2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国Ⅱ.文)含详解

2009年普通高等学校招生全国统一考试试卷题

文科数学

第Ⅰ卷（选择题）

本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：

如果事件A B ，互斥，那么

球的表面积公式

()()()P A B P A P B +=+ 24πS R =

如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径

()()()P A B P A P B = 球的体积公式

如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R = n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率

其中R 表示球的半径 ()(1)(01,2)k k n k n n P k C P P k n -=-=，，，

一．选择题

（1）已知全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8}，M ={1，3，5，7}，N ={5，6，7}，则C u ( M

N )= (A) {5，7} （B ） {2，4} （C ）{2.4.8} （D ）{1，3，5，6，7}

答案：C

解析：本题考查集合运算能力。

（2）函数(x ≤0)的反函数是

（A ）2y x =（x ≥0） （B ）2y x =-（x ≥0）

（B ）2y x =（x ≤0） （D ）2y x =-（x ≤0）

答案：B

解析：本题考查反函数概念及求法，由原函数x ≤0可知AC 错,原函数y ≥0可知D 错，选B.

（3） 函数y=22log 2x y x -=+的图像

（A ） 关于原点对称 （B ）关于主线y x =-对称

（C ） 关于y 轴对称 （D ）关于直线y x =对称

答案：A

解析：本题考查对数函数及对称知识，由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又f(-x)=-f(x)，故函数为奇函数，图像关于原点对称，选A 。

（4）已知△ABC 中，12cot 5

A =-，则cos A = (A) 1213 (B) 513 (C) 513- (D) 1213

- 答案：D

解析：本题考查同角三角函数关系应用能力，先由cotA=125

-

知A 为钝角，cosA<0排除A 和B ，再由1312cos 1cos sin ,512sin cos cot 22-==+-==A A A A A A 求得和选D （5） 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 重点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为

（A ）10 (B) 15 (C) 10 (D) 35

答案：C

解析：本题考查异面直线夹角求法，方法一：利用平移，CD ’∥BA',因此求△EBA'中

∠A'BE 即可，易知EB=2,A'E=1,A'B=5,故由余弦定理求cos ∠，或由向量法可求。

（6） 已知向量a = (2,1)， a ·b = 10，︱a + b ︱= b ︱=

（A （B （C ）5 （D ）25

答案：C

解析：本题考查平面向量数量积运算和性质，由a b +=a+b ）2=a 2+b 2+2ab=50，得|b|=5 选C 。

（7）设2lg ,(lg ),lg a e b e c ===

（A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）c a b >> （D ）c b a >>

答案：B

解析：本题考查对数函数的增减性，由1>lge>0,知a>b,又c=2

1lge, 作商比较知c>b,选B 。 （8）双曲线13

62

2=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则r= （A ）3 （B ）2 （C ）3 （D ）6

答案：A

解析：本题考查双曲线性质及圆的切线知识，由圆心到渐近线的距离等于r ，可求r=3

（9）若将函数)0)(4tan(>+=ωπ

ωx y 的图像向右平移6

π个单位长度后，与函数)6t a n (πω+

=x y 的图像重合，则ω的最小值为 (A)61 (B)41 (C)31 (D)21

答案：D

解析：本题考查正切函数图像及图像平移，由平移及周期性得出ωmin =2

1 （10）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有

（A ）6种 （B ）12种 （C ）24种 （D ）30种

答案：C

解析：本题考查分类与分步原理及组合公式的运用，可先求出所有两人各选修2门的种数

2424C C =36，再求出两人所选两门都相同和都不同的种数均为24C =6，故只恰好有1门相

同的选法有24种 。

（11）已知直线)0)(2(>+=k x k y 与抛物线C:x y 82

=相交A 、B 两点，F 为C 的焦点。若FB FA 2=,则k= (A)31 (B)32 (C)3

2 (D)322 答案：D

解析：本题考查抛物线的第二定义，由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2，0），由

2FA FB =及第二定义知)2(22+=+B A x x 联立方程用根与系数关系可求k=3。

（12）纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是

（A ）南 （B ）北 （C ）西 （D ）下

w.w.w..s.5.u.c.o.m

答案：B

解析：.此题用还原立体图方法直接得出结果，使上在正上方依次找到对应面即可。

第Ⅱ卷（非选择题）

本卷共10小题，共90分。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题卡上相应位置的横线上.

