导数中恒成立问题（最值问题）

导数中恒成立问题（最值问题）

恒成立问题是高考函数题中的重点问题，也是高中数学非常重要的一个模块，不管是小题，还是大题，常常以压轴题的形式出现。

知识储备（我个人喜欢将参数放左边，函数放右边）

先来简单的（也是最本质的）如分离变量后，a?f(x)恒成立，则有a?f(x)max

a?f(x)恒成立，则有a?f(x)min

（若是存在性问题，那么最大变最小，最小变最大） 1.对于单变量的恒成立问题

如：化简后我们分析得到，对?x??a,b?，f(x)?0恒成立，那么只需f(x)min?0

?x??a,b?，使得f(x)?0，那么只需f(x)max?0 2.对于双变量的恒成立问题

如：化简后我们分析得到，对?x1,x2??a,b?，f(x1)?g(x2)，那么只需f(x)min?g(x)max 如：化简后我们分析得到，对?x1??a,b?，?x2??c,d?使f(x1)?g(x2)，那么只需

f(x)min?g(x)min

如：化简后我们分析得到，?x1??a,b?，x2??c,d?使f(x1)?g(x2)，那么只需f(x)max?g(x)min 还有一些情况了，这里不一一列举，总之一句话（双变量的存在性与恒成立问题，都是先处理一个变量，再处理另一个变量）

3.对于带绝对值的恒成立问题，我们往往先根据函数的单调性，去掉绝对值，再转变成恒成立问题（2014.03苏锡常镇一模那题特别典型）

今天呢，我会花很多时间来讲解一道二次函数，因为二次函数是最本质的，（甚至我提出这样一个观点，所有导数的题目95%归根结底就是带参数二次函数在已知定义域上根的讨论，3%是

1ax?b与ax3?b这种形式根的讨论，2%是观察法得到零点，零点通常是1,,e之类），所以如果

e我们真正弄清楚了二次函数，那么对于千变万化的导数题，我们还会畏惧吗。

那么我们先从一道练习题说起

一．二次函数型（通常方法是讨论对称轴，根据图像求最值） 例题1.已知f(x)?2x2?2ax?a?1定义域为R，求a的取值范围

思考：① 引入定义域（非R）

②参数在二次项，就需考虑是否为0

1③引入高次（3次，4次，，lnx，ex等等）

x④引入a2，a3等项（导致不能分离变量）

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方法：1.一次函数，二次函数直接根据图像讨论最值(二次函数也可以分离变量)

2.对于高次或者特殊函数，一般分离变量求最值（分离变量后对函数求导，确定导函数的正

负情况，确定单调性，从而确定在已知定义域上的最值）

3.对于不能分离变量的，只能直接求导，对参数讨论，从而确定单调性，确定最值

变式：

①已知f(x)?ax?b，若对任意的x?(m,n)，均有f(x)?0，求a的取值范围 ②已知f(x)?ax2?2x?5，若对任意的x?(?3,2)，均有f(x)?0，求a的取值范围 ③已知f(x)?ax2?2(a2?1)x?5，若对任意的x?(?3,2)，均有f(x)?0，求a的取值范围 ④已知f(x)?ax3?2(a?1)x?5，若对任意的x?(?3,2)，均有f(x)?0求a的取值范围 ⑤已知f(x)?ax3?2(a2?9)x?5，若对任意的x?(?3,2)，均有f(x)?0求a的取值范围 例题2.（改编）已知函数f?x??ax2?2x?1在?1,3?上的最大值为M?a?，最小值为m?a?，又已知函数g?a??M?a??m?a?，

（1）求g?a?的表达式；（2）指出g?a?的单调区间，并求出g?a?的最小值

1?a?1,a?答案：根据对a是否为0以及对称轴的讨论，易知M(a)???2

??9a?5,a?1??21?1??8a?4,a?9a?5,a???33??111 ，所以易知??11a??2,?a??m(a)??1?,?a?1g(a)??a32?a3?11?a?1,a?1?9a??6,?a?1a2?????8a?4,a?11111所以g(a)在(??,)单调递减，在(,??)单调递增，所以当x?时，f(x)有最小值

