小学数学几何直观

一、什么是几何直观？

几何直观指的是通过“几何”的手段，达到“直观”的目的，实现“描述和分析问题”的目标。这里的“几何”手段主要是指“利用图形”，“直观”的目的主要是将“复杂、抽象的问题变得简明、形象”。因此，几何直观对学生而言是一种有效的学习方法，对教师而言是一种有效的教学手段，它是数形结合思想的体现，在整个数学学习过程中发挥着重要作用。第二，几何直观所利用的“图形”主要是指点、线、面、体以及由以上四要素组成的其他几何图形，在小学阶段主要有正方形、长方形、三角形、平等四边形、梯形、圆以及线段、直线、射线等。几何直观所要描述和分析的问题，不仅可以是生活问题，而且可以是数学问题。第三，几何直观的意义和价值主要体现在三个方面：一是有助于把复杂、抽象的问题变得简明、形象，二是有助于探索解决问题的思路并预测结果，三是有助于帮助学生直观地理解数学。

二、对于几何直观的认识

顾名思义，几何直观所指有两点：一是几何，在这里几何是指图形；二是直观，这里的直观不仅仅是指直接看到的东西(直接看到的是一个层次)，更重要的是依托现在看到的东西、以前看到的东西进行思考、想象，综合起来，几何直观就是依托、利用图形进行数学的思考和想象。它在本质上是一种通过图形所展开的想象能力。爱因斯：tH_(Einstein，1879—1955)曾说过一句名言：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且它是知识进化的源泉。严格地说，想象力是科学研究中的实在因素。”① \数学是研究数量关系与空间形式的科学。”空间形式最主要的表现就是“图形”，除了美术，只有数学把图形作为基本的、主要的研究对象。在数学研究、学习、讲授中，不仅需要关注研究图形的方法、研究图形的结果，还需要感悟图形给我们带来的好处，几何直观就是在“数学一几何一图形”这样一个关系链中让我们体会到它所带来的最大好处。这正如20世纪最伟大的数学家希尔伯特(Hilbert，1862—1943)在其名著《直观几何》一书中所谈到的，图形可以帮助我们发现、描述研究的问题；可以帮助我们寻求解决问题的思路；可以帮助我们理解和记忆得到的结果。几何直观在研究、学习数学中的价值由此可见一斑。

从另一个角度来说，几何直观是具体的，不是虚无的，它与数学的内容紧密相连。事实上，很多重要的数学内容、概念，例如，数，度量，函数，以至于高中的解析几何，向量，等等，都具有“双重性”，既有“数的特征”，也有“形的特征”，只有从两个方面认识它们，才能很好地理解它们、掌握它们的本质意义。也只有这样，才能让这些内容、概念变得形象、生动起来，变得更容易使学生接受并运用他们去思考问题，形成几何直观能力，这也就是经常说的“数形结合”。这次课程改革中，强调几何变换不仅是内容上的变化，也是设计几何课程指导思想上的变化，这将是几何课程发展的方向。让图形“动起来”，在“运动或变换”中来研究、揭示、学习图形的性质，这样，一方面，加深了对图形性质的本质认识；另一方面，对几何直观能力也是一种提升。由此也可以看到，在义务教育阶段培养学生的几何直观是很重要的。

几何直观与“逻辑”“推理”也是不可分的。几何直观常常是靠逻辑支撑的。它不仅是看到了什么?而是通过看到的图形思考到了什么?想象到了什么?这是数学非常重要而有价值的思维方式。几何直观会把看到的与以前学到的结合起来，通过思考、想象，猜想出一些可能的结论和论证思路，这也就是合情推理，它为严格证明结论奠定了基础。

有些数学研究的对象是可以“看得见、摸得着”的，而很多数学研究对象是“看不见，摸不着”的，是抽象的，这是数学的一个基本特点。但是，数学中那些抽象的对象绝不是无

根之木、无源之水，它的“根和源”一定是具体的。例如，我们看不到“七维空间”，但是，我们知道“白色的光是由7种颜色的光组成的：红、橙、黄、绿、青、蓝、紫。”这就可以是理解“七维空间”的“可以看到的源”，是帮助我们联想的“实物”和基础。在数学中，需要依托“一维、二维、三维空间”去想象和思考“高维空间”的问题，这就是几何直观或几何直观能力：

几何直观在研究、学习数学中是非常重要的，它也可以看做是最基本的能力，希望数学教师重视它，在日常教学中帮助学生不断提升这种能力。

三、对几何直观的认识与教学思考

摘 要：《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确提出在数学教学中要初步形成几何直观，强调了几何直观在学生建立数学概念、解决问题过程中的地位和作用。让学生懂得利用几何图形表征数学概念、性质和分析、解决数学问题是数学学习中最常用的，也是最有效的方法之一，并能把这种方法实践于学习中。 关键词：直观 几何直观 解决问一、对几何直观的认识 《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确提出在数学教学中要初步形成几何直观，强调几何直观在学生建立数学概念、解决实际问题过程中的地位和作用。 《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。”具体说来，几何直观是学生通过几何学习，在掌握几何图形的结构特征、空间关系以及度量的基础上，学会建立和操作平面或空间内物体的心智表征，形成准确感知和洞察客观世界的能力；能从空间形式和关系的角度对现实问题进行抽象和推理论证的能力。正如弗莱登塔尔所说，“几何直观能告诉我们什么是可能重要、可能有意义和可接近的，并使我们在课题、概念与方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。”这也与康德的“缺乏概念的直观是空虚的，缺乏直观的概念是盲目的”观念是相同的。 徐利治先生提出，直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，而几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。换言之，通过直观能够建立起人对自身体验与外物体验的对应关系。比如，代数里的列方程解决行程问题，在思考的时候，经常画出一个示意图，一条线代表一段路程，什么时间走到哪儿，另外一个人从另一个方向什么时间走到哪儿。这个示意图就是一个直观的模型，它帮助我们思考。比如，要说明三角形内角和是180°，你会任意画一个三角形，联系平角是180°的直观印象，想办法怎么把这3个角适当地搬搬家变成一个平角，这一思维的过程中也利用了直观。 需要强调的是，几何直观是指利用图形来阐释数学对象的含义，不能简单地把所有的直观手段都看做几何直观。 二、几何直观的价值追求 1.借助几何图形，理解数学概念。 人们在认识和理解抽象数学概念的过程中往往要使用视觉形象来表征数学问题，以便更加直观、清晰地了解知识的实质和关键，达到理解和接受抽象的数学内容和方法的目的。在数学教学中，由于学生受到知识经验和思维水平的影响和限制，经常会遇到一些很难用语言解释清楚的概念或性质，这时，图形直观往往会成为非常有效的表达工具。小学数学中的大多数概念、性质、法则等数学知识都可以利用几何图形来帮助理解。例如，五年级下册的《分数的意义》教材呈现了四幅图要求用分数表示涂色部分，引导学生直观地理解分数的意义。

 2.借助几何图形，分析数学问题。 几何直观是创造性思维能力的体现，在科学发现的过程中起到不可磨灭的作用。很多数学问题的解决，其灵感往往来源于几何直观，人们总是力求把要研究的问题尽量变成可用几何直观呈现的问题，借助具体可感的几何形象来加强

学生对信息及其关系的理解，帮助他们从整体上把握问题，提示问题的转化方法，从而获得真正的解题思路。正如波利亚所说，图形不仅是几何题目的对象，而且对于几何一开始没什么关系的题目，图形也是一种重要的帮手。从某种意义上说，几何直观对启迪学生解题策略的作用时显而易见的。解题过程中，个体借助示意图或线段图来表征数学问题情景的成分和结构，达到对数学问题结构的理解，并进而为解题者提供一些未经解释或只要通过形式转换就可以被察觉和使用的信息，以约束认知活动的范围，促进问题的解决。例如，下图是纯文字叙述的问题的几何直观表征，学生借助图形很容易发现解决问题的思路，充分体会到画示意图分析数学问题对探寻解题思路的重要作用。 3.借助几何图形，探索数学规律。 抽象观念、形式化语言的直观背景和几何形象，为学生创造了一个主动思考的机会。学生能够从洞察和想象的内部源泉入手，通过自主探索、发现和再创造，经历数学发现的过程。例如，苏教版教材安排一道思考题引导学生发现多边形的内角和。 在探索这一数学规律时，我们可以先出示正方形和长方形，让学生计算长方形和正方形的内角和，学生很容易发现它们的内角和是360°。继而，可以提问：那么一般的四边形的内角和是多少度呢？有规律吗？学生猜测可能也是360°，并说可以画一个任意四边形，想办法算一算。结果有的学生量了四个内角相加后发现是360°，有的把这个任意四边形的对角线相连，刚好把它分成了两个三角形，所以四边形的内角和是360°。 从这一案例的教学中可以看出，长方形和正方形图为学生计算四边形内角和提供了预测的基础，而将四边形转化成三角形计算内角和则是几何直观在解决问题的过程中的运用。 学生在解决问题时，往往会习惯性地对问题作出直觉的猜测，也正是因为这种直觉或猜想以及追求真理的愿望，引领学生展开进一步的探究，并最终解决问题。因此，数学教学要充分发挥几何直观在解决问题过程中的作用，注意引导学生经历利用几何直观把复杂问题转化成简单问题的过程，特别是一些可以利用直观来解决的问题，不必急于给出解决问题的方法，而要鼓励学生借助直观提出猜想或猜测，并尽可能地找出解决问题的方法或直接利用直观手段来解决问题，从而帮助学生不断积累利用直观手段进行思考的经验，发展几何直观的能力和解决问题的能力。 三、培养几何直观能力的教学策略 1.重视数与形的有机结合。 数与形是数学研究的基本对象。华罗庚先生说：“形缺数时难入微，数缺形时少直观。”借助形的知识研究数的问题，可以使问题变得更加直观，也容易发现不同的解决问题的方法。 例如，苏教版六年级下册“转化的策略”中安排了一道计算题： 实际教学时，可以分两个层次展开，培养几何直观能力。第一层次：指导看图，学会转化。呈现算式后，教师可以给学生一些思考的时间和空间，学生一般会应用通分的方法，转化成同分母分数进行计算。这时，教师可以鼓励学生思考其他的方法，当学生思维受阻时，出示直观图，引导学生把各个分数在直观图中表示出来，让学生在画示意图的过程中，体悟计算的简便方法。第二层次：让学生继续在图上分下去，写出算式并进行计算。 2.重视文字与图形的合理互译。 在数学学习过程中，有一些以文字形式呈现的问题可以翻译成符号语言或者图形语言，以帮助学生更好地理解问题，探索解决问题的思路。 例如，教学“倒推的策略”，让学生解决下面的问题：王大妈有一些鸡蛋，第一天

