm?v2?N???

22??mv2mN0v2?O2v232?10?3?1002????7.7?K? ?T?5kR5R55?8.314-7 2?10?2kg的气体放在容积为3?10m的容器中，容器内气体的压强为0.0506?10Pa。求气体分子的最概然速率。

解 由理想气体的状态方程pV??235M?RT可得

RT??pV M气体分子的最概然速率为 vp?2RT?2pV2?0.506?105?3?10?2?1???389m?s??

M2?10?23?2?34-8 温度为273K，压强为1.013?10Pa时，某种气体的密度为1.25?10kg?m。求:(1)气体的摩尔质量，

并指出时哪种气体；（2）气体分子的方均根速率。 解 （1）由理想气体的状态方程pV?M?RT得

??MRT8.31?273?1.25??28?10?3?kg? 5Vp1.013?10该气体为氮气（N2）或一氧化碳(CO). (2) 气体分子的方均根速率为

27

v2?3RT??3?8.31?273?4.93?102?m?s?1? ?328?102RT。

4-9 证明气体分子的最概然速率为vp??证明 气体分子的速率分布曲线的极大值所对应的速率为最该然速率。 有数学知

df?v??0

dvvp气体分子的速率分布函数的数学式为

mvdN?m??2kT2?4?? f?v???ev Ndv2?kT??322代入上式得

mvmv??df?v?m?m??2?4??2ve2kT??2v?ve2kT???dvv?v2kT?2?kT??0p2322

????v?vpmv??m?2kT?4???2ve?2?kT?32

2?mv2??1??2kT???0v?vpmv2?0 所以 1?2kT即 vp?2kT m由于气体的摩尔质量??mN0，摩尔气体常量R?N0k，故上式亦可写成为 vp?4-10 质量为6.2?10?142kT2RT ?m?（1）g 的粒子悬浮于27?C的液体中。观测到它的方均根速率为1.40?10?2m?s?1。

计算阿伏伽德罗常数；（2）设粒子遵守麦克斯韦速率分布律，求该粒子的平均速率。 解 （1）因为所以

N0?1233Rmv?kT?T 222N03RTmv23?8.31?3006.2?1014?10?3??1.04?10?22???6.15?1023?mol?1?

28

（2）由麦克斯韦分布率求得分子的平均速率为

8kT8?1.38?10?23?300?2?1 v? ??1.30?10m?s???17?m??6.2?104-12 在压强为1.01?10Pa下，氮气分子的平均自由程为6.0?10m，当温度不变时，在多大的压强下，其平均自由程为1.0?10m。 解 因为

?35?8??v1kT ??22Z2?dn2?dp p?nkT

所以

??kT 22?dp1 p从上式可以看出，当温度保持不变时，??故

?1p1 ??2p2?16.0?10?8?1.01?105 p2?p1??6.06?Pa? ?3?21.0?104-13 目前实验室获得的极限真空约为1.33?10?11Pa，这与距地球表面1.0?104km处的压强大致相同，试求

?8在27?C时单位体积中的分子数及分子的平均自由程。（设气体分子的有效直径为d?3.0?10cm） 解 由公式p?nkT得

p1.33?10?11 n???3.21?109?m?3? ?23kT1.38?10??273?27?分子的平均自由程为

1.38?10?23??273?27?kT8 ????7.78?10?m? 22?10?112?dp2???3.0?10??1.33?104-14 若氖气分子的有效直径为d?2.59?10的平均碰撞次数为多少？ 解 因为Z??10m，问在温度为500K，压强为1.0?102Pa时，氖分子1s内

2?d2nv

29

p?nkT,v?所以

8kT8RT ??m??

?p?8RT?102Z?2?d??2?3.14??2.59?10??kT????2??1.0?108?8.31?500????3.1?106?s?1???23?33.14?20?10?1.38?10?500?2

习题精解

5-1 1mol理想气体，例如氧气，有状态A(p1,V1)在图5.2上p?V沿一条直线变到状态B(p2,V2)，该气体的热力学能的增量为多少？ 解 理想气体的热力学能E?MiRT ?2氧气为双原子分子 i?5 氧气的摩尔数为

M??1

Mi5R?T2?T1???p2V2?p1V1? ?22 ?E?E?5-2 如图5.3所示，一定质量的理想气体，沿图中斜向下的直线由状态A变化到状态B初态时压强为

4.0?105Pa，体积为1.0?10?3m2，末态的压强为2.0?105Pa，体积为3.0?10?3m2，求此过程中气体对外

所做的功。

解 理想气体做功的表达式为W? W??pdV,

其数值等于p?V图中过程曲线下所对应的面积

11?pA?pB??VB?VA????2.0?4.0??105??3.0?1.0??10?3?6.0?102?J? 225-3 如图5.4所示，系统从状态A沿ACB变化到状态B，有334J的热量传递给系统，而系统对外做功为126J.