2222点评：本题考察的主要是二次函数带参数在已知定义域上的最值问题的讨论

变式：1.对称轴不动（①定义域不动 ②定义域动（含参数）） 2.对称轴动（含参），定义域不动（考试最喜欢考）

3.对称轴动（含参），定义域动（含参） 但是参数还是同一个参数 方法：找出对称轴与定义域边界及定义域中值的临界点讨论即可 4.对称轴动（含参），定义域动（含参）

①参数不一样，那么或许可以看看题目中参数的范围，是否可以直接根据单调性求 ②参数不一样，参数也没范围，那么真不能做了

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1

(x＞0)图象上一动点．若x

点P，A之间的最短距离为22，则满足条件的实数a的所有值为__________． （13江苏）在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数y?

?1?解：设P?x0,?,?x0?0?

?x0?则

PA2??x0?a?2?1????11?1?1????a??x02?2?2a?x0+?+2a2=?x0+?-2a?x0+??2a2?2 x0x0?x0?x0??x0????22令x0?1?t?t?2?则PA2=f(t)=t2?2at?2a2?2?t?2?对称轴t?a x0 1.a?2时，

?2a2?4a?2?82.a?2时，

?a2?2?8综上a??1或a?10 PA2min?f(2)?2a2?4a?2a??1 ， a?3（舍去）

PA2min?f(a)?a2?2a?10 ， a??10（舍去）

点评：本题综合性较高，考查了带参数的二次函数在已知定义域上的最值问题（高一下学期必须学会），同时考查了换元思想，分类讨论的思想 是一道非常漂亮的题目

二．三次函数及特殊函数型（通常是求导后对二次函数的零点进行讨论，从而求最值）

先来几个比较特殊的题目，平时稍微长点心眼，多记记，就记住了

1.（原创）已知函数f(x)?0且xf'(x)?f(x)?0，对所有满足条件的函数f(x)，始终有成立，求a的取值范围 f(2)?(a3?2a?3)f(1)答案：由题可知x?0时，0?f(0)?0与题目f(x)?0矛盾，所以显然有x?0 所以由条件易知

3f(x)单调递增，由题可知f(2)?a?2a?3f(1)始终成立，即 x22f(2)f(x)3恒成立，因为单调递增，又f(x)是满足条件的所有函数， a?2a?32?xxf(1)21f(2)a3?2a?3?1?5?1?5?1，知a的范围是a?所以2的最小值总大于1，所以有或?a?1 222f(1)1点评：对于某些题中既有f(x)又有f(x)'的这种题型，我们不妨去联想它的原函数

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?3?2.（原创）已知函数f(x)?log2(1?x)?x2?ax；若对于任意a??1,?，总存在x0??1,1?，使

??2??2??得不等式f(x0)?m成立，则m的取值范围是_____________________

答案：分析知log2(1+x)单增，又分析知x2?ax在x?1时取最大值，所以f(x0)的最大值为f(1)，所以有m?f(1)恒成立，分离变量易知m?1 23.f(x)=x3+ax2?a2x?m(a?0)若对任意a??3,6?，f(x)?1在x???2,2?上恒成立，求m范围

x解答：先看成是a的二次函数，对称轴为???1,1?，所以最大值不是在3处就是在6处，所以

232??x?3x?9x?m?1有?3对x???2,2?恒成立，易知m??87 2??x?6x?36x?m?1点评：对于一些双变量的函数最值问题，我们难以处理时，往往可以去看看本身的定义域，从而确定原函数的单调性，确定最值

