大学物理 - 上海交通大学 - 第四版-2

习题11

?911-1．直角三角形ABC的A点上，有电荷q1?1.8?10C，B点上有电荷

q2??4.8?10?9C，，试求C点的电场强度(设BC?0.04m，AC?0.03m)。

解：q1在C点产生的场强：

?E1?q124??0rAC，

?i?q2j24??rq2在C点产生的场强：0BC，

?????44E?E?E?2.7?10i?1.8?10j； 12∴C点的电场强度：

?E2??jC点的合场强：

2E?E12?E2?3.24?104V??im，

方向如图：

11-2．用细的塑料棒弯成半径为50cm的圆环，两端间空隙为2cm，电量为3.12?10?9C的正电荷均匀分布在棒上，求圆心处电场强度的大小R和方向。

xO??l?2?r?d?3.12m2cm解：∵棒长为， ∴电荷线密度：

可利用补偿法，若有一均匀带电闭合线圈，则圆心处的合场强为0，有一段空隙，则圆心处场强等于闭合线圈产生电场再减去d?0.02m长的带电棒在该点产生的场强，即所求问题转化为求缺口处带负电荷的塑料棒在O点产生的场强。 解法1：利用微元积分：

dEOx????arctan1.8?33.7??33?42'2.7。

??ql?1.0?10?9C?m?114??0??Rd?R2cos?，

??∴

解法2：直接利用点电荷场强公式：

EO??cos?d?????d?2sin???2??4??0R4??0R4??0R2?0.72V?m?1；

?11由于d??r，该小段可看成点电荷：q???d?2.0?10C，

2.0?10?11?1EO??9.0?10??0.72V?m4??0R2(0.5)2则圆心处场强：。

q?9方向由圆心指向缝隙处。

11-3．将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电

荷线密度为?，四分之一圆弧AB的半径为R，试求圆

心O点的场强。

解：以O为坐标原点建立xOy坐标，如图所示。 ①对于半无限长导线A?在O点的场强：

???E?(cos?cos?)?Ax4??R2?0??E??(sin??sin?)Ay?4??0R2?有：

②对于半无限长导线B?在O点的场强：

???E?(sin??sin)?Bx4??R2?0??E??(cos??cos?)By?4??0R2?有：

x?Ey③对于AB圆弧在O点的场强：有：

?????2E?cos?d??(sin?sin?)?ABx?04??R4??R2?00???E?2?sin?d????(cos??cos?)?ABy?04??R4??0R20?

??????EOx?EOy?EO?(i?j)4??R4??R4??R000∴总场强：，，得：。

22E?EOx?EOy?或写成场强：

11-4．一个半径为R的均匀带电半圆形环，均匀地带有电荷，电荷的线密度为?，求环心处O点的场强E。

dqdE?4??0R2； 解：电荷元dq产生的场为：

Ydq2?4??0R，方向45?。

??根据对称性有：?dEy?0，则：

d?o?dEE??dEx??dEsin????0?Rsin?d???4??0R22??0R，

?E?RX方向沿x轴正向。即：

11-5．带电细线弯成半径为R的半圆形，电荷线密度 为???0sin?，式中?0为一常数，?为半径R与x轴 所成的夹角，如图所示．试求环心O处的电场强度。

?0sin?d??dldE??24??R4??0R， 0解：如图，

??i2??0R。

??dEx?dEcos????dEy?dEsin?考虑到对称性，有：Ex?0；

0∴

方向沿y轴负向。

11-6．一半径为R的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为?，求球心O处的电场强度。

解：如图，把球面分割成许多球面环带，环带宽为dl?Rd?，所带电荷：dq?2?r?dl。

E??dEy??dEsin?????0sin2?d??0?0?(1?cos2?)d???4??0R4??0R?028?0R，

dE?xdq4??0(x?r)32利用例11-3结论，有：

dE?2322???2?rxdl4??0(x?r) 2322??2?Rcos??Rsin??Rd?4??0[(Rsin?)2?(Rcos?)2]?r，

?∴

Ox?E?2?0化简计算得：

?20???1?sin2?d??E?i24?0，∴4?0。

11-7．图示一厚度为d的“无限大”均匀带电平板，电荷体密度为?。求板内、外的场强分布，并画出场强随坐标x变化的图线，即E?x图线(设原点在带电平板的中央平面上，Ox轴垂直于平板)。

解：在平板内作一个被平板的中间面垂直平分的闭合圆柱面S1为高斯面，

??dE?dS?2E??Sx???S1当和?q?2x??S， 2时，由

?xE??0； 有：

??dx??S2E?dS?2E??S和?q?2d??S， 当2时，由??dE?2?0。图像见右。 有：

?d2?0?E?d2O?d2x?d2?011-8．在点电荷q的电场中，取一半径为R的圆形平面(如图所示)，

平面到q的距离为d，试计算通过该平面的E的通量.

解：通过圆平面的电通量与通过与A为圆心、AB为半径、圆的平面 为周界的球冠面的电通量相同。

22【先推导球冠的面积：如图，令球面的半径为r，有r?d?R， rrsin??球冠面一条微元同心圆带面积为：dS?2?rsin??rd? d?O?∴球冠面的面积：

d?2?r2(1?)r】

S??2?rsin??rd??2?r2cos?00dcos??rx

2S?4?r球面∵球面面积为：，通过闭合球面的电通量为：

?闭合球面?q?0，

?球冠由：?球面S球冠，∴

11-9．在半径为R的“无限长”直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为ρ，求圆柱体内、外的场强分布，并作E~r关系曲线。 解：由高斯定律S长为l的高斯面。

?S球面?球冠?1dqqd(1?)??(1?)222r?02?0R?d。

?????1E?dS??qi?0S内，考虑以圆柱体轴为中轴，半径为r，

??r2l?r2?rl?E?E??0，有2?0； （1）当r?R时，

??R2l?R22?rl?E?E?E?2?r00?；（2）当r?R时，，则：R 2???r?2?(r?R)?00E??2?R?(r?R)??2?0r即：；

oRr图见右。

11-10．半径为R1和R2（R1?R2）的两无限长同轴圆柱面，单位长度分别带有电量?和??，试求：（1）r?R1；（2）R1?r?R2；（3）r?R2处各点的场强。 解：利用高斯定律：

???S??1E?dS??qi?0S内。

2?rlE2?（1）r?R1时，高斯面内不包括电荷，所以：E1?0； （2）R1?r?R2时，利用高斯定律及对称性，有：

E2??l?0，则：

?2??0r；

（3）r?R2时，利用高斯定律及对称性，有：2?rlE3?0，则：E3?0；

??E?0?????E??E?r??2??0r?E?0?即：

r?R1R1?r?R2r?R2。

11-11．一球体内均匀分布着电荷体密度为?的正电荷，若保持电荷分布不变,在该球体中挖去半径为r的一个小球体，球心为O?，两球心间距离OO??d，如图所示。求：

（1）在球形空腔内，球心O?处的电场强度E0；

（2）在球体内P点处的电场强度E，设O?、O、P三点在同一直径上，且OP?d。

解：利用补偿法，可将其看成是带有电荷体密度为?的大球和带有电荷体密度为??的小球的合成。

（1）以O为圆心，过O?点作一个半径为d的高斯面，根据高斯定理有：

???43?dE?dS???dE?0??S1?033?0，方向从O指向O?； ?（2）过P点以O为圆心，作一个半径为d的高斯面。根据高斯定

理有：

???43?dE?dS???dE?P1??S1?033?0，方向从O指向P， ?过P点以O?为圆心，作一个半径为2d的高斯面。根据高斯定

理有：

???r3?43??S2E?dS???0?3?r?EP2??3?0d2，

?r3E?EP?EP?(d?2)3?4d，方向从O指向P。 0∴

12???E?cxi11-12．设真空中静电场E的分布为，式中c为常量，求空间电

荷的分布。

解：如图，考虑空间一封闭矩形外表面为高斯面， z??S有：???E?dS?cx0??SS

?0???由高斯定理：

??1E?dS??qS内o，

?Syx0x

x0设空间电荷的密度为?(x)，有：

x0cx0???S?0?(x)?Sdx?0

?00，可见?(x)为常数????0c。 ∴?0

11-13．如图所示，一锥顶角为?的圆台，上下底面半径分别为R1和R2，

在它的侧面上均匀带电，电荷面密度为?，求顶点O的电势．(以无穷远处为电势零点)

解：以顶点为原点，沿轴线方向竖直向下为x轴，在侧面上取环面元，如图示，易知，环面圆半径为：

?(x)dx??cdxr?xtanx0?2，环面圆宽：

dl?dxcos?2

?dxdS?2?r?dl?2??xtan?2cos?2，

利用带电量为q的圆环在垂直环轴线上x0处电势的表达式：

U环?14??0?q2r2?x0，

dl?dxcos?22cos?12???tan?dxxdU??4??02?02?(xtan)2?x22有：，

??x1?R1cotx2?R2cot2，2， 考虑到圆台上底的坐标为：

?2??xtan??dxr∴U??x2x1??Rcot????(R2?R1)?tan??2dx??tandx?2?02Rcot22?022?0。

21

11-14．电荷量Q均匀分布在半径为R的球体内，试求：离球心r处（r?R）P点的电势。 解：利用高斯定律：

2???S??1E?dS??q?0S内可求电场的分布。 ?orPRPQr3Qr4?rE内??3E内?3?R4??R00（1）r?R时，；有：； QQ4?r2E外?E外??0；有：4??0r2； （2）r?R时，

离球心r处（r?R）的电势：Ur??rE内?dr??RE外?dr，即：

Ur??Rr?3QQr2QrQ??dr???dr?32R8??0R8??0R3。 4??0R4??0rR?

11-15．图示为一个均匀带电的球壳，其电荷体密度为?，球壳内表面

半径为R1，外表面半径为R2．设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势。

解：当r?R1时，因高斯面内不包围电荷，有：E1?0，

E2?43??(r3?R13)4??0r2当R1?r?R2时，有：

E3?43?(r3?R13)?3?0r2，

3??(R2?R13)当r?R2时，有：

R24??0r23?(R2?R13)?3?0r2，

以无穷远处为电势零点，有：

3333R2?(r?R)??(R?R)????22121???dr?dr?(R?R)U??E2?dr??E3?dr?R2122?R212?03?0r3?0rR1R2。

11-16．电荷以相同的面密度??分布在半径为r1?10cm和r2?20cm的两个同心球面上，设无限远处电势为零，球心处的电势为U0?300V。

（1）求电荷面密度?；

（2）若要使球心处的电势也为零，外球面上电荷面密度??为多少？

?122?1?2（?0?8.85?10C?Nm）

解：（1）当r?r1时，因高斯面内不包围电荷，有：E1?0， ?r12E2?2r?r?r?r120当时，利用高斯定理可求得：，

Or1r2?(r12?r22)E3?r?r?0r2， 2时，可求得：当

∴

U0??r2r1?????E2?dr??E3?dr??r1r2r222?r12??(r1?r2)dr??dr??(r1?r2)22r?0r?0r?0

28.85?10?12?300?92????8.85?10Cmr1?r230?10?3那么： （2）设外球面上放电后电荷密度?'，则有：

?0U0U0'?(?r1??'r2)/?0?0，∴

?'???r1r2???2

则应放掉电荷为：

322?q?4?r2(???')???4?r2?4?3.14?8.85?10?12?300?0.2?6.67?10?9C。 2

11-17．如图所示，半径为R的均匀带电球面，带有电荷q，沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为?，长度为l，细线左端离球心距离为r0。设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能（设无穷远处的

电势为零）。 解：（1）以O点为坐标原点，有一均匀带电细线的方向为x轴，

均匀带电球面在球面外的场强分布为：

（r?R）。

E?q4??0r2??dF?Edq， dq??dl??dr取细线上的微元：，有：

???r0?lq?qlr?F???dr?2??r04??0x4??0r0(r0?l)（r?为r∴方向上的单位矢量）

qU?4??0r（r?R，?（2）∵均匀带电球面在球面外的电势分布为：

为电势零点）。

对细线上的微元dq??dr，所具有的电势能为：

W?q4??0dW?q4??0r??dr，

rr4??0∴

p与E之11-18. 一电偶极子的电矩为p，放在场强为E的匀强电场中，

间夹角为?，如图所示．若将此偶极子绕通过其中心且垂直于p、E平

面的轴转180?，外力需作功多少？ 解：由功的表示式：dA?Md?