(1)若系统从状态A沿ADB变化到状态B是，系统做的功42J，问由多少热量传递给系统。

（2）当系统从状态B沿曲线BEA返回到状态A时，外界对系统做功为84J,问系统是吸热还是放热？传递热量多少？

(3)若ED?EA?167J，求系统沿AD及DB变化时，各吸收多少热量？ 解 （1）对于过程ACB

EB?EA?QACB?WACB?334?126?208?J? 对于过程ADB过程

30

QADB??EB?EA??WADB?208?42?250?J? （2）对于过程BEA

Q??EA?EB??WCEAB??208?84??292?J? 负号表示放热。 （3）对于过程AD

QAD?ED?EA?WADB?167?42?209?J? 对于过程DB过程

QDB??EB?EA???ED?EA??208?167?41?J?

5-4 将压强为1.013?10Pa，体积为1?10m的氧气，自0?C加热到160?C，问：（1）当压强不变时，需要多少热量?(2) 当体积不变时，需要多少热量?(3)在等压和等体过程中各做多少功？ 解 氧气的摩尔数为

5?33pV1.013?105?1?10?311 n????4.46?10?2?mol?

?RT18.31?273m氧气为双原子分子，i?5 CV? Cp??i5R??8.31?20.8?J?mol?1?K?1? 227?i??1?R??8.31?29.1?J?mol?1?K?1?

2?2?（1） 当压强不变时，系统所吸热为

Qp??pdV??E?nCp?T2?T1??4.46?10?2?29.1??433?273??2.08?102?J?

（2） 体积不变时，系统所吸热为

QV??E?nCV?T2?T1??4.46?10?2?20.8??433?273??1.48?102?J?

（3） 在等压过程中所做功为 Wp??pdV??T2T1nRdT1?4.46?10?2?8.31??433?273??59.3?J?

在等体积过程中，气体体积不变，故所做的功为零。 说明：功的值亦可用热力学第一定律Q??E?W来求

?E?nCV?T2?T1??4.46?10?2?20.8??433?273??1.48?102?J? Wp?Qp??E?2.08?102?1.48?102?59.3?J?

WV?QV??E?1.48?102?1.48?102?05-5 如图5.5所示，1mol的氢气，在压强为1.013?10Pa，温度为20?C时，体积为V0，现通过以下两种过程使其达到同一状态：（1）保持体积不变，加热使其温度升高到80?C，然后令其做等温膨胀，体积变为2V0；

31

5（2）先使其作等温膨胀至体积为2V0，然后保持体积不变，加热使其温度升高到80?C，试分析计算以上两中过程中，气体吸收的热量，对外所做的功和热力学能的增量。

5R,在A-B等提过程中，气体不做功，热力学能增量为?E1 2553 ?E1?CV?T?R?T??8.31?60?1.25?10?J?

22解

氢气的等体积摩尔热容为CV?在B-C等温过程中热力学能不变，氢气的体积从V0变化到2V0，气体对外所做的功为 W1?RTln2V0?8.31?353?ln2?2.03?103?J? V0在A-B-C过程中，气体吸收热量为

333 QABC??E1?W1?1.25?10?2.03?10?3.28?10?J?

（2） 在A-D等温过程中，热力学能不变，气体对外做功为W2 W2?RT0ln2V0?8.31?293?ln2?1.69?103?J? V0在D-C等体吸热的过程中气体不做功，热力学能增量为?E2 ?E2?CV?T?55R?T??8.31?60?1.25?103?J? 22在A-D-C过程中，气体吸收热量为QABC

QABC?QABC??E2?W2?1.25?10?1.69?10?2.94?10333?J?