4. 对满足p?2所有实数p，求使不等式x2?px?1?p?2x恒成立的x的取值范围

解答：看成是p的一次函数

点评：对哪个参数恒成立，就看成是哪个参数的函数

m2x?1?0对x?4恒成立，求m的取值范围 5.已知

mx?1

解答：法1:看成乘积小于0恒成立，转变成二次函数恒成立 法2:必须有一正一负恒成立

m2x?1?0对m?4恒成立，求x的取值范围 变式：

mx?1解答：如果看成是m的函数，乘积后就变成关于m的三次函数，所以我们可以转变思维，转变成两个式子同正或同负

6.若对于满足?1?t?3的一切实数t，不等式x2?(t2?t?3)x?t2(t?3)?0恒成立，则x的 取值范围为．

解答：分解因式易知(x?t2)?x?(t?3)??0 所以必须有同正或同负恒成立

点评：通过这几个题目的对比，所以我们发现虽然我们常说对哪个参数恒成立就看成是哪个参数的函数，但是有时候也需要转变思维，不能太死板

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3x2?x?7?3a?4，若对任意的x???1,3?，f(x)?0恒成立，求a的取值范围 7.已知f(x)?2x?5

类题：（10.江苏）. 将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一

块是梯形，记S?(梯形的周长）,则S的最小值是.

梯形的面积2

点评：二次比二次型的值域问题，一定要熟练掌握，先分离常数，转变成一次比二次，设一次为t，转变成关于t的对勾函数，解决值域

另外一次比一次型的其实只是对称中心改变而已，可以直接画图，建议跟学生讲明白

mx2?8x?n8.f(x)?的最大值是9，最小值是1，求m与n的值 2x?1解答：整理成关于x的二次函数，由题意知二次函数一定有解，所以有??0恒成立，转变成关于y的一个二次函数恒成立，易知5和9是它的两个根，容易把m,n求出来

点评：此题比较特殊，只要讲过，那么以后碰到这类题，就不再那么无从下手了

9.（08江苏）已知f(x)?ax3?3x?1对于x???1,1?总有f(x)?0成立，则a= 解：f(x)'?3ax2?3

法1：分离变量，求最值 法2：直接求导

10.若不等式|ax3?lnx|≥1对任意x?(0,1]都成立，则实数a取值范围是．

13ax3?1 解析：显然x?1时，有|a|?1,a??1,or,a?1。令g(x)?ax?lnx,g?(x)?3ax??

xx323ax3?1?0，g(x)在(0,1]上递减， ①当a??1时，对任意x?(0,1]，g?(x)?xg(x)min?g(1)?a??1，此时g(x)?[a,??)，|g(x)|的最小值为0，不适合题意。

3ax3?11?0?x?3②当a?1时，对任意x?(0,1]，g?(x)? x3a22111ee)??ln(3a)≥1，解得：a?。故所求a?。 g(x)的最小值为g(3333a33点评：当遇到恒成立问题，有参数时，或许可以看看定义域，先适当的压缩一下范围，或许可

以避免一些不必要的讨论

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11.设常数a?0，函数f(x)?x?ln2x?2alnx?1(x?(0,??)).

（I）令g(x)?xf?(x)(x?0)，求g(x)的最小值，并比较g(x)的最小值与零的大小； （II）求证：当x?1时，恒有x?ln2x?2alnx?1．

解（Ⅰ）∵f(x)?x?(lnx)(lnx)?2alnx?1，x?(0,??)

2lnx2a112a?， ∴f?(x)?1?[?lnx?(lnx)?]?， ?1? xxxxx∴g(x)?xf?(x)?x?2lnx?2a，x?(0,??)