0?r0?l?dr?q?lnr0?lr0。

??????考虑到：M?p?E，有：A???pEsin?d??2pEcos?。

11-19．如图所示，一个半径为R的均匀带电圆板，其电荷面密度为?(＞0)今有一质量为m，电荷为?q的粒子(q＞0)沿圆板轴线(x轴)方向向圆板运动，已知在距圆心O（也是x轴原点）为b的位置上时，

粒子的速度为v0，求粒子击中圆板时的速度(设圆板带电的均匀性始终不变)。

解：均匀带电圆板在其垂直于面的轴线上x0处产生的电势为：

U??2(R2?x0?x0)2?0，那么，

UOb?UO?Ub??(R?b?R2?b2)2?0，

1112q?2mv2?mv0?(?qUOb)?mv0?(R?b?R2?b2)222?0由能量守恒定律，2，

有：

2v?v0?q?(R?b?R2?b2)m?0

思考题11

11-1．两个点电荷分别带电q和2q，相距l，试问将第三个点电荷放在何处它所受合力为零?

qQ2qQ?22答：由4??0x4??0(l?x)，解得：x?l(2?1)，即离点电荷q的距离

为l(2?1)。

11-2．下列几个说法中哪一个是正确的？

（A）电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向；

（B）在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同；

（C）场强方向可由E?F/q定出，其中q为试验电荷的电量，q可正、可负，F为试验电荷所受的电场力； （D）以上说法都不正确。 答：（C）

11-3．真空中一半径为R的的均匀带电球面,总电量为q(q＜0)，今在球面面上挖去非常小的一块面积?S(连同电荷)，且假设不影响原来的电荷分布，则挖去?S后球心处的电场强度大小和方向. 答：题意可知：

看成点电荷， 有：

??q4??0R2，利用补偿法，将挖去部分

E???S4??0R2，方向指向小面积元。

11-4．三个点电荷q1、q2和?q3在一直线上，相距均为2R，以q1与q2的中心O作一半径为2R的球面，A为球面与直线的一个交点，如图。求：

(1)通过该球面的电通量??E?dS； (2)A点的场强EA。

解：(1)

???S??q?qE?dS?12?0；(2)

EA?q3q1q2??4πε0(3R)24πε0R24πε0R2。

11-5．有一边长为a的正方形平面，在其中垂线上距中心O点a/2处，

有一电荷为q的正点电荷，如图所示，则通过该平面的电场强度通量

为多少？

解：设想一下再加5个相同的正方形平面将q围在正方体的中心， 通过此正方体闭合外表面的通量为：?闭合?q/?0，那么，

通过该平面的电场强度通量为：

11-6．对静电场高斯定理的理解，下列四种说法中哪一个是正确的？

(A)如果通过高斯面的电通量不为零，则高斯面内必有净电荷； (B)如果通过高斯面的电通量为零，则高斯面内必无电荷； (C)如果高斯面内无电荷，则高斯面上电场强度必处处为零； (D)如果高斯面上电场强度处处不为零，则高斯面内必有电荷。 答：(A)

??q6?0。

??11-7．由真空中静电场的高斯定理

S??1E?dS??0?q可知

(A)闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强一定为零；

(B)闭合面内的电荷代数和不为零时，闭合面上各点场强一定都不为零；

(C)闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强不一定都为零；

(D)闭合面内无电荷时，闭合面上各点场强一定为零。 答：(C)

11-8．图示为一具有球对称性分布的静电场的E~r关系曲线．请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的。

(A)半径为R的均匀带电球面； (B)半径为R的均匀带电球体；

(C)半径为R、电荷体密度??Ar(A为常数）的非均匀带电球体； (D)半径为R、电荷体密度??A/r(A为常数)的非均匀带电球体。 答：(D)

11-9．如图，在点电荷q的电场中，选取以q为中心、R为半径的球面上一点P处作电势零点，则与点电荷q距离为r的P'点的电势为

qq(A)4??0r (B)4??0?11?????rR?

q?11?q???(C)4??0?r?R? (D)4??0?Rr?

答：(B)

11-10．密立根油滴实验，是利用作用在油滴上的电场力和重力平衡而测量电荷的，其电场由两块带电平行板产生．实验中，半径为r、带有两个电子电荷的油滴保持静止时，其所在电场的两块极板的电势差为U12．当电势差增加到4U12时，半径为2r的油滴保持静止，则该油滴所带的电荷为多少？

U124U1244q?ρ?πr3gq??ρ?π(2r)3g33解：d┄①，d┄②

∴①②联立有：q??2q?4e。

11-11．设无穷远处电势为零，则半径为R的均匀带电球体产生的电场的电势分布规律为(图中的U0和b皆为常量)：

答：(C)

11-12．无限长均匀带电直线的电势零点能取在无穷远吗？ 答：不能。见书中例11-12。

大学物理第12章课后习题

12-1．一半径为0.10米的孤立导体球，已知其电势为100V(以无穷远为零电势)，计算球表面的面电荷密度。

解：由于导体球是一个等势体，导体电荷分布在球表面，∴电势为：U?Q4??0R??R， ?08.85?10?12?100则：????8.85?10?9Cm2。

R0.1?0U

12-2．两个相距很远的导体球，半径分别为r1?6.0cm，r2?12.0cm，都带有3?10?8C的电量，如果用一导线将两球连接起来，求最终每个球上的电量。 解：半径分别为r1的电量为q1，r2电量为q2， 由题意，有：

q14??0r1?q24??0r2?8┄①，q1?q2?6?10┄②，

?8?8①②联立，有：q1?2?10C，q2?4?10C。

12-3．有一外半径为R1，内半径R2的金属球壳，在壳内有一半径为R3的金属球，球壳和内球均带电量q，求球心的电势．

解：由高斯定理，可求出场强分布：

r?R3?E1?0R3?q?R?E2?R?r?R23224??r??0R1 ?R2?r?R1?E3?0?2qr?R1?E4?24??0r??R3??R2??R1?????∴U0??E1?dr??E2?dr??E3?dr??E4?dr

0R3R2R1??R2q4??0r2R3dr???2q4??0rR1dr?2q4??0(112??)。 R3R2R1

12-4．一电量为q的点电荷位于导体球壳中心，壳的内外半径分别为R1、R2．求球壳内外和球壳上场强和电势的分布，并画出E~r和V~r曲线. 解：由高斯定理，可求出场强分布：

?qE??124??r0???E2?0?q?E3??4??0r2?∴电势的分布为： 当0?r?R1时，U1?0?r?R1R1?r?R2r?R2R1r

O?qR1R2rE??q4??0rdr??2q4??0r2R2dr OUOR1R2r?111(??)； 4??0rR1R2q当R1?r?R2时，U2???q4??0r2R2dr?q4??0R2R1R2r；

当r?R2时，U3???rq4??0r2dr?q4??0r。

12-5．半径R1?0.05m,，带电量q?3?10?8C的金属球，被一同心导体球壳包围，球壳内半径R2?0.07m，外半径R3?0.09m，带电量Q??2?10?8C。试求距球心r处的P点的场强与电势。（1）r?0.10m（2）r?0.06m（3）r?0.03m。 解：由高斯定理，可求出场强分布：

?E1?0?q?E2?4??0r2????E3?0?Q?q?E4?24??r?0?r?R1R1?r?R2R2?r?R3r?R3R2R1

Qq?R2R3R1∴电势的分布为： 当r?R1时，U1??q4??0rR2r?dr??2qq11Q?qQ?q?(?)?， drR34??r24??0R1R24??0R30?当R1?r?R2时，U2?当R2?r?R3时，U3?当r?R3时，U4???4??0rdr??2q11Q?qQ?q?(?)?， drR34??r24??rR4??R02030?Q?qQ?q?， dr?R34??0r24??0R3Q?qQ?q， dr??r4??0r24??0r∴（1）r?0.10m，适用于r?R3情况，有：

Q?qQ?q3，?9?10NU??900V； 44??0r24??0r（2）r?0.06m，适用于R1?r?R2情况，有： E4?E2?q4??0r2?7.5?104N，U2?Q?q11(?)??1.64?103V； 4??0rR24??0R3q（3）r?0.03m，适用于r?R1情况，有：

E1?0，U1?q4??0(Q?q11?)??2.54?103V。 R1R24??0R3

212-6．两块带有异号电荷的金属板A和B，相距5.0mm，两板面积都是150cm，电量分别为?2.66?10C，A板接地，略去边缘效应，求：（1）B板的电势；（2）AB间离A板1.0mm处的电势。

?8?q解：（1）由E?有：E?，

?0?0S则：UAB?Ed?A5mm1mm?PBqd，而UA?0， ?0S2.66?10?8?5?10?3??1000V， ∴UB???12?28.85?10?1.5?10

离A板1.0mm处的电势：UP?1?(?103)??200V 5

12-7．平板电容器极板间的距离为d，保持极板上的电荷不变，忽略边缘效应。若插入厚度为t(t

?无金属板时电势差为：U1?E0?d?0d，

?0?有金属板时电势差为：U2?E0?(d?t)?0(d?t)，

?0?0d?0Ud?电势差比为：1?；

U2?0(d?t)d?t?0（2）设无金属板时极板带电量为Q0，面电荷密度为?0， 有金属板时极板带电量为Q，面电荷密度为?。

??由于U1?U2，有E0?d?E?(d?t)，即0?d?(d?t)

?0?0Q?d?t∴0?0?。 Q?d解法二：

无金属板时的电容为：C0???E0??0E0d??0t??d??EtU?0Sd，有金属板时的电容为：C0??0Sd?t。那么：

UdQ知：1?；

U2d?tUQd?tQ（2）当极板电压保持不变时，利用C?知：0?。

QdU（1）当极板电荷保持不变时，利用C?

