《高等几何》复习17-18-1

《高等几何》复习题

一、填空题

1、平行四边形的仿射对应图形为： 平行四边形 ；

2、线坐标 (1,2,1) 的直线的齐次方程为：x1?2x2?x3?0 ； 3、直线3x1?2x2?0上的无穷远点坐标为： （2,-3,0） ；

4、设(AB,CD)=2，则点偶 AC 调和分割点偶 BD ； 5、两个射影点列成透视的充要条件是 保持公共元素不变 ；

6、写出德萨格定理的对偶命题： 三线形对应边的交点共线，则对应点连线共点。 7、两个线束点列成透视的充要条件是 底的交点自对应 8、求射影变换???2??1?0的自对应元素的参数 1 9、平面上4个变换群，射影群、仿射群、相似群、正交群的大小关系为： 射影群包含仿射群，仿射群包含相似群，相似群包含正交群。

10、二次曲线的点坐标方程为4x1x3?x2?0，则其线坐标方程为是 u1u3?u2?0. 11、经过一切透视仿射不改变的性质和数量，称为仿射不变性和仿射不变量. 12、共线三点的简比是 仿射 不变量.

13、平面内三对对应点(原象不共线，映射也不共线)决定唯一 仿射变换 . 14、已知OX轴上的射影变换式为x?''222x?11，则原点的对应点 - x?33215、u1?u22 =0代表点 (1,1,0)、(1,-1,0) 的方程.

16、ABCD为平行四边形，过A引AE与对角线BD平行，则 A(BC,DE) = -1 17、对合由 两对不同的对应元素 唯一决定.

18、二阶曲线就是 两个射影线束对应直线交点 的全体.

219、方程u1?5u1u2?6u22?0表示的图形坐标 （1,2,0） （1,3,0）

20、罗巴切夫斯基平面上既不相交，又不平行的两直线叫做 分散 直线. 21、平行四边形的仿射对应图形为： 平行四边形 ； 22、直线x1?5x2?0上无穷远点坐标为： （5，-1，0）

23、已知(l1l2,l3l4)?3,则(l4l3,l2l1)? 3 , (l1l3,l2l4)? -2 24、过点A(1,?i,2)的实直线的齐次方程为： 2x1?x3?0

25、两个不同中心的射影对应线束对应直线的交点构成一条二 阶 曲线.

26、不在二阶曲线C上的点P关于C的调和共轭点的轨迹是一条直线, 称为P的 极 线.

二、选择

1、下列哪个图形是仿射不变图形？( D )

1

A.圆, B.直角三角形, C.矩形, D.平行四边形

22、u1?2u1u2?8u22=0 表示( C )

A.以-1/4为方向的无穷远点和以1/2为方向的无穷远点,

B. 以-4为方向的无穷远点和以2为方向的无穷远点, C. 以4为方向的无穷远点和以-2为方向的无穷远点,

D. 以1/4为方向的无穷远点和以-1/2为方向的无穷远点.

3、两个不共底且不成透视的射影点列至少可以由几次透视对应组成？( B ) A.一次, B.两次, C.三次, D.四次.

4、下面的名称或定理分别不属于仿射几何学有( A )：

A. 三角形的垂心， B. 梯形， C.平面内无三线共点的四线有六个交点， D.椭圆 5、二次曲线按射影分类总共可分为( B ) A.4类， B.5类，C.6类， D.8类 6、设P1(1)，P2(-1)，P3(?)为共线三点，则(P1P2P3)? A . A.1， B.2， C.3， D.4

7、已知共线四点A、B、C、D的交比(AB，CD)=2，则(CA，BD)= D . A.-4， B-3， C.-2， D.-1

8、若共点四直线a,b,c,d的交比为 (ab,cd)=-1，则交比 (ad,bc)= B . A.1， B.2， C.3， D.4

9、点坐标为(1,0,0)的方程是 A .

A.u1=0， B. u2=0， C. u2=0， D. u4=0 10、证明公理体系的和谐性常用 C .

