陈文灯《数学复习指南》(理工类)详细解答WORD版(第一、二章)2

高数

习 题 二

一．填空题 1．

__

[解答] 原式

=

2．

则

__

[解答]

则

3．设

，则

__

[解答]

4．设函数

由方程

确定，则

__

[解答] 直接对求导可得

化简可得

5．已知

且

，则

__

[解答] 由

可知

为奇函数，由函数图像直接可得出

.

6．设

可导，则

__

[解答] 原式

+

7．设

，则

__

[解答] 原式

所以

高数

8．已知

，则

__

[解答] 原式

即

，则

，则

令

9．设

为可导函数，

__

[解答] 原式

10．设函数

法线方程为__ [解答] 两边求导

将

代入可得

由方程

所确定，则曲线

在点

处的

故所求的方程为

二．选择题 1． 设

可导，

，则

是

在

处可导的

充分必要条件

必要但非充分条件

充分但非必要条件

既非充分又非必要条件

[解答]

若

2． 设

在

处可导

，即

，所以应该选

.

是连续函数，且

，则

[解答] ，所以应该选

.

高数

3． 已知函数

的

阶导数

具有任意阶导数，且

是

，则当

为大于2的正整数时，

[解答] ，

由数学归纳法可得

4．设函数对任意

在

在

[解答]

，所以应该选

，且

. ，其中

均满足

在

为非零常数，则

处不可导

处可导，且

处可导，且

，故应选

.

在

处可导，且

5．设

[解答] 将

改写为

，则

，则使

存在的最高阶导数

为

此时

此时

此时

，两者不相等

所以

的最高阶为2，应该选

在点

为

.

处可导，当自变量

为

由

增加到

的微分，

6．设函数

时，记

等于

的增量，

高数

[解答] 由微分的几何意义可知，当

时，

是

的高阶无穷小，所以

，故应该选

.

7．设

在

处可导，则

为任意常数

为任意常数

[解答] 由

在

连续可得

由

在

可导得

则

，所以应该选

.

8．设

，则

在

处可导的充要条件为

存在

存在

存在

存在

[解答] 当

时，

～

，则

等价于

，所以应该选

.

9．设函数

在

上可导，则 当

时，必有

当

时，必有

当

时，必有

当

时，必有

高数

[解答] 若设

10．设函数

在

时，

均错误，若设

时，

错误，故选

.

处可导，则函数

且

且

在

处不可导的充分条件是

且

且

[解答] 令

若

若

故若

若

所以当 则

，由

，由导数定义可得

的连续性及保号性可得

.

，此时

，同理可得

不存在，则

，设

，

，且

时，

，由于

时，

故

不存在，所以应该选

.

三．计算题 1．

，求

.

[解答]

2．已知

可导，

，求

.

[解答

]

3．已知

[解答] 等式两边对

，求

求导可得

.

高数

化简可得

4．设

的函数是由方程

求导可得

确定的，求

.

[解答] 等式两边对

化简得

5．已知

[解答]

，求

.

6．设

[解答] 等式两边对

求导可得

可得

所以

，求

.

又

7．设函数

二阶可导，

，且

，求

.

[解答]

8．设曲线

由方程组

确定，求该曲线在

处的曲率

.

高数

[解答]

，则

四．已知

⑴ 确定 [解答] ⑴

即当

⑵ 当

当

时，由导数的定义有

时，

在

的值，使

在

，其中

有二阶连续的导数，且

点连续； ⑵ 求

.

处连续.

时，有

五．已知当

时，

有定义且二阶可导，问

为何值时

是二阶可导.

[解答]

则

在

处连续

即

高数

在

处一阶可导，则有

此时，

在

处二阶可导，则有

六．已知

，求

.

[解答]

又

在

处的麦克劳林级数展开式为

通过比较可得，当

时，

当

时，

七．设

，求

. [解答]

,

,

,

通过递推公式可得

当

时，

八．证明

满足方程

证明：

高数

化简可得

得证.

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