12-8．实验表明，在靠近地面处有相当强的电场E垂直于地面向下，大小约为130V/m.在离地面1.5km的高空的场强也是垂直向下，大小约为25V/m. （1）试估算地面上的面电荷密度(设地面为无限大导体平面)； （2）计算从地面到1.5km高空的空气中的平均电荷密度．

解：（1）因为地面可看成无穷大导体平面，地面上方的面电荷密度可用E0?直向上为正向，考虑到靠近地面处场强为E0??130V，所以：

?考察，选竖?0E'??25???0E?8.85?10?12?(?130)??1.15?10?9Cm2；

（2）如图，由高斯定理

?Sh?1.5kmE0??130???S??1E?dS??qi，有：

?0S内?h?S??1.5?103E'?S?E0(??S)?，则：?25?(?130)?， ?12?08.85?10?133得：??6.2?10Cm。

地面

12-9．同轴传输线是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属圆柱(内)和圆筒(外)构成，设内圆柱半径为R1，电势为V1，外圆筒的内半径为R2，电势为V2.求其离轴为r处(R1

解：∵R1

?R2R1?，

2??0rR??dr?ln2 2??0r2??0R1?R1R2(V?V)??12 2??0ln(R2R1)同理，r处的电势为：Ur?V2??R2rR??dr?ln2（*） 2??0r2??0rRln(R2r)??V2。 ∴Ur?V2?ln2?(V1?V2)ln(R2R1)2??0r【注：上式也可以变形为：Ur??V1?(V1?V2)式用：V1?Ur?V1V2ln(rR1)，与书后答案相同，或将（*）

ln(R2R1)?rR1??rdr?ln计算，结果如上】

2??0r2??0R1

12-10．半径分别为a和b的两个金属球，它们的间距比本身线度大得多，今用一细导线将两者相连接，并给系统带上电荷Q，求：

（1）每个求上分配到的电荷是多少？（2）按电容定义式，计算此系统的电容。 解：（1）首先考虑a和b的两个金属球为孤立导体，由于有细导线相连，两球电势相等：

4??0raqa?4??0rbqb┄①，再由系统电荷为Q，有：qa?qb?Q┄②

QaQb，qb?； a?ba?bQQQQ??（2）根据电容的定义：C?（或C?），将（1）结论代入， UqaUqb4??0a4??0b有：C?4??0(a?b)。

两式联立得：qa? 12-11．图示一球形电容器，在外球壳的半径b及内外导体间的电势差U维持恒定的条件下，内球半径a为多大时才能使内球表面附近的电场强度最小？求这个最小电场强度的大小。 解：由高斯定理可得球形电容器空间内的场强为：E?Q24??0rb?bQQb?a?dr??而电势差：U??E?dr??，

aa4??r24??0ab0QUababU?∴，那么，场强表达式可写为：E??。 4??0b?ab?ar2bU因为要考察内球表面附近的场强，可令r?a，有：Ea?，

(b?a)adEabU(b?2a)?0 将a看成自变量，若有?0时，出现极值，那么：?22(ab?a)da

，

得：a?b4U，此时：Eamin?。 2b

12-12．一空气平板电容器，极板A、B的面积都是S，极板间距离为d．接上电源后，A板电势UA?V，B板电势UB?0．现将一带有电荷q、面积也是S而厚度可忽略的导体片C平行插在两极板的中间位置，如图所示，试求导体片C的电势。

????dd ?EBC?，而：EAB?A，EBC?A?0?022?dqdqd?0q且??，∴V?A?，则：?A?(V?。 )?02?0S2?0SdSd???d导体片C的电势：UC?UCB?ECB??A?，

2?021qd)。 ∴UC?(V?22?0S解：由题意，V?EAB?

12-13．两金属球的半径之比为1∶4，带等量的同号电荷，当两者的距离远大于两球半径时，有一定的电势能；若将两球接触一下再移回原处，则电势能变为原来的多少倍？ 解：（1）设小球r1?R，大球r2?4R，两球各自带有电量为q，有： 接触之前的电势能：W0?q24??0R?q24??04R；

（2）接触之后两球电势相等电荷重新分布，设小球带电为q1，大金属球带电为q2， 有：

q14??0R1?q24??0R2┄①和q1?q2?2q┄②，①②联立解得：q1?21222q8q，q2?。 5542642qqqq162525那么，电势能为：W?????W0。

4??0R4??04R4??0R4??04R25

思考题12

12-1．一平行板电容器，两导体板不平行，今使两板分别带有?q和?q的电荷，有人将两板的电场线画成如图所示，试指出这种画法的错误，你认为电场线应如何分布。

答：导体板是等势体，电场强度与等势面正交，

两板的电场线接近板面时应该垂直板面。

12-2．在“无限大”均匀带电平面A附近放一与它平行，且有一定厚度的“无限大”平面导体板B，如图所示．已知A上的电荷面密度为??，则在导体板B的两个表面1和2上的感生电荷面密度为多少？ 答：?1???2，?2??2。

12-3．充了电的平行板电容器两极板(看作很大的平板)间的静电作用力F与两极板间的电压U之间的关系是怎样的？

答：对静电能的求导可以求得电场作用于导体上的力。

12-4．一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R，在腔内离球心的 距离为d处(d

12-5．在一个原来不带电的外表面为球形的空腔导体A内，放一 带有电荷为?Q的带电导体B，如图所示，则比较空腔导体A的 电势UA和导体B的电势UB时，可得什么结论？ 答：UA和UB都是等势体，UA?Q4??0R3；

Q?11???UB??? ?4??0R34??0?R1R2??Q习题13

13-1．如图为半径为R的介质球，试分别计算下列两种情况下球表面上的极化面电荷密度和极化电荷的总和，已知极化强度为P(沿x轴)。 （1）P?P0；（2）

P?P0xR。 ??P?dS?????Pcos?dSSS解：可利用公式算出极化电荷。

首先考虑一个球的环形面元，有：dS?2?Rsin?(Rd?)，

q'?????yR（1）P?P0时，由?'?Pcos?知?1'?P0cos?，

q1'???P0cos??2?Rsin?d???0O?x?dS?P?2?R2P02??0sin2?d2??0；

yR（2）

P?P0?0xxRcos??2'?P0cos??P0cos??P0cos2?R时，RR，

??q2'???P0cos2??2?R2sin?d??2?R2P0?cos2?dcos?0O?r?Rsin?

x?Rcos?x2?R2P0?cos3?3?04?R2P0??3。

13-2．平行板电容器，板面积为100cm2，带电量?8.9?10?7C，在两板间充满电介质后，其场强为1.4?106V/m，试求：（1）介质的相对介电常数?r；(2)介质表面上的极化电荷密度。

Q8.9?10?7??r???7.18E??126?4?0ES8.85?10?1.4?10?100?10?0?r，有：解：（1）由

?52（2）?'?P??0(?r?1)E?7.66?10Cm

13-3．面积为S的平行板电容器，两板间距为d，求：（1）插入厚度

d为3，相对介电常数为?r的电介质，其电容量变为原来的多少倍？（2）

d插入厚度为3的导电板，其电容量又变为原来的多少倍？

解：（1）电介质外的场强为：

E0???0，

d?Er?3?0?r， 而电介质内的场强为：

?2?dU??d???3??00r3， 所以，两板间电势差为：

3?0?rS3?rQ?SC?0SC????C0?UU(2??1)drd，∴C02?r?1； 那么，，而

?rd（2）插入厚度为3的导电板，可看成是两个电容的串联，

?S3?SdC1?C2?0?03d/3d， 有：

CC3?0S3C3C?12??C0?C?C2d2C?02。 12∴

d313-4．在两个带等量异号电荷的平行金属板间充满均匀介质后，若已知自由电荷与极化电荷的面电荷密度分别为?0与??(绝对值)，试求：（1）电介质内的场强E；（2）相对介电常数?r。

???解：（1）由：

E?S??1E?dS??0?(q?q')，有：

???0??'???0（∵?'给出的是绝对值）

????0?0E?0?r?0?0???0?r，有：?0E?0?0??'?0??'。 （2）又由

?r13-5．在导体和电介质的分界面上分别存在着自由电荷和极化电荷。若

导体内表面的自由电荷面密度为?，则电介质表面的极化电荷面密度为多少？(已知电介质的相对介电常数为?r) 解：由

??q'???P???dSS??，考虑到P??0(?r?1)E，

有：与

???S??E?dS?????S??E?dS?q'?0(?r?1)， q?q'?0q'q?q'??0， 联立，有：?0(?r?1)?

得：

q'??(?r?1)q?r，∴

?'???r?1??r。

13-6．如图所示，半径为R0的导体球带有电荷Q，球外有一层均匀介质同心球壳，其内、外半径分别为R1和R2，相对电容率为?r，求：介

质内、外的电场强度大小和电位移矢量大小。

解：利用介质中的高斯定理

???S??D?dS??qiS内。

（1）导体内外的电位移为：r?R0，

D?0。

E?DD?Q4?r2；r?R0，

（2）由于

?0?r，所以介质内外的电场强度为：

E2?Dr?R0时，E1?0；R1?r?R0时，R2?r?R1时，

?0?Q4??0r2；

DE4??Q4??0r2。

E3?D?r?0?Q4??r?0r2；r?R2时，?0

13-7．一圆柱形电容器，外柱的直径为4cm，内柱的直径可以适当 选择，若其间充满各向同性的均匀电介质，该介质的击穿电场强度 大小为E0?200kV/m，试求该电容器可能承受的最高电压。 解：由介质中的高斯定理，有：

RE??2??0?rr，

r??RUr??dr?lnrr2???r2??0?rr， 0r∴

?R?rE0U?rEln0r， ∵击穿场强为E0，∴2??0?r，则rdUr令drr?r0??RE?dr???R?0，有：

E0lnRRR?E0?0ln?1r0?r0?e， ，∴r0∴

Umax?r0E0lnRRE0??147KVr0e。

13-8．一平行板电容器，中间有两层厚度分别为d1和d2的电介质，它们的相对介电常数为?r1和?r2，极板面积为S，求电容量。

解：∵D1?D2??，∴

E1???E2??0?r2， ?0?r1，

?d1?d2??0?r1?0?r2， 而：

?0S???SQC???0r1r2d1d2?r2d1??r1d2U???r2r1有：。

U?E1d1?E2d2??r1?r21we??E2213-9．利用电场能量密度计算均匀带电球体的静电能，设球

体半径为R，带电量为Q。

Qr?E??14??R3?0E???E?Q22?4??r0?解：首先求出场强分布：

r?RROr?R?