卖出全部鸡蛋的一半多2个，还剩16个鸡蛋，王大妈原来有多少个鸡蛋？很多学生往往会

这样解决：（16-2）×2。可以启发学生画出如下的示意图： 在画图的基础上，引导学生将题目中的数量关系与直观图形的意义对应起来，找到正确的解题思路，初步体会示意图对解决问题的作用。列式解答后，让学生看图解释每一步算式的含义，再一次借助图形直观阐释数量关系的含义，理解列式的依据。学生在这一过程中也能体会几何直观的价值。 经常性地利用图形描述文字信息，利用直观表征抽象的数学概念，有助于学生积累更丰富的几何直观的经验。 感悟思想，数学教学的理性追求 摘 要：教师对学科数学认识的窄化、功利化，是数学教学枯燥乏味的重要成因。把握数学基本思想

尤为重要。教学中，教师必须认真研读和整体把握教材，挖掘数学基本思想并使之明朗化；必须悉心演绎课堂，适时点化学生，使之经历知识“再创造”，充分感悟数学思想；必须实施反思性、实践性作业，促使学生在活学活用中内化、积淀数学思想。 关键词：数学思想 显化 点化 内化 让学生领悟数学思想的魅力，感受数学思想的力量，理应成为数学教师的教学诉求。作为数学教师，要从潜心研读数学教材、悉心演绎课堂、创新作业形式等途径引导学生感悟、内化和积淀数学基本思想。 一、潜心研读教材，显化数学思想 小学数学教材中蕴涵了丰富的数学思想。如果说数学知识是写在教材上的一条明线，那么数学思想就是隐含其中的一条暗线。明线容易理解，暗线不易看明。教师只有领悟并掌握数学思想方法，才能从整体上、本质上理解教材，只有深入挖掘教材中的数学基本思想，才能科学地、灵活地设计教学方法，使学生领悟、把握数学基本思想。 苏教版六年级上册“用假设的策略解决实际问题”例2是“鸡兔同笼”问题，教材是这样呈现的：首先用图示的方法，引导学生想一想、画一画；然后采用列表的方法，引导学生逐层逼近；最后使用问句的形式，引导学生打开思维另辟蹊径。我认为这部分教材至少蕴涵了三种数学思想：其一，几何直观的思想，“鸡兔同笼”问题对于小学生而言是比较抽象的， 如果能够将抽象的数量关系借助于直观的图形显现出来，可以降低思维的难度，促进学生的理解。其二，函数的思想，张景中教授认为小学阶段有三种重要的数学思想，函数思想首当其冲。教材引导学生列表，从假设全部是大船开始，然后调整大船的只数，最终得出结果。其实，这里的大船只数就是自变量，而小船只数和坐船的人数就是因变量，体现了函数思想。其三，假设的思想，这也是数学中重要的思想。无论是画图、列表，还是解方程都离不开它。当然，如果细究下去还有其他的一些数学思想，如区间套思想、逐步逼近思想等等，这里不再赘述。 数学基本思想的感悟不可能毕其功于一役，而应通过多种形式反复出现，促使学生逐步感悟。譬如分类的思想，在数学各个内容领域中都有所渗透，教师要有意识地将隐藏在文本背后的思想挖掘和显现出来。如“数与代数”部分涉及：数可以分为负数、0和正数，自然数可分为奇数和偶数，分数可以分为真分数和假分数等。“图形与几何”部分涉及：0°到180°的角可以分为锐角、直角和钝角，三角形按角可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，平面图形可以分为由曲线围成的图形和由线段围成的图形。“统计与概率”部分涉及：分类整理统计，事件发生的可能性可分为一定、可能和不可能三种情况。对于这些，教师要通盘考虑，整体把握，引导学生就为什么要分类，如何确立分类的标准，怎么分类进行追问，促使学生逐步感悟分类思想的深刻内涵。 二、悉心演绎课堂，点化数学思想 对于数学基本思想，学生不可能像吃饼那样一口一口地吞下去，需要场境的催化和灵感的不期而至。教师要善于做“砸向牛顿的苹果”，促使学生深入思考，豁然开朗，从而把握数学的本质与核心。 在概念的生成处点化。数学概念往往是剥离了生活的感性材料，抽象概括出其数和形的本质特征。史宁中教授认为数学基本思想包括抽象、推理、建模这三类，抽象解决了数学的入口问题。如果仅仅局限于告诉学生几个数学概念，那么对于学生数学思想的形成是不利的，甚至是有害的。因此，在教学中，我们必须让学生充分经历概念是如何从生活现实走向数学现实，实现数学化的过程。譬如《圆的认识》一课，我是这样引导学生利用聚化思维实现数学抽象的。先依次出现几种能形成圆的方法：第一个层次，教师用圆规在黑板上画一个圆，学生在自己的草稿本上画一个圆，比较两者的共同点，明白画圆要先固定一个点，再拉开圆规两脚，最后旋转一周。第二个层次，视屏观看在操场上画一个更大的圆。其一是体育老师以自己为中心用灰勺旋转一周画一个圆；其二是固定绳子一端，拉直绳子，旋转一周形成一个圆，追问：如果要画得更大，可以怎么办？再次比较这两种画圆方法的共同点。第三个层次，画出无形的圆，其一是用一根一端系着小球的绳子甩动一周，想一想小球走过的路线是什么；其二是观察时钟上秒针旋转一周针尖留下的痕迹，再将这一层次的画法与前两个层次进行比较。在这三个层次的基础上，聚焦分析：这三种方法都画出了一个圆，

他们有什么共同的地方？进而揭示出圆的三个要素：定点、定长、旋转一周。就这样，不断去除圆的非本质属性，直逼知识的核心部分，学生对于圆的认识逐步清晰和深刻。 在思维的伸展处点化。《面积是多少》是苏教版五年级下册的内容，它是学生从学习长方形、正方形面积到学习其他平面图形面积的过渡。这部分内容既起着桥梁的作用，又渗透着转化、区间等重要的数学思想。如果能把这部分内容教扎实、教透彻，对于面积的学习至

关重要。下面我以计算银杏树叶的面积为例，谈谈自己的教学。 首先，教师放手让学生估计，并追问其方法；其次，引导学生思考树叶面积的范围，即最少是整格的个数，最多是将所有不足一格的都当成整格来计数；再次，研究一般的估计方法，即把所有不满格的都当成半格来计数；最后，思考发现更准确的估计方法，也就是将边长1厘米的正方形划分成更多相等的小正方形。在此基础上，讨论有没有更简洁的估计方法，从而发现轴对称图形的巧妙数法。以往教学，教师大都采用“掐头去尾烧中段”的方法，局限于教学生“把不足一格的都当成半格”的方法来进行估计。而上述教学，学生对于为什么这么估计是清楚的，因为教师引导他们探究了树叶的面积范围（区间思想）；学生对于怎么估计是清楚的，因为他们既知道常规方法，又知道不断细分再估计的方法（不断逼近的极限思想），还知道简化估计的方法。 三、精心设计作业，内化数学思想 设计反思型作业。杜威认为人的思维中最重要的就是反省思维，只有经过深入地反思，人才有可能形成智慧。同样，要使数学思想真正内化为学生的智慧就离不开反省，因而设计反思性作业显得特别有意义。将数学作业理解为抄概念、做题目，这是对作业内涵认识的异化。反思性作业，也就是让学生对刚刚学习的内容进行回顾反思，写下自己的得与失、困惑与质疑。譬如在教学了平行四边形面积、三角型面积、梯形面积之后，我们便设计了这样的作业：如果用其中一种图形的面积公式概括其他几种，你认为哪种最为合适？学生经过比较之后发现：梯形的面积公式最具有概括性，因为平行四边形可以看成上底和下底相等的梯形，三角形又可以看成上底为0的梯形。有了这样的反思过程，学生对于运动变换的思想有了一定的认识。 设计实践性作业。数学思想也要在实践中体察和感悟。教师要引导学生走出书斋，关注实践，积累活动经验，感悟数学思想。在教学中，我一方面布置学生写数学日记，促使他们用数学的眼睛来观察生活，洞察数学的思想；另一方面，我设计一些富有挑战性的问题，促使学生动手实践，内化数学思想。在学生学习了长方体的体积之后，我设计了这样的实践性作业：测量一个土豆的体积，并思考为什么可以这么做。这是一个富有挑战性的实践性活动，也是转化思想活学活用的体现。