2x?2∴g?(x)?1??，令g?(x)?0，得x?2，

xx?易知f(x)在(0,2)上单调递减，在(2,??)单调递增 ∴g(x)在x?2处取得极小值g(2)?2?2ln2?2a，

即g(x)的最小值为g(2)?2?2ln2?2a． g(2)?2(1?ln2)?2a， ∵ln2?1，∴1?ln2?0，又a?0，∴g(2)?0． 证明（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g(x)的最小值是正数，

∴对一切x?(0,??)，恒有g(x)?xf?(x)?0， 从而当x?0时，恒有f?(x)?0，故f(x)在(0，?∞)上是增函数． ∴当x?1时，f(x)?f(1)， f(1)?1?ln21?2aln1?1?0

∴f(x)?0，即x?1?ln2x?2alnx?0，∴x?ln2x?2alnx?1 故当x?1时，恒有x?ln2x?2alnx?1．

点评：此题又是有那么一点点特殊，当我们难以处理导函数的正负情况时，我们或许可以想想是什么导致了我们难以处理，是否可以通过判断xf'(x)的正负来确定导函数的正负，但是本题由于题目一步步的提示你怎么做，所以就缺少了应有的美感

2?，f(x)?4m2f(x)?f(x?1)?4f(m)恒成立，求m的取值范围 12.f(x)?x2?1，对?x??,????m?3?1x2?2x?32解答：化简易得(2?4m)?

mx2

点评：分离变量时不一定要分离成单个变量，要知道整体分离也是一样的，不能太死板 当然此题也可以转变成二次函数带参数在已知定义域上的最值讨论

ax4af(x)?g(x)若F(x)?2?7恒成立，求a的范围 13.f(x)?x?，g(x)?2??，F(x)?x4xa4a?111?(?)x?2 解答：F(x)?xa4 法一：易知这题为：系数之积为正，肯定是对勾函数，系数之积为负，直接单调 所以只需对a的临界点进行讨论即可 法二：求导，转变成二次函数根的讨论

2x7?11??11?14.f(x)?2，g(x)?x3?3ax?，若对?x1???,?，总存在x2???,?，使得

x?18?22??22?g(x2)?f(x1)成立，求正整数a的最小值

解答：分析题目易知f(x)值域为g(x)值域的子集，转变成求g(x)的最值g'(x)?3x2?3a

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15.函数f(x)?x?lnx，不等式f(x)?2b≤0在x?(0,??)上有解，求实数b的取值范围。 xx2?lnx?11?lnx解析：f?(x)?1?2，即f?(x)?，

xx2点评：此题需要使用观察法，容易发现1是零点，然后讨论单调性

类题：（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知函数f(x)?ax?x2?xlna(a?0,a?1). （1） 求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； （2） 求函数f(x)单调区间；

（3） 若存在x1,x2?[?1,1]，使得f(x1)?f(x2)?e?1(e是自然对数的底数），求实数a的取值范围. 解答：f'(x)?axlna?2x?lna容易发现0是零点，然后对a范围，x范围讨论

点评：通过这两题我们发现，有时候难以处理导函数的正负情况时，我们需要使用观察法去寻

1找它的零点，从而进行讨论，看是否能确定单调性（零点通常是1,e,）等等

e16.已知函数f(x)?x2?2acosk??lnx(k?N?,a?0)，讨论函数f(x)的单调性； 解析：由已知得x＞0且f'(x)?2x?(?1)k2a． x 当k是奇数时，f'(x)?0，则f(x)在(0,??)上是增函数; 当k是偶数时，则f'(x)?2x?17.已知函数g(x)?2a2(x?a)(x?a). ?xx1（0，?）?lnx在[1，＋∞）上为增函数，且??，f(x)?mx?m?1?lnx，m∈R．