(Q4??0r22)4?rdr2∴

W?????02E2dV??02?R0(?0Qr22)4?rdr?4??0R32??R

3Q2?20??0R。

13-10．半径为2.0cm的导体外套有一个与它同心的导体球壳，球壳的内外半径分别为4.0cm和5.0cm，当内球带电量为3.0?10?8C时，求：（1）系统储存了多少电能?（2）用导线把壳与球连在一起后电能变化了多少？ 解：（1）先求场强分布：

?E1?0?q?E2?4??0r2?E???E3?0?qE??324??r0?r?R1R1?r?R2R2?r?R3r?R3R1?R2R3

1we??E22考虑到电场能量密度，有：球与球壳之间的电能：

W1?????02EdV?2?02?R2R1(q4??0rq)4?rdr?222q28??0q2(球壳外部空间的电能：

W2????11?)R1R2?1.01?10?4J

?02EdV?2?02??R3(4??0r2)4?rdr?228??0R3?8.1?10?5J，

?4∴系统储存的电能：W?W1?W2?1.82?10J；

（2）如用导线把壳与球连在一起，球与球壳内表面所带电荷为0，

所以W1'?0

?5W'?W?8.1?10J2而外表面所带电荷不变，那么：

。

13-11．球形电容器内外半径分别为R1和R2，充有电量Q。（1）求电

1Q2We?2C算得的电容器所容器内电场的总能量；（2）证明此结果与按

储电能值相等。

解：（1）由高斯定理可知，球内空间的场强为：

E?Q4??0r2，（R1?r?R2）

1we??E22利用电场能量密度，有电容器内电场的能量：

W?????02EdV?2?02R2?R2R1Q2(R2?R1)Q211()4?rdr?(?)?4??0r28??0R1R28??0R1R2； Q22（2）由

UR1R2??Q4??0rR1dr?2Q4??0(Q(R2?R1)11?)?R1R24??0R1R2，

C?QUR1R2则球形电容器的电容为：

?4??0R1R2R2?R1，

1Q2Q2(R2?R1)We??2C8??0R1R2。那么，（与前面结果一样）

13-12．一平行板电容器的板面积为S，两板间距离为d，板间充满相对介电常数为?r的均匀介质，分别求出下述两种情况下外力所做的功：（1）维持两板上面电荷密度?0不变而把介质取出；（2）维持两板上电压U不变而把介质取出。

解：（1）维持两板上面电荷密度?0不变，有介质时：

11?02Sd2W1??0?rESd?22?0?r，

（D??0?rE，?0?D）

11?02Sd2W2??0ESd?22?0， 取出介质后：

2Sd1?01?W?W2?W1?(1?)2?0?r； 外力所做的功等于静电场能量的增加：

（2）维持两板上电压U不变，有介质时：

W1?11?0?rS2CU2?U22d，

取出介质后：∴

W2?11?0S2CU2?U22d，

?W?W2?W1?1?0S2U(1??r)2d。

思考题13

13-1．介质的极化强度与介质表面的极化面电荷是什么关系？ 答：σ??Pcosθ。

13-2．不同介质交界面处的极化电荷分布如何？

??P2?en 答：?1??P1?en，?212?P?(P1?P2)?en 即在两种介质的交界面上，极化电荷的面密度等于两

种介质的极化强度的法向分量之差。

13-3．介质边界两侧的静电场中D及E的关系如何？

答：在两种介质的交界面上，若无自由电荷电位移矢量在垂直界面的分量是连续的，平行于界面的分量发生突变。电场强度在垂直界面的分量是不连续的，有突变。

13-4．真空中两点电荷qA、qB在空间产生的合场强为E?EA?EB.系统的电场能为

We????11?0E2d??????0E?Ed?V02V02

1122?????0EAd??????0EBd??????0EA?EBd?V02V02V0.

（1）说明等式后面三项能量的意义；

（2）A、B两电荷之间的相互作用能是指哪些项？

（3）将A、B两电荷从给定位置移至无穷远，电场力做功又是哪些项？

答：第一项表示点电荷A所形成的电场的能量，第二项是点电荷B所

形成的电场的能量，第三项是两个点电荷的相互作用能。

大学物理第14章课后习题

?14-1．如图所示的弓形线框中通有电流I，求圆心O处的磁感应强度B。

解：圆弧在O点的磁感应强度：B1??0I??0I?，方向：?； 4?R6R

B2?直导线在O点的磁感应强度：

?0I4?Rcos600[sin60?sin(?60)]?003?0I2?R，方向： ?；

∴总场强：B?

?0I2R(1?)，方向?。 ?3314-2．如图所示，两个半径均为R的线圈平行共轴放置，其圆心O1、O2相距为a，在两线圈中通以电流强度均为I的同方向电流。

（1）以O1O2连线的中点O为原点，求轴线上坐标为x的任意点的磁感应强度大小；

（2）试证明：当a?R时，O点处的磁场最为均匀。 解：见书中载流圆线圈轴线上的磁场，有公式：B?（1）左线圈在x处P点产生的磁感应强度：BP1??0IR22(R?z)2232。

?0IR2右线圈在x处P点产生的磁感应强度：BP2??BP1和BP2方向一致，均沿轴线水平向右，

∴P点磁感应强度：BP?BP1?BP2?（2）因为BP随x变化，变化率为

3a2222[R?(?x)]2?0IR2， ?3a2[R2?(?x)2]22，

?0IR2?2?a2?3a2?3222[R?(x?)]?[R?(x?)]??；

22??2dB，若此变化率在x?0处的变化最缓慢，则O点处的dx磁场最为均匀，下面讨论O点附近磁感应强度随x变化情况，即对BP的各阶导数进行讨论。 对B求一阶导数：

53?0IR2???aa2?5aadB222???(x?)[R?(x?)]2?(x?)[R?(x?)]2?

22222dx??当x?0时，

dB?0，可见在O点，磁感应强度B有极值。 dx对B求二阶导数：

ddBd2B()?? dxdxdx2?a2a2?5(x?)5(x?)?3?0IR?11??22???? ?5757?2?[R2?(x?a)2]2[R2?(x?a)2]2[R2?(x?a)2]2[R2?(x?a)2]2????2222?2

d2B当x?0时，

dx2a2?R2， x?0?3?0IR7a[R2?()2]22d2B?0，O点的磁感应强度B有极小值， 可见，当a?R时，2x?0dx2d2B当a?R时，

dx2d2B当a?R时，

dx2x?0?0，O点的磁感应强度B有极大值，

?0，说明磁感应强度B在O点附近的磁场是相当均匀的，可看成匀

x?0强磁场。

【利用此结论，一般在实验室中，用两个同轴、平行放置的N匝线圈，相对距离等于线圈半径，通电后会在两线圈之间产生一个近似均匀的磁场，比长直螺线管产生的磁场方便实验，这样的线圈叫亥姆霍兹线圈】

14-3．无限长细导线弯成如图所示的形状，其中c部分是在xoy 平面内半径为R的半圆，试求通以电流I时O点的磁感应强度。 解：∵a段对O点的磁感应强度可用有：Ba???S??B?dl??0?I求得，

??0I?0I?，∴Ba??j 4?R4?Rb段的延长线过O点，Bb?0，

??0I??0I?0I???k c段产生的磁感应强度为：Bc?，∴Bc?4?R4R4R?0I??0I?则：O点的总场强：BO??j+k，方向如图。

4?R4R

14-4．如图所示，半径为R的木球上绕有密集的细导线，线圈平面彼此平行，且以单层线圈均匀覆盖住半个球面。设线圈的总匝数为N，通过线圈的电流为I，求球心O的磁感强度。 解：从O点引出一根半径线，与水平方向呈?角，则有水平投影： x?Rcos?，圆环半径：r?Rsin?，取微元dl?Rd?， 有环形电流：dI?利用：B?2NI?232d?，

，有：

?0IR22(R?x)2?0NIR2sin2?d??0NIsin2?d???， dB?2222322232?(Rsin??Rcos?)2(r?x)?R??0NI??NI?0NI1?cos2?0222sin?d??d??∴B?。 ??00?R?R24R?0r2dI

14-5．无限长直圆柱形导体内有一无限长直圆柱形空腔（如图所示），空腔与导体的两轴线

??平行，间距为a，若导体内的电流密度均匀为j，j的方向平行于轴线。求腔内任意点的磁

?感应强度B。

解：采用补偿法，将空腔部分看成填满了?j的电流，那么， 以导体的轴线为圆心，过空腔中任一点作闭合回路，利用

???2B?dl??I2?R?B??j?R，有：， ?010??S???0j?∴B1??R，

2同理，还是过这一点以空腔导体的轴线为圆心作闭合回路：

2?r?B2??0(?j)?r2，有：B2??由图示可知：R?(?r)?a

?0j2???r，

??????????0j?0j?1???R??r??0j?a。 那么，B?B1?B2?222

14-6．在半径R?1cm的无限长半圆柱形金属片中，有电流I?5A自下而上通过，如图所示。试求圆柱轴线上一点P处的磁感应强度的大小。

解：将半圆柱形无限长载流薄板细分成宽为dl?Rd?的长直电流， 有：dI???dld?B?dl??0?I。 ，利用???S?R??0dI?0Id??在P点处的磁感应强度为：dB?， 2?R2?2R∴dBx?dBsin???0Isin?d?，而因为对称性，By?0 2?2R那么，B?Bx?dBx???0I??0Isin?d???6.37?10?5T。 22?2?R0?R

14-7．如图所示，长直电缆由半径为R1的导体圆柱与同轴的内外半径分别为R2、R3的导体圆筒构成，电流沿轴线方向由一导体流入，从另一导体流出，设电流强度I都均匀地分布在横截面上。求距轴线为r处的磁感应强度大小（0?r??）。 解：利用安培环路定理

??S??B?dl??0?I分段讨论。

?r2I（1）当0?r?R1时，有：B1?2?r??0 2?R1∴B1??0Ir； 22?R1（2）当R1?r?R2时，有：B2?2?r??0I，∴

B2??0I； 2?r

2?r2??R2I)， （3）当R2?r?R3时，有：B3?2?r??0(I?22?R3??R2?IR3?r∴B3?0?2； 22?rR3?R2（4）当r?R3时，有：B4?2?r??0(I?I)，∴B4?0。

22??0Ir(0?r?R1)?2?R21???0I(R1?r?R2)??2?r则：B??

??IR2?r2?0?23(R2?r?R3)2?2?rR3?R2?(r?R3)??0

14-8．一橡皮传输带以速度v匀速向右运动，如图所示，橡皮带上均匀带有电荷，电荷面密度为?。

?（1）求像皮带中部上方靠近表面一点处的磁感应强度B的大

小；

?（2）证明对非相对论情形，运动电荷的速度v及它所产生的

11??c?（式中）。 v?E2c?0?0解：（1）如图，垂直于电荷运动方向作一个闭合回路abcda，考虑到橡皮带上等效电流密度为：i??v，橡皮带上方的磁场方向水平向外，橡皮带下方的磁场方向水平向里，根据

磁场B和电场E之间满足下述关系：B?安培环路定理有：

?????abcd??B?dl??0Li?B?2L??0L?v，

?∴磁感应强度B的大小：B?（2）非相对论情形下：

?0?v2；

?????0qv?r?匀速运动的点电荷产生的磁场为：B?， 4?r2?1q??， ?2r点电荷产生的电场为：E?4??0r?????1??1q?qv?r?0??r???B， ∴2v?E??0?0v?c4??0r24?r2?1??1即为结论：B?2v?E（式中c?）。

c?0?0

14-9．一均匀带电长直圆柱体，电荷体密度为?，

半径为R。若圆柱绕其轴线匀速旋转，角速度为?， 求：（1）圆柱体内距轴线r处的磁感应强度的大小； （2）两端面中心的磁感应强度的大小。 解：（1）考察圆柱体内距轴线r处到半径R的圆环等效电流。

bLacd

Rdq??2?rLdr1∵dI?????Lrdr，∴I????Lrdr???L(R2?r2)，

rtT2选环路abcd如图所示，

L??ab由安培环路定理：??B?dl??0?I，

S1有：B?L??0???L(R2?r2)

2∴B?rLdc?0??2(R2?r2)

（2）由上述结论，带电长直圆柱体旋转相当于螺线管，端面的磁感应强度是中间磁感应强度的一半，所以端面中心处的磁感应强度：B端面中心??0??R24。

14-10．如图所示，两无限长平行放置的柱形导体内通过等值、反向电流I，电流在两个阴影所示的横截面的面积皆为S，两圆柱轴线间的距离O1O2?d，试求两导体中部真空部分的磁感应强度。

解：因为一个阴影的横截面积为S，那么面电流密度为：

S，利用补偿法，将真空部分看成通有电流?i，设 其中一个阴影在真空部分某点P处产生的磁场为B1，距离

?????为r1，另一个为B2、r2，有：r1?r2?d。

利用安培环路定理可得：

i?III?0?r12?Ir?0?r22?Ir0102SS，B2?， B1???2?r12S2?r22S??0Ir2??， r1?，B2?r2?2S2S????0I?0Id??????(r1r1??r2r2?)?d?。 ∴B?B1?B2?2S2S?0Id即空腔处磁感应强度大小为B?，方向向上。

2S则：B1???d???r1???0Ir1???r1P??r2??r2?O1??dO2

14-11．无限长直线电流I1与直线电流I2共面，几何位置如图所示， 试求直线电流I2受到电流I1磁场的作用力。 解：在直线电流I2上任意取一个小电流元I2dl， 此电流元到长直线的距离为x，无限长直线电流I1 在小电流元处产生的磁感应强度为：

?0I1B?2?x?，

?0I1I2dxdxdF??，有：， 002?xcos60cos60?0I1I2bb?0I1I2dx??ln。 ∴F??a2?xcos600?a再利用dF?IBdl，考虑到dl?