四、如何发展学生的“几何直观”

几何直观是数学新课程标准里提出的十个核心概念之一，标准里提出几何直观主要是指利用图形描述和分析问题，借助它可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。 几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。小学生的思维水平正处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡，离不开具体事物的支持。几何直观凭借图形的直观性特点将抽象的数学语言与直观的图形语言有机地结合起来，抽象思维同形象思维结合起来，充分展现问题的本质，能够帮助学生打开思维的大门，开启智慧的钥匙，突破数学理解上的难点。 “数无形不直观，形无数难入微”，“数形结合”的思想是重要的数学思想，其实质是使数量关系和空间形式巧妙和谐地结合起来，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来。小学数学教材中特别注重这种思想的渗透，借助几何直观，可以把数形结合思想更好地反映出来。通过图形的直观性质来阐明数之间的联系，将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，实现代数问题与图形之间的互相转化，相互渗透，不仅使解题简捷明快，还开拓解题思路，为研究和探求数学问题开辟了条重要的途径。借助

“形”的直观，能促进小学生形成从“数”和“形”的角度把“数和形”结合起来考虑问题的意识，有机渗透数形结合是一种重要的数学思想。例如：教学“连除两步计算问题”时，学校图书室买来200本新书，放在2个书架上，每个书架有4层。平均每层放了多少本书?最初可以出示书架的实物模刑，逐步用长方形的图示代替来说明解决问题的过程。①先算每个书架放了几本?②先算两个书架共有几层?③先算两个书架的一层共放几本书?以数形结合的方式帮助学生感悟用连除两步计算解决问题的数学本质。 直观是抽象思维问题的信息源，又是途径信息源，它不仅为抽象思维提供信息，而且由于直观形象在认知结构中鲜明性强，可以多思路、反复地给抽象思维以技巧。通过图形的直观性质来阐明数之间的联系，将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，实现代数问题与图形之间的互相转化，相互渗透，不仅使解题简捷明，还开拓解题思路，为研究和探求数学问题开辟了条重要的途径。直观图形的使用，不但可以帮助学生发现并理解数学结论，而且有利于掌握数学发现的方法，有利于培养学生的观察能力和空间观念。 以下通过《线段射线直线》这一课谈谈如何发展学生的几何直观： 一、让学生在主动参与中获取对图形的认识教学中关注学生的基本生活经验和生活经历，注重引导学生把生活中对图形的感受与有关知识建立联系，在学生积极主动的参与学习中。如在《直线与线段》教学中通过一组图片，视觉上给同学们直观的认识，引出直线，让学生很容易发现直线的特点，尤其直线是一个理想化的概念，几何直观的感受凸显的更加重要。学习直观几何，就像书上所说采用学生喜爱的“看一看、折一折、剪一剪、拼一拼、摆一摆、量一量、画一画”等具体、实际的活动方式，引导学生通过亲自触摸、观察、测量、制作和实验，把视觉、听觉、触觉、动觉等协同起来，强有力地促进心理活动的内化，从而使学生掌握图形特征，形成空间观念。 二、重视对学生识图、作图能力培养 图形是几何的灵魂，识图、作图更是学习几何最基本的素养，在讲授线段射线直线表示是亲自示范，强调图形名称及细节和注意，让学生在实际问题中动手去作图，同桌之间互相纠正，比一比谁画的更好，学生们在画图时无形会更加认真、标准，在彼此纠正过程再次巩固基本的画图方法，一举两得。 三、利用利用多媒体信息技术 多媒体技术除了给学生展现丰富多彩的图形世界外，也多了一条解决问题的途径。学生在动手探究过一点有多少条直线时，虽然发现有无数条直线这一结论，但多媒体为学生展示其不易想像的图形，扩大其空间视野，真正体会过一点有无数条直线。 四、利用几何直观培养学生思考问题的能力。 平面几何的许多性质、定义等学生很难记忆清楚，通过指导学生利用图形来记忆就比较容易解决问题，同时培养学生用图形的意识。如射线、线段的定义在图形的演示下，直观、生动再现图形形成的轨迹，利于概念的生成和记忆。在思考数学问题时，能画图尽量画图，目的是把抽象的东西直观的表示出来，把本质的东西显现出来，在学习数学是，应该指导学生养成一种用直观的图形语言，刻画、思考问题的习惯。利用图形来加强对概念、定理等的理解，实际上就是几何直观在发挥优势，也是培养数形结合的思想。几何直观能力是利用图形生动形象地描述数学问题，直观地反映和揭示思考、讨论问题的思路，揭示丰富多彩的数学思想。培养学生几何直观能力，不仅是新教材的要求，也是提高学生数学素质的要求，同时借助几何直观进行教学，可以形象生动地展现问题的本质，有助于促进学生的数学理解，有机渗透数学思想方法的同时，提高学生的思维能力和解决问题的能力。

五、几何直观在教学中的作用及其应用

图形与几何是初中数学教学的重要模块之一。几何直观是数学研究及数学教学的重要方法之一。几何直观是一种创造性思维，是一种很重要的科学研究方式，在科学发现过程中起到

不可磨灭的作用。在平面几何教学中，巧妙使用直观教具，采取观察比较归纳总结等方法，既能形象地解决教学上的难点，又能培养学生思考、探索、创新的能力，使教学收到良好的效果。“用图形说话”，用图形描述问题，用图形讨论问题，这是一种基本的数学素质。培养学生几何直观能力，是新教材的要求，也是提高学生数学素质的要求。 几何直观所指有两点：一是几何，在这里几何是指图形；一是直观，这里的直观不仅仅是指直接看到的东西（直接看到的是一个层次），更重要的是依托现在看到的东西、以前看到的东西进行思考、想象，几何直观就是依托、利用图形进行数学的思考、想象。它在本质上是一种通过图形所展开的想象能力。在整个数学教学中都应该重视几何直观，培养几何直观能力应该贯穿义务教育数学课程的始终。 1、 观察生活，培养学生观察能力 在现实生活中存在着无数的几何图形，引导学生观察图形，总结图形的特点，性质。积累生活经验。培养图感，这一定要让学生有一定的几何图形的积累，培养感觉，这需要一定质量的训练，让学生形成一定量的基本图形，及基本结论，基本题型。 2、在教学中使学生逐步养成画图习惯，重视学生画图能力的培养 首先让学生掌握一些基本图形的画法，如几何体的三视图；平面、异面直线的位置关系、直线与平面的位置关系（平行与垂直）、空间四边形、三棱锥、长方体正方体等直观图的画法，要求每一个学生都要画出图形的空间感。要求学生画出标准常见函数图像：正比例函数、发比例函数、 二次函数等。在日常教学中，在指导学生学习数学过程中，帮助学生养成画图的习惯是非常重要的。可以通过多种途径和方式使学生真正体会到画图对理解概念、寻求解题思路上带来的便利。在教学中应有这样的导向：能画图时尽量画，其实质是将相对抽象的思考对象“图形化”，尽量把问题、计算、证明等数学的过程变得直观，直观了就容易展开形象思维，无论计算还是证明，逻辑的、形式的结论都是在形象思维的基础上产生的。 3、充分尊重学生的主体地位，学生主动参与学习的全过程 采用直观感知、操作确认、思辩论证等方法认识和探索几何图形及其性质。让学生经历了“大胆想象——操作转化——验证猜想”这一过程，以图形间内在联系为线索，以未知向已知转化为基本方法开展学习，学会解决问题。借助于经验、观察或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力、以及几何直观能力，从而建立起人对自身体验与外物体验的对应关系。 4、注重模型的作用，让学生参与模型制作 新课标在几何数学中强调几何学习的直观性，强调实物、模型对几何学习的作用。课外让学生亲手制作立体几何模型，动手做一做，如利用积木搭建不同的几何图形等，可以更直接的感受空间几何图形的特征。发展学生的空间想象力促进学生思维的发展。

5、 利用现代教学手段，给学生展现丰富多彩的图形世界 借助于几何直观、几何解释，能启迪思路，几何直观是认识的基础, 有助于学生对数学的理解。教师充分利用多媒体课件演示，形象、直观，使学生得出结论，通过观察、交流、讨论等形式，发展学生思维和表达能力，这样教学对于培养学生的空间观念，发展学生解决生活中实际问题的能力都有重要作用。只要我们做个有心人，帮助学生建立起实物与概念间的联系，化抽象为具体，就可以促使学生更好地理解数学概念的本质，也能够提高学生学习的兴趣 6、 培养良好的思维习惯。 先对几何问题的结果进行一定的推测，可能用什么知识来解决。审题时注意结论和条件的关系。如给你一个几何条件，如给你等腰三角形底边上的高，你会想到什么有关的知识。 7、 重视交流合作，师生互动、生生交流，培养学生的合作交流能力 新课程标准提倡学生的自主学习，在课堂教学中主张以学生为主体，注重师生互动和生生互动。为了突出重点，突破难点，教师在引导学生自主探索后，让学生交流，自主探究平行四边形的面积计算方法。小组同学发挥合作精神，纷纷积极主动参与活动中来，有序参与小组讨论活动。充分尊重学生的主体地位，学生主动参与学习的全过程，采用直观感知、操作确认、思辩论证等方法认识和探索几何图形及其性质。 总之，利用直观几何教学法可以把数学中抽象难懂的概念、定理 直观的展示在学生面前，充分表达它们的具体含义，并在解题中灵活运用，使数学的教与学