（13）设等比数列{n a }的前n 项和为n s 。若3614,1s s a ==，则4a = × 答案：3

解析：本题考查等比数列的性质及求和运算，由3614,1s s a ==得q 3=3故a 4=a 1q 3=3。

（14）4)(x y y x -的展开式中3

3y x 的系数为 ×

答案：6

解析：本题考查二项展开式，直接用公式展开，注意根式的化简。

（15）已知圆O ：522=+y x 和点A （1，2），则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 ×

答案： 254

解析：由题意可直接求出切线方程为y-2=21-(x-1)，即x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的△ 上 东

截距分别是5和25，所以所求面积为4

2552521=??。 （16）设OA 是球O 的半径，M 是OA 的中点，过M 且与OA 成45°角的平面截球O 的表面得到圆C 。若圆C 的面积等于

4

7π，则球O 的表面积等于 × 答案：8π

解析：本题考查立体几何球面知识，注意结合平面几何知识进行运算，由.8)14474(4422ππ

πππ===R S 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。解答过程写在答题卡的相应位置。

（17）（本小题满分10分）

已知等差数列{n a }中，,0,166473=+-=a a a a 求{n a }前n 项和n s .

解析：本题考查等差数列的基本性质及求和公式运用能力，利用方程的思想可求解。 解：设{}n a 的公差为d ，则

()()1111

2616350a d a d a d a d ?++=-??+++=?? 即22111812164a da d a d

?++=-?=-?

解得118,82,2a a d d =-=????==-??

或 因此()()()()819819n n S n n n n n S n n n n n =-+-=-=--=--，或

（18）（本小题满分12分）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，2

3cos )cos(=+-B C A ,ac b =2，求B. 解析：本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=23(负值舍掉)，从而求出B=3π。

解：由 cos （A -C ）+cosB=32

及B=π-（A+C ）得 cos （A -C ）-cos （A+C ）=32

， cosAcosC+sinAsinC -（cosAcosC -sinAsinC ）=

32, sinAsinC=

34

. 又由2b =ac 及正弦定理得

2s i n s i n s i n ,B A

C = 故 23s i n 4

B =，

sin 2B =

或

s i n 2B =-（舍去）， 于是 B=

3π 或 B=23π. 又由 2b a c =知a b ≤或c b ≤

所以 B =

3π。

（19）（本小题满分12分）

如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ⊥AC,D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1

（Ⅰ）证明：AB=AC

（Ⅱ）设二面角A-BD-C 为60°,求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小

解析：本题考查线面垂直证明线面夹角的求法，第一问可取BC 中点F ，通过证明AF ⊥平面BCC 1,再证AF 为BC 的垂直平分线，第二问先作出线面夹角，即证四边形AFED 是正方形可证平面DEF ⊥平面BDC ，从而找到线面夹角求解。此题两问也可建立空间直角坐标系利用向量法求解。

解法一：（Ⅰ）取BC 中点F ，连接EF ，则EF 12

1B B ，从而EF DA 。 A C A 1 B 1 C 1

D

E

连接AF ，则ADEF 为平行四边形，从而AF//DE 。又D E ⊥平面1BCC ，故AF ⊥平面1BCC ，从而AF ⊥BC ，即AF 为BC 的垂直平分线，所以AB=AC 。

（Ⅱ）作AG ⊥BD ，垂足为G ，连接CG 。由三垂线定理知CG ⊥BD ，故∠AGC 为二面角A-BD-C 的平面角。由题设知，∠AGC=600..

设AC=2，则

AB=2，BC=，故

由AB AD AG BD ?=?得

故AD=AF 。又AD ⊥AF ，所以四边形ADEF 为正方形。

因为BC ⊥AF ，BC ⊥AD ，AF ∩AD=A ，故BC ⊥平面DEF ，因此平面BCD ⊥平面DEF 。

连接AE 、DF ，设AE ∩DF=H ，则EH ⊥DF ，EH ⊥平面BCD 。

连接CH ，则∠ECH 为1B C 与平面BCD 所成的角。

因ADEF 为正方形，EH=1，又EC=

112B C =2， 所以∠ECH=300，即1B C 与平面BCD 所成的角为300.

解法二：

（Ⅰ）以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，建立如图所示的

直角坐标系A —xyz 。

设B （1，0，0），C （0，b ，0），D （0，0，c ），则1B （1，0，2c ）,E （12，2b ，c ）.

于是DE →

=（12，2b ，0），BC →=（-1，b,0）.由D E ⊥平面1BCC 知DE ⊥BC ， DE BC →→?=0，求得b=1，所以 AB=AC 。

（Ⅱ）设平面BCD 的法向量(,,),AN x y z →=则0,0.AN BC AN BD →→→→

?=?=

又BC →=（-1，1， 0）， BD →=（-1，0，c ）,故00x y x cz -+=??-+=?

