典型信号的拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换

成 绩 评 定 表

学生姓名 中国好学长 专 业 通信工程 班级学号 课程设计题目 典型信号的拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换 评 语 组长签字： 成绩 日期

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2016 年 7 月 日

课程设计任务书

学 院 学生姓名 课程设计题目 信息科学与工程学院 专 业 班级学号 通信工程 典型信号的拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换 实践教学要求与任务: 1、 学习Matlab软件及应用； 2、 学习并研究拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换有关理论； 3、利用Matlab编程，完成拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换分析与处理； 4、写出课程设计报告，打印程序，给出运行结果。 工作计划与进度安排: 第1-2天： 1、学习使用Matlab软件、上机练习 2、明确课题内容，初步编程 第3-5天： 1、上机编程、调试 2、撰写课程设计报告书 3、检查编程、运行结果、答辩 4、上交课程设计报告 指导教师： 专业负责人： 学院教学副院长： 2016 年 7月 6 日 2016 年7 月 6日 2016 年 7 月 6 日

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目录

1.Matlab介绍 .............. 错误！未定义书签。 2.利用Matlab实现信号的复频域分析—拉普拉斯变化和拉普拉斯逆变换的设计 .................... 5

2.1.拉普拉斯变换曲面图的绘制 .......................................................................................... 5 2.2.拉普拉斯变化编程设计及实现 ...................................................................................... 7 2.3.拉普拉斯逆变化编程设计及实现 .................................................................................. 8

3.总结 ..................................... 14 4.参考文献 ................................. 15

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1．Matlab介绍

MATLAB语言是当今国际上在科学界和教育界中最具影响力、也最具活力的软件；它起源于矩阵运算，现已发展成一种高度集成的计算机语言；它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、丰富的交互式仿真集成环境，以及与其他程序和语言便捷接口的功能。

经过多年的开发运用和改进，MATLAB已成为国内外高校在科学计算、自动控制及其他领域的高级研究工具。典型的用途包括以下几个方面：

1）数学计算； 2）新算法研究开发； 3）建模、仿真及样机开发； 4）数据分析、探索及可视化； 5）科技与工程的图形功能； 6）友好图形界面的应用程序开发。

1.1Matlab入门

Matlab7.0介绍

Matlab7.0比Matlab的老版本提供了更多更强的新功能和更全面、更方便的联机帮助信息。当然也比以前的版本对于软件、硬件提出了更高的要求。

在国内外Matlab已经经受了多年的考验。Matlab7.0功能强大，适用范围很广。其可以用来线性代数里的向量、数组、矩阵运算，复数运算，高次方程求根，插值与数值微商运算，数值积分运算，常微分方程的数值积分运算、数值逼近、最优化方法等，即差不多所有科学研究与工程技术应用需要的各方面的计算，均可用Matlab来解决。

MATLAB7.0提供了丰富的库函数（称为M文件），既有常用的基本库函数，又有种类齐全、功能丰富多样的的专用工具箱Toolbox函数。函数即是预先编制好的子程序。在编制程序时，这些库函数都可以被直接调用。无疑，这会大大提高编程效率。MATLAB7.0的基本数据编程单元是不需要指定维数的复数矩阵，所以在MATLAB环境下，数组的操作都如数的操作一样简单方便。而且，MATLAB7.0界面友好，用户使用方便。首先，MATLAB具有友好的用户

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界面与易学易用的帮助系统。用户在命令窗里通过help命令可以查询某个函数的功能及用法，命令的格式极为简单。其次，MATLAB程序设计语言把编辑、编译、连接、执行、调试等多个步骤融为一体，操作极为简单。除此之外，MATLAB7.0还具有强大的图形功能，可以用来绘制多姿多彩的图形，直观而形象。

综上，在进行信号的分析与仿真时，MATLAB7.0无疑是一个强大而实用的工具。尤其对于信号的分析起到了直观而形象的作用，非常适合与相关课题的研究与分析

2 利用Matlab实现信号的复频域分析—拉普拉斯变化和拉普拉斯逆变换的设计

2.1 拉普拉斯变换曲面图的绘制

连续时间信号f(t)的拉普拉斯变换定义为:

F(s)??0f(t)edt （6-1）

?st??其中s???j?，若以?为横坐标（实轴），j?为纵坐标（虚轴），复变量s就构成了一个复平面，称为s平面。

显然，F(s)是复变量s的复函数，为了便于理解和分析F(s)随s的变化规律，可以将F(s)写成：

F(s)?F(s)ej?(s) （6-2）

其中，F(s)称为复信号F(s)的模，而?(s)则为F(s)的幅角。

从三维几何空间的角度来看，F(s)和?(s)对应着复平面上的两个平面，如果能绘出它们的三维曲面图，就可以直观地分析连续信号的拉普拉斯变换F(s)随复变量s的变化规律。

上述过程可以利用MATLAB的三维绘图功能实现。现在考虑如何利用MATLAB来绘制s平面的有限区域上连续信号f(t)的拉普拉斯变换F(s)的曲面图，现以简单的阶跃信号u(t)为例说明实现过程。

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我们知道，对于阶跃信号f(t)?u(t)，其拉普拉斯变换为F(s)?1s。首先，

利用两个向量来确定绘制曲面图的s平面的横、纵坐标的范围。例如可定义绘制曲面图的横坐标范围向量x1和纵坐标范围向量y1分别为：

x1=-0.2:0.03:0.2; y1=-0.2:0.03:0.2;

然后再调用meshgrid()函数产生矩阵s，并用该矩阵来表示绘制曲面图的复平面区域，对应的MATLAB命令如下：

[x,y]=meshgrid(x1,y1); s=x+i*y;

上述命令产生的矩阵s包含了复平面?0.2???0.2， ?0.2?j??0.2范围内以时间间隔0.03取样的所有样点。

最后再计算出信号拉普拉斯变换在复平面的这些样点上的值，即可用函数mesh()绘出其曲面图，对应命令为：

fs=abs(1./s); mesh(x,y,fs); surf(x,y,fs);

title('单位阶跃信号拉氏变换曲面图'); colormap(hsv);

axis([-0.2,0.2,-0.2,0.2,0.2,60]); rotate3d;

执行上述命令后，绘制的单位阶跃信号拉普拉斯变换曲面图如图1所示。

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2.2 拉普拉斯变化编程设计及实现

已知连续时间信号f(t)?sin(t)u(t)，求出该信号的拉普拉斯变换，并利用MATLAB绘制拉普拉斯变换的曲面图。 解：该信号的拉普拉斯变换为：

1F(s)?2s?1

利用上面介绍的方法来绘制单边正弦信号拉普拉斯变换的曲面图，实现过程如下：

绘制单边正弦信号拉普拉斯变换曲面图程序

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图2 单边正弦信号拉氏变换曲面图

clf;

a=-0.5:0.08:0.5; b=-1.99:0.08:1.99; [a,b]=meshgrid(a,b); d=ones(size(a)); c=a+i*b; c=c.*c; c=c+d; c=1./c; c=abs(c);

%计算拉普拉斯变换的样值 %绘制曲面图

%确定绘制曲面图的复平面区域

mesh(a,b,c); surf(a,b,c);

axis([-0.5,0.5,-2,2,0,15]);

title('单边正弦信号拉氏变换曲面图'); colormap(hsv);

上述程序运行结果如图2所示。

2.3 拉普拉斯逆变化编程设计及实现

连续信号f(t)的拉普拉斯变换具有如下一般形式：

C(s)F(s)??D(s)?cs?dsi?1ij?1LjKji

若K?L，则F(s)可以分解为有理多项式与真分式之和，即

B(s)F(s)?P(s)?R(s)?P(s)??P(s)?A(s)

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?bsj?1Nji?1Mjias?i

其中，P(s)是关于s的多项式，其逆变换可直接求得（冲激信号及其各阶导数），

R(s)为关于s的有理真分式，即满足M?N。以下进讨论M?N的情况。

设连续信号f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，则

B(s)F(s)??A(s)在满足M?N情况下，有以下几种情况

B(s)