变得形象生动，有利于激发学生的学习兴趣，提高学习效率，培养学生的数学直觉和数学思维，进而提高学生的数学素养。

义务教育数学课程标准（2011年版）中此次课标的最大改变是： “双基”变“四基”。 四基：

数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验 “六个核心词”变“十个核心词” 十个核心词：

数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识

其中：几何直观、运算能力、模型思想、创新意识是新加上去的。 下面我们一一对十个核心词进行讲解： 一、数感

数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。

建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。 如同球员的球感，歌手的乐感一样……

（姚明是大家都比较熟悉的，他在NBA赛场上，大家都看到他一个个漂亮的投球、一个个漂亮的动作，这都是跟他的球感分不开的；还有歌手，之所以成名，是因为他们具有较好的音乐细胞，具有较强的音乐感分不开的，如果一个人，五音不全，也就是说他缺少音乐感，你想说他要成为一个歌手那就是做白日梦一样，就是让他唱一首普通的歌曲都很难的。） 简单、通俗地说，数感就是数的感觉。

教学数数、数的基数意义与序数意义、数序与数的大小比较……都有助于形成数感。 数感培养实践的误区……

误区之一：数感是与生俱来的，后天无法养成（龙生龙、凤生凤、老鼠生来挖地洞；猫生猫、狗生狗、小偷儿子三只手的思想）

不可否认，某些数学家天生就有很强烈的数感，10岁的高斯毫不费劲地完成了等差数列（比如由1到100的自然数）求和，得益于他对计算方法的直接把握；12岁的帕斯加独立完成了三角形内角和定理的证明，一直为人们津津乐道。瑞士著名的伯努利家族在三代人中产生了八位数学家，我国南北朝祖氏父子、清朝梅文鼎祖孙的数学成就闻名于世，但毕竟是凤毛麟角，屈指可数。

数感的形成固然有遗传因素和家族影响的作用，而更多是后天努力的结果。解析几何创始人笛卡儿出身于法国贵族家庭，父亲是政府雇员；牛顿出身在英国农民家庭，还是遗腹子，全靠自己努力取得成功；概率论奠基者拉普拉斯的父母是法国农民；费马则是法国皮革商的儿子。我国古代数学家刘徽、杨辉、朱世杰、秦九韶，直到近代的程大位、徐光启、李善兰，他们家族中没有一人是数学家，他们的数学素养全靠后天养成。更何况数学新课程的培养目标不是数学家，数学教育的目的在于提高学生的数学素养，“获得适应未来社会生活和继续学习所必需的数学基本知识和技能”，会“数学地”思考问题。 误区之二：数感的培养必须通过数学情境

通过创设情境激发学生的数学学习兴趣，这是新课程所提倡的，本身无可厚非。问题是有些教师过于追求教学的情境化，为了创设情境可谓是“冥思苦想”，好像数学课脱离了情境，就不是新课程理念下的数学课。为了培养数感，今天是去商店“买东西”，明天要旅游点“买门票”，后天又

是计算“存款利息”，或者呢今天喜洋洋、明天灰太狼、后天黑猫警长，一派糊涂，刚开始的新鲜劲一过，学生们渐渐习以为常，情境也就失去了新异性，根本不能激起他们的兴趣。 误区之三：脱离学生实际的“自编题”

为了贴近生活，老师常常“挖空心思”编造一些题目来帮助学生建立数感，由于忽视了学生的生活基础往往显得不伦不类。比如：“100张新版的100元人民币捆在一起有多厚？1亿张100元人民币有多厚？”想想一下，有多少个孩子，特别是农村孩子，有测量100张100元人民币的机会。同样的理由，在课堂上让学生完成下面这道题也有点不切实际：“请你测量一张新版100元人民币的长、宽及厚度是多少？假如这种人民币有100万元，请你为银行设计一种长方体铁箱来装这100万元，长方体铁箱的长、宽、高最少是多少？你有哪几种方案？”难道我们的小学生当场都能摸出100元钱？其实，用学生身边的东西也可以达到同样的目的：“量一量你的数学课本，每页纸的厚度大约是多少？这本书有多厚？100本这样的书摞在一起有多高？1亿本呢？”

过于依赖量，过于特殊的量 下面是一个很好的案例

利用千字文这个例子来让学生认识数感是一个比较贴近生活的例子。（A学生有可能会一个一个地数；B可以一行一行地数，每行有20个，共有50行；C可以一列一列地数，每列有50个，共有20列；D两列共100个，两列两列地数，有这样的10组；E一行20个，5行就是100个，这样每5行就是100，做个记号，最后一数共有10个100，就是1000。）

将千字文贯穿于教学各个环节，绝非牵强附会、哗众取宠，用千字文远非教材中立方块所能比拟，而且不但能激发兴趣，更能让孩子们在无形中受到文学熏陶，让课堂弥漫着别样的人文气息。（学科渗透）

3000006000 三十亿零六千

（我们平时在教学学生读数的时候，都是要求学生按照每一级末尾的0不读；每一级开头的0或中间有0都要读出来，但不管有多少个0只读一个就行。） 在这里这个“零”能不能去掉

30600， 30060， 30006 三万零六百 三万零六十 三万零六

接下来的这些“零”能不能去掉，去掉后会有什么变化？ 6789读作( )千 ( ) 百 ( ) 十 ( ) ；

6789由( )个千，( )个百，( )个十和( )个一组成. 6789=( )×1000＋( )×100＋( )×10＋( )

这三道练习是让学生通过读数、数的组等来让学生读出数感来。 怎样培养学生的数感： 1.在数概念教学中培养数感

（1）图形的展示让学生从数的概念的认识中，遵循学生的认知规律和年龄特征，先从一到十到百到千到几千的认识，让学生感知到数形成和大小。

（2）看图写数这个练习(数概念直观化的练习)是让学生直观的认识，让学生增强数感 （3）第2到练习是（数概念生活化的练习）是把数概念渗透到生活中去，让学生从具体的情境中去感悟10000有多大，同时大家都知道；数学来源于生活，有服务于生活，所以在这，教师注意选材，让学生能真正的体会出10000大概会有多大。 （4）前面的读一读、填一填的练习（数概念形式化的练习） “多样化”旨在“各取所需”，适应不同学生！

这里的“多样化”是指在取材方面要适合学生的需求、适应不同的学生。 2.在计算教学中发展数感

小数乘法计算法则的推导通过形象直观的图表，让学生先知道0.15×3可以看成是有3个0.15，也可以看做先有3个0.1，再加上3个0.05。

分数除法计算法则的推导是结合直观的演示，让学生感知6除以三分之二，其实就是把1小时的路程看成一个整体，也就是3份中的2份是6 ，那1份就是6÷2,3份就是6÷2×3，从而有根据前面学过的分数除以整数就可以换成乘倒数，再结合结合律，计算法则自然就会推导出来。 小学数学历来重视数感培养，从“自发”走向了“自觉” 3.在解决实际问题中展现数感 72×15＝1080（米）

1080稍大于1000；就应该在少年宫的东面。

1080超过2000的一半多一点，从而就容易标出相应的点。都是真正的数感，与量无关 二、符号意识

符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。

建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。 对于儿童来说，在幼儿园或一年级老师常常教幼儿读儿歌： 1像铅笔，会写字。2像鸭子，水中游。 3像耳朵，听声音。4像小旗，迎风飘 5像称钩，来买菜。6像哨子，吹声音。 7像镰刀，来割草。8像麻花，拧一道 9像蝌蚪，尾巴摇。10像铅笔加鸡蛋 （贯穿数形结合的思想）

其实数字也是一种数学符号。把数与形结合起来，这也是一种符号意识。 对于小学数学来说：

首先是让学生亲近符号，接受、理解符号！ 怎样让学生亲近符号，接受、理解符号呢？ 先认识运算符号

“＋”从演示过程看，加号更直观的表示合并； “－”从演示过程看，减号更直观的表示去掉一部分；

“×”从演示过程看，乘号是加号的特殊形式，因而乘法就是加法的特殊（简便）的运算； “÷”从演示过程看，除号表示平均分，非常平均。（上下一样） 关系符号

“＝”处处平衡（“再也没有比平行而又等长的短线段更确切的相等符号了” ——列科尔德） “＞”向左张开，不平衡，伸出右手两指张开就形成一个“＞”。 “＜”向右张开，不平衡，伸出左手两指张开就形成一个“＜”。 “≈”处处变弯，但间隔接近。

“≠”在等于号上打了一撇，表示不相等。 诸如此类，举不胜举。

可见：数学符号如同“象形文字”， 简洁、生动、形象、传神。

符号本身就具有促进理解，帮助记忆的教学功能。 任何教学艺术、任何语言描绘，都相形见绌！（chu） 其次是让学生感悟符号表达的优势与作用。

乘法分配律中，两个数与它们、一个数与这个数是对应的，但是数字符号至局限于本道题，而用字母表示它就可以随意了。

（数学魔术）

你想一个整数，把它乘2加7，再把结果乘3减21。告诉我计算结果，我立即能判断出你想的整数是多少？

设：所想的数为x， 则（2x＋7 )×3－21 ＝6x＋21－21 ＝6x

其实这里的密密就是6的倍数，（也就是说你要说出的整数必定是6的倍数才符合题意）就直接把这个数除以6就可以得到该数。 三、空间观念

空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。 实际物体 几何图形 特征描述

在教学几何图形的时候，遵循学生的认知规律和教材的编排意图，一般情况都是先于实际物体让学生通过观察、探索，从中抽象出几何形体，然后再次根据实物和形体进行特征描述。 空间观念发展规律 例如：指认圆柱高 空间知觉（表象的基础） 实物指认 ↓