令x=1, 则y=1, z=1c ,AN →=(1,1, 1c

). 又平面ABD 的法向量AC =（0，1，0）

由二面角C BD A --为60°知，AC AN ，

=60°， 故 60cos ??=?AC AN AC AN °，求得21

c =

于是 ），，（211=AN ， ），，211(1-=CB

2

1cos 11

1=??=CB AN CB AN CB AN ，， 601=CB AN ，

° 所以C B 1与平面BCD 所成的角为30°

（20）（本小题满分12分）

某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人。现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核。

（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；

（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；

（Ⅲ）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率。

解析：本题考查概率统计知识，要求有正确理解分层抽样的方法及利用分类原理处理事件概率的能力，第一问直接利用分层统计原理即可得人数，第二问注意要用组合公式得出概率，

第三问关键是理解清楚题意以及恰有2名男工人的具体含义，从而正确分类求概率。

解：（错误！未找到引用源。）由于甲、乙两组各有10名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核，则从每组各抽取2名工人。

（错误！未找到引用源。）记A 表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则

158)(2101614==C C C A P

（错误！未找到引用源。）i A 表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i 名男工人，210，，=i

j B 表示事件：从乙组抽取的2名工人中恰有j 名男工人，210j ，，=

B 表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人。

i A 与j B 独立，210，，，=j i ，且021120B A B A B A B ?+?+?=

故 )()(021120B A B A B A P B P ?+?+?=

)()()()()()(021120B P A P B P A P B P A P ?+?+?= 210

262102628141621016142102421024C C C C C C C C C C C C C C ?+?+?= （21）（本小题满分12分）

a ax x a x x f 244)1(31)(23+++-=

(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;

(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a 的取值范围。

解析：本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。

解： （错误！未找到引用源。）)2)(2(4)1(2)(2

a x x a x a x x f --=++-='

由1>a 知，当2<x 时，0)(>'x f ，故)(x f 在区间)2,(-∞是增函数； 当a x 22<<时，0)(<'x f ，故)(x f 在区间)2,2(a 是减函数；

当a x 2>时，0)(>'x f ，故)(x f 在区间),2(+∞a 是增函数。

综上，当1>a 时，)(x f 在区间)2,(-∞和),2(+∞a 是增函数，在区间)2,2(a 是减函设函数 ，其中常数a>1

数。

（错误！未找到引用源。）由（错误！未找到引用源。）知，当0≥x 时，)(x f 在a x 2=或0=x 处取得最小值。 a a a a a a a f 2424)2)(1()2(3

1)2(23+?++-=

a a a 2443423++-= a f 24)0(=

由假设知

?????>>>,0)0(,0)2(1f a f a 即???????>>-+->.

024,0)6)(3(34,1a a a a a 解得 1<a<6

故a 的取值范围是（1，6）

（22）（本小题满分12分）

)0(122

22>>=+b a b y a x 33 22 （Ⅰ）求a,b 的值；

（Ⅱ）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有→→→+=OB OA OP 成立？ 若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由。

解析：本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处理。

解：（Ⅰ）设(),0,c F 当l 的斜率为1时，其方程为O c y x ,0=--到l 的距离为

22

00c c

=-- 故 222=c

， 1=c

由 3

3==a c e 得 3=a ，22c a b -==2 已知椭圆C: 的离心率为 ，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B 22两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为

（Ⅱ）C 上存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OB OA OP +=成立。 由 （Ⅰ）知C 的方程为22x +23y =6. 设).,(),,(2211y x B y x A

(ⅰ) )1(-=x k y l x l 的方程为轴时，设不垂直当

C OB OA OP P +=使上的点成立的充要条件是）点的坐标为（2121,y y x x P ++， 且6)(3)(2221221=+++y y x x

整理得 664323221212

2222121=+++++y y x x y x y x 632,6322

2222121=+=+y x y x C B A 上，即在、又

故 03322121=++y y x x ①

将 并化简得代入,632)1(22=+-=y x x k y 0636)32(2222=-+-+k x k x k

于是 2221326k k x x +=+, 21x x =2

23263k k +-, 22

212

21324)2)(1(k k x x k y y +-=--=

代入①解得，22=k ，此时2321=

+x x 于是)2(2121-+=+x x k y y =2k -

， 即)2,23(k P - 因此， 当2-=k 时，)2

2,23

(P ， 022=-+y x l 的方程为； 当2=k 时，)2

2,23(-P ， 022=--y x l 的方程为。 （ⅱ）当l 垂直于x 轴时，由)0,2(=+OB OA 知，C 上不存在点P 使OB OA OP +=成立。

综上，C 上存在点)2

2,23

(±P 使OB OA OP +=成立，此时l 的方程为 022=-±y x

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/2ori.html