14-12．在电视显象管的电子束中，电子能量为12000eV，这个显像管的取向使电子沿水平方向由南向北运动。该处地球磁场的垂直分量向下，大小为B?5.5?10?5T，问：（1）电子束将偏向什么方向？（2）电子的加速度是多少？（3）电子束在显象管内在南北方向上通过20cm时将偏转多远？

???解：（1）根据f?qv?B可判断出电子束将偏向东。 南??122E（2）利用E?mv，有：v?，

m2qvBqB2E而f?qvB?ma，∴a???6.28?1014m?s?1

mmm11L（3）y?at2?a()2?3mm。

22v

14-13．一半径为R的无限长半圆柱面导体，载有与轴线上的 长直导线的电流I等值反向的电流，如图所示，试求轴线上长 直导线单位长度所受的磁力。

解：设半圆柱面导体的线电流分布为i?北电子束方向BI1， ?R如图，由安培环路定理，i电流在O点处产生的磁感应强度为：

?0idB??Rd?，

2?R可求得：BO?dBy?????又∵dF?Idl?B，

?0I1I2dl， 故dF?BOI2dl?2?RdF?0I1I2?2，而I1?I2， 有：f?dl?R2dF?0I?2。 所以：f?dl?R?0iR??0I1sin??d??； 2?02?R?RdB?y??O

14-14．如图14-55所示，一个带有电荷q(q?0)的粒子， 以速度v平行于均匀带电的长直导线运动，该导线的线电荷 密度为?（??0），并载有传导电流I。试问粒子要以多大 的速度运动，才能使其保持在一条与导线距离为d的平行线上？

??B解：由安培环路定律???dl??0I知：

l?0I电流I在q处产生的磁感应强度为：B?，方向?；

2?d运动电荷q受到的洛仑兹力方向向左，大小：F洛?qvB?qv?0I2?d，

同时由于导线带有线电荷密度为?，在q处产生的电场强度可用高斯定律求得为：

E??q?，q受到的静电场力方向向右，大小：F电?；

2??0d2??0d

欲使粒子保持在一条与导线距离为d的平行线，需F洛?F电， 即：

qv?0I2?d?q?2??0d，可得v??。

?0?0I

14-15．截面积为S、密度为?的铜导线被弯成正方形的三边， 可以绕水平轴OO?转动，如图14-53所示。导线放在方向竖 直向上的匀强磁场中，当导线中的电流为I时，导线离开原来 的竖直位置偏转一个角度?而平衡，求磁感应强度。 解：设正方形的边长为a，质量为m，m??aS。 平衡时重力矩等于磁力矩：

由M?pm?B，磁力矩的大小：M?BIasin(90??)?BIacos?；

???202asin??2mgasin? 22mg2?gStan??tan?。 平衡时：BIa2cos??2mgasin?，∴B?IaI重力矩为：M?mgasin??2mg?

14-16．有一个U形导线，质量为m，两端浸没在水银槽中， 导线水平部分的长度为l，处在磁感应强度大小为B的均匀 磁场中，如图所示。当接通电源时，U导线就会从水银槽中 跳起来。假定电流脉冲的时间与导线上升时间相比可忽略， 试由导线跳起所达到的高度h计算电流脉冲的电荷量q。

dvdq， ?BIl，而I?dtdtvmmvdv?则：mdv?Bldq，积分有：q??； 0BlBlmvm12?2gh。 又由机械能守恒：mv?mgh，有：v?2gh，∴q?BlBl2解：接通电流时有F?BIl?m

14-17．半径为R的半圆形闭合线圈，载有电流I，放在均匀磁场中，磁场方向与线圈平面平行，如图所示。求：

（1）线圈所受力矩的大小和方向（以直径为转轴）；

（2）若线圈受上述磁场作用转到线圈平面与磁场垂直的位置，则力矩做功为多少？ 2??I?R?n， 解：（1）线圈的磁矩为：pm?ISn?2???由M?pm?B，此时线圈所受力矩的大小为：

?1M?pmBsin??R2IB；

22??磁力矩的方向由pm?B确定，为垂直于B的方向向上，如图；

R?BI?M（2）线圈旋转时，磁力矩作功为：

1B?R2I2A?I??m?I??2m??1m??I(B??R?0)?。

22?112【或：A??Md????R2IBsin?d???R2IB】

022

o?S?B

思考题

14-1．在图（a）和（b）中各有一半径相同的圆形回路L1、L2，圆周内有电流I1、I2，其分布相同，且均在真空中，但在（b）图中L2回路外有电流I3，P1、P2为两圆形回路上的对应点，则：

(A)?BP1?BP2；(B)?BP1?BP2； ?B?dl???B?dl，?B?dl???B?dl，L1L2L1L2(C)?BP1?BP2；(D)?BP1?BP2。 ?B?dl???B?dl，?B?dl???B?dl，L1L2L1L2

答：B的环流只与回路中所包围的电流有关，与外面的电流无关，但是回路上的磁感应强

度却是所有电流在那一点产生磁场的叠加。所以（C）对。

14-2．哪一幅图线能确切描述载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的B随x的变化关系？（x坐标轴垂直于圆线圈平面，原点在圆线圈中心O）

答：载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的磁感应强度B??0IR2223

22(R?x)∴x?0时，B??0I2R（x??R），B??0IR22x3。

根据上述两式可判断（C）图对。

14-3．取一闭合积分回路L，使三根载流导线穿过它所围成的面．现改变三根导线之间的相互间隔，但不越出积分回路，则：

?I不变，L上各点的B不变；

(B)回路L内的?I不变，L上各点的B改变； (C)回路L内的?I改变，L上各点的B不变； (D)回路L内的 ?I改变，L上各点的B改变.

(A)回路L内的

答：（B）对。

14-4．一载有电流I的细导线分别均匀密绕在半径为R和r的长直圆筒上形成两个螺线管(R?2r)，两螺线管单位长度上的匝数相等．两螺线管中的磁感应强度大小BR和Br应满足：

(A)BR?2Br；(B)BR?Br；(C)2BR?Br；(D)BR?4Br.

答：对于长直螺线管：B??0nI，由于两螺线管单位长度上的匝数相等，所以两螺线管磁感应强度相等。（B）对。

14-5．均匀磁场的磁感应强度B垂直于半径为r的圆面。今以该圆周为边线，作一半球面S，则通过S面的磁通量的大小为多少？ 答：??B?r。

14-6．如图，匀强磁场中有一矩形通电线圈，它的平面与磁场平行，在磁场作用下，线圈向什么方向转动？ 答：在力偶矩的作用下，abab受力方向垂直纸面向里，cd受力外，

垂直纸面向里运动，cd垂直纸面向外运动，从上往下看，顺时针旋转。

14-7．一均匀磁场，其磁感应强度方向垂直于纸面，两带电粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，则

（A） 两粒子的电荷必然同号；

（B） 粒子的电荷可以同号也可以异号； （C） 两粒子的动量大小必然不同； （D） 两粒子的运动周期必然不同。 答：选（B）

大学物理第15章课后习题

15-1．一圆柱形无限长导体，磁导率为?，半径为R，通有沿轴线方向的均匀电流I，求： （1）导体内任一点的H、B和M；（2）导体外任一点的H、B。 2I。 ?R2??（1）当r?R时，利用：??H?dl??I，

解：如图，面电流密度为：i?lR有：2?r?H1??ri， ∴导体内任一点的磁场强度H1?2IIr， 22?R?再由B??H，有导体内任一点的磁感应强度：B1?利用公式M??Ir， 22?RB?0?H，有磁化强度：M?l（2）当r?R时，利用：

??H???dl??I有：

1?IrIrIr???(?1)；

?02?R22?R22?R2?0导体外任一点的磁场强度：H2?I2?r，磁感应强度：B2??0I。 2?rrO

15-2．螺绕环平均周长l?10cm，环上绕有线圈N?200匝，通有电流I?100mA。试求：（1）管内为空气时B和H的大小；

（2）若管内充满相对磁导率?r?4200的磁介质，B和H的大小。

II

解：（1）B??0nI??0NI?4??10?7?100?10?3?2.5?10?4T， LH?B?0?200Am；

（2）H?NI?200Am，B??H??0?rH?4??10?7?4200?200?1.05T。 L

15-3．螺绕环内通有电流20A，环上所绕线圈共400匝，环的平均周长为40cm，环内磁感应强度为1.0T，计算： （1）磁场强度；（2）磁化强度；（3）磁化率；（4）磁化面电流和相对磁导率。

N400I??20?2?104Am； L0.4B1（2）磁化强度：M??H??2?104?7.76?105Am； ?7?04??10BB?1?39.8?1?38.8； （3）磁化率：?m??r?1，而?r?，∴?m??0H?0H解：（1）磁场强度：H?（4）磁化面电流密度：?s?M?B?05?H?7.76?105Am，

5则磁化面电流：is??sL?7.76?10?0.4?3.1?10A， 相对磁导率：?r?B?39.8【或?r??m?1?38.8?1?39.8】 ?0H

15-4．如图所示，一半径为R1的无限长圆柱形直导线外包裹着一层外径为R2的圆筒形均匀介质，其相对磁导率为?r，导线内通有电流强度为I的恒定电流，且电流在导线横截面均匀分布。求：

（1）磁感应强度和磁场强度的径向分布，并画出B~r、H~r曲线；

（2）介质内、外表面的磁化面电流密度。（设金属导线的?r?1）

??解：利用介质磁场的安培环路定理：??H?dl??I，考虑到导线内电流密度为：i?lI，2?R1可求出磁场分布。

（1）当r?R1时，有：H1?2?r??ri，得：H1?当R1?r?R2时，有：H2?2?r?I，得：H2?2?0IrIrB??H?，； 11222?R12?R1，B2??H2?I2?r?0?rI； 2?r?0I当r?R2时，有：H3?2?r?I，得：H3?，B3??H3?；

2?r2?rI（2）当r?R1时，有：M1?B2?0?H2，

BM1?B1?0?H1?I2?R1(?r?1)，

OR1R2r

根据?'?M?en，有：?1'?M1?同理，当r?R2时，M2?有：?2'????(?r?1)I2?R1，

HB2?0?H2，

OR1R2(?r?1)I2?R2r。

15-5．图a为铁氧体材料的B?H磁滞曲线，图b为此材料制成的计算机存贮元件的环形磁芯。磁芯的内、外半径分别为0.5mm和0.8mm，矫顽力为HC?500?A/m。设磁芯的磁

化方向如图b所示，欲使磁芯的磁化方向翻转，试问：

（1）轴向电流如何加？至少加至多大时，磁芯中磁化方向开始翻转？

（2）若加脉冲电流，则脉冲峰值至少多大时，磁芯中从内而外的磁化方向全部翻转？

??解：（1）利用介质磁场的安培环路定理：??H?dl??I，有Hc?2?r内?imax，

l?3∴imax?2?rH?2??0.5?10?c内500??0.5A；

?3（2）同理：imax?2?r外Hc?2??0.8?10?

