黑匣子论文建模

寻找黑匣子

摘要

本文通过分析飞机失去动力后的受力情况，建立数学模型，通过解微分方程组，得到飞机的运动轨迹，确定黑匣子坠落在水底的位置。

问题一求出飞机坠落在海面的具体位置。飞机在东经88°南纬22°失去动力，由于具有初始速度，在惯性的作用下将水平滑落。在飞机降落的过程中受重力、空气对机翼的升力和空气的阻力作用，其中阻力和升力都与速度的二次方成线性关系，阻力系数和升力系数通过k?21?CS求解出。我们将飞机受到的力正交分解，得到飞机的运动公式22d2xd2y?dx??dy?m2??k1?? ；m2??mg?k1???k2v2。通过Matlab求解出飞机的运动轨dtdt?dt??dt?迹，最终确定黑匣子的落水点为（15261,0），即飞机坠落在东北向45?，15261m处，黑匣子的落水处为东经89.1097 ，南纬20.8903 。

问题二中求黑匣子在水中的坠落轨迹。与问题一近似，只不过黑匣子在水中时，受重力、浮力和水的阻力，由于水的阻力比较大，水的阻力与黑匣子的速度成线性关系，同样利用k?1?CS求解水的阻力系数，然后根据F浮??液gv排求解出黑匣子在水中受到2d2xdxd2ydym?2??k3?m?g?F浮。的浮力，黑匣子的运动学方程为m?2??k3；利用Matlab

dtdtdtdt求解出黑匣子的运动轨迹，结合题目中所给的海底地形图，最终确定黑匣子的坠落位置为I区。

问题三中考虑洋流的影响，确定黑匣子的坠落位置。查阅资料，可以知道东经88°，南纬22°位于南印度洋上空，受南赤道暖流的影响，黑匣子在水中时将受到一个恒定的速度，我们假设洋流的速度为定值，不随深度变化，同样根据牛顿第二定律，黑匣子的

d2xdxd2ydydz0.6?m?g?F浮 ；?运动方程为m?2??k3 ； m?2??k3 ，同样利用Matlab

dtdtdtdtdt2求解出黑匣子坠落轨迹，以及黑匣子在不同深度的确切位置。

关键词： Matlab计算 运动学方程 受力分析 近似求解

一、问题重述

随着经济的发展，飞机逐渐成为便捷的交通方式之一，飞机飞行不受高山、河流、沙漠、海洋等地理条件的限制，而且可根据客源、货源数量随时增加班次。根据国际民航组织统计，民航平均每一客公里的死亡人数为0.04人，是普通交通方式事故死亡人数的几十分子一到几百分子一，是比火车更为安全的交通运输方式。飞机的缺点是价格昂贵，受天气影响严重，虽然飞机的事故率很低，但是一旦失事，将会很少有人甚至无人生还。黑匣子是飞机专用的电子记录设备之一，它能记录各种飞行参数，供事故分析使用。黑匣子记录的参数包括飞机停止工作或失事坠毁前半小时的语音对话和两个小时的飞行高度、速度、航向、爬升率、下降率、加速情况、耗油量、起落架放收、格林尼治时间、飞机系统工作状况和发动机工作参数等。

假设有一架飞机在高空中飞行时突然发生事故，此时飞行高度为10000米，飞行速度是800公里/小时，航向东北方向45°，飞机在地面的投影位置为南纬22.0度，东经88.0度。

请建立模型求解以下问题：

（1）假设飞机在发生事故时突然失去动力，考虑飞机在降落过程中受到空气气流的影响建立数学模型，描述飞机坠落轨迹并推测黑匣子的落水点。

（2）假设黑匣子落水之后，不考虑洋流流动对黑匣子沉降过程的影响，建立模型描述黑匣子在水中沉降过程轨迹。如图1所示，假设黑匣子落水点所对应的海底位置为1，落水时沿着图1中指定的虚线方向沉海，给出黑匣子沉在海底的位置，并指出在图形中的哪个区域范围。