空间观念（表象的形成） 图形指认 ↓

空间想象（表象的改造） 剖面指认 三种水平既递进发展，又交错共存 小学生空间观念发展的若干特点 (1)从感知强成分到感知弱成分 强弱具有相对性,特殊性 如：形状；边的长短是强成分； 关系；角的大小是弱成分。

（第一个图的展示）在人的错觉中，认为角的边越长，角就越大，第一个图的展示是通过平移后，两个角刚好完全重合，让学生更加加深角大小不是由边的长短有关，而是与角的张开的大小有关。

（第二个图的展示）初看给人的感觉好像就是一个平行四边形，但是通过直观的演示后知道上下两条边不一样长，它应该是一个梯形。 (2)从认识单一要素到认识要素间关系

A第一个图展示就是从单一变多样，第一次显示就是两条直线互相垂直，单纯表示垂直这个要素；（单一的要素）第二次演示又加了两条斜线，形成了不同的角，既有直角的表示、又有锐角、钝角、平角的要素；同时也很好地让学生知道锐角、直角、钝角、平角之间的关系。（要素间关系） B第二道题是关于能不能装下的问题，如果单从体积比较来说，盒子的体积比物体的体积大，就会出现能装下的可能；（单一的要素）但是真正能装得下，就是实物的每一条表都要比盒子的边要小，这就是要求高的问题，这道题其实就是涉及到学生都对题目思路的要求的要素问题。（三种要素都要考虑）

(3)从熟悉标准图形到熟悉变式图形

第一个图示要求从中能找出几对相等的三角形，通过演示让人更加容易知道（1）从等底等高的三角形面积相等的图形有两对；而从面积相等的两个图形中去掉同一个部分后面积相等的图形有一对，共有三对。（标准图形）

第二个图形也是从相等图形中去掉同一个三角形得到两个面积相等的四边形。（变式图形） (4)从直观辨认图形到语言描述特征 如：识别梯形→说出梯形特征 (5)从使用日常语言到使用几何语言 如：底面→横截面

(6)从形成二维空间观念到三维空间观念

1、图形A的展示是比较周长的大小，通过直观演示，进行平移代换感知周长的相等。 2、图B的展示是比较表面积的大小，通过直观演示，进行移动代换感知表面积是一样的。 怎样发展学生的空间观念？

（1）观察：有序观察，选择对象，变换角度 （2）操作：学会画图，动手操作，自我释疑 （3）变式：变化形状，变化位置，变化大小 （4）辨析：同中见异，异中求同，精确分化 （5）结合：形象与语言结合，数与形结合 四、几何直观

几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。

几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。

案例1：团体操原来队伍每行10人,有5行。现在调整成每行增加3人，增加2行，现在需要增加多少人？

案例1通过把数转换成形体展示，借助几何直观把问题简单化。

案例2比较两种图形的大小，大的圆形的面积等于四个小的圆形的面积总和，但是图中重叠的部分共有八分，把其中四份换到空白部分就是形成整个圆，从而就可知两种图形的面积相等。 五、数据分析观念 数据分析观念包括：

了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息；

了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；

通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。 数据分析是统计的核心。

注重学生理解数据分析是从了解到体会的过程，是按一定的认知规律来的。 案例1：小学生的研究性学习 案例2：两幅条形图蕴涵的信息

研究性学习的缘起：父子争论，看电视是否影响视力？ 自行设计调查问卷：

1.你平均每天看多长时间的电视？

半小时以下 半小时～1小时 1小时以上 2.你的视力怎样？ 5.2～5.1 5.0～4.9 4.8～4.7 4.7以下 在统计的过程中，该学生先通过调查收集相关数据，然后根据调查到的数据制成条形统计图，从条形统计图中明显表示出：

视力是5.2 — 5.1的三种时间段中，半小时至一小时的人数做多； 视力是5.0 — 4.9的三种时间段中，半小时至一小时的人数做多； 视力是4.8 — 4.7的三种时间段中，半小时至一小时的人数做多； 视力是4.7以下的的三种时间段中，半小时至一小时的人数做多；

从中可以看出，在每个视力段里头，都是显示每天看半小时至一小时的人数最多。 从而可以得知：每天看电视时间不要过长，时间在半小时至一小时为宜。

第二个图是动画片的投入和收益的信息。“我为歌狂”投资大于收益；而“狮子王”却是投入大，但收益却是投资的16倍多，这就是国产动画片和国外动画片的制作差距的问题。

（现在国内多数动画产品，都达不到国际入门级水平，它们实际上不是动画作品，更准确地说只是动漫产品。动画产品是完全靠绘画表现力去吸引人的作品，而国内动画片制作因为成本问题，大多数仅是电脑FLASH软件制作出来的无纸动画产品，而非靠大量人力去手绘每一个动作与神态。按照国际市场标准制作一部动画片的成本大概是我们目前行业内动画产品的十倍，由于成本太高，我们的市场对这种制作水准的动画片没有消化能力。） 数据中蕴涵着信息 图的直观性可能产生“误导” 一格表示的数量越小 条形的长短相差越大

初看这两幅条形统计图，给人的感觉就是第二幅图的数据比第一幅大，但是仔细一看却是第一幅图的数据比第二幅图的数据大，这是由于两幅图的起点不同，还有两幅图数据间隔不一样，每个表示的数量不同。 条形图与折线图可以混用

条形统计图和折线统计图混用更直观的知道变化的情况。 很难有一个标准来衡量，用条形统计图好还是折线统计图好。

所以在教学中不要讲得那么的绝对，这主要起决于图形绘制者想表达怎样的信息。条形与折线可以混用。 六、运算能力

主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。

培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。 合理选择算法正确运算

（1）打破以往的小数、分数的乘除法的计算方法，一般情况是要把小数化成分数、或把分数化成小数、或采取直接约分的方式来进行计算，而这这里却是把小数看成整数的方法来进行计算，因而可见，合理地选择计算方法是很重要的，不能强求同意的方法，这也是显示出不同的人在数学上得到不同的发展这一理念。 （2）56×9=560-56=504 56×63=504×7=3528

这两道题目的计算，其实就隐含着乘法分配律和结合律的运用，只不过是在过程中省略一些步骤。 列竖式计算，第一步学生可以按照3和56相乘得到168，而第二部是应该是再把6和56相乘，也可以这样认为，6是3的2倍，所以就直接写出168的2倍就是336，把它对号入座。 估算过程中的合理判断

第一种方法把18看成20，看大了，得到的积就会比实际结果大；

第二种方法是把22看成20，把18看成20，一个看大，一个看小，积就更加接近实际的结果； 第三种方法是把22看成20，得到的结果就会比实际结果小。

传统的“简便运算”适度保留，发挥它的训练功能。

89×1.01=89.89 在计算时只要把1和89相乘得到89，再把1和89相乘写在相应的位置，其实这里也隐含着乘法分配律，但在这里更加简便。 反例是学生忽略了运算的顺序，这是一种定势的影响。 寻求合理简洁的运算途径解决问题。

题目（1）按常规的想法一般都是把其中三个不同的数进行组合相加算出相应的和，而在这里却是先算出四个数的总和，再把和分别去减掉最小的数和最大的数，方法更加简便。

题目（2）一般的算法是把100分别减去48和47，或者把100减去48和47的和；但是在这里把100分成两个50，再把两个50分别减去48和47，再求出和。 七、推理能力

推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。

推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。

在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。 案例1： 因为3×6＝18

所以30×600＝18000 凭借经验和直觉—合情推理 （先把3和6相乘得18，再加上3个0） 因为3×6＝18

所以30×6＝18个十 凭借数的概念—演绎推理 （30表示有3个是十，3个十和6相乘就得18个十） 所以30×600＝180个百

（600表示有6个白百，30×600就是6个百和30相乘，就是180个百） 案例2：

因为长方形面积＝长×宽

所以长方体体积＝长×宽×高 类比—合情推理 案例3：

图形体积是通过演示叠放小正方体来进行推算 根据体积单位概念与计数—演绎计算

（一行排几个（长），排几行（宽），有几层（高）要运用几个小方块才能拼成这个大正方体，也就是要把几个乘几行再乘几层，从而可推出长方体体积=长×宽×高） 八、模型思想

模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。

建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。 这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。 单价×数量＝总价 本金×利率＝利息

y:x＝k(一定)； xy＝k(一定)

?

小胖每分走40米，小巧每分走60米，他们从相距1500米的两地同时出发，相向而行，几分钟后相遇？

? ? ?

师徒合作加工零件，15天共做1500个，师傅平均每天做60个，徒弟平均每天做几个？ 篮球、足球各买15个，篮球每只40元，足球每只60 元，一共应付多少元? 如图，求两种蔬菜的总面积(单位：米)。

以上几道题目其实它是可以看成是一个a×b＋c×d＝s 一个模式的题目，也就是说这几道题它具有这样的数量关系。

图1和图2的展示图也是一样的具有a×b＋c×d＝s这样的模式。

以小胖每分走40米，小巧每分走60米，他们从相距1500米的两地同时出发，相向而行，几分钟后相遇？为例 设x分钟后两人相遇。

40x＋60x＝1500 1500＝40x＋60x (60＋40) ＝1500 60x＝1500－40x 1500－40x＝60x 1500÷x＝60＋40 40x＝1500－60x 1500－60x＝40x 1500÷x－40＝60 1500÷x－60＝40 这样的一题多解有意义吗？你认为怎样列方程便于思考。

?