500??0.8A。

思考题15

15-1．何谓顺磁质、抗磁质和铁磁质，它们的区别是什么？

答：顺磁质：磁介质在磁场中磁化后，产生的附加磁场的方向与原来的磁场方向相同。

抗磁质：磁介质在磁场中磁化后，产生的附加磁场的方向与原来的磁场方向相反。 铁磁质：磁介质在磁场中磁化后，产生的附加磁场的方向与原来的磁场方向相同，并且附加磁场远远大于原来磁场。

15-2．将电介质与磁介质加以比较。 答： 电介质 磁介质 在电场中能与电场发生作用的物质 在磁场中能与磁场发生作用的物质 产生极化电场 激发附加磁场 有无极分子位移极化和有极分子取向极化 有顺磁质、抗磁质和铁磁质 引入电极化强度和极化电荷 引入磁化强度和磁化电流 引入的电位移矢量与电介质无关 引入的磁场强度矢量与磁介质无关 有相对介电常数?r 有相对磁导率?r 电介质的存在减弱了原电场 磁介质的存在改变了原磁场 15-3．何谓磁滞回线？

答：对于铁磁质来说，磁感应强度B随磁场强度H的变化而变化所形成的闭合曲线就叫磁滞回线。见教材P107页图15-11。

15-4．磁化电流与传导电流有何不同之处，又有何相同之处？

答：磁化电流激发附加磁场，产生与传导电流产生外磁场；磁化电流对磁场强度无贡献，

传导电流决定磁场强度；磁化电流与传导电流都能影响磁场分布。

大学物理第16章课后习题 16-1．如图所示，金属圆环半径为R，位于磁感应强度为B的均匀磁场中，圆环平面与磁场方向垂直。当圆环以恒定速度v在环所在平面内运动时，求环中的感应电动势及环上位于与运动方向垂直的直径两端a、b间的电势差。 解：（1）由法拉第电磁感应定律?i??应电动势?i?0； （2）利用：?ab???d?，考虑到圆环内的磁通量不变，所以，环中的感dt?ab???(v?B)?dl，有：?ab?Bv?2R?2BvR。

【注：相同电动势的两个电源并联，并联后等效电源电动势不变】

16-2．如图所示，长直导线中通有电流I?5.0A，在与其相距d?0.5cm 处放有一矩形线圈，共1000匝，设线圈长l?4.0cm，宽a?2.0cm。 不计线圈自感，若线圈以速度v?3.0cm/s沿垂直于长导线的方向向右 运动，线圈中的感生电动势多大？

解法一：利用法拉第电磁感应定律解决。

???0I首先用??lB?dl??0?I求出电场分布，易得：B?2?r，

则矩形线圈内的磁通量为：???x?ax?0I?0Ilx?a?ldr?ln， 2?r2?xN?0Il11dxd?(?)?由?i??N，有：?i?? 2?x?axdtdt∴当x?d时，有：?i?N?0Ilav2?(d?a)?1.92?10?4V。

解法二：利用动生电动势公式解决。

???0I由??lB?dl??0?I求出电场分布，易得：B?2?r，

考虑线圈框架的两个平行长直导线部分产生动生电动势， 近端部分：?1?NB1lv， 远端部分：?2?NB2lv，

N?0I1N?0Ialv1(?)lv??1.92?10?4V。 则：???1??2?2?dd?a2?d(d?a)16-3．如图所示，长直导线中通有电流强度为I的电流，长为l的金属棒ab与长直导线共面

?且垂直于导线放置，其a端离导线为d，并以速度v平行于长直导线作匀速运动，求金属棒中的感应电动势?并比较Ua、Ub的电势大小。 解法一：利用动生电动势公式解决：

??0I??dr， d??(v?B)?dl?v?2?r?0vI∴???2??d?ld?0vId?ldr， ??lnr2?da'dryb'由右手定则判定：Ua >Ub。

解法二：利用法拉第电磁感应定律解决。 作辅助线，形成闭合回路abb'a'，如图，

r???0Iyd?ld?l?0I???B?dS??ydr?， lnSd2?r2?d?0Id?ldy?0Ivd?ld???ln???ln∴???。

2?ddt2?ddt由右手定则判定：Ua >Ub。

16-4．电流为I的无限长直导线旁有一弧形导线，圆心角为120，

?AOB?几何尺寸及位置如图所示。求当圆弧形导线以速度v平行于长直

导线方向运动时，弧形导线中的动生电动势。 解法一：（用等效法）连接AO、OB，圆弧形导线与AO、OB 形成闭合回路，闭合回路的电动势为0，所以圆弧形导线电动势与 AOB直导线的电动势相等。

?AO??0Iv2R?0Iv????(v?B)?dl???dx??ln2，

R2?x2??????(v?B)?dl???5R22RB?OB?0Iv?0Iv5dx??ln， 2?x2?4A?O∴?AB??AO??OB?0Iv5??ln。

2?2解法二：（直接讨论圆弧切割磁感应线）从圆心处引一条半径线，与水平负向夹角为?，那么，B???0I?0I?0I????，再由???(v?B)?dl有： 2?x2?(2R?Rcos?)2?R(2?cos?)

d??B?Rd??vsin?，∴

????2?30?0I2?R(2?cos?)?Rvsin?d????0Iv5ln。 2?216-5．电阻为R的闭合线圈折成半径分别为a和2a的两个圆，如图

所示，将其置于与两圆平面垂直的匀强磁场内，磁感应强度按

B?B0sin?t的规律变化。已知a?10cm，B0?2?10?2T，??50rad/s，R?10?，

求线圈中感应电流的最大值。

解：由于是一条导线折成的两个圆，所以，两圆的绕向相反。

?i??d?dB??(???4a2??a2)?3?a2B0?cos?t， dtdt3?a2B0?cos?t∴I? ?RR?iImax5πa2B0ω3π?0.12?2?10?2?50???9.42?10?3A。

R10

16-6．直导线中通以交流电，如图所示， 置于磁导率为? 的介质中， 已知：I?I0sin?t，其中I0、?是大于零的常量，求：与其共面的 N匝矩形回路中的感应电动势。

???0I解：首先用??lB?dl??0?I求出电场分布，易得：B?2?x，

则矩形线圈内的磁通量为：???d?ad?0I?0Ild?a?0I0ld?a?ldr?ln?sin?tln， 2?r2?d2?d∴???N

N?0I0ld?d?a???cos?tln。 dt2?ddB?0的磁场，一直导线弯成等腰梯形的dt闭合回路ABCDA，总电阻为R，上底为a，下底为2a，求：（1）AD段、BC段和闭合

16-7．如图所示，半径为a的长直螺线管中，有

回路中的感应电动势；（2）B、C两点间的电势差UB?UC。 解：（1）首先考虑?OAD，S?OAD?1332a?a?a， 224

d?dB32dB???S?OAD??a?， dtdt4dt??????????而?感1???E涡?dl??E涡?dl??E涡?dl??E涡?dl??E涡?dl??DA

∴?感1??lAOODADDA∴?AD?32dBa?； 4dt再考虑?OBC，有效面积为S扇OAD?同理可得：?BC??dB1?2， ?a，∴?感2??a2?6dt23?6a2?dB； dt32dB)a?，逆时针方向。

64dtR（2）由图可知，AB?CD?a，所以，梯形各边每段a上有电阻r?，

5??3a2dB)?回路中的电流：I??(?，逆时针方向；

R64Rdt那么，梯形闭合回路的感应电动势为：???BC??AD?(??那么，UB?UC?I?2r??BC?I?2??32dB。 R??BC??()a?510dtdB?k（k?0，k为恒量） dt

16-8．圆柱形匀强磁场中同轴放置一金属圆柱体，半径为R，高为h， 电阻率为?，如图所示。若匀强磁场以

的规律变化，求圆柱体内涡电流的热功率。

解：在圆柱体内任取一个半径为r，厚度为dr，高为h的小圆柱通壁，

?dB?dB222????r?k?r有：?，即：， E?dl???r涡涡?ldtdtl由电阻公式R??，考虑涡流通过一个dr环带，如图，

S2?r有电阻：R??，

hdr 涡流(k?r2)2k2?h3?rdr， 而热功率：dP?iR?2?r2??hdr2k2?hR3k2?hR4rdr?∴P?。 ?02?8?

216-9．一螺绕环，每厘米绕40匝，铁心截面积3.0cm，磁导率??200?0，绕组中通有电流5.0mA，环上绕有二匝次级线圈，求：（1）两绕组间的互感系数；（2）若初级绕组中的电流在0.10s内由5.0A降低到0，次级绕组中的互感电动势。 解：已知n初?40?4000匝，N次?2，??200?0?8??10?5，S?3?10?4m2。 0.01

（1）由题意知螺绕环内：B??nI，则通过次级线圈的磁链：

?次?N次BS?N次?nIS，

?次?N?nS?2?8??10?5?4000?3?10?4?6.03?10?4H； ∴M?I初（2）?次?M?I初?t?6.03?10?4?5?0?3.02?10?2V。 0.116-10．磁感应强度为B的均匀磁场充满一半径为R的圆形空间B，一金属杆放在如图14-47所示中位置，杆长为2R，其中一半位于磁场内，另一半位于磁场外。当

dB?0时，求：杆两端感应电动势的大小和方向。 dtd?扇形Oabdt，

解：∵?ac??ab??bc，而：?ab??∴?abd323R2dBRB]???[?，

dt44dt?bc??d??Obcdtd?R2?R2dB3R2?R2dB?]??[?B]?，∴?ac?[； 412dtdt1212dt∵

dB?0，∴?ac?0，即?ac从a?c。 dt

16-11．一截面为长方形的螺绕环，其尺寸如图所示，共有N匝，求此螺绕环的自感。 解：如果给螺绕环通电流，有环内磁感应强度：

?0NIB?2?r???R2(R1?r?R2)则????S??B?dS，有：

R1?0NIhR2?0NI?h?dr?ln 2?r2?R1?0N2hR2ln利用自感定义式：L?，有：L?。 2?R1I?

16-12．一圆形线圈A由50匝细导线绕成，其面积为4cm2，放在另一个匝数等于100匝、半径为20cm的圆形线圈B的中心，两线圈同轴。设线圈B中的电流在线圈A所在处激发的磁场可看作匀强磁场。求： （1）两线圈的互感；

（2）当线圈B中的电流以50A/s的变化率减小时，线圈A中的感生电动势的大小。 解：设B中通有电流I，则在A处产生的磁感应强度为：

BA?