A. 公理法， B. 反证法， C. 模型法， D. 演绎法 11、一点列到自身的两射影变换,其中为对合的是 B

A.1?2，2?3，3?4； B.0?1，2?3，1?0 C.1?3，2?1，3?4； D.0?1，2?3，1?2 12、下列哪个名称或命题属于射影几何学 ( C )

A. 三角形三条高线共点, B. 直角三角形, C. Desargues定理, D. 梯形. 13、满足条件 ( C ) 的一维射影变换必为对合变换.

A. 有一个自对应点, B. 有两个自对应点, C. 有两个对合点, D. 有三个对合点.

14、一维射影变换f如果满足f-1=f, 则称之为 ( A ) 变换.

A. 对合, B. 简单, C. 线性, D. 非奇.

三、判断

1、仿射对应不一定保持二直线的平行性.（ × ） 2、两直线能把射影平面分成两个区域.（ √ ）

3、当正负号任意选取时，齐次坐标(?1,?1,?1)表示两个相异的点.（ × ）

4、若一维射影变换的一对对应元素(非自对应元素)符合对合条件，则它一定是对合.（ √） 5、配极变换是一种非奇线性对应.（ √ ） 6、共线四点的交比是仿射不变量. （ √ ）

7、平行四边形的射影对应映像仍然是平行四边形. （ × ）

2

8、直线2x1?x2?x3?0上的三点A(1,3,1),B(2,5,1),C(1,2,0)的单比(ABC)= 0. （ × ） 9、共线三点的简比是射影不变量. （ × ） 10、Desargues定理是自对偶命题. （ × ）

11、二直线所成角度是相似群不变量. （ √ ） 12、二维射影对应有3对对应点唯一确定. （ × ）

13、若交比 (P1P3, P2P4)=2, 则 (P1P2, P3P4)=-1. （ √ ） 14、一维射影变换如果有一个自对应点则必定为对合变换. （ × ）

四、计算、作图

221、求点 (1,-1,0) 关于二阶曲线3x1?5x2?x23?7x1x2?4x1x3?5x2x3?0的极线方程.

?37/22???55/2?解：极线方程 (1,-1,0)?7/2?25/21????x1??x?=0, 即 x?3x?x?0

123?2???x3??2、求仿射变换式使直线x＋2y－1＝0上的每个点都不变，且使点 (1,-1)变为 (-1,2). 解：设所求仿射变换为??x???1x?b1y?c1?y???2x?b2y?c2

在已知直线x+2y-1=0上任取两点，例如取 (1,0)、(3,-1), 在仿射变换下，此二点不变。 而点(1,-1)变为(-1,2), 把它们分别代入所设仿射变换式，得

??1?c1?1 , ???2?c2?0?3?1?b1?c1?3 , ??3?2?b2?c2??1??1?b1?c1??1 ???2?b2?c2?233, b2=-2, c2= 22由以上方程联立解得：?1＝2，b1=2,c1=-1, ?2=-

?x??2x?2y?1?故所求的仿射变换为：?3x3

?y???2y??22????x1??x1?3、求射影变换??x?2?x2的固定元素。

??x??x3?3?1?u0?(?1?u)x1?0?1?u解：固定元素的方程为?(1?u)x2?0, 特征方程为0?(1?u)x?0003?解得u=1 , u = -1.

将u = -1代入固定点方程组，即得固定点为(1,0,0)

将u=1代入固定点方程组，得x1=0这一点列上的每一点都是固定点。

4、求对合对应, 使得 3, 5 分别对应与2,1.

001?uA E B a b c F C D d G 题四5图

=0, 即(1+u)(1-u)2=0

3

解： 设所求变换为 kx′=Ax, 则 A=??ab??. 依题

?c?a??2k ?1?k1=

?2k1k2??35?