水池同时打开进水管、出水管，几小时后水池满？

（崔永元在他的《不过如此》中写道：“对我来说，数学是疮疤，数学是泪痕，数学是老寒腿，数学是类风湿，数学是股骨头坏死，数学是心肌缺血，数学是中风…….。当数学是灾难时，它什么都是，就不是数学。”竟然有人如此痛恨数学，象崔永元这样的名人始终难以摆脱数学的恐怖阴影，值得我们数学教师深刻反省！）

? ?

动态平衡的数学模型 只是“取材不当”

九、应用意识

应用意识有两个方面的含义，一方面有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题；另一方面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。 图1

利用“左右的相对性”，解释

左右是人教版一年级下册第一单元中内容，学生生下来父母就教会了学生认识左右，这是作为父母最基本的职责，数学上的左右实际上是一种序的规定，所谓“左右的相对性”实际上是一种序的特征，左右的方向特征也是由此来确定的，也就是说左右确定了，顺序也就建立起来了。 “上下楼梯靠右走”的合理性。 图2

方巾边长的最小公倍数数。 图3

间隔时间的最小公倍数 图4

一圈用时的最小公倍数

（应用求最小公倍数的方法解决相关问题）

在整个数学教学的过程中都应该培养学生的应用意识，综合实践活动是培养应用意识很好的载体。 突破应用题单列的教材体系，应用跟随知识，

恢复了数学知识与应用的天然联系。

第一个图示看出是：是把数学知识与实际生活联系起来，从实际情境中感悟数学的存在。 平行的有：

森林北路和森林南平行；森林西路和中山路平行；中山路和森林东路平行； 森林西路和森林东路平行；樟树路和玉兰路平行，共有五组平行线。 垂直的有：

森林北路和森林西路、中山路、森林东路分别垂直，共有3组； 森林南路和森林西路、中山路、森林东路分别垂直，共有3组； 大学路和樟树路、玉兰路分别垂直，共有2组。

第二个图显示是一个实践活动，调查家庭一周的开支情况： 1、通过数据采集——制作相应的统计表、统计图； 2、图表的应用——感知变化的规律

3、数据的分析——根据一周的开支来估算出本月的总开支。 4、根据“样本”推断“总体”——从一周的统计估算出一个月的总开支。 5、统计知识的综合应用。 十、创新意识

创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。

学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。

创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终。 创新：最高阶的思维，能培养吗？ 创设宽松、和谐的学习氛围 提供刺激，激活学生的潜能 ……

什么样的刺激有可能激活学生的潜能呢？ 案例1

下面阴影部分占整个长方形的( )分之( )。

通过习题展示：先让学生产生质疑，是老师把题目搞错吗？不按常规出题，让学生大胆去进行猜测、讨论、推断，通过度量来感知蓝色部分占总体的八分之三。 案例2

主要是让学生通过让学生以不同的形式展示个人的学习成果，知道可以通过不同的形式设计画图都能达到对应的效果，又是发挥个人所长，体现不同的人在数学上得到不同的发展这一理念。 案例3

通过叠三角形的方法来推算三角形面积计算公式，先把三角形各个对应的角叠放，最后形成一个长方形，由长方形的面积推导出三角形面积。 以上三个案例都能很好地展示了创新思维的培养。

【教学目标】 1、让学生通过经历预测猜想——实验观察——数据处理—合情推理—探究创造的过程，理解和掌握分数的基本性质，知道它与整数除法中商不变性质之间的联系。

2、根据分数的基本性质，学会把一个分数化成用指定的分母做分母或指定的分子做分子而大小不变的分数，为学习约分和通分打下基础。

3、培养学生观察、分析和抽象概括的能力，渗透事物是互相联系、发展变化的辩证唯物主义观点。体验到数学验证的思想，培养敢于质疑、学会分析的能力。 【教学重点】使学生理解分数的基本性质。

【教学难点】让学生自主探索，发现和归纳分数的基本性质，以及应用它解决相关的问题。

【教具准备】课件，五年级数学学具盒，计算器。 【教学过程】

一、 呈现材料，发现问题

１、师：老师这儿有一个关于孙悟空在花果山上做美猴王时发生的故事，想听吗？ 花果山上的小猴子最喜欢吃美猴王做的饼了，有一天，猴王做了三块大小一样的饼分给小猴们吃，它先把第一块饼平均分成四块，分给猴１一块，猴２见了说：“太少了，我要两块。”猴王就把第二块饼平均切成八块，分给猴２两块，猴３更贪，它抢着说：“我要三块，我要三块。”于是，猴王又把第三块饼平均分成十二块，分给猴３三块。

[评析：创设情境，在学生喜欢的人物分饼的故事中直接导入本课，这样设计可以吸引学生的注意，让学生主动感知，主动去思考，激起学生的探究兴趣，让学生产生想获知结果的欲望。内含情感与态度目标：孙悟空，做事认真仔细，机智，勇敢，本事大等。] 师：听到这里，你有什么想法吗？或你有什么话要说吗？ 生1：我觉得孙悟空很聪明。

生2：我认为三只小猴分到的饼是一样多的。

生3：我认为猴王这样分很公平，第1只小猴分到了一只饼的1/4，第2只小猴分到了一只饼的2/8，第3只小猴分到了一只饼的3/12，这三只小猴分到的饼是一样多的。

[评析：一般的教师会在这里提出“哪只猴子分得的饼多？”或“你认为猴王这样分公平吗？”这样的问题。但这位教师却提出“听到这里，你有什么想法吗？或你有什么话要说吗？”。这个问题优于前两个问题是因为学生在思考时思路更深、更广。有效的问题有助于摆脱思维的滞涩和定势，促使思维从“前反省状态”进入“后反省状态”，问题的解决带来“顶峰”的体验，从而激励再发现和再创新，有效的问题有时深藏在潜意识或下意识中，“顿悟”由此而生。有效的创设问题可以激发学生创新意识。内含情感与态度目标，体现公平。] ２、师：大家都觉得其实三只小猴分到的饼一样多，那你们有什么方法来证明一下自已的想法，让这三只小猴都心服口服呢？怎么验证？

（１） 师引导学生充分利用桌面上学具盒中的学具(其中一条长方形纸片为事先放入，其它都是五年级数学学具盒中原有的)，小组合作，共同验证这三个分数的大小？ （２） 师：实验做完了吗？结果怎样？哪个小组先来汇报验证的情况？ 组1：我们组把24根小棒看作单位“1”，平均分成4份，其中的一份有6根，就是1/4。平均分成8份，其中的二份有6根，就是2/8。平均分成12份，其中的3份也有6根，就是3/12。所以1/4＝2/8＝3/12。

组2：我们组把24个小立方体看作单位“1”，平均分成4份，其中的一份有6个，就是1/4。平均分成8份，其中的二份有6个，就是2/8。平均分成12份，其中的3份也有6个，就是3/12。所以1/4＝2/8＝3/12。

组3：我们把一个圆平均分成4份，取其中的一份是1/4，我们把同样大小的圆平均分

成8份，取其中的两份是2/8，我们再把同样大小的圆平均分成12份，其中的3份用3/12表示，我们再把圆片的1/4、2/8、3/12叠起来是一样大的，所以1/4＝2/8＝3/12。（注1/4圆是学具中本来就有的，2/8是用两个1/4圆合在一起，3/12是用2个1/3合在一起） 组4：我们组是这样验证的。我们把同样大小的长方形纸平均分成4份，其中的一份是1/4，取另外一张再平均分成8份，其中的两份是2/8，接着取另外一张继续平均分成12份，其中的3份是3/12，然后也叠在一起，大小一样，所以我组也认为1/4＝2/8＝3/12。 组5：我组与他们的验证方法都不一样，我们是计算的：1/4=1÷4=0.25；2/8=2÷8=0.25；3/12=3÷8=0.25。三个分数都等于0.25，所以1/4＝2/8＝3/12。 [评析：书本上的设计是用折纸来验证这三个分数相等，在这里执教者大胆的放大教材，把一系列探究过程放大，把“过程性目标”凸显出来。同时也为学生探究方法的多元化创造了条件，出现了多种验证的方法。还有这样设计把一些知识联系起来，用计算器的目的，是和五年级上学期的一节计算器课联系起来，而且为验证猜想做准备，可以比较分数的大小，节约时间。和单位“1”的概念联系起来，体现出了单位“1”概念中的两层含意。] ３、组织讨论

（１） 师：既然三只小猴子分得的饼同样多，那么表示它们分得饼的分数是什么关系呢？（投影出示分饼图） 板书1/4＝2/8＝3/12

（２） 你能从图上找到另一组相等的分数吗？ 板书3/4＝6/8＝9/12 [评析：书本例1为比较3/46/8和9/12的大小。执教者在创设情景时选择的分数是有目地的]

４、引入新课

师：黑板上二组相等的分数有什么共同的特点？学生回答后板书。 生：分数的分子和分母变化了，分数的大小不变。 师：我们今天就来共同研究这个变化的规律。 ５、引导猜测

师：你们猜猜看，在这两组相等的分数中，分子和分母发生了怎样的变化，而分数的大小不变。

生1：分子和分母都乘以一个相同的数，分数的大小不变。 生2：分子和分母都除以一个相同的数，分数的大小不变。 生3：分子和分母都加上一个相同的数，分数的大小不变。 生4：分子和分母都减去一个相同的数，分数的大小不变。 师：根据学生回答板书