?33?25-6 如图5.6所示，质量为6.4?10kg的氧气，在温度为是27?C，体积为3?10m。计算下列各过程中气

体所做的功(1)气体绝热膨胀至体积为1.5?10m;(2)气体等温膨胀至体积为1.5?10m，然后再等体积冷却，直到温度等于绝热膨胀后达到最后温度为止。并解释这两种过程中做功不同的原因。 解 （1）绝热过程中，氧气的等体摩尔热容为CV? 有绝热方程TV11??1?23?235R,比热容比为??1.40。 2?T2V2??1得

??1?V? T2?T1?1??V2?,Q?0

??V???1?5??2?10?3?1.40?1? W1???E?CV?T1?T2??CVT1?1??1????8.31?300??1????3.75?103?J? ?3?V220?10?????????2???（2）等温过程中氧气的体积由V1膨胀到V2时所做的功为

32

V220?10?33 W2?RT1ln?8.31?300?ln?5.74?10?J? ?3V12?105-7 有1摩尔单原子理想气体做如图5.7所示的循环工程，求气体在循环过程中吸收的净热量和对外所做的净

功，并求循环效率。

解 气体经过循环所做的净功W为图1-2-3-4-1线所包围的面积，即

W??p2?p1??V2?V1???2.026?1.013??105??3.36?2.24??10?3?1.13?102?J?

根据理想气体的状态方程pV?M?RT得

Mp3T1V11.013?105?2.24?10?1??R?1?8.31?27.3?K?TMp2V22??54.6?K? ?RTMp

3V33??R?81.9?K?TMp4V44??R?41.0?K?在等体过程1-2，等压过程2-3中，气体所吸热量Q12、Q23分别为 Q12?CV?T2?T1??32?8.31??54.6?27.3??3.40?102?J? Q?T323?Cp3?T2??2?8.31??81.9?54.6??5.67?102?J?

在等体过程3-4，等压过程4-1中，气体所放热量Q34、Q12分别为 Q34?CV?T4?T3??32?8.31??41.0?81.9???5.10?102?J? Q?C312p?T1?T4??2?8.31??27.3?41.0???2.85?102?J?

气体经历一个循环所吸收的热量之和为 Q1?Q12?Q23?9.07?102?J?

气体在此循环中所放出的热量之和为 Q?7.95?1022?Q34?Q41?J?

式中Q2是绝对值。

气体在此循环过程中吸收的净热量为 Q?Q1?Q2?1.12?102?J?

此循环的效率为

33

Q27.95?102 ??1??1??12.5% 2Q19.08?105-8 一卡诺热机的低温热源的温度为7摄氏度，效率为40%，若要将其效率提高到50%，问高温热源的温度

应提高多少？

解 设高温热源的温度分别为T1和T1?，低温热源的温度为T2，则有 ??1?上式变形得

T1?T2T,???1?2 T1T1?T2T,T1??2 1??1???高温热源温度需提高的温度为 ?T?T??T1?T2T280280?2???93.3?K? 1???1??1?0.51?0.45-9 汽油机可近似地看成如图5.8所示的理想循环，这个循环也做奥托循环，其中BC和DE是绝热过程，试证明：

（1）此循环的效率为??1?TE?TB，式中TB、TC、TD、TE，分别为 工作物质在状态B,C,D,E的温度；

TD?TC（2）若工作物质的比热容比为r，在状态C,D和E,B的体积分别为VC、VB，则上述效率也可以表示为

?V???1??C??VB???1

证明 （1） 该循环尽在CD过程中吸热，EB过程中放热，则热机效率为

C?T?TB?QEBT?T?VE?1??1?EB (a) ??1?mQCDTD?TCCV?TD?TC?m?(2)在过程CD,DE中，根据绝热方程TV

??1?C有

TBVB??1?TCVC??1TEVE??1?TDVC??1

由以上二式可得

TE?TB?VC????

TD?TC?VB?

??1 （b）

34

把(b)代入(a)得

?VC? ??1????VB???1

5-10 设有一理想气体为工作物质的热机，其循环如图5.9所示，试证明其效率为

?V1????1V2?? ??1?? ?p1????1?p2?

证明 该热机循环效率为

QBCQ2 ??1? ?1?Q1QCA其中

QBC?

m?mCp?TC?TB?

QAC?所以

?CV?TA?TC?TB?1TC?TBTC?1?? ??1??

TATA?TC?1TC在等压过程BC中和等体过程CA中分别有

TBTCTATC，代入上式得 ?,?V1V2p1p2?V1????1V ??1???2?

?p1????1?p2?证毕。

习题解析

6-1 在坐标原点及(3,0)点分别放置电量Q1??2.0?10C及Q2?1.0?10C的点电荷，求P(3,?1)点处

?6?6 35

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