xx （1）若f(x)?g(x)在[1，＋∞）上为单调函数，求m的取值范围；

（2）设h(x)?2e，若在[1，e]上至少存在一个x0，使f(x0)?g(x0)?h(x0)成立，求m的取值范围．

xmx2?2x?mm? 解析：（1）f(x)?g(x)?mx??2lnx．??f(x)?g(x)??．

xx2 ∵f(x)?g(x)在其定义域内为单调函数，

∴mx2?2x?m≥0或者mx2?2x?m≤0在[1，＋∞）恒成立．

2mx2?2x?m≥0 等价于m(1?x)≥2x，即m≥2x， 1?x27/ 11

而

2x22?，（）max=1，∴m≥1． 1x2?1x?1x?xx2mx2?2x?m≤0等价于m(1?x)≤2x，即m≤2x在[1，＋∞）恒成立， 1?x2 而

2x∈（0，1]，m≤0． x2?1 综上，m的取值范围是???,0???1,???． （2）构造F(x)?f(x)?g(x)?h(x)，F(x)?mx? 当m≤0时，x?[1,e]，mx?m2e?2lnx?． xxm2e≤0，?2lnx?<0，所以在[1，e]上不存在 xx 一个x0，使得f(x0)?g(x0)?h(x0)成立．

m22emx2?2x?m?2e 当m?0时，(F(x))'?m?2??2?．

xxxx2 因为x?[1,e]，所以2e?2x≥0，mx2?m?0，所以(F(x))'?0在x?[1,e] 恒成立．

故F(x)在[1,e]上单调递增，F(x)max?F(e)?me?故m的取值范围是(4e,??)． e?12m4em?4，只要me??4?0，解得m?2．

ee?1e18.（2014.03苏锡常镇一调） 已知函数f(x)?mx?alnx?m,g(x)?（1）求g(x)的极值；

,a?0，（2）设m?1若对任意的x,x12ex，其中m，a均为实数． ex?[3,4](x1?x2)，f(x2)?f(x1)?11?g(x2)g(x1)恒成立，求a的最小值；

（3）设a?2，若对任意给定的x0?(0,e]，在区间(0,e]上总存在t1,t2(t1?t2)，使得f(t1)?f(t2)?g(x0) 成立，求m的取值范围．

ex?1?ex?exe(1?x)'?解析：g(x)?令g(x)?0易得x?1 x2x(e)e'所以g(x)在(??,1)上单调递增，在(1,??)上单调递减 所以当x?1时，g(x)有极大值，极大值为1 无极小值

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（2）m?1,a?0时，易证f(x)单增，

1g(x)单减 不妨设x1?x2 所以有f(x2)?f(x1)?11g(x?恒成立 2)g(x1)即f(x12)?g(x?f(x)?11恒成立由题易知必须有f(x)?1单减 2)g(x1)g(x)求导整理得a?x?ex?1ex?1?x在?3,4?恒成立易证右边这个函数单调减 所以有a?3?2e23

（3）易知x0??0,e?时，0?g(x0)?1

f(x)?mx?2lnx?m(0?x?e)f'(x)?m?2 x由题可知f(x)?g(x0)在?0,e?上有两根 1.m?0时，f(x)单调 不合题意 2.m?0时，由f'(x)?0易得x?2m 所以函数在???0,2??2?m??单减，在??m,e??单增画出f(x)简图如下

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??f(e)?13?m?????2e?1由题要有两个跟 于是我们有?f()?0 容易得到?

2?f()?0?m?2??me??m?m?3232时，?1 所以显然有f()?f(1)?0综上所述，m? e?1me?1m19.设函数f(x)?x2?bln(x?1),其中b?0. (I)当b?1时,判断函数f(x)在定义域上的单调性; 2(II)求函数f(x)的极值点;

111(III)证明对任意的正整数n,不等式ln(?1)?2?3都成立.

nnnb2x2?2x?b?解：(I)函数f(x)?x?bln(x?1)的定义域为??1,???.f'(x)?2x?， x?1x?121??1??令g(x)?2x2?2x?b，则g(x)在??,???上递增，在??1,??上递减，

2??2??11g(x)min?g(?)???b.

2211当b?时，g(x)min???b?0，g(x)?2x2?2x?b?0在??1,???上恒成立.?f'(x)?0,

221即当b?时,函数f(x)在定义域??1,???上单调递增。

2（II）分以下几种情形讨论：

1（1）由（I）知当b?时函数f(x)无极值点.