[评析：这样设计注意了知识背景的丰富性，拓宽了“分数基本性质”的研究背景。在教学中，学生充分观察学习材料，发现问题后，教师引导学生提出猜测。学生的实际猜想可能会出现观点不一，表达方式不同，或者不够完整，甚至是错误的，这都不重要，重要的是它是根据学生已有的知识经验提出的，能够自已提出问题，已经向探索迈出了可喜的一步。教师留给了学生足够的思空间，让学生充分展现心中的疑惑，呈现了四种不同的假说。如此一来，学生不但是进入到了知识的学习过程中，更是进入到了知识的研究过程中。“分数基本性质”的研究背景从知识层面上来看已经拓宽了，从以前的只局限于“分子和分母同时乘（或除以）一个相同的数，分数的大小不变”拓宽到对““分子和分母同时乘（或除以、或加上、或减去）一个相同的数，分数的大小不变”的研究，有利于学生更为充分地经历“性质”形成的过程，全面地理解和认识“分数的基本性质”，同时还为沟通加、减、乘、除四种情况在分数的大小不变过程中的区别和联系奠定了基础。]

二、 活动研究，探究规律。 １、引导研究，感知规律

师：猜测是不一定正确的，需要通过验证才能知道猜测是不是有道理，规律是否存在。我们需要对以上的猜测进行验证。你们准备如何进行验证？ 生：举一些例子来验证

师：怎样举例验证呢？我们以其中的一个猜测来试试看好吗？我们选哪一个为好？ 生：分子和分母都乘以一个相同的数，分数的大小不变。 师：好，我们就选这个，试试看。

学生以小组为单位进行尝试验证，教师作适当指导。 反馈：根据学生回答板书 １/２＝０.５

1×２/２×２＝２/４＝０.５ １×３/２×３＝３/６＝０.５

师：看了这些小组的举例验证，能说明这个猜测有道理吗？ 有什么要补充的吗？ （学生没有答出０除外）

师：谁能写出几个与１／３相等的分数。比一比谁写的多。 生回答，师板书１/３＝２/６＝３/９?? 师：这样写得完吗？ 生：不能

师：分子和分母是不是可以乘以所有的数。 生：0要除外。

师：为什么0要除外呢？

生：0不能做除数，也不能做分母。

[评析：学生在巩固知识的过程中得出结论：这样是永远也写不完的。这时，教师适时点拨，将学生的思维引向更深层次，从而自然得出“０除外”的结论。这样形成的记忆是深刻的。]

２、自主研究，理解规律 师：我们已经用举例验证的方法验证了“分数的分子和分母都乘以一个相同的数分数的大小不变是正确的。那么，其它三个猜测是不是也是正确的呢？接下来我们每一个小组选取一个猜想进行验证。

学生自由选择，教师适当进行调配。

师：为了在研究中能够节约时间，我给大家提供了一些材料，你可以借助这些材料进行验证。当然，你有更好的方法也可以用。

学生小组合作进行研究，教师作适当指导。 反馈交流 小结：

师：看来在分数里，只有分数的分子和分母都乘或都除以相同的数（０除外）分数的大小不变，而分子和分母同时增加或者同时减少相同的数，分数的大小是会变的。这就是我们今天学习的内容。

出示课题：分数的基本性质

师：你们认为性质中哪几个字是关键字。 生：“都”，“相同的数”，“０除外” 生齐读投影上的分数的基本性质

[评析：这样的设计使学生对四个“假说”的验证过程认知比较充分。这不仅为学生准确理解和把握“分数的基本性质”提供了丰富的感性材料，同时，也为学生体验数学学习的过程创造了条件。教师在该环节的处理上出于对学生实际的考虑，安排了两个层次。第一层次选择“分子和分母都乘以一个相同的数，分数的大小不变。”这一猜测进行验证，一是让学生充分体验一次验证的过程，认识到过程中的注意点，二是有利于教师下一步的调控和指导。正是有了这样的引导，学生在第二层次的独立验证活动中，才能够更多地关注数学学习内在的东西，排除了一些不必要的干扰。学生探究的过程比较清晰，对学习方法的体验也比较深刻、到位。由于这样的设计，使整节课的重心从关注知识的传授转移到关注学习方法的指导上。更重要的是这样的设计体现出了猜测——验证——结论的思维模式。] ３、沟通说明，揭示联系。

师：今天我们学习的分数的基本性质与我们以前学过的什么知识很相似。 生：商不变性质 出示商不变性质

师：分数的基本性质与商不变性质有什么相通的地方吗？ 生：分数中的分子相当于除法中的被除数，分母相当于除法中的除数，分数值相当于商。 师：我们平时所学的有些知识和知识之间是有联系的。有时候与我们身边的事也是有联系的。

[评析：引导学生沟通分数的基本性质与商不变性质之间的联系，可以使学生体会到知识与知识之间有时是可以联系起来的。这样的设计有效的培养了学生的比较、分析、综合的能力。]

出示动画片断。(注孙悟空有一次因一时大意，被妖怪关在了一个金钵中，金钵能随孙悟空变大而变大，随孙悟空变小而变小，孙悟空出不来。)

师：孙悟空为什么跑不出来，这与我们今天学的知识是不是有点相似。 生：分数的基本性质。

[评析：数学中的概念是比较抽象的，这样的设计可以帮助学生理解和记忆。同时也可以让学生体会到知识与生活中的一些现象是可以联系的。 例如自从一八四五年德国化学家霍夫曼发现苯之后，许多化学家绞尽脑汁要破解它的分子结构，然而对当时的人类从未想到环状的分子结构的存在，所以化学家们纷纷撞壁而相继放弃。一八六五年某个寒夜，已经研究多年不肯罢手的化学家库凯里在一整天徒劳无功的探索后，歪在火炉边打盹，意识滑入梦乡，然后，奇怪的事情发生了，他在梦中看见一大堆原子在眼前雀跃，其中有一群原子排成长长的链，在那儿扭动、盘卷，再仔细一看，啊！是一条蛇咬住自己的尾巴，而且得意洋洋地在他面前猛烈旋转！像被闪电击中，库凯里立刻惊醒，领悟到苯的分子结构是前人未曾梦想过的封闭环状，难怪那些持旧有的开放式链状观点来研究的专家通通碰了一鼻子灰。从此，化学研究也因为这个革命性的发现而进入新的里程碑。在那个看见蛇咬尾巴的梦境中，库凯里领悟到苯的环状结构式。 这样设计可以使学生在回答什么是分数的基本性质时，先想到动画，再用语言表达出内容。同时也可以使学生体会到运用这样的思维方式为以后遇到难以解决的问题是可以提供一定的帮助的。内容情感与态度目标：做事或解题时不能粗心大意。]

师：猴王运用什么规律来分饼的？你们会运用今天的知识来解答问题吗？ 三、 应用性质，解决问题。 １、出示例２：

思考：要把１／３和１６／２４分别化成分母是６而大小不变的分数，分子、分母怎么变化？变化的依据是什么？ 板书

２、多层练习，巩固深化 （１） 书本试一试

游戏（第一关：初露锋芒、第二关：勇往直前、第三关：再接再厉、第四关：大获全胜。每一关都有相应的练习题）

[评析：练习设计层次安排合理、形式多样、由浅入深。采用游戏的形式，抓住学生好胜的心理，在不知不觉中完成了练习，节约了练习的时间。体现了趣味性、生动性、开放性。既巩固了新知，又发展了思维。] 四、 课堂总结

师：今天我们学习了分数的基本性质，回忆一下，我们是怎样学的？ 生１、我们是用举例的方法学的。 生２、我们是用验证的方法学的。 生３、我们是通过比较发现了规律。

师：是的，这节课我们在学习过程中，通过“猜想”、举例、验证等方式，概括得出了分数的基本性质并且运用这一知识解决了一些问题。 师：我这里还为大家准备了一个故事。（哥德巴赫猜想加陈景润的故事） 师：你听了有什么启发吗？课后同学们可以互相讨论一下。

[评析：让学生回忆这节课的学习历程和发现的一些规律，这样做更能体现“过程”。让学生带着问题下课，把对数学研究的兴趣延伸至课外，鼓励学生大胆创新。] 分享到: QQ空间 腾讯微博 分享0 收藏0 顶0 踩0 举报 lspjy

初中二年级

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发表于 2008-11-10 07:22:00 |只看该作者

[总评：

分数的基本性质这节课不是一种静态的数学知识的教学，不应着眼于规律的结论和应用。认识是一个过程，而不是结果，教一个人某门学科，不是要使他把一些结果记录下来，而是要他参与知识的构建过程。因此教师应向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法。在这节课中执教老师大胆地创设了一种大问题背景下的探索活动，使学生在一种动态的探索过程中，自己发现分数的基本性质，从而体验发现真理的曲折与快乐，感受数学的思想方法，体

会科学的学习方法。

执教老师在设计本节课时着重把握了几个关键的理念： 1、“猜想－验证－反思”的教学模式是学生主动探求知识的有效方式。

在课堂上教师创设了一种“猜想”的学习情境，以“猜想”贯穿全课，引导学生大胆猜想－举例验证－质疑讨论－完善猜想－迁移旧知。让学生用自己的思维方式猜测，学生情绪高涨，思维活跃，呈现了四种不同的假说。一旦有了自己的想法，种种不同的猜想结果又激起了他们进行验证的需要，把学生的思考引向深入，使猜想成为事实。在这个过程中，学生有了更大的自由空间、学生猜想的切入点众多，不仅对学生提出了挑战，而且对老师如何驾驭课堂提出了更高的要求。因为学生有了更大的思考空间，学习方式是开放的，解决问题的方式是多元的，这就要求教师备课时能站在学生的角度思考，提高教学预设的能力。这种教学模式不仅使学生对知识理解得更深刻，更是一种科学态度的熏陶。看来“猜想－验证。”是数学课堂教学中让学生主动探求知识的一种值得提倡的方式，同时对教师有很大的挑战性。 2、主动探索有利于充分暴露学生的问题。