=A , 解得 A= ????k2??11??k1k2??35?1?2k1= ????2?k1k2??11??1k2???15???? k2??1?3??11??2k1?k210k1?3k2???. 2??k1?k25k1?3k2?由于 -2k1+k2= 3k2-5k1, 所以, 可取 k1=8, k2=14, 从而得 A = ???111??, 即所求变换为

?11?x???x?11.

x?1

5、已知线束中三直线a,b,c，求作直线d，使(ab,cd)= -1. (画图，写出作法过程和根据) 作法过程：

1. 设a,b,c交于点A，在c上任取一点C,

2. 过C点作两直线分别与a交于B、E，与b交于F，D， 3. BD与EF交于G , 4. AG即为所求的d.

根据：完全四点形的调和共轭性.

6、 平面上经过A(-3,2) 和B(6,1) 两点的直线被直线x+3y-6=0截于P点，求单比 (ABP) 解：设P点的坐标为 (x0,yo),

APAP?3?6?2??， 而:x0?且P在直线x+3y-6=0上， ?(ABP)??????（分割比）,y0?BPPB1??1???3?6?2???()?3()?6?0, 解得λ=1, 即P是AB中点，且(ABP) = -1.

1??1??

7、 已知仿射平面上直线L的非齐次坐标方程为x-2y+1=0，求

(1) L的齐次坐标方程； (2) L上无穷远点的坐标； (3) L上无穷远点的方程。 (1) x1-2x2+x3=0 (2) (1,1/2,0) (3) u1?u2=0 2

8、 在直线上取笛氏坐标为 2,0,3的三点作为射影坐标系的P*,P0, E，(i)求此直线上任一点P的笛氏坐标x与射影坐标λ的关系；（ii）问有没有一点，它的两种坐标相等？

(3?2)(x?0)x解：(i) 由定义 λ=（P*P0，EP）=（2 0，3x）= ?(x?2)(3?0)3x?6故：??10x，且?6?0

363x?6x，即3x2－7x=0， 3x?6(ii) 若有一点它的两种坐标相等，即x=λ则有x?∴当x=0及x=

7时两种坐标相等。 34

9、 求点列上的射影变换，它将参数为1,2,3的点分别变为参数为1,3,2的点，并求出此射影变换的自对应元素的参数。

解：设射影变换的方程为：a????b??c???d?0, 由题意知：a+b?c?d?0, 6a?2b?3c?d?0, 6a+3b+2c+d=0 , 得到：a:b:c:d?3:?5:?5:7 故射影变换方程为：3??'?5??5?'?7?0 二重元素满足：3??10??7?0 得?=7/3或?=1

10、 求由两个射影线束x1??x3?0，x2???x3?0，3?????0所构成的二阶曲线的方程。 解：由题意 ???3?, x2?3?x3?0, 由上式得 ??2x2x?1, 故所求方程即为3x1x3?x2x3?0. 3x3x32211、求直线3x1?x2?6x3=0关于x1?x2?2x1x2+2x1x3-6x2x3=0之极点。 0?1?11??x1??3???11?3??x0?=??1? 00解：设P0 (x1)为所求, 则,x0,x23???2???0??x?1?30????6??3???00?x1?x02?x3?3?00000解线性方程组??x1?x2?3x3??1 得 x1?3,x0,x3??1, 2??100?x?x12?6?即 (3,-1,-1) 为所求极点的坐标.

12、求直线x-2y+3=0上无穷远点的坐标。 解：化为齐次式

x1-2x2+3x3=0,以x3=0代入

1得 x1-2x2=0， x1=2x2 或 x2=x1

2∴ 无穷远点坐标为(2，1，0)

13、求仿射变换 ??x??7x?y?1的不变点.

y?4x?2y?4???6x?y?1?01 解此方程，得不变点为(?,?2) ?2?4x?y?4?0解：由 ??x?7x?y?1 得

y?4x?2y?4?

14、求四点(2，1，-1)，(1，-1，1)，(1，0，0)，(1，5，-5)顺这次序的交比. 解：以(2，1，-1)和(1，-1，1)为基底， 则(2，1，-1)+μ1(1,-1,1)相当于(1，0，0) ∴

2??11??1?1??1?? 100得 μ1=1

5

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