B??0NBI?0NBI ?2?R?B24?RB2RB?0NANBI2RB?SA。则：M?（1）A中的磁通链为：?A?NABSA??AIB??0NANBSA2RB，

4??10?7?50?100?4?10?4∴M??20??10?7?6.28?10?6H。

2?0.2（2）∵

d?A?0NANBSAdI???6.28?10?6?50?3.14?10?4V,∴?A?3.14?10?4V。 dt2RBdt

16-13．如图，半径分别为b和a的两圆形线圈（b>>a），在t?0时共面放置，大圆形线圈通有稳恒电流I，小圆形线圈以角速度?绕竖直轴转动，若小圆形线圈的电阻为R，求：（1）当小线圈转过90时，小线圈所受的磁力矩的大小；

（2）从初始时刻转到该位置的过程中，磁力矩所做功的大小。 解：利用毕—萨定律，知大线圈在圆心O处产生的磁感应强度为：

?B??0I2b，由于b>>a，可将小圆形线圈所在处看成是匀强磁场，

磁感应强度即为B??0I2b，所以，任一时间穿过小线圈的磁通量：

??B?S??0I2b??a2cos?t，

1d??0I??a2??sin?t， 小线圈的感应电流：i??Rdt2bR?0I??a2?sin?t)??a2， 小线圈的磁矩：pm?iSa?(2bR22????0I??2a4?sin2?t （1）由M?pm?B，有：M?pm?Bsin?t?24bR当?t??2时：M?22?0I??2a44bR2；

（2）A?M?d?

??22?0I??2a4?4bR2?20sin?td?t?222?0I??2a44b2R2234?I??a1?cos2?t02d?t?。 2?0216Rb?

16-14．一同轴电缆由中心导体圆柱和外层导体圆筒组成，两者半径分别为R1和R2，导体圆柱的磁导率为?1，筒与圆柱之间充以磁导率为?2的磁介质。电流I可由中心圆柱流出，由圆筒流回。求每单位长度电缆的自感系数。

B212解：考虑到Wm?LI和wm?，可利用磁能的形式求自感。

2?2由环路定理，易知磁场分布：

?1Ir?B??12?R2?1??B??2I2?2?r?(r?R1)

(R1?r?R2)22B1B2dV??dV 则：Wm??wmdV??2?12?2∴单位长度的磁能为：

Wm1R1?1Ir21?()?2?rdr?2l2?1?02?R12?2?R2R1?2I2?1I2?2I2R2()?2?rdr??ln， 2?r16?4?R1利用Wm?LI2/2，有单位长度自感：L??1?2R2?ln。 8?2?R1

16-15．一电感为2.0H，电阻为10Ω的线圈突然接到电动势??100V，内阻不计的电源上，在接通0.1s时，求：（1）磁场总储存能量的增加率；（2）线圈中产生焦耳热的速率；（3）电池组放出能量的速率。

R?t?12解：（1）利用磁能公式Wm?LI及LC电路通电暂态过程I(t)?(1?eL)，

R2RR2?t?t1?L?2L2有磁场总储能：Wm(t)?L[(1?eL)]?(1?e)， 22R2RRR?t?tdW(t)?2L?(1?e)eL， 对上式求导得储能增加率：

dtRdW(t)将L?2.0H，R?10?，??100V，t?0.1s代入，有：t?0.1s?238Js；

dtdQ?P?I2R，有线圈中产生焦耳热的速率： （2）由dtRR?t?tdQ(t)??2dQ(t)22L?IR?[(1?e)]R?(1?eL)2；代入数据有：dtRRdtR?tdE?2?I??(1?eL)， （3）那么，电池组放出能量的速率：dtRdE代入数据有：t?0.1s?390Js。

dtt?0.1s?152Js；

?1216-16. 在一对巨大的圆形极板（电容C?1.0?10F）上，加上频率为50Hz，峰值为

1.74?105V的交变电压，计算极板间位移电流的最大值。

解：设交变电压为：u?Umcos?t，利用位移电流表达式：ID?有：ID?Cdq， dt∴IDm

16-17．圆形电容器极板的面积为S，两极板的间距为d。一根长为d的极细的导线在极板间

du???CUmsin?t，而??2?f， dt?2?fCUm?2??50?10?12?1.74?105?5.46?10?5A。

沿轴线与极板相连，已知细导线的电阻为R，两极板间的电压为U?U0sin?t，求： （1）细导线中的电流；

（2）通过电容器的位移电流； （3）通过极板外接线中的电流；

（4）极板间离轴线为r处的磁场强度，设r小于极板半径。

UU0?sin?t； RR?SdqdU（2）通过电容器的位移电流：id??C?CU0?cos?t?0U0?cos?t；

dtdtdU?S（3）通过极板外接线中的电流：i?iR?id?0sin?t?0U0?cos?t；

Rd??U0?r2?0S（4）由??lH?dl??I有：2?r?H?Rsin?t?S?dU0?cos?t，

U0?r∴H?sin?t?0U0?cos?t 。

2?rR2d解：（1）细导线中的电流：iR?思考题16

16-1．图为用冲击电流计测量磁极间磁场的装置。小线圈与冲击电流计相接，线圈面积为A，

?匝数为N，电阻为R，其法向n与该处磁场方向相同，将小线圈迅速取出磁场时，冲击电流计测得感应电量为q，试求小线圈所在位置的磁感应强度。 解：q?Idt?∴B??11d???NBA， ?dt?dt????RRdtRRRq。 NA

16-2．如图所示，圆形截面区域内存在着与截面相垂直的磁场，磁感应强度随时间变化。 （a）磁场区域外有一与圆形截面共面的矩形导体回路abcd，以?ab表示在导体ab段上产生的感生电动势，I表示回路中的感应电流，则 A．?ab?0I?0； B．?ab?0I?0； C．?ab?0I?0； D．?ab?0I?0。

（b）位于圆形区域直径上的导体棒ab通过导线 与阻值为R的电阻连接形成回路，以?ab表示在 导体ab段上产生的感生电动势，I表示回路中的 感应电流，则：

A．?ab?0I?0； B．?ab?0I?0； C．?ab?0I?0； D．?ab?0I?0。

答：（a）选C；（b）选D。

?16-3．在磁感应强度为B的均匀磁场内，有一面积为S的矩形线框，线框回路的电阻为R（忽略自感），线框绕其对称轴以匀角速度?旋转（如图所示）。

（1）求在如图位置时线框所受的磁力矩为多大？

（2）为维持线框匀角速度转动，外力矩对线框每转一周需作的功为多少？ 答：（1）由??BScos??BScos?t， 而：I??R?1BS?sin?t， R

1BS2?sin?t； R1（2）M?Bpmsin?t?B2S2?sin2?t，

R2?1??B2S2222∴W??Md???。 BS?sin?d??0RR∴pm?IS?

16-4．一平板电容器充电以后断开电源，然后缓慢拉开电容器两极板的间距，则拉开过程中两极板间的位移电流为多大?若电容器两端始终维持恒定电压，则在缓慢拉开电容器两极板间距的过程中两极板间有无位移电流?若有位移电流，则它的方向怎样?

dq，由于平板电容器充电以后断开的电源，所以q在dt电容器两极板拉开过程中不变化，有ID?0； （2）有位移电流，电容器两端维持恒定电压，两极板间距增加时场强变小，q下降且引起?答：（1）利用位移电流表达式：ID?下降，使位移电流降低。位移电流的方向与场线方向相反。

16-5．图a为一量值随时间减小，方向垂直纸面向内的变化电场， 均匀分布在圆柱形区域内，试在图b中画出： （1）位移电流的大致分布和方向； （2）磁场的大致分布和方向。 答：（1）Id??0?R2dEdE，（，位移电流在圆柱形区域内 ?0）dtdt均匀分布，分布具有轴对称性；

（2）应用安培环路定理：

Id?Br?R时，B内?r?R时，B外??0Id?0?0dEr?r，B内与r成正比， 22?R2dr?0?0dE2drR，B外为定值不变。

16-6．空间有限的区域内存在随时间变化的磁场，所产生的感生电场场强为Ei，在不包含磁场的空间区域中分别取闭合曲面S，闭合曲线l，则：

????????E?dS?0，E?dl?0E?dS?0，E； B．???Si??li???Si??li?dl?0；

????????C．???Ei?dS?0，??Ei?dl?0； D．???Ei?dS?0,??Ei?dl?0。

A．

SlSl答：选B。

16-7．试写出与下列内容相应的麦克斯韦方程的积分形式： （1）电力线起始于正电荷终止于负电荷；（2）磁力线无头无尾；（3）变化的电场伴有磁场； （4）变化的磁场伴有电场。

????????D?解：（1）?（2）?（3）??SD?dS??qi；?SB?dS?0；?SH?dl??Ic??S?t?dS

????B?（4）??SE?dl???S?t?dS

大学物理第17章课后习题

817-1．已知电磁波在空气中的波速为3.0?10m/s，试计算下列各种频率的电磁波在空气中的波长：（1）上海人民广播电台使用的一种频率??990kHz；（2）我国第一颗人造地球卫

星播放东方红乐曲使用的无线电波的频率??20.009MHz；（3）上海电视台八频道使用的图像载波频率??184.25MHz.

3?108解：由??有：（1）?1??303m；

990?103?3?1083?108（2）?2?（3）?3??1.63m。 ?14.99m；620.009?106184.25?10c

17-2．一电台辐射电磁波，若电磁波的能流均匀分布在以电台为球心的球面上，功率为

105W。求离电台10km处电磁波的坡因廷矢量和电场分量的幅值。 解：（1）由于电磁波在空间以球面辐射，所以其能流密度在距离为10km处为：

P105S???7.96?10?5Jm2?s，电磁波的能流密度即为坡因廷矢量； 224?r4??10000?????（2）又∵S?E?H，考虑到E?H，有S?EH，而?E??H，

?0?2S，在真空中，有???0，???0，∴E?那么，E?S ??022考虑到Em?2E，（这是因为波的强度I?E，而I?22112） Im?Em22所以：Em?(2S??01)2?2.45?10?2Vm。 ?0

17-3．真空中沿x正方向传播的平面余弦波，其磁场分量的波长为?，幅值为H0.在t?0时刻的波形如图所示，（1）写出磁场分量的波动表达式；（2）写出电场分量的波动表达式，并在图中画出t?0时刻的电场分量波形；（3）计算t?0时，x?0处的坡因廷矢量。 解：（1）由图可知，H满足余弦波，设：

H?H0cos(?t?当

2??x??)

时

，

有

：

t?0、

x?0H??H02，

cos???12?， ????23根据波形曲线可以判断出：???2?，∴ 32?2?2?2??Hz?H0cos(?t?x?)?H0cos?(ct?x)?；

???3?3??（2）由?E??H知：E??0H??0cH， ?02???2?(ct?x)?； ?3???????0cH0H0E?（3）由S?E?H，当t?0、x?0时，有：H??，，

22∴E??0cH0cos?

∴S?EH??0cH024，方向沿x轴正向。

17-4．氦氖激光器发出的圆柱形激光束，功率为10mW，光束截面直径为2mm.求该激光的最大电场强度和磁感应强度.