让学生自己提出猜想，学生会涉及到多种思考方法。在此过程中，学生暴露出来的问题是多种多样的，其中有很多问题老师难以预计。教师要力图抓住这些真实的问题，以这些问题为载体，使之成为教学的最佳资源。

例如：让学生自己选取一条猜测进行验证时，极少有同学选取“分子和分母都除以一个相同的数，分数的大小不变。”这条来验证的。其实学生没有想到假分数，或者说平时见到的分数大多是真分数而影响了学生的思维。

作为教师要充分信任学生，放手让学生做思维的先行者，不怕走弯路，不怕出问题，因为学生有了问题才更有探索的价值。

3、根据学生的年龄和心理特征，精心设计教学情景和练习内容。

新课的引入新颖。一上课，先听一段故事，学生非常乐意，并立即被吸引。思考故事当中提出的问题，学生自然兴趣浓厚。通过故事设疑，激起了学生探求新知的欲望。在本节课中，通过孙悟空分饼这个故事情景先让学生提出想法，再让学生自己选取学具证明三个分数是相等的，此时学生的好胜心被激活了，诱发学生主动去探究分数的分子与分母之间的规律。就这样把抽象的知识贯穿于故事情节中，使学生在情景中探究知识的生成过程，学得趣味盎然，意犹未尽。

另一方面教师的设计又突出了趣味性。如中间孙悟空被关在金钹中的动画片段的引入，这动画和分数的基本性质是有相似性的。教师把它作为一个资源引入到课堂中来，不仅吸引了学生，又没有偏离教学的主线，是一次成功的课堂教学尝试。再如练习的设计，虽然只是把练习题和闯关游戏简单的组合，但却激发了学生的好胜心，加快了练习的速度。 4、以主体性教育理念为指导，充分尊重学生在课堂上的主体地位。 学生的发展，很大程度取决于学生主体意识的形成和主动参与能力的培养。学生积极参与学习过程，是学生主动学习最主要的特征，没有学生的主动参与，就没有学生的主动学习。在这节课中教师通过几次必要的合作学习，为求让学生主动探索，逐步获取，开发学生的潜能。在教学中教师为学生提供了自主探索的机会，合作学习的机会，通过让学生动手、动口中、动脑，充分参与教学活动，培养了学生的抽象概括能力、动手操作能力和口头表达能力，充分体现学生的主体作用。

整节课从故事引入开始，环环相扣，设计了一系列的数学学习活动，这些活动有学生问题的思考、有学生的动手、有学生之间的合作、有学生的讨论辨析等等，都是教师在引导，在组织着学生的学习活动，学生通过自己的努力，主动地构建了分数的基本性质这一知识。学生在愉悦、民主、和谐的气氛中完成了学习任务。

分数的基本性质课堂实录

2009-04-18 17:27:53| 分类： 教学教案 |举报|字号 订阅

教学内容：义务教育课程标准实验教材小学数学第十册P75-76例1、例2

教学目标：1、通过提前预习，自主探索，让学生探索并理解分数的基本性质，能利用它改变分数的分子和分 母，而使分数大小不变。

2、培养学生观察能力、动手操作能力和分析概括能力。

3、在学习过程中养成相互帮助、协作合作的良好品德。

教学重点、难点：

1、从相等的分数中看出变也不变，观察、发现、概括其中的规律。

2、形成对分数基本性质的统一认识。

教学过程：

一、 创设情景，引入新知。

师：孩子们，数学的课堂，自然离不开数字啦，在自然数1到9中，你最喜欢哪两个数字？生1：3和4 生2：1和2 生3：4和9、 生4：6和8

生5、6、7：????

师：恩，我们每一个人喜欢的数字都不同，那我们就先来研究第一个同学喜欢的3和4这两个数字。板书：3和4

师：如果老师在3和之间写上除号，现在这两个数字变成了什么？

生：变成了一道除法算式

师：你能不计算结果很快地说出和3÷4的商相等的除法算式吗？

生1：6÷8 生2： 9÷12 生3： 30÷40 ?????

师：同时扳书：3÷4=6÷8=9÷12=30÷40问：你为什么这么快就能说出如此多的和3

÷4的商相等的除法算式呢？

生：根据商不变的性质

师：能否说一说什么是商不变的性质呢？生：被除数和除数同时乘以或者除以相同的数（0除外），商不变。

师：非常棒，把掌声送给他。课件出示商不变的性质，生齐读。 师：根据分数与除法的关系，3÷4写成分数是：生1：3/4 。生2：???..

师板书：↓

3÷4 = 6÷8= 9÷12= 30÷40

↓ ↓ ↓ ↓

3/4= 6/8 = 9/12 = 30/40

师：根据上面的关系我们可以把这几个分数用等号连接吗？

生：可以

师：奇怪啊，这几个分数的分子和分母都不相同，为什么也可以相等呢？看样子分数之间也有一定的规律呢？那这节课我们就一起去寻找相等的分数之间的奥秘吧！

二、自主探究、合作交流

1、自学课本第75～76页例1、2的内容。

师：通过预习你学会了什么？还有哪有困惑？

生：我知道了分数的分子和分母同时乘上或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变，是分数的基本性质。

师：边板书

师：还有什么疑问吗？生无语。师：如果沉默，那我就当你们都会了，老师可就要考考你们啦！好不好？

师：写出： 1/2= 2/4= 4/8根据你们的预习，你是用什么方法证明 1/2= 2/4=4/8 呢？

2、初步探索，感知规律。

（1）、小组合作讨论，交流

（2）、学生汇报交流：

生1：我们小组的方法是：这是三张相同的纸张，把第一张纸平均分成2份，其中一份就是 ，把第2张纸平均分成4份，其中的2份就是 ，再把第三张纸平均分成8份，其中的4份就是 ，通过比较发现图色的部分大小一样，所以说 1/2= 2/4=4/8 。

生2：我们小组的方法是画三条相等的线段，把第一条线段把第一张纸平均分成2份，其中一份就是 ，把第2条线段平均分成4份，其中的2份就是 ，再把第三条线段平均分成8份，其中的4份就是 ，比较发现他们的长短是一样长的，所以说1/2 =2/4 = 4/8。

生3：我们的方法是这样的，我手里有16块大小相等的小正方体，我先把它平均分成2份，这样一份就是 ，有8块。如果我把它平均分成4份，这样的2份就是 ，也是8块。如果把它们平均分成8份，取这样的4份就是 ，还是8块。所以说 1/2=2/4 =4/8

生4：我们小组是把8支彩笔平均分成2份，其中一份是 ，有4支?????（与上面方法相同）

生5：我们小组的方法是：有分数的分子除以分母1÷2 =0.5 2÷4=0.5 4÷8= 0.5

它们都等于0.5，所以说 1/2= 2/4= 4/8

生6：我们的方法是根据商不变的规律：1/2 =1÷2=（1×2）÷（2×2）= 2/4

2/4 =2÷4=（2×2）÷（4×2）=4/8 所以说 1/2= 2/4= 4/8

生7：我们组还有一种方法可以证明它们三个分数相等。如果把1米平均分成2份，每份就是0.5米，如果把1米平均分成4份，每份是0.25米，其中2份就是0.25×2=0.5米。

如果把1米平均分成8份，每份是0.125米，4份就是0.125×4=0.5米。所以说1/2 =2/4 = 4/8

师：非常棒，你们能想出这么多的方法来证明1/2 = 2/4= 4/8，你们真是了不起。

3、再次探索，感受规律

师：那你们仔细观察一下1/2 =2/4 = 4/8它们的分子、分母各是按照什么规律变化的？

（1） 小组交流回报：

生1：我发现它们的分子、分母都分别乘2

生2：从后往前看我发现它们分子、分母都分别除以2

师同时板书

师：果然是这样的变化的，你能举出几个这样的例子吗？

生1：2/3 =6/9=12/18 ，它们的分子、分母分别乘上3

生2：4/5 = 12/15=36/45，它们的分子、分母分别扩大3倍

生4：50/60 = 5/6，它们的分子、分母分别除以10

生5：???????.

师同时板书

（2）观察比较、概括规律

师：从上面的这么的例子中，你可以得出什么？

生1：分数的分子和分母同时乘上或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。这就是分数的基本性质。

师：非常好，来齐读一遍。问：你认为分数的基本性质中，哪些词是关键词？

生1：相同的数

生2：同时乘或者除

生3：0除外

师：为什么要0除外？

生：0做不能做分母，没有意义。

（3）归纳小结

三、运用规律解决问题，自学例2

1、出示例2：把下面的分数化成分母是12而大小不变的分数

2、你是根据什么规律填空的？

生：分数的基本性质

四、练习反馈，巩固应用

1、填空：

2、游戏：玩法：同桌之间一位同学任意说一个分数，另一位同学根据这个分数说出一个和它相等的分数。

3、判断： 4、智胜猪八戒：孙悟空买来1个西瓜，平均分成4块，打算给师徒4人每人1块，猪八戒看到只能分1块，很不高兴，要孙悟空多分他几块。孙悟空满足了他的要求，4人还是吃得同样多。想想八戒吃了这个西瓜的几分之几？猴哥，我想要3块

5、挑战自我

（1）3/5 的分母加上25后，分子要加上（ ），才能使分数的大小不变。

（2）6/30 =（ ）÷15= 5/( ) 五、、反思总结，拓展深化

1、 你有什么收获？还有什么疑问需要提出来？

2、拓展：请你自己根据生活实际，自己举一个运用今天所学规律来解答的问题。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/2oro.html