(s?p)?iNi?1

（1）极点均为单重情况下，可对其直接进行部分分式展开得：

r1r2rNF(s)?????s?p1s?p2s?pN拉斯逆变换为：

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其中，ri?(s?pi)F(s)s?p(i?1,2,?,N)称为有理函数F(s)的留数。则F(s)的拉普i

f(t)??rieu(t)

piti?1N（2）有k重极点，设为p1，则部分分式展开为

K11K12K1kE(s)F(s)??????kk?1(s?p1)(s?p1)(s?p1)D(s)

K1i可用下式求得

1dk?(s?p1)F(s)? K1i?i?1(i?1)!dss?p1i?1则F(s)的拉普拉斯逆变换为：

NK1jk?jpitpitf(t)??teu(t)??rieu(t) j?1(k?j)!i?2k（3）有共轭极点

r1r2r2rNF(s)??????s?p1s?p2s?p3s?pN???????f2(t)

设F(s)有一对共轭极点p1,2????j?，则

r1?(s?p1)F(s)s?p1?r1e*r2?r1

??tj?

由共轭极点所决定的两项复指数信号可以合并成一项，故有

f2(t)?2r1ecos(?t??)u(t)

从以上分析可以看出，只要求出F(s)部分分式展开的系数（留数）ri，就可直接求出F(s)的逆变换f(t)。

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上述求解过程，可以利用MATLAB的residue()函数来实现。令A和B分别为F(s)的分子和分母多项式构成的系数向量，则函数：

[r,p,k]=residue(B,A)

将产生三个向量r、p和k，其中p为包含F(s)所有极点的列向量，r为包含F(s)部分分式展开系数ri的列向量，k为包含F(s)部分分式展开的多项式的系数行向量，若M?N，则k为空。 例：已知连续信号的拉普拉斯变换为：

2s?4F(s)?3s?4s试用MATLAB求其拉普拉斯逆变换f(t)。 解：MATLAB命令如下：

a=[1 0 4 0]; b=[2 4];

[r,p,k]=residue(b,a) 运行结果： r =

-0.5000 - 0.5000i -0.5000 + 0.5000i 1.0000 p =

0 + 2.0000i 0 - 2.0000i 0 k = []

由上述结果可以看出，F(s)有三个极点p1,2??j2，p3?0，为了求得共轭极点对应的信号分量，可用abs()和angle()分别求出部分分式展开系数的模和幅角，命令如下：

abs(r) ans =

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0.7071 0.7071 1.0000 angle(r)/pi ans = -0.7500 0.7500 0

由上述结果可得

3f(t)?[1?2cos(2t??)]u(t)。

4例：求下式函数的逆变换

s?2F(s)?s(s?1)3解：MATLAB程序如下：

a=[1 3 3 1 0]; b=[1 -2];

[r,p,k]=residue(b,a) 运行结果： r = 2.0000 2.0000 3.0000 -2.0000 p = -1.0000 -1.0000 -1.0000 0 k =

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[]

2232F(s)????，对应的逆变换为

23则

(s?1)(s?1)(s?1)s32f(t)?[(t?2t?2)e?t?2]u(t)

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3. 总结

通过本次综合实践让我们在学习“信号与系统”课程的同时，掌握MATLAB的应用，对MATLAB 语言在中的推广应用起到促进作用。从而将便多的时间留于对信号与系统的基本分析方法和应用的理解与思考学会应用 MATLAB的数值计算功能，将学生从繁琐的数学运算中解脱出来，从而将便多的时间留于对信号与系统的基本分析方法和应用的理解与思考。让我们将课程中的重点、难点及部分课后练习用 MATLAB 进行形象、直观的可视化计算机模拟与仿真实现，从而加深对信号与系统基本原理、方法及应用的理解，以培养学生主动获取知识和独立解决问题的能力，为学习后继专业课打下坚实的基础。

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4. 参考文献

【1】郑君里 信号与系统 高等教育出版社 2011.03

【2】王立宁 MATLAB与通信仿真.北京 高等教育出版社.2000.4 【3】刘泉 数字信号处理与实现.北京：电子工业出版社.2005.6 【4】徐端 MATLAB.科学计算与工程分析 北京 科学出版社.2008 【5】陈亚勇 MATLAB信号处理详解。人民邮电出版社.2001.09

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/2nlh.html