图1 黑匣子在水下沉降过程中的海底剖面图

（3）考虑洋流流动对黑匣子在水中沉降的影响，建立模型描述在有洋流流动的情况下，黑匣子沉降轨迹方程，并求解出黑匣子沉入水下1000m，2000m，3000m时离落水点的方位。

二、问题分析

2.1 问题一

飞机失去动力后，会受到重力、空气对机翼的升力和飞机下降时的阻力的影响，考虑到空气的阻力与空气的密度有关，为了方便计算，选取空气密度的平均值作为空气的密度，然后根据空气阻力系数的计算公式k1?1?CDS，得出空气的阻力系数。空气的升2力系数同样可以得到。飞机在坠落过程中，阻力和升力的大小仅与飞机下落速度的二次方有关，在水平与竖直方向上受力分解，求出水平位移和竖直位移与时间的关系，用Matlab就能绘制出飞机的坠落轨迹，能够比较精确地确定飞机的落水点。 2.2 问题二

不考虑洋流的影响，黑匣子落入水中后，受到水的阻力，浮力和重力的作用，浮力的大小可通过F浮??液gv排求解出，海水对黑匣子的阻力与速度成正比，比例系数k3可根据k3?1?CS确定，根据牛顿第二定律可列出微分方程，用Matlab求解出黑匣子的2运动轨迹，确定黑匣子的坠落区域。 2.3 问题三

考虑洋流的影响，我们将洋流的速度正交分解到X轴和Z轴，然后根据牛顿第二定律，参照问题二的解法，求解出黑匣子此时的坠落轨迹，进而求解出黑匣子在海平面

?1000m、?2000m、?3000m的具体坐标位置。

三、模型假设

（1）假设风速为0，即飞机在空中不受风速的影响。 （2）假设洋流只存在于水平方向，流速不变。

（3）假设天气状况正常，忽略暴风、暴雨等恶劣因素的影响

（4）假设飞机坠落到海面，黑匣子落入水中，保持飞机最后的速度，继续下落。

四、符号说明

m为飞机的重量

m?为黑匣子的重量

?为大气的密度，

CD为阻力系数，

S为飞机受力面积，

V为物体对流体的相对速度。

f为空气阻力

?空气温度梯度，约为0.0065K/m；

C?为海水的阻力系数，此处取0.12

CD为飞机的风阻系数，取0.08

F浮为海水对黑匣子的浮力

F为空气对机翼的升力

H海拔高度，单位m；T0绝对温度，为273K。

vx为黑匣子落水时，水平方向的速度；

vy为黑匣子落水时竖直方向速度 vz为洋流在Z轴的分速度

S???为黑匣子在海水中的受力面积，此处取0.1m2

?0标准状态下的空气密度，海平面在摄氏零度气温条件下空气的密度是g/m3；

五、模型建立和求解

5.1 问题一

飞机失去动力后，在初速度的影响下，受惯性的作用滑翔降落。在降落的过程中受重力、空气对机翼的升力和空气的阻力。受力情况如图2所示

图2飞机下落过程中受力分析图

以飞机在空中对应的海面上的投影点为原点，以航向东北向45°为X轴，以竖直方向为Y轴，在此坐标系中飞机的初始坐标为（0,10000），飞机初始速度方向平行于X轴。为了简化模型，假设飞机在空中受到的升力大小为定值F，方向始终垂直于飞机的运动方向。飞机受到的空气阻力大小与飞机的速度的平方成正比，始终与飞机的运动方向相反。

飞机在空气中受到的阻力f

12?vCDS （1） 21k1??CDS （2）

2f?在公式中?为大气的密度，CD为阻力系数，S为飞机受力面积，V为物体对流体的相对速度。

我们查阅相关文献得到以下数据

海拔高度(m) 相对空气 密度 表1一定海拔下的空气密度数据 0 1000 2000 2500 3000 4000 5000 1 0.903 0.813 0.770 0.730 0.653 0.583 在标准状态下大气压力为1，相对空气密度为1，一般标准状况（273K,101KPa）下，空气密度为1.293g?L?1，根据气体状态方程式求得空气密度与海拔的高度的关系为

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