2122(x?)11???1?2（2）当b?时，f'(x)?，?x???1,??时，f'(x)?0,x???,???时，f'(x)?0,

22?x?1??2??b?1时，函数f(x)在??1,???上无极值点。 21?1?1?2b?1?1?2b时，解f'(x)?0得两个不同解x1?，x2?. 222（3）当b?当b?0时，x1??1?1?2b?1?1?2b??1，x2???1，?x1???1,???,x2???1,???, 2210/ 11

此时f(x)在??1,???上有唯一的极小值点x2?当0?b?1时，x1,x2???1,???, 2?1?1?2b. 2f'(x)在??1,x1?,?x2,???都大于0 ，f'(x)在(x1,x2)上小于0 ， 此时f(x)有一个极大值点x1??1?1?2b?1?1?2b和一个极小值点x2?. 22?1?1?2b； 2综上可知，b?0时，f(x)在??1,???上有唯一的极小值点x2?0?b?b?1?1?1?2b?1?1?2b时，f(x)有一个极大值点x1?和一个极小值点x2?； 2221时，函数f(x)在??1,???上无极值点。 2（III） 当b??1时，f(x)?x2?ln(x?1).令h(x)?x3?f(x)?x3?x2?ln(x?1),则

3x3?(x?1)2h(x)?在?0,???上恒正，

x?1'?h(x)在?0,???上单调递增，当x??0,???时，恒有h(x)?h(0)?0.

即当x??0,???时，有x3?x2?ln(x?1)?0,ln(x?1)?x2?x3， 对任意正整数n，取x?1111得ln(?1)?2?3 nnnn

总结：通过以上这么多例子，我们很容易发现，其实导数的本质都是要研究单调性，从而确定最值或者值域，但是单调性都是由导函数的正负情况决定的，而导函数的正负情况我们最终几乎都会转变成二次函数带参数在已知定义域上根的讨论，所以二次函数带参数的最值讨论以及零点的讨论至关重要，这部分内容在高一必须要搞清楚，脑子里一定要有二次函数的图像，这样才能为日后学习导数做铺垫，才能不被导数的千变万化所吓倒。

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此时f(x)在??1,???上有唯一的极小值点x2?当0?b?1时，x1,x2???1,???, 2?1?1?2b. 2f'(x)在??1,x1?,?x2,???都大于0 ，f'(x)在(x1,x2)上小于0 ， 此时f(x)有一个极大值点x1??1?1?2b?1?1?2b和一个极小值点x2?. 22?1?1?2b； 2综上可知，b?0时，f(x)在??1,???上有唯一的极小值点x2?0?b?b?1?1?1?2b?1?1?2b时，f(x)有一个极大值点x1?和一个极小值点x2?； 2221时，函数f(x)在??1,???上无极值点。 2（III） 当b??1时，f(x)?x2?ln(x?1).令h(x)?x3?f(x)?x3?x2?ln(x?1),则

3x3?(x?1)2h(x)?在?0,???上恒正，

x?1'?h(x)在?0,???上单调递增，当x??0,???时，恒有h(x)?h(0)?0.

即当x??0,???时，有x3?x2?ln(x?1)?0,ln(x?1)?x2?x3， 对任意正整数n，取x?1111得ln(?1)?2?3 nnnn

总结：通过以上这么多例子，我们很容易发现，其实导数的本质都是要研究单调性，从而确定最值或者值域，但是单调性都是由导函数的正负情况决定的，而导函数的正负情况我们最终几乎都会转变成二次函数带参数在已知定义域上根的讨论，所以二次函数带参数的最值讨论以及零点的讨论至关重要，这部分内容在高一必须要搞清楚，脑子里一定要有二次函数的图像，这样才能为日后学习导数做铺垫，才能不被导数的千变万化所吓倒。

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