解：因为坡因廷矢量即为电磁波的能流密度，所以：

P10?10?3104S????3.18?103Wm2， 2?6?r??104??01)2?1.529?103Vm； 那么：Em?(2S??0?0Hm?Em?Bm??0Hm??0?0Hm?4.30?10?6T。

?0

思考题17

17-1．试述电磁波的性质. 答：（1）电磁波是横波，有偏振性；（2）E和H 同相位；（3）E和H数值成比例

εE?μH；（4）电磁波传播速度u?1??，真空中波速c?1?0?0等于光速。

17-2．图a为一LC电路，C为圆形平行板电容器，L为长直螺线管，图b及图c分别表示电容器放电时平行板电容器的电场分布和螺线管内的磁场分布。 （1）在图b内画出电容器内部的磁场分布和坡因廷矢量分布。 （2）在图c内画出螺线管内部的电场分布和坡因廷矢量分布。

答：

SS BE涡

17-3．如图所示，同轴电缆内外半径分别为a和b，用来作为电源?和电阻R的传输线，电缆本身的电阻忽略不计。

（1）求电缆中任一点（a?r?b）处的坡因廷矢量S。 （2）求通过电缆横截面的能流，该结果说明什么物理图象？

解：（1）在导体内部，场强为0，在两圆桶之间

E?Ubrlna，方向沿径向，而H?12?r，

方向沿圆周的切向，∴S?EH?UIb2?rlna2，方向沿电缆轴线方向；

（2）表明电源向负载提供的能量是通过坡因廷矢量传递的。

18章习题

18-1．杨氏双缝的间距为0.2mm，距离屏幕为1m，求：（1）若第一级明纹距离为2.5mm，求入射光波长。（2）若入射光的波长为6000A，求相邻两明纹的间距。

xdL??x?k?kL，将d?0.2mm，L?1m，x1?2.5mm，d解：（1）由，有：2.5?10?3?0.2?10?3???5.0?10?7m??500nm；k?1代入，1有：；即波长为：

?（2）若入射光的波长为6000A，相邻两明纹的间距：

D?1?6?10?7?x???3mm?3d0.2?10。

?

18-2．图示为用双缝干涉来测定空气折射率n的装置。实验前，在长度为l的两个相同密封玻璃管内都充以一大气压的空气。现将上管中

的空气逐渐抽去，（1）则光屏上的干涉条纹将向什么方向移动；（2）当上管中空气完全抽到真空，发现屏上波长为?的干涉条纹移过N条。计算空气的折射率。

解：（1）当上面的空气被抽去，它的光程减小，所以它将 通过增加路程来弥补，条纹向下移动。

（2）当上管中空气完全抽到真空，发现屏上波长为?的干涉条纹移

）?N? 过N条，可列出：l（n?1得：

n?N??1l。

18-3．在图示的光路中，S为光源，透镜L1、L2的

焦距都为f， 求（1）图中光线SaF与光线SOF的光程差为多少？（2）若光线SbF路径中有长为l，折射率为n的玻璃，那么该光线与SOF的光程差

为多少？。

解：（1）图中光线SaF与光线SOF的几何路程相同，介质相同，透镜不改变光程，所以SaF与光线SOF光程差为0。

（2）若光线SbF路径中有长为l，折射率为n的玻璃，那么光程差为几何路程差与介质折射率差的乘积，即：??(n?1)l。

18-4．在玻璃板（折射率为1.50）上有一层油膜（折射率为1.30）。已知对于波长为500nm和700nm的垂直入射光都发生反射相消，而这两波长之间没有别的波长光反射相消，求此油膜的厚度。

解：因为油膜（n油?1.3）在玻璃（n玻?1.5）上，所以不考虑半波损失，由反射相消条件有：

2n油e?(2k?1)?2，k?1，，2?

?1?2ne?(2k?1)1??油2??2k1?1?27??1?500nm?2????2ne?(2k?1)2油??2?700nm时，??2?2k2?1?15， 当?k1?k2?1??2?1?2因为，所以，又因为与

之间不存在?'以满足

整数，可得：

?'2n油e?(2k?1)2式，即不存在k2?k'?k1的情形，所以k1、k2应为连续k1?4k2?3，；

4n油油膜的厚度为：。

18-5．一块厚1.2μm的折射率为1.50的透明膜片。设以波长介于400~700nm的可见光．垂直入射，求反射光中哪些波长的光最强? 解：本题需考虑半波损失。由反射干涉相长，有：2

4ne4?1.5?1.2?10?67.2?10?6????2k?12k?12k?1； ∴2ne?(2k?1)e?2k1?1?1?6.73?10?7m?，k?1，，2?当k?5时，?5?800nm（红外线，舍去）； 当k?6时，?6?654.5nm； 当k?7时，?7?553.8nm； 当k?8时，?8?480nm； 当k?9时，?9?823.5nm；

当k?10时，?10?378.9nm（紫外线，舍去）；

∴反射光中波长为654.5nm、553.8nm、480nm、823.5nm的光最强。

89.3nm的光垂直入射到楔形薄透明片上，18-6．用??5形成等厚条纹，

已知膜片的折射率为1.52，等厚条纹相邻纹间距为5.0mm，求楔形面间的夹角。

解：等厚条纹相邻纹间距为：

?l??2n?，

589.3?10?9?5????3.88?10rad?32nl2?1.52?5.0?10∴，

?即：

18-7．人造水晶珏钻戒是用玻璃（折射率为1.50）做材料，表面镀上一氧化硅（折射率为2.0）以增强反射。要增强??560nm垂直入射光的反射，求镀膜厚度。

??3.88?10?5?180??0.00222??8''解：由于n硅?n玻，所以要考虑半波损失。

2n硅e?(2k?1)，k?1，，2?2由反射干涉相长公式有：。当k?1时，为膜

?的最小厚度。

4n硅2?。 得：，k?1，，∴镀膜厚度可为70nm，210nm，350nm，490nm，?。

18-8．由两平玻璃板构成的一密封空气劈尖，在单色光照射下，形成4001条暗纹的等厚干涉，若将劈尖中的空气抽空，则留下4000条暗纹。求空气的折射率。

解：本题需考虑半波损失。由2nd?k??4001?┄①，而2d?k???4000?┄②

e?(2k?1)??(2k?1)?70nm由①/②得：

n?4001?1.000254000。

18-9．用钠灯（??589.3nm）观察牛顿环，看到第k条暗环的半径为

第k?5条暗环半径r?6mm，求所用平凸透镜的曲率半径R。 r?4mm，

1，，2? 解：考虑半波损失，由牛顿环暗环公式：r?kR?，k?0，3??4?10?kR?2k??3k?5?k?4， ?6?10?(k?5)R??3有：?(4?10?3)2R???6.79m?9k?4?589.3?10∴。

r12

18-10．柱面平凹透镜A，曲率半径为R，放在平玻璃片B上，如图

所示。现用波长为?的平行单色光自上方垂直往下照射，观察A和B间空气薄膜的反射光的干涉条纹。设空气膜的最大厚度d?2?。

d（1）求明、暗条纹的位置(用r表示)； ?e（2）共能看到多少条明条纹；

e（3）若将玻璃片B向下平移，条纹如何移动？

解：设某条纹处透镜的厚度为e，则对应空气膜厚度为d?e，

r2d?e?2R， 那么：2e?2e??2?2k???1，?2，3，?明纹）2，（k?，

?2?(2k?1)?，1?，2，?暗纹）2，（k?0?；

（1）明纹位置为：

r?2R(d?2k?1?)?2， 4，k??1，kr?2R(d??)?1，?2； 2，k?0，暗纹位置为：

（2）对中心处，有：emax?d?2?，r?0，代入明纹位置表示式，有：kmax?4.5?4，

又因为是柱面平凹透镜，∴明纹数为8条；

（3）玻璃片B向下平移时，空气膜厚度增加，条纹由里向外侧移动。

18-11．利用迈克尔孙干涉仪可以测量光的波长。在一次实验中，观察到干涉条纹，当推进可动反射镜时，可看到条纹在视场中移动。当可动反射镜被推进0.187mm时，在视场中某定点共通过了635条暗纹。试由此求所用入射光的波长。

2d2?0.187?10?3????5.89?10?7(m)?589nmd?NN6352，解：由。

?

18-12．在用迈克尔逊干涉仪做实验时，反射镜移动了?l?0.3220mm距离。在此过程中观察到有1024条条纹在视场中移过。求实验所用光的波长。

2?l2?0.322?10?3????6.289?10?7(m)?628.9nm?l?NN10242，有：解：由。

?

思考题18

18-1在劈尖的干涉实验中，相邻明纹的间距__________（填相等或不等），当劈尖的角度增加时，相邻明纹的间距离将______________（填

增加或减小），当劈尖内介质的折射率增加时，相邻明纹的间距离将______________（填增加或减小）。

答：根据相邻条纹的间距：

当劈尖的角度增加时，相邻明纹的间距离将减小；

当劈尖内介质的折射率增加时，相邻明纹的间距离将减小。

18-2．图示为一干涉膨胀仪示意图，上下两平行玻璃板用一对热膨胀系数极小的石英柱支撑着，被测样品W在两玻璃板之间, 样品上表面与玻璃板下表面间形成一空气劈尖，在以波长为?的单色光照射下，可以看到平行的等厚干涉条纹。

当W受热膨胀时，条纹将： （A）条纹变密，向右靠拢； （B）条纹变疏，向上展开； (C)条纹疏密不变，向右平移； (D)条纹疏密不变，向左平移。

答：由于W受热膨胀时，虽空气劈尖变小，但劈尖角

不变，

根据相邻条纹的间距：2n?，知间距不变；干涉条纹反映了厚度，所以当厚度向左平移，则相应的条纹也向左平移。 选择（D）。

18-3．如图所示，在一块光学平玻璃片B上，端正地放一锥顶角很大的圆锥形平凸透镜A，在A、B间形成劈尖角?很小的空气薄层。当

波长为?的单色平行光垂直地射向平凸透镜时，可以观察到在透镜锥面上出现干涉条纹。

（1）画出于涉条坟的大致分布并说明其主要特征； （2）计算明暗条纹的位置； （3）若平凸透镜稍向左倾斜，干涉条纹有何变化？

用图表示。 答：（1）图略，分析：这是一个牛顿环和劈尖的综合体，所以 它的形状类似于牛顿环，也属于等厚干涉，干涉条纹是中心处 为暗纹，一系列间隔均匀的同心圆环； （2）计算明暗条纹的位置； 明条纹：

l??2?n，条纹间距相等；

l??2ne??2??k?，暗条纹：

2ne????（2k?1）22；

?

（3）若平凸透镜稍向左倾斜，干涉条纹将不再是对称的圆环，而是左密右疏的类圆环。

图示略。

18-4．若待测透镜的表面已确定是球面，可用观察等厚条纹半径变化的方法来确定透镜球面半径比标准样规所要求的半径是大还是小。如图，若轻轻地从上面往下按样规，则图__________中的条纹半径将缩小，而图_________中的条纹半径将增大。

答：设工件为L，标准样规为G。若待测工件表面合格，则L与G之间无间隙，也就没有光圈出现。如果L的曲率R太小（如图b），则L与G的光圈很多，轻压后中心仍然为暗斑，但条纹半径要减小；如果L的曲率R太大（如图a），则L与G的光圈除边缘接触，中间部分形成空气膜，轻压后中心斑点明暗交替变化，而且所有光圈向外扩展。

第一空选b，第二空选a。

18-5．图a为检查块规的装置，G0为标准块规，G为上端面待测的块规，用波长为?的平行光垂直照射，测得平晶与块规之间空气劈尖的干涉条纹如图所示，对于与G0和G的条纹间距分别为l0和l，且l0?l。若将G转过1800，两侧条纹均比原来密。

（1）判断并在图c中画出G规上端面的形貌示意图； （2）求G规左、右侧与G0的高度差。

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